Đề thi toán cao cấp SPKT HCM 3

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐÁP ÁN TỐN A1 CĐ KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Mã mơn học: 1001111 BỘ MƠN TỐN Ngày thi: 9/1/2015 ĐỀ Câu I (1,5đ) Giải phƣơng trình z   3i  tập hợp số phức  ln 1  x   x ,x   Câu II (1,5đ) Cho hàm số f  x    Tìm a để hàm số f  x  liên tục x2  x  a, x0  x0  Câu III (2đ) Xét hội tụ tích phân suy rộng sau  1) I  x 1 2) J   x 1 dx ;  x3 sin x dx x  x  1 Câu IV (2,5đ)  1) Xét hội tụ chuỗi số 5n  n 1 n !  xn 2) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n 1 n  Câu V (2,5đ) 1) Cho y  y  x  hàm ẩn xác định phƣơng trình  xe xy  Tính y ' 1 biết y 1  2) Tìm cực trị hàm z  x  y  xy  y ĐÁP ÁN Câu Điểm Nội dung I III z   3i   z   3i  z        3i   cos  i sin  3    /  k 2  /  k 2  z   cos  i sin 5  ln 1  x   x lim f  x   lim  x 0 x 0 x 2 lim f  x   lim  x  a   a x 0 f  0  a 3i 0,5   , k  0,1,2,3,4  Mà  0,25 0,25 x  x x 0,5 dx hội tụ nên J hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh x 0,5 sin x x  x  1 an1 5n1 n!  lim n  lim  0, n a n  n  1! n n  n 0,5 an1  nên chuỗi cho hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert n  a n ; Bán kính hội tụ R  , suy khoảng hội tụ chuỗi:  1,1 an  n 3 n  1  Tại x  1 , chuỗi số  hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n 1 n   Tại x  , chuỗi số  hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh so sánh n 1 n  0,5 Do lim 0,5 x0 lim IV 0,5 0,5 lim f  x   lim f  x   f    a   x 0 x 0 0,5 x 1 x  Khi x   , x  x  x5 x9/2  0,5 Mà  9/2 dx hội tụ (    ) nên I hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh x Khi x  0 , 0,5 Miền hội tụ chuỗi lũy thừa:  1,1 0,5 0,5 0,5 Đặt F  x, y    xe xy , ta có: 0,5 F 'x  e xy 1  xy  ; F ' y   x 2e xy V y ' x   F 'x  xy  F 'y x 0,25 y ' 1  1 0,25   z 'x  x  y   z '  y  x    y  x  , suy M  2, 4  điểm dừng z   y  4 0,5 A  z ''xx  , B  z ''xy  , C  z '' yy  ;   AC  B2  0,25    nên z đạt cực tiểu M A   Tại M  2, 4  ,  0,25 0,5 ...ĐÁP ÁN Câu Điểm Nội dung I III z   3i   z   3i  z        3i   cos  i sin  3    /  k 2  /  k 2  z   cos  i sin 5  ln 1  x  ... f  x   lim  x 0 x 0 x 2 lim f  x   lim  x  a   a x 0 f  0  a 3i 0,5   , k  0,1,2 ,3, 4  Mà  0,25 0,25 x  x x 0,5 dx hội tụ nên J hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh x... tiêu chuẩn D’Alambert n  a n ; Bán kính hội tụ R  , suy khoảng hội tụ chuỗi:  1,1 an  n 3 n  1  Tại x  1 , chuỗi số  hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n 1 n   Tại x  , chuỗi