Đề thi và lời giải toán cao cấp B1 trường đại học nông lâm TP HCM

Trường Đại học Nông Lâm TP HCM Đề thi kỳ mơn Tốn cao cấp B1 Khoa Khoa học Ngày 21 tháng năm 2013 Thời gian: 75 phút (không kể thời gian giao đề) Phần I Trắc Nghiệm (6,0 điểm) x e Câu Tập xác định hàm số y = arcsin ln A [1; e2 ] B [1; e2 ] \ {e} Câu Giá trị a để hàm số f (x) = A 3π −1 B Câu Giới hạn lim √ x→0 ex + sin2 x − C [0; e2 ] 2x − 2x − Câu Giới hạn lim x→∞ D [1; e] 1 − x , x=0 liên tục x0 = x e −1 a arccos (x − ), x = −3 C D 2π 4π B −2 A C D 1−3x B √ e3 x x −1 Câu Giới hạn lim x→1 ln x − x + A B −∞ A 1 C e3 D C +∞ D Không tồn e3 4−x ex−1 x2 + 16x + 52 x2 − 16x + 52 A B ex−1 ex−1 Câu Đạo hàm cấp n hàm số y = cos x π π A − sin x + n B cos x + n 2 Câu Đạo hàm cấp hàm số y = Câu Tích phân C −x2 − 16x − 52 ex−1 D −x2 + 16x − 52 ex−1 C cos (x + nπ) D − sin (x + nπ) C −(x + 1)2 e1−x + C D (x + 1)2 e1−x + C (x2 − 1)e1−x dx A −(x − 1)2 e1−x + C Câu Tích phân y = B (x − 1)2 e1−x + C √ 2x − x2 dx √ (x − 1) 2x − x2 + arcsin x B +C √ (x − 1) 2x − x2 D +C arcsin(x − 1) A +C √ (x − 1) 2x − x2 + arcsin(x − 1) C +C (x + 2)2 dx x(x − 1)2 Câu 10 Tích phân A ln x − ln (x − 1) − +C x−1 B ln x − ln (x − 1) + +C x−1 C ln x + ln (x − 1) − +C x−1 D ln x + ln (x − 1) + +C x−1 dx (sin x + cos x)2 Câu 11 Tích phân A −1 +C arctan(t − 2) B arctan (t − 2) + C ∞ Câu 12 Cho chuỗi số n=1 C +C tan x + D tan x + +C tan x + 2 n3 √ n2 + n7 + Khẳng định sau đúng? A Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh B Hội tụ C Phân kỳ D Hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert ∞ nq hội tụ Câu 13 Chuỗi n=1 A q > −1 B q < −1 ∞ (−1)n Câu 14 Tổng n=1 A 25 31 C |q| < D q < 2n 3n có kết 52n B − 19 ∞ C − n=1 D 25 19 ∞ , giả sử ≤ un ≤ Khẳng định sau đúng? un (2) Câu 15 Cho hai chuỗi số (1) 31 n=1 A Nếu chuỗi (1) hội tụ chuỗi (2) hội tụ B Nếu chuỗi (2) phân kỳ chuỗi (1) phân kỳ C Hai chuỗi có tính chất D Cả ba câu A, B, C sai Phần II Tự Luận (4,0 điểm) ∞ en nn Câu 16 (2,5 điểm) Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi hàm (−1) n2 (x − 2)n (n + 1) n=1 n Câu 17 (1,5 điểm) Tính giá trị gần arccos (0, 51) LỜI GIẢI x >0 x e x Câu Điều kiện xác định hàm số ⇔ ≤ ≤ e ⇔ ≤ x ≤ e2  −1 ≤ ln ≤ e e e 2πa Câu Ta có f (0) = a arccos − = 1 ex − − x L ex − Mặt khác lim f (x) = lim − x = lim = lim x x x x→0 x→0 x→0 x(e − 1) x→0 e − + xe x e −1 0 x e L = = lim x = lim x→0 e + ex + xex x→0 + x 2πa Do hàm số liên tục x0 = ⇔ = ⇔a= 4π √ x2 e − + sin2 x + x2 e −1 Câu lim √ = lim x→0 sin2 x + sin2 x − x→0 x2 + sin2 x + (ex − ∼ x2 x2 → x → 0) = lim x→0 sin x   =2 2x − − 3x − (1 − 3x) lim x→∞ 2x − 2x − = e−3/2 = = √1 =e =e e3/2 e3 x L x (1 + ln x) = lim khơng tồn khơng xét − hay + x→1 0 −1 x 1−3x 2x − Câu lim x→∞ 2x − xx − Câu lim x→1 ln x − x + lim x→∞ Câu Ta có y = (4 − x2 )e1−x (4 − x2 )(k) = với k ≥ nên (8) (7) y (8) = C80 (4 − x2 ) e1−x + C81 (4 − x2 )(1) e1−x + C82 (4 − x2 )(2) e1−x = (4 − x2 )(1−)8 e1−x + 8(−2x)(−1)7 e1−x + 28(−2)(−1)6 e1−x = − x2 + 16x − 56 e1−x −x2 + 16x − 52 = ex−1 nπ Câu (cos x)(n) = cos x + Câu Sơ đồ tích phân phần x2 − (6) e1−x + $ −e1−x 2x − % e1−x =⇒ I = −(x2 − 1)e1−x − 2xe1−x − 2e1−x = −(x2 + 2x + 1)e1−x + % −e1−x = −(x + 1)2 e1−x Câu Đặt x − = sin t với t ∈ − π2 ; π2 =⇒ dx = cos tdt √ Ta có = 2x − x2 = − sin2 t cos tdt = − sin2 x = cos t cos t ≥ − (x − 1)2 = cos2 tdt √ + cos 2t 1 1 (x − 1) 2x − x2 + arcsin (x − 1) dt = t+ sin 2t+C = sin t cos t+ t+C = +C 2 2 Câu 10 Ta chọn A, B, C cho B C (x + 2)2 A + + = , ∀x = 0, x(x − 1)2 x x − (x − 1)2 =⇒ (x + 2)2 = A(x − 1)2 + Bx(x − 1) + Cx, ∀x =⇒ x2 + 4x + = (A + B)x2 + (−2A − B + C)x + A, ∀x   A+B =1 −2A − B + C = =⇒ A = 4, B = −3, C = =⇒ A, B, C :  A=4 (x + 2)2 dx = x(x − 1)2 (1) dx = ln x − ln(x − 1) − + C (x − 1) x−1 Câu 11 Vì R[− sin x, − cos x] = R[sin x, cos x] nên đặt t = tan x Ta có dt = dx cos2 x dx dx dt −1 = = = +C 2 2 (sin x + cos x) (tan x + 2) cos x (t + 2) t+2 t+1 tan x + −1 +C = +C = +C =1+ t+2 t+2 tan x + Suy dx − x dx + x−1 C số nên chọn C = + C với C số khác ∞ Câu 12 Ký hiệu chuỗi n=1 n3 √ n2 + n7 + chuỗi (2) với = Ta có n un lim = lim n→+∞ n→+∞ chuỗi (1) với un = n3 √ n2 + n7 + n3 √ n2 + n7 + ∞ chuỗi n=1 n n = ∈ (0; +∞) nên theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi (1) chuỗi (2) có tính chất Vì chuỗi (2) phân kỳ nên chuỗi (1) phân kỳ ∞ Câu 13 Chuỗi cho viết lại dạng n=1 ∞ Do chuỗi cho hội tụ ⇔ −q > ⇔ q < −1 n−q Câu 14 Chuỗi cho viết lại dạng n=1 −6 25 n = −6 25 − −6 25 = −6 31 Câu 15 Nếu chuỗi (1) phân kỳ chuỗi (2) phân kỳ Nếu chuỗi (2) hội tụ chuỗi (1) hội tụ Khơng có sở khẳng định hai chuỗi tính chất Nên ba câu A, B, C sai Câu 16 Đặt X = − 1 , suy (−1)n = X n Do chuỗi cho có dạng chuỗi lũy thừa x−2 (x − 2)n +∞ n=1 • Ta có lim n→+∞ √ n 2 en nn en en nn n X với an = = (n + 1)n2 (n + 1)n2 (1 + n1 )n2 enn e = Suy chuỗi có bán kính hội tụ R = = lim n n→+∞ (n + 1) n→+∞ (1 + )n n an = lim +∞ • Xét X = : chuỗi trở thành n=1 +∞ 2 e n nn e n nn với lim = = nên phân kỳ n→+∞ (n + 1)n (n + 1)n2 2 n n e n nn n e n • Xét X = : chuỗi trở thành (−1) với lim (−1) khơng tồn n→+∞ (n + 1)n (n + 1)n2 n=1 n n chẵn −1 n lẻ Do chuỗi phân kỳ • Giải |X| < ⇔ < ⇔ < |x − 2| ⇔ x − < −1 x − > ⇔ x < x > |x − 2| • Miền hội tụ chuỗi D = (−∞; 1) ∪ (3; +∞) 1 Câu 17 Đặt f (x) = arccos x ⇒ f (x) = − √ Chọn x0 = ∆x = 0, 01 Ta có − x2 arccos(0, 51) = f (0, 51) = f (x0 + ∆x) f (x0 ) + f (x0 )∆x 1 arccos − 0, 01 1− √ π − 0, 01 3 1.04 Chúc em thi học kỳ thành công ThS Trần Bảo Ngọc ... f (0, 51) = f (x0 + ∆x) f (x0 ) + f (x0 )∆x 1 arccos − 0, 01 1− √ π − 0, 01 3 1.04 Chúc em thi học kỳ thành công ThS Trần Bảo Ngọc