Đề thi và đáp án GT1 k60 XD

Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0điểm) Cho dãy số thực xn = Câu (3,0điểm) n + arctan n , n ∈ N∗ Tìm lim xn n→∞ n − arctan n xex − sin x 1) Tính giới hạn lim x→0 x sin(x2 ) 2) Viết khai triển Maclaurin với phần dư Peano hàm số f(x) = x sin(x2 ) đến x7 t2   x(t) = (t − 1)(t − 2) Câu (2,0điểm) Tìm đường tiệm cận đường cong  t  y(t) = t −1 +∞ xdx x3 − Câu (2,0điểm) Tính tích phân suy rộng Câu (1,0điểm) Tính độ dài đường cong có phương trình tham số y(t) = sin3 t với x(t) = cos3 t, ≤ t ≤ 2π Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0điểm) Cho dãy số thực xn = Câu (3,0điểm) n − arccot n , n ∈ N∗ Tìm lim xn n→∞ n + arccot n xex − tan x x→0 x(cos x − 1) 2) Viết khai triển Maclaurin với phần dư Peano hàm số f(x) = x(cos x − 1) đến x7 t   x(t) = (t + 1)(t + 2) Câu (2,0điểm) Tìm đường tiệm cận đường cong  t2  y(t) = t2 − 1) Tính giới hạn lim +∞ xdx x3 + Câu (2,0điểm) Tính tích phân suy rộng Câu (1,0điểm) Tính độ dài đường cong có phương trình tham số x(t) = t − sin t, y(t) = − cos t với ≤ t ≤ 2π Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu √ √ Câu (2,0điểm) Tính lim (sin( n + 1) − sin( n)) n→∞ Câu (2,0điểm) Tính lim x→0 arcsin x − sin(2x) x3 Câu (3,0điểm) 1) Viết khai triển Maclaurin với phần dư Peano hàm số f (x) = ln(1 + x) đến x4    ln(1 + x) − ax − bx với x ∈ (−1, +∞) \ {0} x2 2) Cho hàm số f (x) =  0 với x = Tìm a, b để f (x) khả vi x = +∞ arctan xdx (1 + x)2 Câu (2,0điểm) Khảo sát hội tụ tính tích phân suy rộng Câu (1,0điểm) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay miền D = {(x; y)|1 ≤ x ≤ e, ≤ y ≤ ln x} quanh trục Oy Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu √ √ Câu (2,0điểm) Tính lim (cos( n + 1) − cos( n)) n→+∞ arctan x − tan(2x) x→0 x3 Câu (2,0điểm) Tính lim Câu (3,0điểm) √ 1) Viết khai triển Maclaurin hàm số f (x) = + x đến x3  √ với phần dư Peano   + x − − ax − bx với x ∈ (−1, +∞) \ {0} x2 2) Cho hàm số f (x) =  0 với x = Tìm a, b để f (x) khả vi x = +∞ arccot xdx (1 + x)2 Câu (2,0điểm) Khảo sát hội tụ tính tích phân suy rộng Câu (1,0điểm) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh quay miền D = {(x; y)|0 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ ex − 1} quanh trục Oy Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Khơng sử dụng tài liệu Câu (2,0điểm) √ 1) Cho dãy số xn = n 2016n + 1, n ∈ N∗ Tìm lim xn n→∞ ex cos x − − x 2) Tính lim x→0 x2 e x Câu (2,0điểm) Tìm a ∈ R cho hàm số f (x) = |x − 2016| sin(ax) khả vi x = 2016 Câu (2,0điểm) Cho hàm số f (x) = ln(2x − x2 ) 1) Viết công thức khai triển Taylor đến cấp hàm số f (x) x = 2) Tính f (6) (1) Câu (2,0điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − 2x2 Câu (2,0điểm) Tính tích phân: 1) I = +∞ dx (x + 1) (x − 2) 2) J = arcsin xdx; Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0điểm) √ 1) Cho dãy số xn = n 2016n − 1, n ∈ N∗ Tìm lim xn n→∞ ex − − x cos x 2) Tính lim x→0 x2 cos x Câu (2,0điểm) Tìm a ∈ R cho hàm số f (x) = |x − 2016| cos(ax) khả vi x = 2016 Câu (2,0điểm) Cho hàm số f (x) = e2x−x 1) Viết công thức khai triển Taylor đến cấp hàm số f (x) x = 2) Tính f (6) (1) Câu (2,0điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x + Câu (2,0điểm) Tính tích phân: 1) I = +∞ arccos xdx; dx (x − 1) (x + 2) 2) J = 2x2 Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Khơng sử dụng tài liệu Câu (3,0điểm) √ n 2n + + sin n, n ∈ N∗ Tìm lim xn n→∞ sin x + ex − − 2x 2) Tính giới hạn lim x→0 x ln(1 + 2x) Câu (2,0điểm) Cho hàm số f (x) = |x| sin x 1) Cho dãy số xn = 1) Chứng minh hàm số khả vi với x thuộc R 2) Hàm số f có khả vi cấp điểm x = hay không? Hãy giải thích Câu (2,0điểm) Tính đạo hàm cấp 10 điểm f (x) = (1 + x2 ) cos(x4 ) +∞ dx Câu (2,0điểm) Chứng minh tích phân suy rộng Ik = hội tụ với (1 + x )(1 + xk ) tham số k ∈ R Tính tích phân với giá trị k = f (x)dx = −2 Chứng minh Câu (1,0điểm) Cho hàm số f liên tục [0; 2] thỏa mãn tồn c ∈ [0, 2] cho f (c) = −1 Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (3,0điểm) √ n 3n + + cos n, n ∈ N∗ Tìm lim xn n→∞ cos x + ex − − x 2) Tính giới hạn lim x→0 x ln(1 + 2x2 ) Câu (2,0điểm) Cho hàm số f (x) = |x|(ex − 1) 1) Cho dãy số xn = 1) Chứng minh hàm số khả vi với x thuộc R 2) Hàm số f có khả vi cấp điểm x = hay khơng? Hãy giải thích Câu (2,0điểm) Tính đạo hàm cấp 10 điểm f (x) = (1 + x) sin(x3 ) +∞ dx Câu (2,0điểm) Chứng minh tích phân suy rộng Ik = hội tụ với k (1 + x )(1 + x) tham số k > Tính tích phân với giá trị k = 2 Câu (1,0điểm) Cho hàm số f liên tục [0; 2] thỏa mãn f (x)dx = Chứng minh tồn c ∈ [0, 2] cho f (c) = ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2đ) Biến đổi xn = 1+ 1− arctan n n arctan n n 0,5đ arctan n = 1,0đ n Giới hạn 0,5đ chứng minh lim 2 xex − sin x xex − sin x Câu (3đ) 1) Sử dụng VCB tương đương lim = lim x→0 x→0 x sin x2 x3 x(1 + x2 + o(x2 )) − (x − x6 + o(x3 )) Dùng khai triển Maclaurin = lim x→0 x3 7/6x3 + o(x3 ) = lim x→0 x3 = 76 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2) Ta có sin(x2 ) = x2 − x6 /3! + o(x6 ) 0,5đ Suy f (x) = x3 − x7 /3! + o(x7 ) 0,5đ Câu (2đ) Khi t → 2, lim x(t) = ±∞, lim y(t) = 2/3 ⇒ TCN y = 2/3 0,5đ Khi t → −1, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = 1/6 ⇒ TCĐ x = 1/6 0,5đ Khi t → 1, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = ±∞, lim y(t)/x(t) = −1/2 0,5đ lim[y(t) + 1/2x(t)] = −5/4 ⇒ TCX y = −x/2 − 5/4 0,5đ x 1 −x + = ( + ) 0,5đ x3 − x − x2 + x + xdx (x − 1) 2x + √ √ = ln + arctan 0,5đ x3 − x2 + x + 3 Câu (2đ) ⇒ +∞ π 1 xdx = √ − ln − √ arctan √ 1,0đ x −1 3 Do Câu (1đ) Độ dài cần tìm lần độ dài phần nằm góc phần tư (I) Suy l=4 =6 π/2 x (t)2 π/2 sin 2tdt + y (t)2 dt 0,5đ Tính độ dài 0,5đ Chú ý: Lời giải khác đáp án điểm tối đa ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2đ) Biến đổi xn = 1− 1+ arccot n n arccot n n 0,5đ arccot n = 1,0đ n Giới hạn 0,5đ chứng minh lim 2 xex − tan x xex − tan x Câu (3đ) 1) Sử dụng VCB tương đương lim = lim 0,5đ x→0 x(cos x − 1) x→0 −x3 /2 x3 x(1 + x2 + o(x2 )) − (x + + o(x3 )) Dùng khai triển Maclaurin = lim 0,5đ −x3 x→0 3 2/3x + o(x ) = lim 0,5đ x→0 −x3 /2 = − 0,5đ 2) Ta có cos x − = x2 /2! − x4 /4! + x6 /6! + o(x6 ) 0,5đ Suy f (x) = x3 /2! − x5 /4! + x7 /6! + o(x7 ) 0,5đ Câu (2đ) Khi t → −1, lim x(t) = ±∞, lim y(t) = −1/3 ⇒ TCN y = −1/3 0,5đ Khi t → 2, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = 1/6 ⇒ TCĐ x = 1/6 0,5đ Khi t → −2, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = ±∞, lim y(t)/x(t) = −1/2 0,5đ lim[y(t) + 1/2x(t)] = 5/4 ⇒ TCX y = −x/2 + 5/4 0,5đ x −1 x+1 = ( − ) 0,5đ +1 x+1 x −x+1 (x + 1)2 xdx 2x − = − ln + √ arctan √ 0,5đ x +1 x −x+1 3 Câu (2đ) ⇒ x3 +∞ xdx π 1 = √ − ln 1,0đ x +1 3 Do Câu (2đ) Độ dài cần tìm l = Suy l = = 2π 2π 2π x (t)2 + y (t)2 dt 2(1 − cos t)dt 0,5đ sin(t/2)dt Tính độ dài 0,5đ ‘ Chú ý: Lời giải khác đáp án điểm tối đa ĐÁP ÁN ĐỀ Câu √ √ • un = sin( n + 1) − sin( n) = cos • |un | ≤ sin √ n+1+ √ n sin √ √ 1,0đ 2( n + + n) √ √ → n → ∞ Suy lim un = 1,0đ n→∞ 2( n + + n) Câu Sử dụng quy tắc L’Hospital 2(1 − x2 )−1/2 − cos 2x • I =L lim 1,0đ x→0 3x2 2x(1 − x2 )−3/2 + sin 2x sin 2x • =L lim = + lim = 1,0đ x→0 6x x→0 3x Câu • ln(1 + x) = x − x2 /2 + x3 /3 − x4 /4 + o(x4 ) f (x) − f (0) ln(1 + x) − ax − bx2 • f (0) = lim = lim x→0 x→0 x 3− x3 (1 − a)x − ( 12 + b)x2 + x3 + o(x3 ) x − x2 + x3 − ax − bx2 + o(x3 ) = lim • = lim x→0 x→0 x3 x3 Điều kiện tồn giới hạn a = 1, b = − 12 Câu 0,5đ 1,0đ 0,5đ +∞ +∞ +∞ arctan x dx =− + x+1 x+1 1 (x + 1)(x + 1) π +∞ x−1 •= + − dx x+1 x +1 +∞ π x+1 = + ln √ + arctan x x2 + 1 π ln = − 4 • I=− 1,0đ arctan xd 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu e • V = 2π x ln xdx 0,5đ e e ln xd(x2 ) = π x2 ln x|e1 − =π xdx = π(e2 + 1) 0,5đ Chú ý: Lời giải khác đáp án điểm tối đa ĐÁP ÁN ĐỀ Câu √ √ • un = cos( n + 1) − cos( n) = −2 sin • |un | ≤ sin √ n+1+ √ n sin √ √ 1,0đ 2( n + + n) √ √ → n → ∞ Suy lim un = 1,0đ n→∞ 2( n + + n) Câu Sử dụng quy tắc L’Hospital 2(1 + x2 )−1 − 2(cos 2x)−2 • I =L lim 1,0đ x→0 3x2 sin 2x 10 −4x(1 + x2 )−2 − sin 2x cos−3 (2x) = − − lim = − 1,0đ • =L lim x→0 6x x→0 3x Câu √ • + x = + x/2 − x2 /8 + x3 /16 + o(x3 ) √ f (x) − f (0) x + − − ax − bx2 • f (0) = lim = lim x→0 x→0 x−0 x3 3 ( 21 − a)x − ( 18 + b)x2 + x16 + o(x3 ) + 12 x − 18 x2 + 16 x − − ax − bx2 + o(x3 ) = lim • = lim x→0 x→0 x3 x3 1 Điều kiện tồn giới hạn a = , b = − Câu 0,5đ 1,0đ 0,5đ +∞ +∞ +∞ dx arccot x − =− x+1 x+1 1 (x + 1)(x + 1) π +∞ x−1 •= − − dx x+1 x +1 +∞ π x+1 = − ln √ + arctan x x2 + 1 ln = • I=− 1,0đ arccot xd 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu x(ex − 1)dx 0,5đ • V = 2π 1 xd(ex ) = −π + 2π(xex |10 − • = −π + 2π ex dx) = π 0,5đ Chú ý :Lời giải khác đáp án điểm tối đa ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2đ) 1) lim xn = lim 2016 n + (1/2016)n = 2016 ex cos x − − x ex cos x − − x 2) Biến đổi lim = lim x→0 x→0 x2 ex x2 x x e cos x − e sin x − Sử dụng quy tắc L’Hospital =L lim x→0 2x ex (cos x − sin x − sin x − cos x) =L lim = x→0 Câu (2đ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ f+ (2016) = sin 2016a 0,5đ f− (2016) = − sin 2016a 0,5đ Hàm số khả vi tai x = 2016 f+ (2016) = f− (2016) ⇔ sin 2016a = 0,5đ Tìm a = kπ/2016, k ∈ Z 0,5đ Câu (2đ) 1) f (x) = ln(1 − (x − 1)2 ) = −(x − 1)2 + (x − 1)4 /2 − (x − 1)6 /3 + o((x − 1)6 ) 1,0đ 6! f (6) (1) = − , suy f (6) (1) = − 1,0đ 2) Từ 6! 3 Câu (2đ) TXĐ = R\{0}; TCĐ: x = 0, TCX: y = x 0,5đ y = 1+ , x3 hàm số đồng biến khoảng (−∞, −1) (0, +∞), nghịch biến khoảng (−1; 0) có điểm cực đại x = −1 1,0đ Từ kết khảo sát, suy đồ thị hàm số 0,5đ Câu (2đ) 1) I = arcsin xdx = x arcsin x|10 − 2) J = ln +∞ x−2 x+1 = √ x dx 1−x2 = π + √ − x2 = π − 1,0đ ln 1,0đ Chú ý :Lời giải khác đáp án điểm tối đa ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (2đ) 1) lim xn = lim 2016 n − (1/2016)n = 2016 ex − − x cos x ex − − x cos x 2) Biến đổi lim = lim x→0 x→0 x2 cos x x2 x e − cos x + x sin x Sử dụng quy tắc L’Hospital =L lim x→0 2x x e + sin x + sin x − x cos x =L lim = 1/2 x→0 Câu (2đ) f+ (2016) = cos 2016a 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ f− (2016) = − cos 2016a 0,5đ Hàm số khả vi tai x = 2016 f+ (2016) = f− (2016) ⇔ cos 2016a = 0,5đ Tìm a = π/4032 + kπ/2016, k ∈ Z 0,5đ Câu (2đ) 1) f (x) = e1−(x−1) = e − e(x − 1)2 + e(x − 1)4 /2! − e(x − 1)6 /3! + o((x − 1)6 ) 1,0đ e 6!e f (6) (1) = − , suy f (6) (1) = − 1,0đ 2) Từ 6! 3! 3! Câu (2đ) TXĐ = R\{0}; TCĐ: x = 0, TCX: y = x 0,5đ y = 1− , x3 hàm số đồng biến khoảng (−∞, 0) (1, +∞), nghịch biến khoảng (0, 1) có điểm cực tiểu x = 1,0đ Từ kết khảo sát, suy đồ thị hàm số 0,5đ Câu (2đ) 1) I = arccos xdx = x arccos x|10 + 2) J = x−1 ln x+2 +∞ = √ x dx 1−x2 =− √ − x2 = 1,0đ ln 1,0đ Chú ý :Lời giải khác đáp án điểm tối đa ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (3,0đ) a) lim xn = lim n + (1/2)n + (sin n/2)n 0,5đ Sử dụng lim(1/2)n = lim(sin n/2)n = 0, tính giới hạn 0,5đ b) (2,0đ) Sử dụng VCB tương đương ln(1 + 2x) ∼ 2x trình x → 0,5đ sin x + ex − − 2x Ta có L = lim 0,5đ x→0 2x2 Áp dụng quy tắc Lopital liên tiếp, ta L = 1,0đ Câu (2,0đ)   x sin x x ≥ Rõ ràng f khả vi x = 0,5đ a) (1,0đ) Ta có f (x) =  −x sin x x < x sin x −x sin x Tại x = 0, xét giới hạn trái phải lim+ = = lim− Vậy f khả vi x→0 x→0 x x khả vi R 0,5đ   sin x + x cos x x ≥ b) (1,0đ) Ta có f (x) = 0,5đ  − sin x − x cos x x < sin x + x cos x − sin x − x cos x lim+ = lim− = −2 Suy f không khả vi cấp 0,5đ x→0 x→0 x x Câu (2,0đ) x8 x10 Khai triển Maclaurin hàm f (x) = (1 + x2 ) cos x4 = + x2 − − + o(x10 )) 1,0đ 2 10! 10 Do vậy, f (0) = − 1,0đ 2! Câu (2,0đ) 1 Ta có < , ∀x ∈ [1, +∞) 0,5đ k (1 + x )(1 + x ) + x2 +∞ Do hội tụ nên suy Ik hội tụ với tham số k ∈ R 0,5đ x2 +∞ dx Khi k = tích phân I1 = (1 + x )(1 + x) dx 1+x Ta có nguyên hàm = arctan x + ln √ 0,5đ (1 + x )(1 + x) + x2 π Từ suy I1 = 0,5đ Câu (1,0đ) Sử dụng định lí giá trị trung bình tích phân ∃c ∈ [0, 2] : f (c) = 1/2 Chú ý :Lời giải khác đáp án điểm tối đa f (x)dx = −1 1,0đ ĐÁP ÁN ĐỀ Câu (3,0đ) a) (1,0đ) a) lim xn = lim n + (1/3)n + (cos n/3)n 0,5đ Sử dụng lim(1/2)n = lim(sin n/2)n = 0, tính giới hạn 0,5đ b) (2,0đ) Sử dụng VCB tương đương ln(1 + 2x2 ) ∼ 2x2 trình x → 0,5đ cos x + ex − − x Ta L = lim 0,5đ x→0 2x3 Áp dụng quy tắc Lopital liên tiếp, ta L = 1,0đ 12 Câu (2,0đ)   x(ex − 1) x ≥ Rõ ràng f khả vi x = 0,5đ a) (1,0đ) Ta có f (x) =  −x(ex − 1) x < x(ex − 1) −x(ex − 1) Tại x = 0, xét giới hạn trái phải lim+ = = lim− Vậy f khả vi x→0 x→0 x x khả vi R 0,5đ   ex − + xex x ≥ b) (1,0đ) Ta có f (x) = 0,5đ  −ex + − xex x < −ex + − xex ex − + xex = lim− = −2 Suy hàm số f khơng khả vi cấp Ta có lim+ x→0 x→0 x x 0,5đ Câu (2,0đ) x9 x10 Khai triển Maclaurin hàm f (x) = (1 + x) sin x3 = + x − − + o(x10 )) 1,0đ 6 10! Do vậy, f 10 (0) = − 1,0đ 3! Câu (2,0đ) 1 Ta có < , ∀x ∈ [1, +∞) 0,5đ (1 + xk )(1 + x) + xk+1 +∞ hội tụ nên suy Ik hội tụ với tham số k ∈ R 0,5đ Do k+1 x +∞ dx Khi k = tích phân I2 = (1 + x )(1 + x) dx 1+x √ Ta có nguyên hàm = arctan x + ln 0,5đ (1 + x2 )(1 + x) + x2 π Từ suy I1 = 0,5đ Câu (1,0đ) Sử dụng định lí giá trị trung bình tích phân ∃c ∈ [0, 2] : f (c) = 1/2 Chú ý :Lời giải khác đáp án điểm tối đa f (x)dx = 1,0đ ... I=− 1,0đ arctan xd 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Câu e • V = 2π x ln xdx 0,5đ e e ln xd( x2 ) = π x2 ln x|e1 − =π xdx = π(e2 + 1) ... x + Câu (2,0điểm) Tính tích phân: 1) I = +∞ arccos xdx; dx (x − 1) (x + 2) 2) J = 2x2 Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH Đề số K60 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng... 0,5đ x3 − x − x2 + x + xdx (x − 1) 2x + √ √ = ln + arctan 0,5đ x3 − x2 + x + 3 Câu (2đ) ⇒ +∞ π 1 xdx = √ − ln − √ arctan √