Sức bền vật liệu_ xoắn

• Quan tâm đến ứng suất và biến dạng của trục tròn chịu xoắn.. • Không giống như ứng suất pháp do tải dọc trục, sự phân bố của ứng suất cắt do moment xoắn không thể giả thuyết là đồng nh

Xoắn

Introduction

Torsional Loads on Circular Shafts

Net Torque Due to Internal Stresses

Axial Shear Components

Angle of Twist in Elastic Range

Statically Indeterminate ShaftsSample Problem 3.4

Design of Transmission ShaftsStress Concentrations

Torsion of Noncircular MembersThin-Walled Hollow Shafts

Example 3.10

• Quan tâm đến ứng suất và biến

dạng của trục tròn chịu xoắn.

• Máy phát tạo ra một moment

xoắn T’ = T và ngược chiều.

• Trục truyền moment xoắn đến máy phát.

• Động cơ thực hiện một moment

xoắn T lên trục.

Moment xoắn do bởi ứng suất bên trong

• Mặt dầu biết moment xoắn do ứng xuất cắt gây ra, sự phân bố của ứng suất này thì

không.

• Không giống như ứng suất pháp do tải dọc trục, sự phân bố của ứng suất cắt do moment xoắn không thể giả thuyết là đồng nhất.

• Sự phân bố ứng suất này rất phức tạp – do vậy phải xem xét biến dạng của trục

 

6 kN m *

AB AB

Thanh ngàm hai đầu (siêu tĩnh)

* Thay ngàm tại A và B bởi TA và TB

= Có được hai quan hệ

Brief – Tóm tắt

* Ứng suất cắt trên mcn * Góc xoắn tỉ đối

4 2

T dx

rad GJ

• Moment xoắn tác dụng lên trục tạo nên ứng suất cắt trên những mặt vuông góc với trục.

• Trục được làm từ những thanh mãnh chịu xoắn sẽ xuật hiện những thành phần ứng suất cặt dọc trục.

• Để cân bằng thì những mặt chứa trục của trục chịu xoắn phải xuất hiện ứng suất cắt bằng về giá trị.

• Các thanh mãnh sẽ trượt tương đối với nhau khi có hai moment xoắn bằng nhau

về giá trị và ngược chiều tác dụng.

• Quan sát hình: góc xoắn của trục tỉ lệ với moment xoắn tác dụng và chiều dài của trục

• Xét phần tử trên trục Khi tải xoắn tác dụng, phần tử này sẽ biến dạng thành hình bình hành

• Biến dạng cắt tỉ lệ với góc xoắn và bán kính

• Do đó

• Khi hai mặt bên của phần tử vẫn phẳng, biến dạng cắt bằng góc xoắn.

Ứng suất trong phạm vi đàn hồi

J c

dA c

4 2

1 c c

J   

and

max

J

T J

• Như vậy ứng suất cắt,

• Nhân phương trình vừa rồi với modul cắt G,

max





 G c

Từ định luật Hooke,  G , như vậy

Ứng suất cắt biến đồi tuyến tính với bán kính của mặt cắt.

• Những phần tử có mặt song song và vuông góc với trục của trục chỉ chịu ứng suất cắt Ứng suất pháp, cắt hoặc kết hợp

cả haicó thể được tìm thấy ở hướng khác.

max 0

0 max 45

0 max 0

max

2 2

2 45

cos 2

F

A A

F

• Xét phần tử tạo góc 45o với trục của trục,

• Phần tử a chịu cắt thuần túy

• Chú ý rằng ứng suất đối với phần tử a

và c có cùng độ lớn.

• Phần tử c chịu ứng suất kéo trên hai mặt

và ứng suất nén trên hai mặt khác

Kiểu hư hỏng xoắn

• Vật liệu dẻo thường hư hỏng khi chịu cắt Vật liệu dòn chịu xoắn kém hơn.

• Khi chịu xoắn, vật liệu dẻo đứt tại mặt phẳng có ứng suất cắt cực đại: mặt phẳng vuông góc trục.

• Khi chịu xoắn, vật liệu dòn đứt dọc theo mặt phẳng vuông góc với phương mà ở đó ứng suất pháp cực đại: mặt phẳng tạo góc 45o vơi trục.

Trục rỗng BC có đường kính trong

và ngoài 90 mm và 120 mm Trục

rắn AB và CD có đường kính d Với

tải như hình vẽ, xác dịnh (a) ứng

suất cắt cực đại và cực tiểu trong

BC, (b) đường kính yêu cầu d của

• Với tải xoắn và ứng suất cắt, tìm đường kính yêu cầu.

• Áp dụng công thức xoắn đàn hồi để tìm ứng suất cực đại

và cực tiểu trong BC.

AB x

T T

T M

m kN 6

m kN 20

m kN 14 m

kN 6 0

T

T M

Sample Problem 3.1

hồi để tìm ứng suất cực đại và

cực tiểu trong BC.

       

4 6

4 4

4 1

4 2

m 10 92 13

045 0 060

0 2 2

MPa 2

86

m 10 92 13

m 060 0 m kN 20

4 6

2 2

64

mm 60

mm 45 MPa

2 86

min

min 2

1 max

MPa 7

64

MPa 2

86

m kN 6 65

3

3 2

4 2 max

Tc J

2 

 c d

Góc xoắn trong phạm vi đàn hồi

• Quan hệ giữa góc xoắn và biến dạng cắt cực đại,

max

c L

TL

or GJ

Tính ứng suất cắt lớn nhất trên

thanh và góc xoắn tại mặt cắt A,

B của trục chịu lực như hình vẽ

• Xác định moment xoắn nội lực trong đoạn AB, BC.

2

1 1

T 1

300 Nm 600 Nm t

x2

2 2

• Ứng suất cắt tại ngàm C.

 24

900000 2.5

2.5 2

C C

T c

N cm J

T 300

900

• Góc xoắn tại B.

    

Sample Problem 3.4

Moment xoắn phân bố đều q

(lb.in/in) tác dụng lên toàn bộ trục và

moment tập trung T = 3qL (lb.in) tác

dụng tại B Modul đàn hồi trượt G,

• J và r là hằng số, ứng suất cắt cực đại xuất hiện tại mặt cắt có T cục đại

• Góc xoay tương đối ở AB và

BC Từ đó tính góc xoay tại C.

• Figs (a; b) show FBD of AB , BC after imaginary cuts are made at x from A and internal torques TAB, TBC drawn as per out convention We place the distributed torque by an equivalent torque that is equal to the distributed torque intensity multiplied by length of the cut shaft

• Integrating Eq of the angle of twist for each segment, the relative

rotation of segment ends is

x L AB

• a) The rotation of the section at C

with respect to the section at A

• b) The figure above show the plot of the internal torque as a function

of x The maximum torque will occur on a section just to the right of

B The maximum torsional shear stress is

Sample Problem 3.6

Sample Problem 3.6

Sample Problem 3.6

TL JG

Fixed support Fixed end

• Khi cả hai đầu mút của BE quay, góc xoắn của BE bằng độ lệch giữa

góc xoắn ϕB và ϕE.

Sample Problem 3.3

Hai trục thép được kết nối bởi

bánh răng Biết rằng mỗi trục có

G = 11.2 x 106 psi và ứng suất

cắt cho phép 8 ksi, xác định (a)

Moment xoắn lớn nhất T0 mà nó

có thể tác dụng tại đầu mút của

AB, (b) góc xoắn đầu mút A khi

• Áp dụng phân tích động học để tìm quan hệ của góc xoắn của bánh răng.

C B

C C

B

C B

C C B

B

r r

r r

in.

875 0

in.

45 2









• Tìm moment xoắn cho phép

in.

5 0

in.

5 0 8 2 8000

in.

lb 663

in.

375 0

in.

375 0 8000

0

4 2

0 max

0

4 2

0 max

J

c T T

T psi J

c T

CD CD

AB AB

2.8 561lb in 36in.

0.5in 11.2 10 psi 0.514 rad 2.95



A

Sample Problem 3.3

• Với trục chịu xoắn như hình vẽ, chúng ta

90 



 B

A T T

ft lb 90

1 2

J L T

• Thay vào phương trình cân bằng tĩnh,

Các dạng bài toán cơ bản

• Bài toán kiểm tra độ bền

• Điều kiện cứng

• Bài toán thiết kế

Nếu thanh tròn đặc lấy  = 0

• Bài toán xác định tải trọng cho phép

T D

fT T

  hollow shafts

2

shafts solid

2

max

4 1

4 2 2 2

max 3

c c c

J

T c

c J

J Tc

• Thiết kệ phải chọn vật liệu

và tiết diện để đáp ứng tiêu

chí kỹ thuật yêu cầu mà

không vượt qua ứng suất cắt

Stress Concentrations

• The derivation of the torsion formula,

assumed a circular shaft with uniform cross-section loaded through rigid end plates

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved

- h : bước của lò xo.

- D : đường kính trung bình của lò xo.

- d : đường kính của dây lò xo.

-  : góc nghiêng của các dây lò xo.

- n : số vòng dây làm việc của lò xo.

PD

8 K

d

Q 4 F

z

M

d W





1 d

D

25

0 d



n D 8

Điều kiện bền của lò xo

Độ co hay giãn của lò xo

Độ cứng của lò xo

Kiểm tra độ bền của một lò xo hình trụ, dây lò xo có mặt cắt ngang

là hình tròn, lực kéo tác dụng lên lò xo là 3kN Đường kính trung bình của lò xo là D=0,2m Đường kính của dây làm lò xo d = 2cm

Số vòng làm việc của lò xo là n = 18,  =2,5.108 N/m2, G = 8.1010N/m2 Tính độ giãn dài của lò xo.

Ví dụ 6-6

3 3

m N

10 91

1 02

0 14 3

2 0 10

3 8

d

PD 8

/

, ,

,

,

10 d

8 3

m N

10 18

2

10 91

1 14

1

d

PD

8 K

/

,

,

18 2

0 10

3 8

Gd

n PD 8

4 10

3 3

4 3

, ,

.

,

• At large values of a/b, the maximum

shear stress and angle of twist for other open sections are the same as a

rectangular bar

G ab c

TL ab

c

T

3 2

2 1



• For uniform rectangular cross-sections,

• Previous torsion formulas are valid for axisymmetric or circular shafts

• Planar cross-sections of noncircular shafts do not remain planar and stress and strain distribution do not vary linearly

Trục rỗng thành mõng

• Lập ptcb theo phương x trên AB,

ứng suất cắt thay đổi tỉ lệ ngịch với chiều dày

flow shear

t

x t x

t F

B B A A

B B A

A x

Ống nhôm ép đùn có tiết diện chữ nhật chịu tác dụng moment xoắn 24 kip-in Xác định ứng suất cắt ở mỗi thành ống với (a) độ dày thành ống 0.160 in and (b) độ dày 0.120 in

trên AB; CD và 0.200 in trên CD; BD.

1 in.

986 8 2

in.

kip 24 2

-in.

986 8 in.

34 2 in.

84 3

• Tìm ứng suất cắt tương ứng trên mỗi thành ống

Độ dày thành ống ko đổi,

in.

160 0

in.

kip 335 1

in.

kip 335 1

in.

kip 335 1



 CD

BC 

Example 3.10

• The solid spindle AB has a diameter

ds = 1.5 in and is made of a steel with an allowable shearing stress of

12 ksi, while sleeve CD is made of a

brass with an allowable shearing stress of 7 ksi Determine the largest

torque T that can be applied at A

• The solid spindle AB is made of a steel with an allowable shearing

stress of 12 ksi, and sleeve CD is made of a brass with an allowable

shearing stress of 7 ksi Determine (a) the largest torque T that can be

applied at A if the allowable shearing stress is not to be exceeded in

sleeve CD, (b) the corresponding required value of the diameter ds of

spindle AB.

• Under normal operating conditions, the electric motor exerts a 12-kip.in

Problem 3.3-4

• Solve Prob 3.4, assuming that a 1-in.-diameter hole has been

drilled into each shaft

in MPa N mm

• The allowable shearing stress is 15 ksi in the

1.5-in.-diameter steel rod AB and 8 ksi in the 1.8-in.-diameter brass rod BC Neglecting the

effect of stress concentrations, determine the

largest torque that can be applied at A

• The allowable shearing stress is 15 ksi in the

steel rod AB and 8 ksi in the brass rod BC Knowing that a torque of magnitude T = 10 kip.in is applied at A, determine the required diameter of (a) rod AB, (b) rod BC.

• The solid rod AB has a diameter d AB =

60 mm The pipe CD has an outer

diameter of 90 mm and a wall thickness of 6 mm Knowing that both the rod and the pipe are made of steel for which the allowable shearing stress is 75 MPa, determine the

largest torque T that can be applied at

A

Problem 3.7-8

• The solid rod AB has a diameter d AB = 60 mm and is made of a steel for

which the allowable shearing stress is 85 MPa The pipe CD, which has an

outer diameter of 90 mm and a wall thickness of 6 mm, is made of an aluminum for which the allowable shearing stress is 54 MPa Determine the

largest torque T that can be applied at A

• A torque of magnitude T 5 1000 N ? m is applied at D as shown Knowing that the diameter of shaft AB is 56 mm and that the diameter of shaft CD is

42 mm, determine the maximum shearing stress in (a) shaft AB, (b) shaft

CD

• A torque of magnitude T 5 1000 N ? m is applied at D as shown Knowing

that the allowable shearing stress is 60 MPa in each shaft, determine the

required diameter of (a) shaft AB, (b) shaft CD

Problem 3.11

• The electric motor exerts a 500 N m-torque on the aluminum shaft ABCD when it is rotating at a constant speed Knowing that G = 27 GPa and that the torques exerted on pulleys B and C are as shown, determine the angle of twist between (a) B and C, (b) B and D

• The aluminum rod AB (G = 27 GPa) is bonded to the brass rod BD (G = 39 GPa) Knowing that portion CD of the brass rod is hollow and has an inner diameter of 40 mm, determine the angle of twist at A

• The solid spindle AB has a diameter d s =

1.5 in and is made of a steel with G =

11.2x106 psi and τall = 12 ksi, while

sleeve CD is made of a brass with G =

5.6x106 psi and τall = 7 ksi Determine

the largest angle through which end A

can be rotated

Problem 3.13-14

• The solid spindle AB has a diameter d s = 1.75 in and is made of a steel with G

= 11.2x106 psi and τall = 12 ksi, while sleeve CD is made of a brass with G =

5.6x106 psi and τall = 7 ksi Determine (a) the largest torque T that can be

applied at A if the given allowable stresses are not to be exceeded and if the

angle of twist of sleeve CD is not to exceed 0.3750, (b) the corresponding angle through which end A rotates.

AB CD

T T

• Two shafts, each of 7/8-in diameter, are connected by the gears shown

Knowing that G = 11.2x106 psi and that the shaft at F is fixed, determine the angle through which end A rotates when a 1.2 kip.in torque is applied at A.

Problem 3.16

• Two solid shafts are connected by gears as shown Knowing that G = 77.2 GPa for each shaft, determine the angle through which end A rotates when T A

= 1200 N.m

• A hole is punched at A in a plastic sheet by applying a 600-N force P to end

D of lever CD, which is rigidly attached to the solid cylindrical shaft BC

Design specifications require that the displacement of D should not exceed

15 mm from the time the punch first touches the plastic sheet to the time it

actually penetrates it Determine the required diameter of shaft BC if the shaft is made of a steel with G 5 77 GPa and tall 5 80 MPa.

Problem 3.18

• The steel jacket CD has been attached

to the 40-mm-diameter steel shaft AE

by means of rigid flanges welded to

the jacket and to the rod The outer diameter of the jacket is 80 mm and its wall thickness is 4 mm If 500 N.m-torques are applied as shown,

determine the maximum shearing stress in the jacket

• The solid cylinders AB and BC are bonded together at B and are attached to fixed supports at A and C Knowing that

the modulus of rigidity is 3.7x106 psi for aluminum and 5.6x106 psi for brass, determine the maximum shearing stress

(a) in cylinder AB, (b) in cylinder BC

0

BC AB

unit Knowing that G = 11.2x106psi, determine the maximum shearing stress in each shaft when a

torque of T of magnitude 420 kip.ft

is applied to the flange indicated

3.21 The torque T is applied to