Fourth Edition CHAPTER MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P Beer E Russell Johnston, Jr John T DeWolf Lecture Notes: J Walt Oler Texas Tech University Stress and Strain – Axial Loading Ứng suất Biến dạng – Tải dọc trục © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Contents Stress & Strain: Axial Loading Normal Strain Stress-Strain Test Stress-Strain Diagram: Ductile Materials Stress-Strain Diagram: Brittle Materials Hooke’s Law: Modulus of Elasticity Elastic vs Plastic Behavior Fatigue Deformations Under Axial Loading Example 2.01 Sample Problem 2.1 Static Indeterminacy Generalized Hooke’s Law Dilatation: Bulk Modulus Shearing Strain Example 2.10 Relation Among E, n, and G Sample Problem 2.5 Composite Materials Saint-Venant’s Principle Stress Concentration: Hole Stress Concentration: Fillet Example 2.12 Example 2.04 Thermal Stresses Poisson’s Ratio © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-2 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ứng suất & biến dạng (Stress & Strain: Axial Loading • Phương diện quan trọng phân tích thiết kế cấu trúc liên quan đến biến dạng tải áp dụng lên cấu trúc gây • Trong vài trường hợp, phân tích tĩnh khơng đủ Như ta phải xem xét trường hợp siêu tĩnh Khi cấu trúc xem cấu trúc biến dạng • Chương liên quan đến biến dạng thành phần cấu trúc dác dụng tải dọc trục Những chương sau giải toán xoắn uốn túy © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-3 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Biến dạng pháp (normal strain) P stress A 2P P 2A A L normal strain L © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved P A 2 2L L 2-4 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Deformations Under Axial Loading Thanh tiết diện thay đổi, tải tập trung (N), tải phân bố q (N/m) © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Brief – Tóm tắt Thanh tiết diện thay đổi, tải tập trung (N), tải phân bố q (N/m) Thay liên kết A, B RA RB Ứng suất pháp P N mm A Chuyển vị B P x dx mm EA A © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved Chuyển vị tương đối B B mm A 2-6 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Điều Kiện bền max Beer • Johnston • DeWolf P N / kN / lb / kip 0 2 n A cm / mm / in • n hệ số an tồn • σ0 ứng suất nguy hiểm • Đối với vật liệu dẻo 0 k ch n ch k n • Đối với vật liệu dòn k n k b © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved n n n b 2-7 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Stress-Strain Test © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-8 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sơ đồ ứng suất – biến dạng: vật liệu dẻo © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-9 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sơ đồ ứng suất – biến dạng: vật liệu dòn © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 10 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Problem 2.12 The composite bar in Fig P-247 is stress-free before the axial loads P1 and P2 are applied Assuming that the walls are rigid, calculate the stress in each material if P1 = 150 kN and P2 = 90 kN SOLUTION: • FBD – Apply EoE • δal is shortening, δst is lengthening, and δbr is also lengthening al st br © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 48 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Hệ số biến dạng ngang (Poisson’s Ratio) • Thanh mảnh chịu tải dọc trục: x x E y z • Kéo dài hướng x với co rút hướng khác Giả thuyết vật liệu đẳng hướng, y z • Hệ số Poisson định nghĩa y lateral strain n z axial strain x x © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 49 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Định luật Hooke tổng (Generalized Hooke’s Law) • Với phần tử chịu tải nhiều trục, thành phần biến dạng pháp ứng suất gây xác định từ nguyên lý cộng tác dụng Điều yêu cầu: 1) quan hệ ứng suất – biến dạng tuyến tính 2) biến dạng nhỏ • Với ràng buộc: x n y n z x E y z © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved n x E E y n z E n x n y E E E z E E - 50 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Biến dạng cắt/trượt (Shearing Strain) • Một phần tử khối chịu ứng suất cắt biến dạng thành hình thoi Biến dạng cắt tương ứng xác định theo thay đổi góc hai cạnh, xy f xy • Đồ thị ứng suất-biến dạng cắt tương tự đồ thị ưng suất-biến dạng pháp, ngoại trừ giá trị bền xấp xỉ nữa, Với biến dạng bé, xy G xy yz G yz zx G zx where G mô đun cứng mơ đun cắt © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 51 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Ví dụ 2.10 SOLUTION: • Xác định biến dạng góc trung bình biến dạng cắt khối Một khối vật liệu với G = 90 ksi dán với hai cứng phẳng Tấm cố định chịu tác dụng P Biết dịch chuyển đoạn 0.04 in tác dụng lực, xác định a) biến dạng cắt trung bình hối vật liệu, b) lực P © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved • Áp dụng định luật Hooke cho ứng suất biến dạng cắt để tìm ứng suất cắt tương ứng • Dùng định nghĩa ứng suất cắt để tìm P - 52 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Xác định biến dạng góc trung bình biến dạng cắt khối xy tan xy 0.04 in in xy 0.020 rad • Áp dụng định luật Hooke cho ứng suất biến dạng cắt để tìm ứng suất cắt tương ứng xy G xy 90 103 psi 0.020 rad 1800 psi • Dùng định nghĩa ứng suất cắt để tìm P P xy A 1800 psi 8 in.2.5 in. 36 103 lb P 36.0 kips © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 53 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Quan hệ E, n, G • Thanh mảnh chịu tải dọc trục dãn dài theo hướng dọc trục co rút hướng ngang • Phần tử khối hình phía biến dạng thành hình chữ nhật Tải dọc trục gây biến dạng pháp • Phần tử khối hình biến dạng thành hình thoi Tải dọc trục gây r biến dạng cắt • Ta có quan hệ, E 1 n 2G © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 54 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sample Problem 2.5 Đường tròn có đường kính d = in khắc nhôm không ứng suất có chiều dày t = 3/4 in Lực tác dụng lên nhom sau gây nên ứng suất pháp x = 12 ksi z = 20 ksi Với E = 10x106 psi n = 1/3, xác định thay đổi trong: a) Chiều dài AB, b) Chiều dài CD, c) Độ dày tấm, d) Thể tích © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 55 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf SOLUTION: • Áp dụng dl Hooke tổng quát để • Đánh giá thành phần biến dạng tìm thành phần biến dạng B A x d 0.533 103 in./in 9 in. pháp 4.8 103 in x x n y n z E E C E 12 ksi 20 ksi 10 106 psi E E D 14.4 103 in E 1.067 103 in./in n x C t 0.800 103 in n x y n z E t y t 1.067 103 in./in 0.75 in. 0.533 10 in./in z z d 1.600 103 in./in 9 in. 3 y D B A • Tìm thay đổi thể tích n y z E E 1.600 103 in./in © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved e x y z 1.067 103 in 3/in V eV 1.067 103 15 15 0.75in V 0.187 in - 56 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Composite Materials • Fiber-reinforced composite materials are formed from lamina of fibers of graphite, glass, or polymers embedded in a resin matrix • Normal stresses and strains are related by Hooke’s Law but with directionally dependent moduli of elasticity, Ex x x Ey y y Ez z z • Transverse contractions are related by directionally dependent values of Poisson’s ratio, e.g., n xy y n xz z x x • Materials with directionally dependent mechanical properties are anisotropic © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 57 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Nguyên lý Saint-Venant • Tải trọng truyền qua cứng dẫn đến phân bố ứng suất biến dạng • Lực tập trung gây ứng suất lớn vùng lân cận điểm tác dụng lực • Sự phân bố ứng suất biến dạng trở nên khoảng cách ngắn tương đối tính từ điểm tác dụng lực • Saint-Venant’s Principle: Sự phân bố ứng suất giả thuyết độc lập với kiểu tác dụng tải ngoại trừ vùng lân cận điểm tác dụng lực © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 58 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Tập trung ứng suất: Lỗ (Stress Concentration: Hole) Sự gián đoạn tiết diện dẫn đến ứng suất tập trung © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved K max ave - 59 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Tập trung ứng suất: góc lượn (Fillet) © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 60 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Example 2.12 SOLUTION: • Determine the geometric ratios and find the stress concentration factor from Fig 2.64b Determine the largest axial load P that can be safely supported by a flat steel bar consisting of two portions, both 10 mm thick, and respectively 40 and 60 mm wide, connected by fillets of radius r = mm Assume an allowable normal stress of 165 MPa • Find the allowable average normal stress using the material allowable normal stress and the stress concentration factor • Apply the definition of normal stress to find the allowable load © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 61 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Determine the geometric ratios and find the stress concentration factor from Fig 2.64b D 60 mm 1.50 d 40 mm r mm 0.20 d 40 mm K 1.82 • Find the allowable average normal stress using the material allowable normal stress and the stress concentration factor ave max K 165 MPa 90.7 MPa 1.82 • Apply the definition of normal stress to find the allowable load P A ave 40 mm 10 mm 90.7 MPa 36.3 103 N P 36.3 kN © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved - 62 ... • Nếu biến dạng biến ứng suất khử, vật liệu trạng thái đàn hồi • Ứng suất lớn trạng thái đàn hồi gọi giới hạn đàn hồi • Khi biến dạng khơng trở zero sau ứng suất khử, vật liệu trạng thái dẻo •... đồ ứng suất – biến dạng: vật liệu dẻo © 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc All rights reserved 2-9 Fourth Edition MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf Sơ đồ ứng suất – biến dạng: vật. .. Youngs Modulus or Modulus of Elasticity • Sức bền ảnh hưởng hợp kim hóa, xử lý nhiệt q trình sản xuất độ cứng (Mơ đun đàn hồi E) khơng => Tăng bền ko thể tăng cứng © 2006 The McGraw-Hill Companies,