Đề thi toán cao cấp SPKT HCM 4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-15 Mơn: Tốn cao cấp A1 Mã mơn học: MATH130101 Ngày thi: 11/08/2015 Thời gian: 90 phút Đề thi có trang Đề: 01 SV phép sử dụng tài liệu KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN - Câu (1,5 điểm): Trên tập hợp số phức C , cho z   2i Tìm bậc z i Câu (1,5điểm): Cho hàm số  x sin  m x   x  , f  x     3x  1 e x   x   x   5m     với m tham số, m  R* a) Tìm m để hàm số f  x  liên tục x  b) Với m  , xét khả vi hàm số f  x  x  Câu (1,5điểm): Khảo sát vẽ đồ thị hàm số r     cos 6 hệ tọa độ cực Câu (2điểm):  a) Tính tích phân suy rộng I   x.e 3 x dx  b) Khảo sát hội tụ tích phân suy rộng J   1 x dx x x  x 4 x arctan Câu (3,5 điểm) 3n  n !  , với n  N * a) Dùng điều kiện cần để chuỗi hội tụ, chứng minh lim n   n  !  x  2 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  n n 1  n   Khai triển thành chuỗi Fourier hàm g  x  tuần hồn với chu kì T  2 n  b) c) xác định công thức 0 g  x   x     x   x   Ghi chú: Cán coi thi không giải thích đề thi Chuẩn đầu học phần (về kiến thức) [CĐR G2.1]: Tính bậc n số phức [CĐR G1.1]: Phát biểu định nghĩa giới hạn, liên tục Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Nội dung kiểm tra Câu Câu 2a 1/2 Trình bày tính chất hàm liên tục [CĐR G2.2]: Sử dụng giới hạn bản, vô bé, vô lớn tương đương để khử dạng vơ định [CĐR G2.2]: Tính đạo hàm, vi phân hàm số [CĐR G2.4]: Khảo sát vẽ đường cong hệ tọa độ cực [CĐR G2.5]: Áp dụng phương pháp lý thuyết để tính tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng khảo sát hội tụ tích phân suy rộng [CĐR G2.7] Áp dụng kết lí thuyết để khảo sát hội tụ chuỗi số, tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa, khai triền hàm thành chuỗi lũy thừa khai triển hàm thành chuỗi Fourier Câu 2b Câu Câu a, b Câu 5a, b, c Ngày 07 tháng 08 năm 2015 Thông qua mơn Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 2/2 ĐÁP ÁN TỐN CAO CẤP A1 Ngày thi: 11/08/2015 Mã môn học: MATH130101 Câu Điểm Nội dung     2  cos  i sin   2i 4   z     3i  cos  i sin  6  5 5    cos  i sin   (1,5đ) 12 12   5 5     k    k 2   Suy z  10  cos 12  i sin 12  , k  0,1, 2,3, 5     x sin  m x  x.m x m2  lim  lim  m2 a) lim f  x   lim x2 x 0 x 0 x 0  x  1 x x 0  x   3x  1 e    lim f  x   lim  x   5m     5m  ; x 0 (1,5đ) x 0 0,5 0,5 0,5 0,25 f    5m  ; lim f  x   lim f  x   f    m2  5m    m  1   m   x 0 x 0 Vậy hàm số f  x  liên tục x  m  m  b) Với m  , dựa vào kết câu a ta thấy hàm số không liên tục x  Do đó, hàm số khơng khả vi x  m  TXĐ: D  Hàm r   tuần hồn với chu kì T      0,   6 Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận (1,5đ) 0,5 r '    6sin 6     k nghiệm       0,25 0,5 , chẵn nên ta chọn khảo sát với 0,25    , k  Trên 0,  , phương trình có  6 r  cos 6 tan v   (v: góc hợp tiếp tuyến bán kính cực r' 6sin 6 M  , r    ) 0,25 Bảng biến thiên 0,5 Đồ thị 0,5 b a) I  lim  x.e b  b 3 x   dx  lim   x.e 3 x  e 3 x  b   0 1   lim   be3b  e3b    b 9  x arctan Câu b) Hàm số f x  x  0, x    (2đ) x x  x 4 f  x  1  0,   Chọn g  x   , ta có lim x  g  x  x  Mà  1 dx phân kì nên J phân kì theo tiêu chuẩn so sánh x  n  n ! a) Xét chuỗi  , ta có: (3,5đ) n 1  n  ! 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25  n  1 a lim n1  lim  1 n  a n   2n  1 2n   n Theo tiêu chuẩn D’Alambert, chuỗi hội tụ Theo điều kiện cần để chuỗi hội tụ, ta suy đpcm  tn b) Đặt t  x  , ta có chuỗi lũy thừa  n (2) n 1  n  3 0,25 0,25 Tìm miền hội tụ chuỗi (2) Do R  lim n 5n  n  3  nên chuỗi (2) có khoảng hội tụ:  5,5  0,5 n  Tại t  5 , chuỗi số   1 n hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz n3 Tại t  , chuỗi số  phân kì theo tiêu chuẩn so sánh n 1 n  Do đó, chuỗi (2) có miền hội tụ [  5,5) Vậy chuỗi đề cho có MHT [  3,7) c) Trước hết, ta tìm chuỗi Fourier S  x  hàm g  x  : n 1  an      x  3 cos nxdx  0,5     x2  a0    x  3 dx    3x    3; 0  0 0,5 0,5   x3 cos n   sin nx  cos nx     n n n 2 0    x3  bn    x  3 sin nxdx    cos nx  sin nx  0  n n 0    3 cos n n Chuỗi Fourier g  x  là:     3 cos n       cos n  S  x       cos nx  sin nx  n   n1  n   Tại x  k , k  , ta có g  x   S  x  0,5 0,25 ... Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 2/2 ĐÁP ÁN TỐN CAO CẤP A1 Ngày thi: 11/08/2015 Mã mơn học: MATH130101 Câu Điểm Nội dung     2  cos  i sin   2i 4   z     3i  cos  i sin  6 ... vô bé, vô lớn tương đương để khử dạng vơ định [CĐR G2.2]: Tính đạo hàm, vi phân hàm số [CĐR G2 .4] : Khảo sát vẽ đường cong hệ tọa độ cực [CĐR G2.5]: Áp dụng phương pháp lý thuyết để tính tích... cos 6 tan v   (v: góc hợp tiếp tuyến bán kính cực r' 6sin 6 M  , r    ) 0,25 Bảng biến thi n 0,5 Đồ thị 0,5 b a) I  lim  x.e b  b 3 x   dx  lim   x.e 3 x  e 3 x  b 