Sức bền vật liệu ứng suất và tải doc trục

2 - 3Ứng suất & biến dạng Stress & Strain: Axial Loading • Chương 2 liên quan đến biến dạng của thành phần cấu trúc dưới dác dụng của tải dọc trục.. Xác định biến dạng dài của thanh dưới

MECHANICS OF MATERIALS

CHAPTER

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved

– Axial Loading Ứng suất và Biến dạng – Tải dọc

trục

Normal Strain

Stress-Strain Test

Stress-Strain Diagram: Ductile Materials

Stress-Strain Diagram: Brittle Materials

Hooke’s Law: Modulus of Elasticity

Elastic vs Plastic Behavior

Composite Materials Saint-Venant’s Principle Stress Concentration: Hole Stress Concentration: Fillet Example 2.12

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 3

Ứng suất & biến dạng (Stress & Strain: Axial Loading

• Chương 2 liên quan đến biến dạng của thành phần cấu trúc

dưới dác dụng của tải dọc trục Những chương sau sẽ giải quyết các bài toán xoắn và uốn thuần túy

• Phương diện quan trọng của phân tích và thiết kế cấu trúc

liên quan đến biến dạng do tải áp dụng lên cấu trúc gây ra

• Trong một vài trường hợp, những phân tích tĩnh thì không

đủ Như vậy ta phải xem xét ở trường hợp siêu tĩnh Khi đó cấu trúc được xem như những cấu trúc biến dạng được

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved

Deformations Under Axial Loading

Thanh tiết diện thay đổi, tải tập trung (N), tải phân bố q (N/m)

Thay liên kết tại A, B bởi R A và R B .

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 7

• Đối với vật liệu dẻo

• Đối với vật liệu dòn

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 9

Sơ đồ ứng suất – biến dạng: vật liệu dẻo

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 11

Định luật Hooke: Mô đun đàn hồi E

• Bên dưới giới hạn chảy

Elasticity of

Modulus

or Modulus Youngs

ko thể tăng cứng

khi ứng suất được khử, vật liệu ở trạng thái đàn hồi.

• Khi biến dạng không trở

về zero sau khi ứng suất được khử, vật liệu ở trạng thái dẻo

• Ứng suất lớn nhất ở trạng thái đàn hồi được gọi là giới hạn đàn hồi

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 13

Mỏi (Fatigue)

• Fatigue properties are shown on S-N diagrams.

• When the stress is reduced below

the endurance limit, fatigue

failures do not occur for any number of cycles.

• A member may fail due to fatigue

at stress levels significantly below the ultimate strength if subjected

to many loading cycles.

P E

 

• Với sự thay đổi của tải, tiết diện hoặc

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved

Biến dạng (Deformations Under Axial Loading)

/

PL AE

    

• Từ khi cả hai đầu mút của AB di

chuyển, biến dạng của AB (dịch

chuyển tương đối của B đối với

và δB :

Xác định biến dạng dài

của thanh dưới tác dụng

của tải trọng đã cho

6

29 10 psi 1.07 in 0.618 in.

• Tính tổng biến dạng dài của các đoạn thành phần

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 17

SOLUTION:

• Chia thanh thành 3 đoạn:

2 2

1

2 1

in 9 0

L L

2 3

3

in 3 0

• Áp dụng phân tích vật tự do đối với mỗi thành phần để xác định nội lực,

lb 10 30

lb 10 15

lb 10 60

3 3

3 2

3 1

• Tính tổng biến dạng,

in.

10 9 75

3 0

16 10 30 9

0

12 10 15 9

0

12 10 60 10

29 1

1

3

3 3

3 6

3

3 3 2

2 2 1

1 1

L P A

L P E E

A

L P

i i i

i i



in.

10 9

75  3





© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 19

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 21

Example 2.03

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 23

Example 2.03

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 25

Example 2.03

Thanh cứng BDE mang bởi hai

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 27

Chuyển vị của B:

  

m 10 514

Pa 10 70 m

10 500

m 3 0 N 10 60

6

9 2

6 - 3

Pa 10 200 m

10 600

m 4 0 N 10 90

6

9 2

6 - 3

F

tension F

F M

AB

AB

CD

CD B

kN 60

m 2 0 m

4 0 kN 30 0

0 M

kN 90

m 2 0 m

6 0 kN 30 0

 

mm 7 73

mm 200 mm

0.300

mm 514 0

BH D

D

B B

 

mm 928 1

mm 7 73

mm 7 73 400 mm

300 0

D

E E





© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 29

Siêu tĩnh (Static Indeterminacy)

• Cấu trúc là siêu tĩnh khi nội lực và phản

• Liên kết thừa được thay thế bởi phảnlực liên kết (ẩn số) mà biến dạng của

hệ là không đổi

• Một cấu trúc sẽ siêu tĩnh khi số ẩn(phản lực liên kết) nhiều hơn số phươngtrình cân bằng có thể được lập

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 31

Ví dụ 2.04

Xác định phản lực tại A, B của thanh thép chịu lực như hình vẽ, giả thuyết rằng thanh lắp khít hai đầu mút trước khi tải tác dụng

• Tìm phản lực tại A do tải tác dụng và phản lực được tìm thấy tại B

• Chuyển vị do các tải trọng và do phản lực liên kết thừa bằng không

• Tìm chuyển vị tại B do phản lực liên kết

thừa gây ra.

SOLUTION:

• Xem phản lực tại B như liên kết thừa, giải phóng thanh khỏi liên kết, và tìm chuyển vị tại B do những thành phần tải tác dụng

buộc thừa tại B được giải phóng,

E E

A

L P

L L

L L

A A

A A

P P

P P

2 1

2 6 4

3 2

6 2

1

3 4

3 3

2 1

10 125 1

m 150 0

m 10 250 m

10 400

N 10 900 N

10 600 0

R P

P

2 6 2

6

2 1

m 10 250 m

10 400

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 33

• Chuyển vị do tải tác dụng và liên kết thừa bằng không,

kN 577 N

10 577

0 10

95 1 10

125 1

0

3

3 9

R

E

R E

kN 577 kN

600 kN

300 0



     

A

A y

R

R F

kN 577

kN 323

ứng suất kết hợp với biến dạng nhiệt trừ khi

sự kéo dài bị ràng buộc bởi các liên kết

 

coef.

expansion thermal

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved

Ứng suất nhiệt (Thermal Stresses)

is rigidly attached between a steel rod (E = 207 GPa) and a bronze rod (E = 121 GPa) as shown in Figure Axial loads are applied at the positions indicated Find the maximum value of P that will not exceed

a stress in steel of 140 MPa, in aluminum of 90 MPa, or in bronze of 100 MPa

SOLUTION:

• 1 Tìm ứng suất trong mỗi đoạn.

(5)

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 37

Problem 2.2

The light rigid bar ABCD shown in Fig P-252 is pinned at B and

connected to two vertical rods Assuming that the bar was initially

horizontal and the rods stress-free, determine the stress in each rod after the load after the load P =

• Dựa vào tam giác đồng dạng

=> quan hệ chuyển vị tại A và C.

(6)

trong dây thép và khối nhôm.

Data: The steel wire has L = 200 mm and A = 22.5 mm 2 , and Est = 200

Gpa The short aluminum block has an L = 50 mm and A = 40

mm 2 , and Eal = 70 GPa.

150 mm

Schematic and F.B.D.:

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 39

I H

E

1

l

 2

Xác định biến dạng dài của AB, AC, AD

AI, AE, AH là biến dạng dài của AB, AC,

AD

AB, AC, AD cùng modul E

EA

N L l

EA

N L l

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 41

Problem 2.5

Cho AD, OH cứng tuyệt đối được nối khớp ở A và O, được treo bởi các thanh có mô đun đàn hồi E.

Tìm ứng suất trong thanh và chuyển vị điểm H Biết q = 4 kN/m, a = 1.2 m, P = 53 kN, E = 2.104 kN/cm 2 A = 3cm 2

SOLUTION:

• Chuyển vị.

• Chuyển vị tại H.

1 1 /

H D

T L EA

(1)

(2) 300 (3) (4)

450P

D

300

450P



H O

T1

(c)

are supported by pins at

A and C and the two rods Determine the maximum force P that can be applied as shown

if its vertical movement (δE) is limited to 5 mm Neglect the weights of all members

E F

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 43

Problem 2.7

Vật đúc A và B được liên kết bởi hai bulong thép CD và

GH có đường kính ¾ in và được tiếp xúc với hai đầu thanh nhôm EF có đường kính 1.5 in Bulong là loại ren đơn với bước răng 0.1 in., và khi được xiết chặt, đai ốc tại

D và H xoay ¼ vòng Biết

rằng E is 29x106 psi for steel and 10x106 psi for aluminum, Xác định a) lực trong bulong

và thanh nhôm, b) ứng suất pháp trong thanh

đầu bởi ren đơn với bước răng 1.5 mm Với một đầu được xiết chặt, thanh đồng (E

= 105 GPa) được đặt bên trong ống và đầu 2 mở Vì thanh dài hơn ống một ít, để đóng chặt nắp thứ hai, nó phải xiết ¼ vòng Xác định a) ứng suất pháp trung bình trong ống và thanh B) biến dạng

A E

PL Rod compresion





 

  

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 45

Problem 2.9

A steel bar 50 mm in diameter and 2

m long is surrounded by a shell of a cast iron 5 mm thick Compute the load that will compress the combined bar a total of 0.8 mm in the length of 2

m For steel, E = 200 GPa, and for cast iron, E = 100 GPa

supported by three symmetrically spaced rods as shown in Fig P-

236 Each copper rod has an area

of 900 mm2; E = 120 GPa; and the allowable stress is 70 MPa The steel rod has an area of 1200

mm2; E = 200 GPa; and the allowable stress is 140 MPa

Determine the largest mass M which can be supported

SOLUTION:

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 47

Problem 2.11

The composite bar in Fig P-245 is firmly attached to unyielding supports

Compute the stress in each material caused by the

application of the axial load

1 1000

lb lb

psi

in ks

P-247 is stress-free before the axial loads P1 and

P2 are applied Assuming that the walls are rigid, calculate the stress in each material if P1 = 150

kN and P2 = 90 kN.

SOLUTION:

• FBD – Apply EoE

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 49

Hệ số biến dạng ngang (Poisson’s Ratio)

• Thanh mảnh chịu tải dọc trục:

0





 x y z x





• Kéo dài trong hướng x đi cùng với sự

co rút trong hướng khác Giả thuyết vật liệu đẳng hướng,

strain lateral

những thành phần biến dạng pháp do ứng suất gây ra có thể xác định từ nguyên lý cộng tác dụng Điều này yêu cầu:

1) quan hệ ứng suất – biến dạng là tuyến tính

2) biến dạng nhỏ

E E

E

z y

x

z y

x x

n

 n

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 51

Biến dạng cắt/trượt (Shearing Strain)

• Một phần tử khối chịu ứng suất cắt sẽ biến dạng thành hình thoi Biến dạng cắt tương ứng được xác định theo sự thay đổi góc giữa hai cạnh,

 xy

xy f 

 

• Đồ thị ứng suất-biến dạng cắt thì tương tự như đồ thị của ưng suất-biến dạng pháp, ngoại trừ giá trị bền thì xấp xỉ một nữa, Với biến dạng bé,

zx zx

yz yz

Một khối vật liệu với G = 90

ksi được dán với hai tấm cứng

phẳng Tấm dưới cố định trong

khi tấm trên chịu tác dụng của P

Biết rằng tấm trên dịch chuyển

• Xác định biến dạng góc trung bình hoặc biến dạng cắt của khối

• Dùng định nghĩa ứng suất cắt

để tìm P.

• Áp dụng định luật Hooke cho ứng suất và biến dạng cắt để tìm ứng suất cắt tương ứng

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 53

• Xác định biến dạng góc trung bình hoặc biến dạng cắt của khối

rad 020 0 in.

2

in.

04 0

90  103psi 0 020 rad   1800 psi



P

dãn dài theo hướng dọc trục và co rút trong hướng ngang

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 55

Sample Problem 2.5

Đường tròn có đường kính d = 9 in

được khắc trên tấm nhôm không ứng

suất có chiều dày t = 3/4 in Lực tác

dụng lên tấm nhom sau đó gây nên ứng suất pháp x = 12 ksi và z = 20 ksi

Với E = 10x106 psi và n = 1/3, xác định sự thay đổi trong:

a) Chiều dài của AB, b) Chiều dài của CD,

c) Độ dày của tấm, và d) Thể tích của tấm

10 533 0

ksi 20 3

1 0 ksi

12 psi 10 10

1

3

3 6

E

E E

E

z y

x y

z y

x x

 n

n

n

 n

4  3





A B



in.

10 4

14  3





D C



in.

10 800

/in in 10 067

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 57

y

y y

x

z xz

x

y

 n

• Materials with directionally dependent mechanical

properties are anisotropic.

suất và biến dạng.

• Saint-Venant’s Principle:

Sự phân bố ứng suất có thể được

• Sự phân bố ứng suất và biến dạng trở nên đều tại một khoảng cách ngắn tương đối tính từ điểm tác dụng lực

• Lực tập trung gây ra những ứng suất lớn hơn trong vùng lân cận của điểm tác dụng lực

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 59

Tập trung ứng suất: Lỗ (Stress Concentration: Hole)

Sự gián đoạn của tiết diện có thể dẫn

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2 - 61

Example 2.12

Determine the largest axial load P

that can be safely supported by a

flat steel bar consisting of two

portions, both 10 mm thick, and

respectively 40 and 60 mm wide,

connected by fillets of radius r = 8

mm Assume an allowable normal

concentration factor.

82 1

20 0 mm 40 50

1 mm 40

• Find the allowable average normal stress using the material allowable normal stress and the stress

concentration factor.

MPa 7

90 82

1

MPa 165

• Apply the definition of normal stress

to find the allowable load.