Fourth Edition CHAPTER MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P Beer E Russell Johnston, Jr John T DeWolf Lecture Notes: J Walt Oler Texas Tech University Pure Bending Thanh Chịu Uốn © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Pure Bending Pure Bending Symmetric Member in Pure Bending Bending Deformations Strain Due to Bending Beam Section Properties Deformations in a Transverse Cross Section Sample Problem 4.2 Bending of Members Made of Several Materials Example 4.03 Reinforced Concrete Beams Sample Problem 4.4 Stress Concentrations Plastic Deformations Members Made of an Elastoplastic Material © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Example 4.03 Reinforced Concrete Beams Sample Problem 4.4 Stress Concentrations Plastic Deformations Members Made of an Elastoplastic Material Plastic Deformations of Members With a Single Plane of S Residual Stresses Example 4.05, 4.06 Eccentric Axial Loading in a Plane of Symmetry Example 4.07 Sample Problem 4.8 Unsymmetric Bending Example 4.08 General Case of Eccentric Axial Loading 4-2 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Pure Bending Uốn túy: Chi tiết hình trụ chịu tác dụng ngẫu lực tác dụng mặt phẳng dọc trục © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 4-3 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Phần đối xứng uốn túy • Nội lực mặt cắt tương đương với ngẫu lực Moment ngẫu lực moment uốn tiết diện • Tổng thành phần lực hướng khơng • Moment trục vng góc với mặt phẳng ngẫu lực không trục thuộc mặt phẳng • Những điều kiện áp dụng đến tổng thành phần moment nội lực siêu tĩnh Fx s x dA M y zs x dA M z ys x dA M © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 4-4 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Biến dạng uốn Dầm với mặt phẳng đối xứng chịu uốn túy: • Phần tử đối xứng • Uốn để tạo thành cung tròn • Mặt phẳng tiết diện qua tâm cung phẳng • Chiều dài cạnh đỉnh giảm cạnh tăng • Mặt trung hòa phải xuất Nó song song với mặt mặt dưới, đồng thời chiều dài khơng đổi • Ứng suất biến dạng phần tử phía mặt trung hòa âm (nén) ngược lại © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 4-5 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Biến dạng uốn Xét đoạn dầm với chiều dài L Sau biến dạng, chiều dài mặt trung hoa không đổi Tại mặt cắt bất kỳ, L y q L L y q q yq yq y x (strain varies linearly) L q c c m or ρ m y c x m + với ρ : bán kính cong © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 4-6 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ứng suất uốn • Với vật liệu đàn hồi tuyến tính, y c s x E x E m y s m (stress varies linearly) c • Khi cân tĩnh, y Fx s x dA s m dA c s m y dA c Moment tĩnh trục trung hòa khơng Như vậy, trục trung hòa qua trọng tâm tiết diện © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved • Khi cân tĩnh, y M ys x dA y s m dA c s s I M m y dA m c c Mc M sm I S y Substituting s x s m c My sx I 4-7 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Đặc tính tiết diện • Ứng suất pháp cực đại uốn, Mc M I S I section moment of inertia I S section modulus c sm Một dầm có moment tĩnh lớn, ứng suất cực đại nhỏ • Xét dầm tiết diện hình chữ nhật I 12 bh S 16 bh3 16 Ah c h2 Giữa hai dầm diện tích tiết diện, dầm có chiều cao h lớn hiệu chống uốn • Dầm thép thiết kế đề có moment tĩnh lớn © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 4-8 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Biến dạng mặt cắt ngang • Biến dạng moment uốn M định lượng đường cong mặt trung hòa: s Mc m m c Ec Ec I M EI • Mặt dầu mặt phẳng tiết diện phẳng chịu moment uốn, biến dạng “trong mặt phẳng” khác không, y x y z x y • Giãn nở phía co rút phía mặt trung hòa hướng y, z gây uốn cong “trong mặt phẳng”, anticlasti c curvature © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 4-9 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 6.1 SOLUTION: • Dựa hình học tiết diện, tính trọng tâm tiết diện moment quán tính Y yA A I x I A d • Áp dụng cơng thức uốn đàn hồi dể tìm ứng suất nén kéo lớn Một chi tiết gang đúc chịu tác dụng moment kN-m Biết E = 165 GPa loại bỏ ảnh hưởng mặt lượn, xác định (a) ứng suất nén kéo cực đại, (b) bán kính cong © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved sm Mc I • Tính bán kính cong M EI - 10 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 6.14 Dầm chịu tải phân bố hình vẽ, xác định phản lực gối tựa góc xoay đầu mút A SOLUTION: • Giải phóng “liên kết thừa” gối B, tìm biến dạng • Xem phản lực B ẩn số mà gây độ võng khơng B © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 87 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 6.14 • Tải phân bố yB w w x Lx L3 x 24 EI Tại B, yB w x L w 2 3 L L L L L 24 EI 3 wL4 0.01132 EI © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 88 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 6.14 • Tác dụng phản lực liên kết thừa: At x a, Pa 2b y 3EIL For a 23 L and b 13 L yB R R 2 L B L 3EIL RB L3 0.01646 EI © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 89 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 6.14 • Để tương thích với biến dạng liên kết ban đầu wL4 RB L3 y B w y B R 0.01132 0.01646 EI EI RB 0.688wL • Từ ptcb tĩnh, R A 0.271wL RC 0.0413wL © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 90 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 6.14 Góc xoay A, wL3 wL3 q A w 0.04167 24 EI EI q A R Pb L2 b 0.0688wL L L wL3 L 0.03398 EIL EIL EI wL3 wL3 q A q A w q A R 0.04167 0.03398 EI EI © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved wL3 q A 0.00769 EI - 91 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Định lý Moment – Diện tích (Moment-Area Theorems) • Đặc tính hình học đường cong đàn hồi sử dụng để tính độ võng góc xoay • Xét dầm chịu tải tùy ý dq d y M dx dx qD xD q dq C xC EI M dx EI xD q D qC q D / C xC M dx EI • Định lý Moment-Diện tích thứ 1: qD C diện tích giãn đồ (M/EI) C D © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 92 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Định lý Moment – Diện tích (Moment-Area Theorems) • Tiếp tuyến đường cong đàn hồi P P’ cắt đường thẳng đứng qua C đoạn dt dt x1dq x1 xD tC D xC x1 M dx EI M dx EI = độ lệch tiếp tuyến C D • Định lý Moment-Diện tích thứ 2: Độ lệch tiếp tuyến C D moment tĩnh trục thẳng đứng qua C diện tích giãn đồ (M/EI) C D © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 93 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Áp dụng cho dầm congxon dầm chịu tải đối xứng • Dầm congxon – Chọn tiếp tuyến A tham chiếu with θ A 0, qD qD A yD t D A • Dầm đơn chịu tải đối xứng – Chọn tiếp tuyến C tham chiếu with θC 0, qB qB C yB t B C © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 94 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Độ võng-góc xoay từ giãn đồ moment thành phần Xác định thay đổi góc xoay độ lệch tiếp tuyến đơn giản hóa ảnh hưởng tải trọng đánh giá độc lập • Xây dựng giãn đồ độc lập (M/EI) cho tải trọng - Sự thay đổi góc xoay, qD/C, nhận việc cộng diện tích giãn đồ - Độ lệch tiếp tuyến, tD/C nhận cộng moment tĩnh diện tích trục thẳng đứng qua D • Giãn đồ moment xây dựng từ tải độc lập nói vẽ thành phần © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 95 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 6.15 SOLUTION: • Xác định phản lực gối tựa • Vẽ biểu đồ lực cắt, moment uốn (M/EI) Với dầm hình trụ chịu tải hình vẽ, xác định độ võng góc xoay • Chọn tiếp tuyến C E tham chiếu, đánh giá góc xoay độ võng E © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 96 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 6.15 SOLUTION: • Phản lực gối tựa RB RD wa • Vẽ biểu đồ lực cắt, moment uốn (M/EI) wa L wa L A1 EI EI wa wa a A2 EI EI © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 97 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 6.15 • Góc xoay E: q E qC q E C qE C wa L wa A1 A2 EI EI wa 3L 2a qE 12 EI • Độ võng E: yE tE C tD C L 3a L A1 a A2 A1 4 wa L wa L2 wa wa L2 EI 16 EI EI 16 EI wa 2 L a yE EI © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 98 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Áp dụng định lý moment dầm chịu tải phi đối xứng • Định nghĩa tiếp tuyến tham chiếu A Đánh giá qA xác định độ lệch tiếp tuyến B A qA tB A L • Góc xoay điểm khác tìm thấy tiếp tuyến tham chiếu qD q A qD A • Độ võng D tìm thấy từ độ lệch tiếp tuyến D EF HB x L EF x tB A L y D ED EF t D A © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved x tB A L - 99 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Độ võng cực đại • Độ võng cực đại xuất K nơi tiếp tuyến nằm ngang tB A qA L qK q A qK qK A A q A • Điểm K xác định việc đo diện tích bên giản đồ (M/EI) -qA • ymax tính moment tĩnh trục thẳng đứng qua A diện tích A K © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 100 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sử dụng định lý Moment-Diện tích với dầm siêu tĩnh • Phản lực gối dầm siêu tĩnh tìm thấy định rõ liên kết thừa xử lý ẩn số mà thỏa mãn u cầu dịch chuyển tương thích • Giản đồ (M/EI) vẽ thành phần Độ lệch tiếp tuyến cộng tác dụng liên quan đến u cầu tương thích • Với phản lực xác định, độ võng góc xoay xác định từ giãn đồ moment-diện tích © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 101 ... Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Biến dạng uốn Dầm với mặt phẳng đối xứng chịu uốn túy: • Phần tử đối xứng • Uốn để tạo thành cung tròn • Mặt phẳng tiết diện qua tâm cung phẳng... dầm bê tơng tăng cường composite • Dầm bê tông chịu moment uốn tăng cường thép • Thanh thép mang toàn tải kéo bên ưới mặt trung hòa Phần phía dầm chịu tải nén • Tại tiết diện biến đổi, diện tích... bending.Cho dầm • Áp dụng cơng thức uốn đàn gỗ chịu tải hình vẽ, vẽ biểu hồi để xác định ứng suất pháp đồ lực cắt moment uốn, cực đại tương ứng ác định ứng suất pháp cưc đại uốn © 2006 The McGraw-Hill