Đề thi và đáp án GT1 k57 XD

Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Đề số K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi 2n Câu (1,5 điểm) Cho dãy số un + n=1 đ-ợc xác định un = k=1 Câu (1,5 điểm) Tìm giới hạn lim x0 − cos x x (−1)k−1 Chøng minh d·y un 2k + n=1 hội tụ Câu (2,0 điểm) Cho hµm f : R → R, f (x) = |x| ax2 + b nÕu|x| nÕu|x| a Tìm số thực a, b để f liên tục R Dựng đồ thị f (x) với a = 1, b = vừa tìm đ-ợc b Khi f liên tục R f (x) có khả vi x = không? Câu (2,0 điểm) Cho f (x) = x sin 3x a Tìm công thức tính đạo hàm cấp n f (x) b Viết khai triển Mac-Laurin hàm f (x) đến x7 + Câu (1,5 điểm) Tính tích phân suy rộng arctan x1 dx x3 Câu (1,5 điểm) Tính thể tích phần không gian nằm mặt phẳng xOy giới hạn mặt trụ x2 + y = 9, mặt phẳng z = mặt phẳng () chứa trục Oy đồng thời () tạo với mặt phẳng xOy góc 30o Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Đề số K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi 2n Câu (1,5 điểm) Cho dãy số un + n=1 đ-ợc xác định un = k=1 Câu (1,5 điểm) Tìm giới hạn lim x→0 1 − x2 x sin x (−1)k−1 Chøng minh d·y un 2k − +∞ n=1 hội tụ Câu (2,0 điểm) Cho hàm f : R → R, f (x) = |x| ax2 + b nếu|x| nếu|x| a Tìm số thực a, b để f liên tục R Dựng ®å thÞ cđa f (x) víi a = 0, b = b Khi f liên tục R f (x) có khả vi x = không? vừa tìm đ-ợc Câu (2,0 điểm) Cho f (x) = x sin 3x a Tìm công thức tính đạo hàm cấp n f (x) b Viết khai triển Mac-Laurin hàm f (x) đến x6 + ln(x2 + 3) dx x4 Câu (1,5 điểm) Tính thể tích phần không gian nằm mặt phẳng xOy giới hạn mặt trụ x2 + y = 4, mặt phẳng z = mặt phẳng () chứa trục Oy đồng thời () tạo với mặt phẳng xOy góc 60o Câu (1,5 điểm) Tính tích phân suy rộng Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Câu (2,0 điểm) Cho dãy số un +∞ n=1 a Chøng minh d·y un +∞ n=1 biÕt u1 = 1, un+1 = √ §Ị sè K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi + un héi tơ b TÝnh giíi h¹n lim un n 1+x Câu (2,0 điểm) Viết khai triển Mac-Laurin hàm f (x) = đến x5, tõ ®ã suy f (5)(0) cos x x − tan x x→0 x ln (1 − 2x2 ) Câu (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim Câu (2,0 điểm) + a Xét hội tụ phân kỳ cđa tÝch ph©n suy réng +∞ b TÝnh tÝch ph©n x2 + sin x √ dx x6 + ln(1 + x) dx x2 Câu (2,0 điểm) Tính thể tích phần không gian hữu hạn đ-ợc giới hạn mặt z = x2 + Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Câu Cho dãy số un +∞ , n=1 a Chøng minh d·y un biÕt u1 = 1, un+1 = +∞ n=1 √ y2 vµ z = Đề số K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi 24 + un héi tơ b TÝnh giíi h¹n lim un n→∞ Câu (2,0 điểm) Viết khai triển Mac-Laurin hàm f (x) = Câu (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim ln(1 + x) đến x5, từ suy f (5)(0) cos x x − sin x 3x) x0 x2 ln (1 Câu (2,0 điểm) +∞ a XÐt sù héi tơ ph©n kú cđa tÝch ph©n suy réng 2x2 + x sin x2 √ dx x3 + 1 b TÝnh tÝch ph©n (ln(1 + x) ln x)dx Câu (2,0 điểm) Tính thể tích phần không gian hữu hạn đ-ợc giới hạn mặt z = x2 + y z = Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Câu (2,0 điểm) Cho dãy số un = xn sin Đề số K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi x dx, n = 1, 2, a) Chứng minh dãy un đơn điệu giảm, bị chặn d-ới b) Chứng minh un = 4n π [1 − (n − 1)un−2 ], ∀n ≥ 3, tõ ®ã chøng minh lim un = n+ Câu (2,0 điểm) Viết khai triển Taylor ®iĨm x = ®Õn cÊp 10 cđa hµm sè f (x) = Tõ ®ã h·y (1 + x)(3 x) tính đạo hàm f (10)(2) Câu (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim x0 + tan x − x3 √ + sin x Câu (2,0 điểm) Tính diện tích miền phẳng D = (x, y) : x2 + y ≤ 10, y ≤ 9x +∞ C©u (2,0 ®iĨm) TÝnh tÝch ph©n (x − 3) dx (3x + 1)(x2 + 1) Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Câu (2,0 điểm) Cho dãy số un = xn cos Đề số K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi x dx, n = 1, 2, a) Chứng minh dãy un đơn điệu giảm, bị chặn d-ới b) Chứng minh un = π − π n(n − 1)un−2 , ∀n ≥ 3, tõ ®ã chøng minh lim un = n Câu (2,0 điểm) Viết khai triển Taylor điểm x = đến cấp 10 hàm số f (x) = tính đạo hàm f (10)(1) Câu (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim x0 − tan x − x3 √ − sin x Câu (2,0 điểm) Tính diện tích miền ph¼ng D = (x, y) : x2 + y ≤ 5, x2 ≤ 4y +∞ C©u (2,0 ®iĨm) TÝnh tÝch ph©n (x − 2) dx (2x + 1)(x2 + 1) Tõ ®ã h·y (1 + x)(2 x) Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Đề số K57 Không sử dụng tài liệu phßng thi √ ex − − x + x Câu (2,0 điểm) Tính giới hạn lim x0 ln (1 + x2) Câu (2,0 điểm) Viết công thức khai triển Mac-Laurin hàm số y = Câu (1,0 điểm) Tìm cực trị hàm số f (x) = Câu (2,0 điểm) Tìm nguyên hàm x2 tới x4 Tõ ®ã h·y tÝnh y (4)(0) − x + x2 (x2 − 2x + 5)2 x dx −1−x Câu (2,0 điểm) dx a Chứng minh tích ph©n suy réng −∞ (x2 + x + 1)2 héi tơ +∞ dx b TÝnh tÝch ph©n suy réng −∞ (x2 + x + 1)2 Câu (1,0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị đ-ờng cong r = (1 + cos ϕ) täa ®é cùc Tr-êng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Đề số K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi ex + 2x2 + x3 Câu (2,0 điểm) TÝnh giíi h¹n lim x→0 ln (1 + x3 ) Câu (2,0 điểm) Viết công thức khai triển Mac-Laurin cđa hµm sè y = sin x + x2 tíi x5 Tõ ®ã h·y tÝnh y (5)(0) Câu (1,0 điểm) Tìm cực trị hàm số f (x) = Câu (2,0 điểm) Tìm nguyên hàm (x2 − 4x + 8)2 x−1 (x − 1) (3 x)dx Câu (2,0 điểm) dx héi tơ 1−x a Chøng minh tÝch ph©n suy réng lo¹i hai dx √ (2 − x) − x b TÝnh tÝch ph©n C©u (1,0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị đ-ờng cong r = 2cos2 ϕ täa ®é cùc Tr-êng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Đề số K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi x2 ln cos x cos x→0 x − sin x x Câu (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim Câu (1,5 điểm) Viết công thức Mac-laurin f (x) = cos x ln(1 + x) ®Õn x5, tõ ®ã suy f (5)(0) n n2 Câu (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim 2n2 + + 2n2 + + · · · + 2n2 + n + Câu (1,0 điểm) Giả sử tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ tuyệt đối f (x) hàm liên tục [1, +) + Xét hội tụ, phân kỳ tích phân sau: (f (x) + 1 ) dx, x +∞ f (x) arctan xdx Câu (2,0 điểm) a Hỏi tích phân sau hội tụ hay phân kì b TÝnh tÝch ph©n suy réng + x2 √ dx − x2 1+x √ dx 1x Câu (1,5 điểm) Tính thể tích miền hữu hạn không gian đ-ợc giới hạn mỈt 2z = x2 + x2 + y2 − z = Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán y2 Đề số 10 K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi x2 ln cos x sin x→0 (tan x − x) x C©u (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim Câu (1,5 ®iĨm) ViÕt c«ng thøc Mac-laurin cđa f (x) = sin x ln(1 + x) ®Õn x5 , tõ ®ã suy f (5)(0) Câu (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim n→∞ n2 3n2 + + 3n2 + + · · · + 3n2 + n + Câu (1,0 điểm) Giả sử tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ tuyệt đối f (x) hàm liên tục [1, +) + Xét hội tụ, phân kỳ tích phân sau: (f (x) − 1 ) dx, x +∞ f (x) ln(1 + x)dx Câu (2,0 điểm) a Hái tÝch ph©n sau héi tơ hay ph©n kì b Tính tích phân suy rộng − 2x2 √ dx − x3 2+x √ dx 2x Câu (1,5 điểm) Tính thể tích miền hữu hạn không gian đ-ợc giới hạn mặt 2z = x2 + y z = x2 + y vµ Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Câu (2,0 ®iÓm) Cho d·y sè un a Chøng minh r»ng un+1 = + n=1 u2n + đ-ợc xác định u1 un , n Đề số 11 K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi 1, un+1 = u1 + u2 + + un Tõ ®ã, chứng minh dãy un + n=1 phân kì b TÝnh giíi h¹n lim (un+1 − un ) n→∞ 2x2 + cos2 x − sin x1 C©u (2,0 điểm) Tính giới hạn lim x+ + x2 + x4 + arctan x sin(2x2) C©u (2,0 ®iĨm) ViÕt khai triĨn cđa Mac-Laurin cđa hµm f (x) = ®Õn x5, tõ ®ã suy f (5)(0) x x  tf (t)dt   0 √ víi x > x Câu (2,0 điểm) Cho f (x) = + x3 , đặt F (x) = f (t)dt     víi x = Chứng minh hàm F (x) liên tục phải x = tìm giá trị nhỏ F (x) [0, +) Câu (2,0 điểm) + a TÝnh tÝch ph©n suy réng arctan x dx + x2 +∞ b XÐt sù héi tơ ph©n kỳ tích phân Tr-ờng ĐHXD arctan x dx x Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Câu (2,0 điểm) Cho d·y sè un a Chøng minh r»ng un+1 = +∞ n=1 u3n + đ-ợc xác định u1 un , n Đề số 12 K57 Không sử dụng tài liệu phßng thi 1, un+1 = √ u1 + u2 + + un Tõ ®ã, h·y chứng minh dãy un + n=1 phân kì b Tính giới hạn lim (un+1 un ) n Câu (2,0 điểm) Tính giới hạn lim x+ + x + x2 + sin2 x − cos x1 √ x + 3x3 − arctan2 x ln (1 + 2x2) Câu (2,0 điểm) Viết khai triển Mac-Laurin hàm f (x) = đến x5 , từ suy f (5) (0) x x    tf (t)dt  √ víi x > x Câu (2,0 điểm) Cho f (x) = + x5 , đặt F (x) = f (t)dt    víi x = Chøng minh hàm F (x) liên tục phải x = tìm giá trị nhỏ F (x) [0, +) Câu (2,0 điểm) + arctan x dx + x2 1 arctan x b XÐt sù héi tơ ph©n kú cđa tÝch ph©n dx xα a Tính tích phân suy rộng Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (1,5 điểm): un = Do ®ã héi tơ (1 − 12 ) + ( 13 − 14 ) + + ( 4n−1 − 4n ) < 12 Suy un dãy tăng bị chặn Câu (1,5 điểm): I = 16 Câu (2 điểm): a f liên tục a + b = b a = − 12 f khả vi x = Còn a = 12 thi f không khả vi đạo hàm hai phía khác Câu (2 điểm): n1 sin(3x + a Theo c«ng thøc Leibnitz f n (x) = Σnk=0 Cnk (x2)(k) sin(n−k) 3x = x2 3n sin(3x + nπ ) + 2xn3 (n−1)π ) + n(n−1) sin(3x + (n−2)π ) 2 b f (x) = x2 3x − (3x)3 3! C©u (1,5 điểm): Đặt t = + (3x)5 5! + 0(x5) = 3x3 − 92 x5 + 35 120 x + 0(x7) 1 x tích phân phần: I = t arctan tdt = π4 − 12 Câu (1,5 điểm): Mặt phẳng () : x − 3z = hc (α) : x + 3z = Cắt vật thể mp vuông gãc víi trơc √ (9 − y ) Suy thĨ tÝch lµ: V = S(y)dy = Oy, thiÕt diÖn S(y) = 2√ −3 Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (1,5 điểm): un = (1 13 ) + ( 15 − 17 ) + + ( 4n−1 − ®ã héi tơ 4n+1 ) < Suy un dãy tăng bị chặn Do Câu (1,5 điểm): I = 16 Câu (2 điểm): a f liên tục chØ 4a + b = 12 1 f khả vi x = Còn a = 16 thi f không khả vi đạo hàm hai phía khác b a = 16 Câu (2 điểm): n1 cos(3x + a Theo công thức Leibnitz f n (x) = Σnk=0 Cnk (x2)(k) cos(n−k) 3x = x2 3n cos(3x + nπ ) + 2xn3 (n−1)π n(n−1) (n−2)π ) + 2 cos(3x + ) b f (x) = x2 − (3x)2 2! + (3x)4 4! + 0(x4) = x2 − 92 x4 + 81 24 x + 0(x6) π Câu (1,5 điểm): Tích phân phần I = ln34 + 13 − 9√ √ √ C©u 1,5 điểm): Mặt phẳng () : 3y z = hc (β) : 3y + z = Cắt vật thể mp vuông góc với trục Ox, √ 16 S(x)dx = thiÕt diÖn S(x) = 23 (4 − x2) Suy thÓ tÝch là: V = Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2 điểm): a Bằng quy nạp chứng minh dãy tăng bị chặn Do hội tụ b Giới hạn L = √ x2 x4 x2 5x4 C©u (2 ®iĨm): Ta cã cos x = − + + o(x5 ) nên = 1+ + + o(x5) + x = 24 √ cos x 24 x + x x2 x3 5x4 7x5 x 3x 5x 41x4 125x5 1+ − + − + + o(x5 ) Do ®ã = 1+ + + + + + o(x5) 16 128 256 cos x 16 384 768 125 625 = VËy f (5)(0) = 5! 768 32 C©u (2 điểm): Dùng t-ơng đ-ơng khai triển Mac-Laurin quy tắc Lopital: I = 16 Câu (2 điểm): a Tích phân hội tụ b Tích phân phần: I = ln y2 y2 C©u (2 ®iĨm): MiỊn cÇn tÝnh bao gåm nưa elipxoid x2 + với z nằm + z 2z = vµ z = x2 + 4 4 Do ®ã, thĨ tÝch miỊn cần tính + 2zdz = + = 3 Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2 điểm): a Bằng quy nạp chứng minh dãy tăng bị chặn Do hội tụ b Giới hạn L = x2 x4 x2 5x4 C©u (2 ®iĨm): Ta cã cos x = − + + o(x5) nên = 1+ + + o(x5) ln(1 + x) = 24 cos x 24 x x3 x4 x5 ln(1 + x) 23 x2 5x3 x4 23x5 x− VËy f (5) (0) = 5! = 69 + − + + o(x5) Do ®ã =x− + − + cos x 40 40 Câu (2 điểm): Dùng t-ơng đ-ơng khai triển Mac-Laurin quy tắc Lopital: I = 18 Câu (2 điểm): a Tích phân kì b Đặt t = x1 , đ-a tích phân đề trên: I = ln x2 x2 Câu (2 điểm): Miền cần tính bao gồm nöa elipxoid + y + z − 2z = vµ z = + y víi z nằm 9 Do đó, thể tích miền cần tính + π3zdz = 2π + π = π 2 Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2 điểm) n+1 sin x 0, x [0, 1] nên u u a) Vì xn sin πx n n+1 ≥ 0, ∀n ≥ x b) Lấy tích phân phần −2 un = π πx πx −2 n x d cos = (x cos π n 1 4n = π nxn−1 cos − πx dx) x n−1 πx πx 4n d sin = (xn−1 sin π (n − 1)xn−2 sin − 0 πx dx) = 4n (1 − (n − 1) π2 xn−2 sin πx 4n dx) = [1 − (n − 1)un−2 ] π ViÕt un−2 = 4nun Câu (2 điểm) Ta có f (x) = n−1 sau ®ã cho n −→ ∞ ta đ-ợc limn un = 1 1 = + = + (1 + x)(3 − x) 4(3 − x) 4(1 + x) 4(1 − (x − 2)) 12(1 + Do ®ã f (x) = n (x − 2)k + k=0 VËy n f (x) = k=0 √ √ + tan x − x→0 x3 Câu (2 điểm) Diện tích cần tính Câu (2 ®iĨm) lim 12 n (−1)k ( k=0 x−2 ) x−2 k ) + o((x − 2)n ) (−1)k ( + )(x − 2)k + o((x − 2)n ) 12.3k + sin x tan x − sin x √ √ = + tan x + + sin x) = lim x→0 x3 ( S=2 ( 10 − y2 y2 − )dy = −2 + 10 − y dy Suy 3 10 − y dy = 2(y S+2=2 10 − y y d 10 − y ) − 0 =6+2 y2 10 − y2 dy dy = + 20 10 − y − (S + 2) VËy dy S = + 10 y = + 10 arcsin √ 10 10 − y 3 = + 10 arcsin √ 10 SV tính S cách đổi biến arcsin √3 S = −2 + 10 10 − y dy 10 cos2 t dt = + 10 arcsin √ 10 = −2 + Câu (2 điểm) + + (x − 3) dx = (3x + 1)(x2 + 1) ( x2 x − )dx = ln + 3x + Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2 ®iĨm) n+1 cos πx ≥ 0, ∀x ∈ [0, 1] nên u u a) Vì xn cos πx n n+1 ≥ 0, ∀n ≥ b) ≥x 2 un = π πx πx x d sin = (xn sin π n nxn−1 sin − πx dx) 2 2n = (1 + π π x πx πx 4n d cos ) = + (xn−1 cos π π n−1 (n − 1)xn−2 cos − 0 πx dx) = 4n(n − 1) − π π2 xn−2 cos πx π 4n(n − 1) un−2 dx = − 2 π2 π ViÕt un−2 = ( π2 − un ) 4n(n−1) sau ®ã cho n ta đ-ợc lim un = n Câu (2 ®iĨm) Ta cã f (x) = 1 1 = + = − x−1 (1 + x)(2 − x) 3(1 + x) 3(2 − x) 6(1 + ) 3(1 − (x − 1)) Do ®ã f (x) = n (−1)k ( k=0 VËy n f (x) = ( k=0 x−1 k ) − n (x − 1)k + o((x − 1)n ) k=0 (−1)k − )(x − 1)k + o((x − 1)n ) 6.2k √ √ − tan x − − sin x − tan x + sin x Câu (2 điểm) lim = lim √ =− x→0 x→0 x ( − tan x + − sin x) x Câu (2 điểm) Diện tích cần tÝnh S=2 x2 ( − x2 − )dx = − + − x2dx Suy 2 S+ =2 5− x2 dx = 2(x − x2 x d − x2 ) − 0 √ =4+2 x2 dx = + 10 − x2 √ dx − (S + ) − x2 VËy 2 S = +5 dx x √ = + arcsin √ 5−x = 2 + arcsin √ SV tính S cách đổi biến arcsin 2 S =− +2 5 − x2 dx = − + cos2 t dt = 2 + arcsin √ Câu (2 điểm) + + (x − 2) dx = (2x + 1)(x2 + 1) ( x2 x − )dx = ln + 2x + Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2 điểm) Giới hạn 32 Câu (2 ®iĨm) Khai triĨn y = 1−x+x2 = + x − x3 − x4 + o(x4) Tõ ®ã suy y (4)(0) = −4! = −24 x2 + 2x 15 HS đạt cực đại x = cực tiểu x = 3x2 x2 − 2x + dx x √ = − ln x2 − − x + +C √ 2 x −1−x x2 − x Câu (1 điểm) Đạo hàm f (x) = Câu (2 điểm) Câu (2 điểm) + −∞ dx (x2 +x+1)2 = 4π √ 3 Câu (1 điểm) Khảo sát vẽ Đáp án thang điểm đề số Giải tích Câu (2 điểm) Giới hạn 59 Câu (2 ®iĨm) Khai triĨn y = sin x + x2 = x + x2 − 16 x3 − 12 x4 − 120 x + o(x5 ) Tõ ®ã suy y (5)(0) = −59 x2 − 16 √ C©u (1 điểm) Đạo hàm f (x) = HS đạt cực đại x = cực tiểu x = 3(x − 1)2 x2 − 4x + Câu (2 điểm) Đặt x1 = 2sin2 t ®ã (x − 1) (3 − x)dx = 14 (2x − 4) −x2 + 4x − 3+ 12 arcsin (x 2)+C Câu (2 điểm) dx √ (2−x) 1−x = π2 C©u (1 điểm) Khảo sát vẽ Đáp án thang ®iĨm ®Ị sè Gi¶i tÝch x2 ln cos x − sin x x3 ln cos x x → Do ®ã, lim = lim = lim = MỈt x→0 x − sin x x→0 x→0 cos x x x2 ln cos x cos = khác, | cos x1 | Nên lim x→0 x − sin x x x2 x2 x4 x3 x4 x5 Câu (1,5 điểm): Ta có cos x = − + + o(x5) vµ ln(1 + x) = x − + − + + o(x5 ) Nªn 24 x2 x3 3x5 cos x ln(1 + x) = x − − + + o(x5 ) VËy f (5) (0) = 5! = 40 40 Câu (2 điểm): áp dụng tổng tích phân hàm f (x) = x2 + đoạn [0, 1], sử dụng phép chia i điểm chọn i = xi = , i = 1, n n 1 x 2n2 + + 2n2 + + · · · + 2n2 + n2 = x2 + = x2 + + ln |x + x2 + 2| = VËy lim n→∞ n √ √ 1+ 3 + ln √ 2 + 1 Câu 4(1 điểm): Ta có (f (x) + )2 = f (x) + f (x) + Do f (x)dx héi tô tuyệt đối nên lim f (x) = x+ x x x +∞ +∞ +∞ 1 f (x)dx hội tụ Hơn dx hội tụ Vậy f (x)dx héi tơ theo tiªu chn Abel, Suy x x 1 +∞ (f (x) + )2dx hội tụ x Câu (2 điểm): Ta cã x − sin x ∼ +∞ +∞ f (x) arctan xdx hội tụ theo tiêu chuẩn Abel f (x)dx hội tụ arctan x đơn điệu bị chặn Câu (2 điểm): dx phân kì a Tích phân phân kì t = x2 = x + x mà tích phân 1x b Đặt t = x, ta có I = 103 Câu (1,5 điểm): Phần không gian hữu hạn nằm z = z = Diện tích mặt cắt cắt vËt thĨ bëi mỈt 8π 2π(1 − z 2)dz = phẳng vuông góc với Oz 2(1 z ) Vậy thể tich phần không gian cần tính Đáp án thang điểm đề số 10 Giải tích Câu (2 điểm): Ta có tan x − x ∼ x2 ln cos x cos = x→0 x − sin x x x2 ln cos x x3 x → T-¬ng tù đề 1, lim = Mặt khác, | sin x1 | ≤ VËy x→0 tan x − x lim x3 x2 x5 x3 x4 x5 + + o(x5 ) vµ ln(1 + x) = x − + − + + o(x5) Nªn 120 x3 x x sin x ln(1 + x) = x2 − + − + o(x5) VËy f (5) (0) = −5! = −20 6 Câu (2 điểm): áp dụng tổng tích phân hàm f (x) = x2 + đoạn [0, 1], sử dụng phép chia i ®iÓm chän ξi = xi = , i = 1, n n 1 3n2 + + 3n2 + + · · · + 3n2 + n2 = x2 + = + ln VËy lim n n Câu (1 điểm): T-ơng tự đề 1, hai tích phân hội tụ Câu (1,5 điểm): Ta có sin x = x − √ √ √ √ C©u (2 điểm): a Tích phân phân kì t = − x3 = − x + x + x2 mà tích phân dx phân kì 1x b Đặt t = x, ta có I = 53 Câu (1,5 điểm): Phần không gian hữu hạn nằm z = z = Diện tích mặt cắt cắt vật thể mặt phẳng vuông góc với Oz 3(1 z ) Vậy thể tich phần không gian cần tÝnh 3π(1 − z )dz = 4π Đáp án thang điểm đề số 11 Giải tích Câu (2 điểm): a Để chứng minh r»ng un+1 = u2n + un , ∀n ta cần bình ph-ơng Giả sử lim n un = a Suy a = Trái với giả thiết a b Ta có đãy đơn điệu tăng không bị chặn nên lim (un = Do đó, giới hạn lim (un+1 un ) = n→∞ n→∞ lim ( u2n + un − un ) = 12 n→∞ 2x2 + cos2 x − sin x1 2x2 Câu (2 điểm): Ta có x → +∞ nªn lim √ = = lim √ x→+∞ + x2 + x4 + arctan x x→+∞ + x2 + x4 sin 2x2 −4 C©u (2 ®iĨm): Ta cã = 2x − x5 + 0(x5) VËy f (5) (0) = 5! x 3 Câu (2 điểm): áp dụng đạo hàm theo cËn trªn suy F (x) ≥ víi mäi x Do F (x) hàm đồng biÕn VËy F (x) ≥ F (0) = hay giá trị nhỏ F (x) Câu (2 ®iĨm): a I = π8 +∞ arctan x b Tích phân dx hội tụ > arctan x hàm bị chặn x Đáp án thang điểm đề số 12 Giải tích Câu (2 điểm): a Để chøng minh r»ng un+1 = u3n + un , n ta cần lập ph-ơng Giả sử lim n → ∞un = a Suy a = Trái với giả thiết a b Ta có đãy đơn điệu tăng không bị chặn nên lim (un = Do đó, giới hạn lim (un+1 − un ) = n→∞ lim ( u3n + un − un ) = n→∞ √ n→∞ √ + x + x2 + sin2 x − cos x1 + x + x2 √ √ C©u (2 điểm): Ta có x + nên lim = √ = lim 3 3 x→+∞ x→+∞ x + 3x − arctan x x + 3x ln + 2x2 8 C©u (2 ®iĨm): Ta cã = 2x − 2x3 + x5 + o(x5) VËy f (5)(0) = 5! x 3 Câu (2 điểm): áp dụng đạo hàm theo cËn trªn suy F (x) ≥ víi x Do F (x) hàm ®ång biÕn VËy F (x) ≥ F (0) = hay giá trị nhỏ F (x) Câu (2 điểm): a I = 32 arctan x b TÝch ph©n dx héi tơ < arctan x hàm bị chặn x ...Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Câu (2,0 điểm) Cho d·y sè un +∞ n=1 a Chøng minh d·y un +∞ n=1 biÕt u1 = 1, un+1 = √ Đề số K57 Không sử dụng tài... mặt z = x2 + Tr-ờng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Câu Cho d·y sè un +∞ , n=1 a Chøng minh d·y un biÕt u1 = 1, un+1 = +∞ n=1 y2 z = Đề số K57 Không sử dụng tài liệu... đ-ợc giới hạn mặt z = x2 + y vµ z = Tr-êng ĐHXD Đề thi môn Giải tích Thời gian làm 90 phút Bộ Môn Toán Câu (2,0 điểm) Cho d·y sè un = xn sin §Ị sè K57 Không sử dụng tài liệu phòng thi πx dx, n