Đề thi toán 2 k58 XD có đáp án

Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN TỐN Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x3 + y − 3x + 3y + 2xy + y ex dx + (x2 + 2yex )dy với L cung Câu (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai L x2 elip + y = nằm phía trục Ox nối A(2; 0) với B(−2; 0) √ (x − y + − x2 ) dxdy, D hình tròn Câu (2,0đ) Tính tích phân hai lớp D D = {(x, y) : x2 + y ≤ 1} Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau a) xy + y = ln x b) y − 3y + 2y = 2x − ∞ Câu (1,0đ) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=0 nxn 2n + Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN TỐN Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x3 + y − 3x2 − 3y (y + y ex ) dx + (1 + 3xy + 2yex ) dy, với L Câu (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai L y2 cung elip x2 + = nằm phía bên phải trục Oy nối A(0; −2) với B(0; 2) √ Câu (2,0đ) Tính tích phân hai lớp ( − y + y − x2 ) dxdy, D hình tròn D D = {(x, y) : x2 + y ≤ 1} Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau a) xy − y = x2 ln x b) y + y − 2y = − 2x ∞ Câu (1,0đ) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=0 (n + 1)xn 3n + Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN TỐN Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Khơng sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = x3 + 4y − 3xy − 24y (3x2 y − x2 )dx − (y − x3 )dy với L cung parabol Câu (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai L y = x2 − từ A(−3, 0) đến B(0, 3) − x2 − y dxdy, D phần tư hình Câu (2,0đ) Tính tích phân hai lớp D tròn D = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y ≤ 9, x ≤ 0, y ≤ 0} Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau: a) y + 4y = 5ex b) xy − (x + y) = ∞ n2 x3n Câu (1,0đ) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=1 Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MƠN TỐN Đề số K58 Bộ mơn Tốn Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu Câu (2,0đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = 6x3 + y − 3x2 y − 3x (x2 − y )dx − (3y x − y )dy, với L cung tròn Câu (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai L 2 x + y = nằm phía trục Ox từ A(−3, 0) đến B(0, 3) hướng chiều kim đồng hồ − x2 − y dxdy, D phần tư hình Câu (2,0đ) Tính tích phân hai lớp D tròn D = {(x, y) ∈ R2 , x2 + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ 0} Câu (3,0đ) Giải phương trình vi phân sau a) y + 3y = −2ex b) xy − (y − 2x) = ∞ Câu (1,0đ) Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=0 x3n n2 + ĐÁP ÁN ĐỀ   fx = 3x2 − = ; M1 (1, 0), M2 (−1, 0), M3 (1, −2), M4 (−1, −2) Câu (2,0đ) Điểm dừng:  f = 3y + 6y = y   6x  Ma trận đạo hàm riêng cấp 2: A =  6y + • Tại M1 (1, 0): A xác định dương nên M (1, 0) điểm cực tiểu Giá trị cực tiểu fCT = −2 • Tại M2 (−1, 0), M3 (1, −2): A khơng xác định dấu • Tại M4 (−1, −2): A xác định âm nên M (1, 0) điểm cực đại Giá trị cực đại fCD = Câu (2,0đ) Vì ∂Q ∂x = ∂P ∂y = 2x + 2yex nên tích phân khơng phụ thuộc vào đường Do vậy, (1 + 2xy + y ex ) dx + (x2 + 2yex ) dy = I= dx = −2 AB Câu (2,0đ) Tách thành hai tích phân, khơng tính đối xứng hình tròn cho hàm lẻ, áp dụng Fubini √ I= 1 − x2 dxdy = D Câu (3,0đ) a) Nghiệm y = x1 (C − x + x ln x) = C x 2(1 − x2 )dx = − + ln x b) Nghiệm y = C1 ex + C2 e2x + x, với C số Câu (1,0đ)Miền hội tụ X = (−2; 2) ĐÁP ÁN ĐỀ   fx = 3x2 − 6x = ; M1 (0, 1), M2 (0, −1), M3 (2, 1), M4 (2, −1) Câu 1(2,0đ) Điểm dừng:  f = 3y − =0 y   6x −  Ma trận đạo hàm riêng cấp 2:  6y • Tại M1 (0, 1): A khơng xác định dấu • Tại M2 = (0, −1): A xác định âm nên M2 = (0, −1) cực đại; fCĐ = f (0, −1) = • Tại M3 (2, 1): A xác định dương nên M3 (2, 1) điểm cực tiểu; fCT = f (2, 1) = −6 • Tại M4 (−1, −2): A không xác định dấu Câu (2,0đ) Vì ∂Q ∂x = ∂P ∂y = 3y + 2yex nên tích phân khơng phụ thuộc vào đường Do vậy, (y + y ex ) dx + (1 + 3xy + 2yex ) dy = I= (1 + 2y) dy = −2 AB Câu 3(2,0đ) Tách thành hai tích phân, khơng tính đối xứng miền cho hàm lẻ, áp dụng Fubini 1− I= D y2 dxdy = 2(1 − y )dy = Câu 4(3,0đ) a) Nghiệm y = x(C − x + x ln x) = Cx − x2 + x2 ln x b) Nghiệm y = C1 ex + C2 e−2x + x, với C số Câu 5(1,0đ) Miền hội tụ X = (−3; 3) ĐÁP ÁN ĐỀ    fx = 18x2 − 6xy − = Giải hệ ta thu M1 (2, 2), M2 (−2, −2),   fy = 3y − 3x2 =   6x −6y −2 −2 √2   √ M3 ( √23 , √ ), M ( , ) Ma trận A = 3 3 −6y 24y − 6x Câu (2,0đ) Điểm đừng • M1 (2, 2) điểm cực tiểu, fCT = −16 • M2 (−2, −2) điểm cực đại, fCĐ = 16 Hai điểm lại hàm số không đạt cực trị Câu (2,0đ) a) Vì Qx = 3x2 = Py nên tích phân khơng phụ thuộc đường Suy I = ¯ AO + ¯ OB = (−x2 )dx −3 − y dx = −18 (Có thể tính trực tiếp cách tham số hóa) Câu (2,0đ) Tọa độ cực x = rcosϕ, y = rsinϕ, J = r, ≤ r ≤ 3, π ≤ ϕ ≤ 3π 3√ − y dxdy = dϕ − x − r2 rdr = 9π π D 3π Suy Câu (3,0đ) a) Nghiệm tổng quát phương trình là:¯ y = C1 + C2 e−4x , nghiệm riêng y ∗ = ex Vậy, nghiệm tổng quát y = ex + C1 + C2 e−4x y b) Ta có y − = Suy nghiệm tổng quát y = ( dx + C)x = (ln x + C)x = x ln x + Cx x x Câu (1,0đ) Đặt t = x3 , ρ = R = Suy khoảng hội tụ (−1, 1) Tại hai đầu mút: Chuỗi ∞ n=1 n2 phân kì chuỗi ∞ n n=1 (−1) n phân kì Miền hội tụ ứng với t X = (−1, 1) suy miềm hội tụ chuỗi cho X = (−1, 1) ĐÁP ÁN ĐỀ    fx = 18x2 − 6xy − = Câu (2,0đ) Điểm đừng Giải hệ ta thu M1 ( 12 , 12 ), M2 ( −1 , −1 ), 2   fy = 3y − 3x2 =   36x − 6y −6x  √ ), M3 ( −1 √ , √ ) Ma trận A =  M3 ( 2√1 , 2−1 2 2 −6x 6y • M1 ( 21 , 21 ) điểm cực tiểu, fCT = −1 • M2 ( −1 , −1 ) điểm cực đại, fCĐ = Hai điểm lại hàm số khơng đạt cực trị 2 Câu (2,0đ) Vì Qx = −3y = Py nên tích phân khơng phụ thuộc đường đi: I = (x2 )dx −3 ¯ AO + ¯ OB = y dx = 18 (Có thể tính trực tiếp cách tham số hóa) Câu (2,0đ) Tọa độ cực x = rcosϕ, y = rsinϕ, J = r, ≤ r ≤ 2, − π2 ≤ ϕ ≤ Suy I = √ ) dϕ ( − r2 rdr = 4π −π/2 Câu (3,0đ) a) Nghiệm tổng quát phương trình y¯ = C1 +C2 e−3x , nghiệm riêng y ∗ = e−x Suy ra, nghiệm tổng quát y = e−x + C1 + C2 e−3x b) Ta có y − x = −2 Nghiệm tổng quát y = −2x ln x + Cx (−1)n ∞ ∞ Câu (1,0đ) Đặt t = x , ρ = 1, R = Chuỗi n=0 hội tụ chuỗi n=0 hội tụ n +1 n +1 Miền hội tụ ứng với t [−1, 1] suy miền hội tụ chuỗi cho X = [−1, 1]  ... + C2 e−2x + x, với C số Câu 5(1,0đ) Miền hội tụ X = (−3; 3) ĐÁP ÁN ĐỀ    fx = 18x2 − 6xy − = Giải hệ ta thu M1 (2, 2) , M2 ( 2, 2) ,   fy = 3y − 3x2 =   6x −6y 2 2 2   √ M3 ( 23 ... x 2( 1 − x2 )dx = − + ln x b) Nghiệm y = C1 ex + C2 e2x + x, với C số Câu (1,0đ)Miền hội tụ X = ( 2; 2) ĐÁP ÁN ĐỀ   fx = 3x2 − 6x = ; M1 (0, 1), M2 (0, −1), M3 (2, 1), M4 (2, −1) Câu 1 (2, 0đ)... thu M1 ( 12 , 12 ), M2 ( −1 , −1 ), 2   fy = 3y − 3x2 =   36x − 6y −6x  √ ), M3 ( −1 √ , √ ) Ma trận A =  M3 ( 2 1 , 2 1 2 2 −6x 6y • M1 ( 21 , 21 ) điểm cực tiểu, fCT = −1 • M2 ( −1 , −1