18
Chơng 3.
Trạng tháiứng suất
I. Khái niệm về trạng tháiứngsuấtTrạngtháiứngsuất tại một điểm của vật thể đn hồi chịu
lực l tập hợp tất cả các ứng
suất tác dụng trên tất cả các
mặt vô cùng bé đi qua điểm
đó, đặc trng bởi tenxơ đối
xứng cấp 2 có 6 thnh phần
ứng suất độc lập (hình 3.1):
xxyxz
yx y yz
zx zy z
(3.1)
nh biểu thị trên các mặt của
phân tố toạ độ Cdxdydz.
Qua 1 điểm ta luôn tìm
ba mặt vuông góc với nhau có
ứng suất tiếp bằng 0, các mặt đó l
mặt chính
, pháp tuyến mặt
chính gọi l
phơng chính
, ứngsuất pháp trên các mặt chính gọi
l
ứng suất chính
1
,
2
v
3
:
1
>
2
>
3
(3.2)
Căn cứ vo các ứngsuất chính ta hân loại trạngtháiứngsuất
nh sau:
Trạng tháiứngsuất khối
(hình 3.2a),
trạng tháiứng
suất phẳng
(hình 3.2b),
trạng tháiứngsuất đơn
(hình 3.2c).
Hình 3.2
Hình 3.1
19
II. Trạng tháiứngsuất phẳng
1.
ứ
ng suất trên mặt nghiêng bất kì
Tách một phân tố khỏi vật thể đn hồi chịu lực. Giả thiết
mặt vuông góc với trục z l mặt chính (
z
=
zx
=
zy
= 0), những
mặt còn lại có cả ứngsuất pháp v ứngsuất tiếp (hình 3.3).
Hình 3.3
Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ đáy l tam giác,
mặt bên nghiêng. Phơng trình tổng mômen các lực với O:
= =
Oxy yx
dx dy
Mdydz dzdx0
22
=
xy yx
(3.3)
Đó l
luật
đối ứng của ứngsuất tiếp
, phát biểu nh sau:
Nếu trên mặt cắt no đó có ứngsuất tiếp thì trên mặt cắt vuông
góc với nó cũng phải có ứngsuất tiếp có cùng trị số nhng đối
chiều
.
Lập các phơng trình hình chiếu sau:
= +
+ =
ux xy
yyx
u dzds ( dzdscos )cos ( dzdscos )sin
( dzdssin )sin ( dzdssin )cos 0
= +
+ + =
uv x xy
yyx
v dzds ( dzdscos )sin ( dzdscos )cos
( dzdssin )cos ( dzdssin )sin 0
Sau khi rút gọn, sử dụng định luật đối ứngứngsuất tiếp ta
đợc giá trị của
u
v
uv
:
+
= +
xy xy
uxy
cos2 sin 2
22
(3.4)
= +
xy
uv xy
sin2 cos2
2
(3.5)
Rõ rng l khi = 0 (hoặc /2) thì
u
v
uv
có giá trị bằng
x
,
20
xy
(hoặc
y
,
yx
).
2.
ứ
ng suất chính v phơng chính
Mặt chính đợc xác định thông qua góc nghiêng
0
, sao cho
ứng suất tiếp trên đó bằng 0:
+ = =
xy xy
0xy 0 0
xy
sin2 cos2 0 tg2
2
Đặt
= =
xy
0
xy
tg tg2 tg
= +
0
k.
22
(3.6)
Ta thấy
0
có hai nghiệm l
1
v
2
(ứng với k = 0 v k = 1)
lệch nhau 90
0
ta luôn có hai phơng chính vuông góc với nhau.
Thay
1
v
2
vo (3.4) ta sẽ đợc các ứngsuất chính cần tìm, đó l
những ứngsuất pháp cực trị, vì d
u
/d = - 2
uv
= 0:
+
= +
2
xy xy
2
max xy
min
22
(3.7)
ứngsuất tiếp cực trị xác định bằng d
uv
/d = 0:
==
xy
uv
xy
d
2cos22sin20
d2
=
xy
xy
tg2
2
So sánh với (3.7), ta đợc:
= =
0
0
1
tg2 cotg2
tg2
= +
0
k.
4
(3.8)
Kết luận
: những mặt có ứngsuất tiếp cực trị tạo với mặt chính
một góc 45
0
. Thay (3.8) vo (3.5) với
2
1
cos2
1tg2
=
+
, ta đợc:
()
= +
2
2
max x y xy
min
1
4
2
(3.9)
Tính theo ứngsuất chính ta có:
21
=
max min
max
min
2
(3.10)
III. Vòng tròn Mo (Mohr) ứngsuất
1. Cơ sở của phơng pháp v cách vẽ vòng tròn MO ứngsuất
Xét một phân tố với các ứngsuất
x
,
y
,
xy
đã cho nh hình
3.4a. Lập hệ toạ độ O (hình 3.4b) theo tỷ lệ nhất định. Trên trục
honh đặt các đoạn OE =
y
v OF =
z
. Từ E dựng đoạn ED =
xy
vuông góc với OE. Vẽ vòng tròn có tâm C l trung điểm của đoạn
yz
EF OC
2
+
=
v bán kính CD (CD = R =
2
yz
2
yz
2
+
), gọi l
vòng tròn Mo ứngsuất
(Mohr).
Hình 3.4
Để xác định các ứngsuất
u
v
uv
trên mặt xiên có phơng u
lm với trục x một góc cho trớc (hình 3.4a) hãy lấy trên vòng
tròn vừa vẽ một điểm P (thờng gọi l
điểm cực
) có honh độ
y
v
y
y
x
x
xy
yx
xy
uv
x
y
xy
yx
22
tung độ
xy
(hình 3.4b), rồi từ P vẽ tia song song với phơng u cho
cắt vòng tròn tại điểm M. Toạ độ của M chính l các ứngsuất
u
v
uv
cần tìm.
2. Xác định ứngsuất chính v phơng chính
Các giao điểm A v B của vòng tròn Mo với trục honh O l
những điểm có honh độ lớn nhất v nhỏ nhất, tung độ bằng 0:
+
= +
2
xy xy
2
max xy
min
22
(3.11)
Phơng của các tia PA v PB l các phơng chính cần tìm
của phân tố (hình 3.4a).
Theo hình 3.4b dễ thấy luôn luôn có:
max
+
min
= 2OC =
y
+
z
= hằng (3.12)
Tổng ứngsuất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau l hằng số
.
Gọi
1
v
2
l góc của phơng chính thứ nhất v phơng
chính thứ hai đối với trục x. Theo hình 3.4b, có:
tg
1
=
=
xy
ymax
FP
FA
; tg
2
=
=
xy
ymin
FP
FB
(3.13)
Trong
trờng hợp kéo (nén)
đúng tâm
ứngsuất tiếp lớn nhất:
max min z
1
2
==
(3.14)
đó l hai mặt vuông góc với nhau,
lần lợt lm với trục z một góc 45
o
v 135
o
.
3. Hai trờng hợp đặc biệt
Trạng tháiứngsuất phẳng đặc biệt, ví dụ
x
= ,
y
= 0 (hình
3.5).
Trạngthái trợt
thuần tuý: phân tố m
trên các mặt chỉ có
ứng suất tiếp (hình
3.6a).
Lúc ny vòng
tròn Mo có tâm trùng
y
x
H
ình 3.5
H
ình 3.6
xy
23
với gốc toạ độ (hình 3.6b). Các ứngsuất chính khác dấu nhau v
có giá trị bằng giá trị của ứngsuất tiếp:
1
=
3
=
xy
(3.15)
IV. Liên hệ giữa ứngsuất - biến dạng
1. Biến dạng di (định luật Húc tổng quát)
Trớc hết hãy tìm biến dạng di tơng đối
1
theo phơng I
của phân tố.
Biến dạng do
1
sinh ra:
1
11
E
=
Biến dạng do
2
sinh ra:
12
=
2
E
Biến dạng do
3
sinh ra:
13
=
3
E
Biến dạng di (tơng đối) theo
phơng I do các ba ứngsuất
1
,
2
v
3
sinh ra:
1
=
11
+
12
+
13
.
Lm tơng tự ta đợc biến dạng
(tơng đối) theo phơng II v
phơng III của phân tố:
()
()
()
= +
= +
= +
1123
2231
3312
1
E
1
E
1
E
hoặc
()
()
()
= +
= +
= +
xxyz
yyzx
zzxy
1
E
1
E
1
E
(3.16)
Các hệ thức bậc nhất (3.16) trên đây giữa biến dạng di v
ứng suất pháp l nội dung của
định
luật Húc tổng quát
đối với vật rắn đn
hồi tuyến tính.
2. Biến dạng góc (Định luật Húc về
trợt)
Xét biến dạng của phân tố. Dới
tác dụng của ứngsuất tiếp phân tố bị
biến đổi hình dáng v trở thnh hình
ij
ij
ij
ij
ij
ij
H
ình3.8
Hình 3.
7
24
bình hnh (hình 3-8). Theo định luật Húc, giữa ứngsuất tiếp
v góc trợt có liên hệ sau:
ij
= G
ij
( i, j = 1, 2, 3) (3.18)
trong đó G l hệ số tỷ lệ gọi l môđun đn hồi khi trợt [lực/chiều
di
2
], đó l hằng số vật liệu, đợc xác định từ thí nghiệm. Môđun
G liên hệ với E v nh sau:
E
G
2(1 )
=
+
(3.19)
3. Biến dạng thể tích tỷ đối (định luật Húc khối)
Gọi dx, dy v dz l các cạnh của phân tố v V
0
l thể tích
ban đầu của phân tố, ta có: V
0
= dxdydz
Sau khi biến dạng, chiều di các cạnh thay đổi sẽ l (dx +
dx), (dy + dy) v (dz + dz). Thể tích sau khi biến dạng:
V
1
= V
0
+ V = (dx + dx).(dy + dy).(dz + dz)=
= dxdydz
dx d
y
dz
111
dx d
y
dz
+++
= dxdydz
(
)
()
()
xyz
111
+
++
Vì biến dạng l bé nên có thể bỏ qua các đại lợng vô cùng
bé bậc 2 trở lên. Cuối cùng ta đợc: V
1
= V
0
(1 +
x
+
Y
+
z
)
Gọi l biến dạng thể tích tơng đối của phân tố, ta có:
10
0
VV
V
=
=
x
+
Y
+
z
Thay
x
,
Y
v
z
từ (3.16) vo công thức trên ta đợc:
=
x
+
Y
+
z
=
()
xyz
12
E
+ +
Đặt tổng ứngsuất pháp l: =
xyz
()
+ +
=
E
12
(3.20)
Công thức trên biểu diễn liên hệ bậc nhất giữa biến dạng thể
25
tích tơng đối v tổng các ứngsuất pháp, gọi l
định luật Húc
khối
.
V. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 3.1
. ứngsuất ton phần trên mặt cắt m-n đi qua một
điểm của một vật thể trong trạng tháiứngsuất phẳng P = 3000
N/cm
2
có phơng tạo thnh một góc 60
0
với mặt cắt. Trên mặt
vuông góc với mặt cắt ny chỉ có ứngsuất tiếp (hình 3.9).
Tính ứngsuất pháp v ứngsuất tiếp trên mặt cắt tạo thnh
góc 45
0
với mặt cắt m-n. Tính
ứng suất pháp lớn nhất tại
điểm đó.
Giải
Ta thiết lập hệ trục xy trên
mặt cắt m-n v hệ trục uv
trên mặt cắt nghiêng nh
hình 3.9. Khi đó các thnh
phần ứngsuất trên các mặt
của phân tố ở trạng tháiứng
suất phẳng:
= = =
= = =
=
02
x
02
xy
y
p sin 60 3.0,86 2,6kN / cm
p
cos60 5.0,5 1,5kN / cm
0
áp dụng công thức tính ứngsuất trên mặt cắt nghiêng với = -
135
0
, ta có:
+
= +
xy xy
2
uxy
cos2 sin 2 2,8kN / cm
22
uv
=
xy
2
sin2 +
xy
cos2 1,3 kN/cm
2
ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó l:
u
v
45
0
p
x
y
60
0
n
m
H
ình 3.9
26
max
=
+
++
2
xy xy
2
xy
22
3,28 kN/cm
2
Ví dụ 3.2
. Tại một điểm trên mặt một vật thể chịu lực ngời ta
đo đợc biến dạng tỷ đối theo các phơng
om, on, ou nh sau:
m
= 2,81.10
-4
;
n
= -2,81.10
-4
;
u
= 1,625.10
-4
Xác định phơng chính v ứngsuất
chính tại điểm ấy. Cho biết = 0,3; E =
2.10
4
kN/cm
2
.
Giải
Từ định luật Húc ta rút ra đợc ứng
suất pháp phơng m, n:
()()
()()
= = =
= = =
4
mmn mn
4
4
nnm nm
4
11
0,3 2,81.10
E
2.10
11
0,3 2,81.10
E2.10
m
4,32=
kN/cm
2
;
n
4,32
=
kN/cm
2
Biến dạng theo phơng u:
()
()
= + =
=
uumnu
4
uu
4
1
E
1
= 0,3 4,32 4,32 1,625.10
2.10
m
2,5=
kN/cm
2
ứng suất tiếp
mn
tình từ công thức:
+
= +
mn mn
umn
cos2 sin 2
22
+
=+
00
mn
4,32 4,32 4,32 4,32
2,5 cos 2.45 sin 2.45
22
mn
2,5=
kN/cm
2
Giá trị ứngsuất chính tại điểm cho trớc:
()
()
+
= +=
+
2
2
mn
max m n mn
min
2
2
1
4
22
4,32 4,32 1
= 4,32 4,32 4.2,5
22
2
max
2
min
5kN / cm
5kN / cm
=
=
u
n m
O
45
0
Hình 3.10
45
0
27
Ph−¬ng chÝnh:
τ
α=− =
σ−σ +
mn
mn
2
2.2,5 1
tg2
4,32 4,32
3
⇒
0
1
0
2
15
105
⎧
α=
⎪
⎨
α=
⎪
⎩
. trạng thái ứng suất
nh sau:
Trạng thái ứng suất khối
(hình 3. 2a),
trạng thái ứng
suất phẳng
(hình 3. 2b),
trạng thái ứng suất đơn
(hình 3. 2c)
18
Chơng 3.
Trạng thái ứng suất
I. Khái niệm về trạng thái ứng suất
Trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể đn hồi chịu
lực l tập hợp tất cả các ứng