Sức bền vật liệu _ moment quán tính

• Xem xét moment quán tính I của diện tích A đối với trục AA’ 2 ' AA • Trục BB’ đi qua trọng tâm diện tích và được gọi là trục trọng tâm... • Moment quán tính của diện tích phức A đối vớ

MECHANICS OF MATERIALS

CHAPTER

5

Moments of Inertia Moment quán tính

Moments of Inertia of an Area

Moment of Inertia of an Area by

Integration

Polar Moment of Inertia

Radius of Gyration of an Area

Sample Problem 4.1

Sample Problem 4.2

Parallel Axis Theorem

Moments of Inertia of Composite

Sample Problem 4.8 Moment of Inertia of a Mass Parallel Axis Theorem

Moment of Inertia of Thin Plates Moment of Inertia of a 3D Body by Integration

Moment of Inertia of Common Geometric Shapes

Sample Problem 4.12 Moment of Inertia With Respect to an Arbitrary Axis

Ellipsoid of Inertia Principle Axes of

• Chương này sẽ giới thiệu phương pháp tính moment quán tính đối với trục và tích moment quán tính.

• Xem xét lực phân bố , độ lớn của nó tỉ lệ với diện tích phần tử A , trên nó, lực này tác dụng

và thay đổi tuyến tính đối với khoảng cách của

moment second

moment first

y k M

Q dA

y dA

y k R

A ky F

dA y R

A y A

p F

2







• Moment quán tính của một diện tích

• Với một diện tích hình chữ nhật,

3 3

1 0

2

y I

h

• Công thức cho diện tích chữ nhật cũng

có thể được áp dụng với những dải mà

nó song song trục tọa độ,

dx y x dA x dI

dx y

3

=

• Moment quán tính cực là một thông số

quan trọng bài toán bao gồm đối tượng

là trục tròn chịu xoắn và sự quay của thanh dẹt (hoặc tấm)

x dA

y x

dA r J

• Xem xét diện tích A với moment

quán tính I x Tưởng tượng rằng diện tích này tập trung trong một dải mỏng song song với trục x

A

I k

A k

A k J

A

I k

A k I

O O

O O

y y

y y

2 2

2

y x

• Với tam giác đồng dạng,

dy h

y h b dA h

y h b l h

y h b

x

y y

h h b

dy y

hy h

b dy h

y h b y dA

y I

0

4 3

0

3 2

0

2 2

O O

O

du u du

u u

dJ J

du u dA

dA u dJ

0

3 0

2

2

2 2

y x

I diameter x 

=

=

• Xem xét moment quán tính I của diện

tích A đối với trục AA’

2 '

AA

• Trục BB’ đi qua trọng tâm diện tích và

được gọi là trục trọng tâm.

2 '

AA BB

I = I  Ad Lý thuyết trục song

song

• Moment quán tính I T của diện tích tròn đối với tiếp tuyến của đường tròn,

 

4 4

5

2 2 4

4

1 2

r

r r r

Ad I

2 3

1 2

1 3 12

1 2

2

bh

h bh bh

Ad I

I

Ad I

I

A A B

B

B B A

• Moment quán tính của diện tích phức A đối với một trục đã cho

bằng tổng moment quán tính của diện tích thành phần A1, A2, A3, , đối với cúng một trục

tính đối với trục song song với tấm

thép và đi qua trọng tâm tiết diện

SOLUTION:

• Xác định trọng tâm tiết diện phức đối với gốc đặt tại trọng tâm của dầm

• Áp dụng lý thuyết trục song song để xác định moment quán tính của dầm và tấm thép đối với trục trọng tâm của tiết diện phức

• Tính bán kính quán tính từ moment quán tính của tiết diện phức

• Xác định trọng tâm tiết diện phức đối với gốc đặt tại trọng tâm của dầm

12 50 95

17

0 0

11.20 Section

Beam

12 50 425

7 6.75

Plate

in , in.

A

in.

792

2 in

17.95

in 12 50

A y A

Y

• Áp dụng lý thuyết trục song song để xác định moment quán tính của dầm và tấm thép đối với trục trọng tâm của tiết diện phức.

4

2 3

4

3 12

1

2 plate

,

4

2 2

section beam

,

in 2 145

792 2 425 7 75 6 9

in 3 472

792 2 20 11 385

I

Y A I

I

x x

x x

• Tính bán kính quán tính từ moment quán tính của tiết diện phức.

2

4

in 5 617

472

plate , section

beam ,  = 

=



x

I

• Moment quán tính của diện tích tô bóng nhận được bằng cách lấy

moment quán tính của hình chữ nhật trừ cho nửa hình tròn

2 2

1 2 2 1

mm 10

72 12

90

mm 81.8 a

120 b

-mm 2

38 3

90 4 3

r a

Moment quán tính đối với x’,

4 6

3 6

2

mm 10

20 7

10 72 12 10 76 25

2 3

6 2

8 81 10

72 12 10

20

• Moment quán tính của diện tích tô bóng nhận được bằng cách lấy moment quán tính của hình chữ nhật trừ cho nửa hình tròn.

4 6

mm 10

9

2

138   92  3 106mm4

I xy = xy 

dA x I

dA y I

sin 2

2 sin 2

cos 2

2

2 sin 2

cos 2

2

xy

y x

y x

xy

y x

y x

y

xy

y x

y x

x

I

I

I I

I

I I

I

I I

I

I I

I

I I

• Sự thay đổi của trục mang lại

• Phương trình cho I x’ và I x’y’ là phương trình tham số của đường tròn,

2

2 2

2

2

y x

y x

ave

y x ave

x

I

I

I R

I

I I

R I

I I

sin cos

x y

y

y x

• Tại điểm A và B, I x’y’ = 0 và I x’

tương ứng là một cực đại hoặc cực tiểu

R I

Imax,min = ave 

y x

xy m

I I

• I max và I min là moment quán tính

chính của diện tích đối với O.

• Phương trình của θ m định nghĩa hai góc, lệch nhau một góc 90o

mà nó tương ứng với trục chính của diện tích đối với O.

Xác định tích quán tính của

tam giác vuông (a) đối với

trục x, y và

(b) đối với truc trọng tâm

song song với trục x và y

SOLUTION:

• Xác định tích quán tính bằng cách tích phân trực tiếp với lý thuyết trục song song trên dải diện tích vi phân thẳng đứng

• Áp dụng lý thuyết trục song song

để ước lượng tích quán tính đối với trục trọng tâm

• Xác định tích quán tính bằng cách tích phân trực tiếp với lý thuyết trục song song trên dải diện tích vi phân thẳng đứng.

y y

x x

dx b

x h

dx y

dA b

x h

y

el

1 1

2

1 2

1

Tích phân dI x từ x = 0 đến x = b,

 

b b

b el

el xy

xy

b

x b

x x

h

dx b

x b

x x h

dx b

x h

x dA

y x dI

I

0 2

4 3

2 2

0 2

3 2

2

0

2 2

2 1

8 3

4 2

1 b h

I =

• Áp dụng lý thuyết trục song song để ước lượng tích quán tính đối với trục trọng tâm.

h y

A y x I

I

y x

y x xy

2

1 3

1 3 1 2 2 24

1 b h

I xy = 

Với tiết diện như hình vẽ,

moment quán tính đối với trục x

và trục y I x = 10.38 in4 và I y =

6.97 in4

Xác định (a) phương của trục

chính của tiết diện đối với O, và

(b) moment quán tính chính đối

SOLUTION:

• Tính tích quán tính đối với trục xy bởi chia tiết diện thành 3 hình chữ nhật và áp dụng lý thuyết trục

song song đối với mỗi hình

• Xác định phương của trục chính (Eq 9.25) và moment quán tính chính (Eq 9 27)

• Tính tích quán tính đối với trục xy bởi chia tiết diện thành 3 hình chữ nhật.

56 6

28 3 75

1 25

1 5

1

0 0

0 5

1

28 3 75

1 25

1 5

1

in , in.

in.

, in

II I

A y x y

4

in 56 6



=

= x y A

I xy

• Xác định phương của trục chính (Eq 9.25)

và moment quán tính chính (Eq 9 27)

4 4 4

in 56 6

in 97 6

in 38 10

I I I

4 75 2

85

3 97

6 38 10

56 6 2

2 2

tan

m

y x

xy m

I I I

min max,

56

6 2

97 6 38 10 2

97 6 38 10

2 2

4 min

4 max

in 897 1

in 45 15

I I

b a

hệ trục vuông góc bất kỳ bằng đồ thị hoặc bằng giải tích.

• Đồng thời nó cũng xác định trục chính, moment và tích quán tính chính

Moment và tích quán tính đối với trục

x, y là I x = 7.24x106 mm 4, I y =

2.61x106 mm 4, và I xy = -2.54x10 6

mm 4

Sử dụng vòng tròn Mohr, xác định (a)

trục chính đối với O, (b) giá trị

moment chính đối với O, và (c) giá trị

của moment và tích quán tính đối với

trục x’ và y’.

SOLUTION:

• Vẽ điểm (I x , I xy ) và (I y ,-I xy) Dựng vòng tròn Mohr trên cơ sở đường kính giữa hai điểm.

• Dựa trên đường tròn, xác định phương của trục chính và moment quán tính chính.

• Dựa trên đường tròn, đánh giá moment và tích quán tính đối với

trục x’y’.

4 6

4 6

4 6

mm 10

54 2

mm 10

61 2

mm 10

24 7

4 6

2 1

4 6

2 1

mm 10

437 3

mm 10

315 2

mm 10

925 4

R

I I CD

I I I

OC

y x

y x

OA

Imax = = ave  Imax = 8 36  106mm4

R I

OB

Imin = = ave  Imin = 1 49  106mm4

4 6

mm 10

925

4 

=

= I

OC ave

• Dựa trên đường tròn, đánh giá moment và tích

quán tính đối với trục x’y’.

Điểm X’ và Y’ tương ứng với trục x’ và y’

nhận được bằng cách quay CX và CY ngược

chiều kim đồng hồ một góc Q = 2(60o) = 120o

Góc mà CX’ tạo với trục x’ là f = 120 o - 47.6 o

= 72.4o.

o ave

I ' = =   cos  =  cos 72 4

4 6

mm 10

89

I ' = =   cos  =  cos 72 4

4 6

mm 10

96

I  ' = =  sin  = sin 72 4

4 6

mm 10

28