Sức bền vật liệu _ trạng thai ứng suất, thuyết bền

Giới thiệu Introduction• Trạng thái ứng suất phẳng trong nó ứng suất pháp trên hai mặt của phần tử khối bằng không.. 0 , , y xy and z = zx = zy = s • Trạng thái ứng suất phẳng xuất hiệ

MECHANICS OF MATERIALS

3

Stress and Strain Trạng thái ứng suất –

Thuyết bền

Transformations of Stress and Strain

Introduction Transformation of Plane Stress Principal Stresses

Maximum Shearing Stress Example 3.01

Sample Problem 3.1 Mohr’s Circle for Plane Stress Mohr’s Circle for Plane Stress Example 3.02

Sample Problem 3.2 General State of Stress Application of Mohr’s Circle to the Three-Dimensional Analysis of Stress Yield Criteria for Ductile Materials Under Plane Stress

Fracture Criteria for Brittle Materials Under Plane Stress Stresses in Thin-Walled Pressure Vessels

Giới thiệu (Introduction)

• Trạng thái ứng suất tổng quát nhất có thể được biểu diễn bởi tập hợp gồm 6 thành phần,

) ,

,

: (Note

stresses shearing

, ,

stresses normal

, ,

xz zx

zy yz

yx xy

zx yz xy

z y x

t t

t t

t t

t t t

s s s

hợp khác nếu hệ trục tọa độ quay 1 góc

• Phần một của chương xem xét thành phần ứng suất biến đổi như thế nào khi hệ trục tọa độ quay 1 góc Phần hai sẽ dành cho phân tích tương tự của sự biến đổi các thành phần biến dạng

Giới thiệu (Introduction)

• Trạng thái ứng suất phẳng trong nó ứng

suất pháp trên hai mặt của phần tử khối bằng không Với ví dụ minh họa, trạng thái ứng suất được định nghĩa

0 ,

, y xy and z = zx = zy =

s

• Trạng thái ứng suất phẳng xuất hiện trong

• Trạng thái ứng suất phẳng xuất hiện trong tấm mỏng chịu lực tác dụng tại mặt phẳng giữa của tấm

• Trạng thái ứng suất phẳng cũng xuất hiện tại một điểm bất kỳ trên bề mặt tự do của phần tử cấu trúc hoặc chi tiết máy chịu tác dụng của ngoại lực

Biến đổi của ứng suất phẳng

 q  q t  q  q s

q q

t q q

s t

q q

t q q

s

q q

t q q

s s

sin sin

cos sin

cos cos

sin cos

0

cos sin

sin sin

sin cos

cos cos

0

A A

A A

A F

A A

A A

A F

xy y

xy x

y x y

xy y

xy x

x x

 +

 -

 -

 +

 -

 -

 -

q s

s t

q t

q s

s s

s s

q t

q

s s

s

s s

2 cos 2

sin

2 sin 2

cos 2

2

2 sin 2

cos 2

2

xy y

x y

x

xy y

x y

x y

xy y

x y

x x

+

-

-=

-

-+

=

+

+

Ứng suất chính (Principal Stresses)

• Phương trình trước được kết hợp để mang lại phương trình tham số của đường tròn

2 2

2 2

2

2 2

where

xy y

x y

x ave

y x ave

x

R

R

t s

s s

s s

t s

max,

90

by separated angles

two defines

: Note

2 2

tan

2 2

y x

xy p

xy

y x

y x

s s

t q

t s

s s

s s

=

Ứng suất cắt cực đại (Maximum Shearing Stress)

Ứng suất cắt cực đại xuất hiện khi s x = save

and 90

by separated angles

two defines :

Note

2 2

xy

y x

s

xy y

x

R

t

s s

q

t s

s t

-

y x

ave

p

s s

s s

q +

=

=



Example 3.01

SOLUTION:

• Xác định phương của ứng suất chính

y x

xy p

s s

t q

-= 22

tan

• Ứng suất chính

2

s s

max,

2

y x

y x

t

s s

y x

s  = +

-+

= -

=

1 233 , 1 53 2

333

1 10 50

40 2

2 2

tan

p

y x

xy p

q

s s

t q

max,

40 30

20

2 2

MPa 10

MPa 40

MPa 50

-=

+

= +

=

x

xy x

s

t s

Example 3.01

MPa 40

40 30

MPa 50

max =

t

45 -

= q q

MPa 10

MPa 40

MPa 50

-=

+

= +

=

x

xy x

s

t s

2

10 50 2

s

• Ứng suất pháp tương ứng

MPa 20

=



s

45 -

= p

s q q



 -

= 18 4 , 71 6

s

q

Sample Problem 3.1

SOLUTION:

• Xác định hệ lực-moment tương đương tại tâm của tiết diện ngang

Sample Problem 3.1

SOLUTION:

• Hệ lực-moment tương đương tại

tâm của tiết diện ngang đi qua H.

  

 150 lb  10 in  1 5 kip in

in kip 7 2 in 18 lb 150

lb 150

4 4

1

in 6 0

in 6 0 in kip 7 2

in 6 0

in 6 0 in kip 5 1

 t

 s

 +

= +

=

 +

= +

=

J Tc I Mc

xy y

ksi 96 7 ksi

84 8

s

Sample Problem 3.1

• Xác định mặt phẳng chính và tính toán ứng suất chính

 



 -

=

-= -

= -

=

119 , 0 61 2

8

1 84

8 0

96 7 2

2 2

tan

p

y x

xy p

q

s s

t q



 -

max,

96

7 2

84 8 0 2

84 8 0

2 2

ksi 68 4

ksi 52 13

Vòng tròn Mohr (Mohr’s Circle for Plane Stress)

• Vòng tròn Mohr dành cho ứng suất phẳng được thiết lập dựa trên sự xem xét hình học đơn giản Giá trị tới hạn được xác định bằng đồ thị hoặc tính toán.

• Với trạng thái us phẳng đã biết

vẽ điểm X, Y và dựng đường tròn tâm tại C

xy y

x s t

s , ,

2 2 2

2

y x

y x

xy p

ave R

s s

t q

s s

-=



= 2 2

tan

min max,

Chiều quay của Ox đến Oa thì giống như CX đến CA.

Vòng tròn Mohr (Mohr’s Circle for Plane Stress)

• Khi vòng tròn Mohr được định nghĩa

là duy nhất, trạng thái ứng suất tại những phương khác cũng có thể mô tả

• Để thiết lập trạng thái ứng suất tại góc

q đối với hệ trục xy, xây dựng đường

q đối với hệ trục xy, xây dựng đường kính mới X’Y’ tạo một góc 2q đối với XY.

• Ứng suất cắt và pháp nhận được

từ tọa độ X’Y’: X’CA = 2 x’Oa.

Vòng tròn Mohr (Mohr’s Circle for Plane Stress)

• Vòng tròn Mohr cho tải dọc trục đúng tâm:

s

A

P

xy y

• Vòng tròn Mohr cho tải xoắn:

J

Tc

xy y

s

MPa 30

20 50

MPa

20 2

10 50

2

=

= -

=

= -

y x

ave

s s

s

Example 3.02

• Ứng suất và mặt phẳng chính

50 20

max = OA= OC +CA = +

s

MPa 70

max =

s

50 20

min = OB =OC - BC =

-s

MPa 30

30

40 2

tan

p

p

CP FX

q q



= 26 6

p

q

Example 3.02

• Ứng suất cắt cực đại

 +

= p 45

s q

q tmax = R s  = save

Sample Problem 3.2

Với trạng thái ứng suất đã

Với trạng thái ứng suất đã

cho, xác định (a) mặt

phẳng chính và ứng suất

chính, (b) thành phần ứng

suất tác dụng lên phần tử

bởi quay phần tử đã cho

ngược chiều kim đồng hồ

2

60 100

2

2 2

2 2

= +

= +

R

y x

ave

s s

s

4

2 20

48 2

tan p

CF XF

q

q

52 80

= +

=

=

 -

= -

 -

6 52 cos 52 80

6 52 cos 52 80

6 52 4

67 60

180

X K

CL OC

OL

KC OC

OK

y x y x

t s s



• Thành phần ứng suất sau trên phần tử

quay 1 góc 30 o

Điểm X’ và Y’ trên vòng tròn Mohr

tương ứng với thành phần ứng suất

trên phần tử quay 1 góc 30 0 Giá trị

này nhận được bằng cách quay XY

ngược chiều kim đồng hồ 1 góc 2 q = 60  41 3 MPa

MPa 6

111

MPa 4

48

t s s

• Trạng thái ứng suất tại Q: sx, s y, sz, txy, tyz, tzx

Trạng thái ứng suất tổng quát

• Xem xét trạng thái ứng suất khối tổng quát tại một điểm bất kỳ

• Xét tứ diện có mặt phẳng vuông góc QN

với phương của mặt: x, y, z

• Với yêu cầu , nó dẫn đến,F n = 0

• Với yêu cầu , nó dẫn đến,F n = 0

x z zx z

y yz y

x xy

z z y

y x

x n



 t



 t



 t

 s

 s

 s s

2 2

2

2 2

2

+ +

+

+ +

=

• Form của phương trình đảm bảo rằng phương của phần tử có thể tìm thấy

2 2

2

c c b

b a

a

n s  s  s 

s = + +

Ứng dụng vòng tròn Mohr phân tích ứng suất khối

• Biến đổi ứng suất cho một phần tử

quay quanh trục chính có thể được

thể hiện bởi vòng tròn Mohr.

• Đường tròn đường kính AB thể hiện ứng suất pháp và cắt trên phần tử mà nó quay đối với trục c.

• Điểm A, B, C thể hiện ứng suất

chính trên mặt chính (ứng suất cắt

bằng zero)

min max

max

2

1

s s

-• Bán kính của đường tròn lớn nhất thể hiện ứng suất cắt lớn nhất tại Q.

Ứng dụng vòng tròn Mohr phân tích ứng suất khối

• Trong trường hợp ứng suất phẳng, trục vuông góc mặt phẳng chính là trục chính (ứng suất cắt bằng

không

• Nếu A và B (thể hiện mặt chính) đối diện qua gốc O, khi đó

b) Ứng suất cắt cực đại bằng ứng suất cắt “nội phẳng” cực đại

a) Ứng suất chính tương ứng là ứng suất pháp cực đại và cực tiểu đối với phần tử

diện qua gốc O, khi đó

c) Mặt phẳng của ứng suất cắt cực

Ứng dụng vòng tròn Mohr phân tích ứng suất khối

• Nếu A và B nằm cùng một phía, khi đó

a) Đường tròn định nghĩasmax, smin,

vàtmax đối với 1 phần tử không phải là đường tròn tương ứng với

sự biến đổi ứng suất bên trong

c) Mặt phẳng ứng suất cực đại tạo một góc 450 với mặt phẳng ứng suất

b) Ứng suất cắt cực đại bằng một nữa ứng suất cực đại

sự biến đổi ứng suất bên trong mặt phẳng ứng suất

Ứng suất trong bình áp lực thành mỏng

• Bình chứa hình trụ với ứng suất chính

s1 = ứng suất tiếp tuyến

2

2 0

s s

s



 s

r p rt

F x

• Ứng suất dọc trục:

2 )

plane in

max( - = s =

t

• Ứng suất cắt ngoài mặt phẳng cực đại

• Ứng suất cắt ngoài mặt phẳng cực đại tương ứng với một góc quay 45o của phần tữ ứng suất phẳng quanh trục dọc

t

pr

2

2 max = s =

t

giảm thành một điểm

0

constant

plane) -

max(in

2 1

s

• Ứng suất cắt “ngoài mặt phẳng” cực đại

pr

1 s t

3.5 Quan hệ ứng suất - biến dạng Định luật Hook

3.5.1 Trạng thái ứng suất kéo (nén)đơn.

Biến dạng dài tương đối theo

Ứng suất pháp không gây ra biến dạng góc.

3.5.2 Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý.

Phân tố được xét chỉ có biến dạng góc, không có biến dạng dài

)1

3.5.3 Trạng thái ứng suất tổng quát

=

E E

E

z y

x x

 s

t

G

yz yz

t

G

zx zx

t

• Biến dạng thể tích tương đối θ .

- Trước biến dạng: dx,dy,dz => dv = dxdydz

     

;

1 1

x e e e

3.6 Thế năng biến dạng đàn hồi

Thế năng riêng biến dạng đàn hồi ( ttus đơn):

Trạng thái ứng suất khối với

các ứng suất chính σ1; σ2; σ3:

3 2

2 2

1

2 3

2 2

* Phân tố trên hình b/ chịu kéo đều theo ba phương với σtb sẽ không thay đổi hình dáng, chỉ thay đổi kích thước các

cạnh, nghĩa là chỉ thay đổi thể tích

* Phân tố trên hình c/:

tb

s s

s 1 ' = s 1 - s tb , s 2 ' = s 2 - s tb ,

s 1 ' = 1 - , s 2 ' = s 2 - s tb ,

tb

s s

s3' = 3 - s1' + s2' + s3' = s1+ s2 + s3 - 3 stb = 0 ;

+ (3 12) chỉ biến dạng hình dáng

u = utt + uhd .

tb tb

tb tb

tb tb

s



+ +

s



+ +

2 2

1

2 3

2 2

2

1 s s s s s s s s s



+ +

+

Thí dụ 3 3. Một phân tố hình lập phương làm bằng thép ở trạng thái ứng suất phẳng ( đơn vị tính kN/cm2)

2 Ứng suất tiếp cực đại;

3 Biến dạng dài tương đối;

4 Biến đổi thể tích tương đối;

5 Thế năng biến đổi hình dáng riêng

2 4

/ 10

2

; 3 ,

y x

4122

; 37 2

; 75 ,

0 4

12

6 2

2 2

o o

y x

xy o

tg

-= -

=

-= +

 -

= -

t



(3 4)

= 4 ± 10

τmax 1 3 2

/ 10

) 6 14

( 2

4(3,012

[102

1)

-

=-

x

E s s e

; 10 8 , 3 )

12 3 , 0 4

( 10 2

1 )

=

 -

-

= -

y

E s s e

10 2 , 1 )]

4 ( 12

[ 10 2

3 ,

0 )

4

- -

= -

-

= -

,1)2,18,36

,6(

-=+

+

=ex e y ezq

4

5 ( 12 4 ) 1 , 6 10 10

2

3 , 0 2

1 ) (

68)]

6(14)

6(14

[102

3

3,01

)

(3

1

2 2

2 5

3 1

2 3

2 1

cm kN

E

u hd

=-

-

3.7 Khái niệm về các thuyết bền.

Điều kiện bền ở trạng thái ứng suất đơn:

[ ]

c

c k

n

s

nB và nC là hệ số an toàn theo giới hạn chảy hay

nB và nC là hệ số an toàn theo giới hạn chảy hay

giới hạn bền.

•Vượt qua những khó khăn bằng các giả thuyết về nguyên

nhân phá huỷ của vật liệu (các thuyết bền)

*Các yếu tố ảnh hưởng đến độ bền của vật liệu:

ứng suất pháp, ứng suất tiếp, biến dạng dài, thế

Vật liệu ở trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng hay

khối) bị phá huỷ khi giá trị lớn nhất của ứng suất

pháp đạt tới giá trị giới hạn của ứng suất kéo (hay

3.8 Thuyết ứng suất pháp lớn nhất (thuyết bền thứ

nhất)

pháp đạt tới giá trị giới hạn của ứng suất kéo (hay

nén) của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

[ ] [ ]

;

3 2

1 1

n td

k td

s s

s

s s

Vật liệu ở trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng, khối) bị phá huỷ khi biến dạng dài tương đối lớn nhất đạt tới giá trị giới hạn của biến dạng dài tương đối ở trạng thái

1

3 2

s

 s

• Vật liệu dẻo bị phá huỷ khi ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứ ng suất phức tạp đạt tới giá trị

của ứng suất tiếp nguy hiểm của phân tố ở trạng thái

ứng suất đơn: τmax ≤ [τ]

s

• Vật liệu bị phá huỷ khi thế năng biến đổi hình dáng của phân tố

ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới giá trị nguy hiểm của thế năng biến đổi hình dáng của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn:

2 2

1

2 3

2 2

+

nén đơn đường bao

CA = = s + s EA = 1  [ ] s - s - s 

σ3

O F

σ

EA

DE CA

Ví dụ 3 4 Tìm phân tố làm bằng vật liệu dẻo ở trạng thái ứng suấtnguy hiểm của phân tố (đơn vị đo kN/cm2)

Vật liệu dẻo chịu kéo, nén như nhau nên có thể sử dụng thuyết

100 20

Vật liệu dẻo chịu kéo, nén như nhau nên có thể sử dụng thuyết

bền ba để xác định ứng suất tương đương:

3

1 s s

-; /

80 )

30 (

Ví dụ 3 5 Dùng thuyết bền Mo so sánh các ứng suất tương đươngtrong hai khối lăng trụ làm bằng vật liệu giòn



s e

3



 s

-= -

Transformation of Plane Strain

• Plane strain - deformations of the material

take place in parallel planes and are the same in each of those planes.

• Plane strain occurs in a plate subjected along its edges to a uniformly distributed load and restrained from expanding or contracting laterally by smooth, rigid and

• Example: Consider a long bar subjected

to uniformly distributed transverse loads State of plane stress exists in any

contracting laterally by smooth, rigid and fixed supports

: strain of

components

x ey xy ez =  zx = zy =

e

Transformation of Plane Strain

• State of strain at the point Q results in

different strain components with respect

to the xy and x’y’ reference frames.

 

 x y

OB xy

xy y

x OB

xy y

x

e e

e



 e

e e

e

q q

 q e

q e

q e

+ -

=

+ +

=



=

+ +

=

2 45

cos sin

sin cos

2 1

2 2

q

 q

e e



q

 q

e e

e

e e

q

 q

e e

e

e e

2

cos 2

2

sin 2

2

2

sin 2

2

cos 2

2

2 sin 2 2

cos 2

2

xy y

x y

x

xy y

x y

x y

xy y

x y

x x

+

-

-=

-

-+

=

+

+

Mohr’s Circle for Plane Strain

• The equations for the transformation of plane strain are of the same form as the equations for the transformation of plane

stress - Mohr’s circle techniques apply.

• Abscissa for the center C and radius R ,

2 2

2 2

xy p

-= +

=

-=

e e

e e

e e

 q

min max

2 tan

• Maximum in-plane shearing strain,

Three-Dimensional Analysis of Strain

• Previously demonstrated that three principal axes exist such that the perpendicular

element faces are free of shearing stresses.

• By Hooke’s Law, it follows that the shearing strains are zero as well and that the principal planes of stress are also the principal planes of strain.

principal planes of strain.

• Rotation about the principal axes may be represented by Mohr’s circles.

Three-Dimensional Analysis of Strain

• For the case of plane strain where the x and y

axes are in the plane of strain,

- the z axis is also a principal axis

- the corresponding principal normal strain

is represented by the point Z = 0 or the

origin.

• If the points A and B lie on opposite sides

of the origin, the maximum shearing strain

of the origin, the maximum shearing strain

is the maximum in-plane shearing strain, D and E.

• If the points A and B lie on the same side of

the origin, the maximum shearing strain is out of the plane of strain and is represented

by the points D’ and E’.

Three-Dimensional Analysis of Strain

• Consider the case of plane stress,

• Corresponding normal strains,

b a

b

b a

a

E E

E E

s s

 e

s

 s

e

+ -

e e



 s

-=

1

• If B is located between A and C on the

Mohr-circle diagram, the maximum

shearing strain is equal to the diameter CA.

• Strain perpendicular to the plane of stress

is not zero.

Measurements of Strain: Strain Rosette

• Strain gages indicate normal strain through changes in resistance.

2 2

2

2 2

2 2

1 1

1

2 1

2 1

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

q q

 q e

q e

e

q q

 q e

q e

e

xy y

x

xy y

x

+ +

=

+ +

=

• Normal and shearing strains may be obtained from normal strains in any three directions,