Tài liệu Sức bền vật liệu P7 doc

Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 63 Chơng 7. thanh chịu lực phức tạp I. Khái niệm Khi trên MCN của thanh xuất hiện từ hai thnh phần nội lực trở lên thì gọi l thanh chịu lực phức tạp. Ví dụ, một trục truyền vừa chịu xoắn vừa chịu uốn, một tờng chắn vừa chịu nén vừa chịu uốn, Tổng quát nhất khi thanh chịu lực phức tạp, nội lực trên MCN có thể có 6 thnh phần (hình 7.1). Phơng pháp tính: áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: ứng suất hay biến dạng do nhiều yếu tố (ngoại lực, nhiệt độ, độ lún của gối tựa, ) gây ra đồng thời trên một thanh thì bằng tổng ứng suất hay biến dạng do từng yếu tố gây ra trên thanh đó. II. Uốn xiên 1. Định nghĩa Khi trên mọi MCN chỉ có hai thnh phần nội lực l M x v M y nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của MCN (hình 7.2). Khi chú ý đến lực cắt trên MCN có thể có các thnh nội lực M x , Q y , M y v Q x . Gọi M l vectơ tổng của các vectơ M x v M y , nằm trong mặt phẳng V chứa trục z, nhng không trùng với một mặt phẳng quán tính chính trung tâm no. Giao tuyến của mặt phẳng ny với mặt phẳng cắt ngang gọi l đờng tải trọng. Trong uốn xiên đờng tải trọng đi qua trọng tâm nhng không trùng với một trục quán tính trung tâm no (hình 7.2b ). M y y x z M x 0 a) V b) M y M x Hình 7.2 y x z M M Mặt phẳng tải trọng Đờng tải trọng Q y Q x M z M y x y z M x Q z Hình 7.1 Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 64 2. ứ ng suất pháp trên MCN Theo nguyên lý cộng tác dụng, ứng suất pháp tại một điểm bất kì trên MCN có toạ độ x, y đợc tính theo công thức: y x z xy M M yx JJ = + (7.1) M x , M y coi l dơng khi lm căng phần chiều dơng của trục y, trục x. Trong kĩ thuật ngời ta dùng công thức sau để không cần chú ý đến dấu của M x , M y v toạ độ x, y: y x z xy M M yx JJ = (7.2) Ta sẽ chọn dấu + hoặc dấu - trớc mỗi số hạng tuỳ theo các mômen uốn M x v M y gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. Nếu gọi l góc của đờng tải trọng hợp với trục x (hình 7.2b): tg = M x /M y M x = Msin; M y = Mcos Góc đợc gọi l dơng khi quay từ chiều dơng trục x đến đờng tải trọng theo chiều kim đồng hồ. 3. Vị trí đờng trung ho Từ (7.1) ta thấy phơng trình đờng trung ho: y x xy M M yx0 JJ += (7.3) hay xx yy MJ y xx.tg MJ = = (7.4) trong đó xx yy MJ tg MJ = hay x y J 1 tg tg J = (7.5) Đờng trung ho l một đờng thẳng đi qua trọng tâm của MCN v không vuông góc với đờng tải trọng nh trong uốn phẳng. Từ biểu thức (7.5) đối với các MCN có vô số hệ trục quán tính chính trung tâm nh hình tròn, các đa giác đều cạnh, ( J x = J y nên tgtg = -1) thì không xảy ra hiện tợng uốn xiên phẳng. Vì đờng tải trọng sẽ với một trục quán tính chính trung tâm, còn đờng trung ho sẽ trùng với một trục quán tính chính trung tâm thứ hai vuông góc với đờng tải trọng. Bi toán khi đó chỉ l uốn phẳng. 4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN Theo (7.1) mặt ứng suất l mặt phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đờng thẳng song song với đờng trung ho. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ D Đờng trung ho 0 max A B C Hình 7.3 min Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 65 phân bố ứng suất pháp trên MCN trong hệ toạ độ nh hình 7.3. Trục tung l đờng trung ho, trục honh vuông góc với đờng trung ho. 5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm l các điểm xa đờng trung ho nhất về phía kéo hoặc nén trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm l trạng thái ứng suất đơn. Điều kiện bền có dạng: - Đối với vật liệu dẻo: [ ] max (7.6) - Đối với vật liệu giòn: [ ] max k (7.7) [ ] min n (7.8) y x max k k xy M M yx JJ = + ; y x min n n xy M M yx JJ = + (7.9) Nếu MCN của thanh l những mặt cắt có thể nội tiếp trong hình chữ nhật (hình 7.4): knmax xxx== knmax yyy== max = min ; y x max xy M M WW = + (7.10) trong đó : x x max J W; y = y y max J W x = (7.11) Trờng hợp ny điều kiện bền sẽ l: -Vật liệu dẻo: [] y x xy M M WW + (7.12); Vật liệu giòn: [] y x k xy M M WW + (7.13) Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba bi toán cơ bản sau: - Kiểm tra bền theo (7.6) hoặc (7.7) hoặc (7.8). - Tìm tải trọng cho phép. Gọi [P i ] l tải trọng suy rộng cho phép, ta có: [ ] x1i MkP= ; [ ] y2i MkP= (7.14) k 1 , k 2 l các hằng số. Từ điều kiện bền, ví dụ theo (7.12) ta suy ra: [] [] [] 1i 2i xy kP kP WW + hay [][] 12 i xy kk P/ WW + (7.15) - Chọn kích thớc MCN Vì cha biết trị số J x , J y , x k , x n , y k , y n ta có thể chọn thử tính theo uốn phẳng do thnh phần mômen đòi hỏi kích thớc lớn, rồi thử dần. Đối với các mặt cắt (hình 7.4), đầu tiên ta có thể tính theo công thức: [] xy x MCM W + với x y W C W = (7.16) Hình 7.4 Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 66 Đối với hình chữ nhật có chiều cao h v bề rộng b thì C = h/b. Đối với mặt cắt hình chữ I lúc đầu có thể lấy C = 8, v hình chữ U lấy C = 6, sau đó kiểm tra tính toán lại. Ví dụ 7.1: Cho dầm chịu lực nh hình 7.5. Xác định số hiệu mặt cắt dầm thép chữ I, vị trí đờng trung ho. Cho P = 2400N; q = 4000N/m; l = 2m; = 30 0 ; [] =16000N/m 2 . Bi giải: Mặt cắt nguy hiểm tại ngm có: 2 x q MPcos 2 =+ l l = 12160 Nm y MPsin 2400Nm==l Thử lần thứ nhất ta lấy C = 8. Theo công thức (7.39): [] xy 3 x MCM W 196cm + = Ta chọn mặt cắt chữ I số 20 có các giá trị nhỏ hơn v gần nhất W x =184cm 3 ; W y =23,1cm 3 . Thử lại: max min = y 2 x max xy M M 17000N /cm WW = + = Vì [ ] [] max 17000 16000 100 100 6,2% 5% 16000 ==> Do đó ta lấy mặt cắt số 20a có W x = 203cm 3 , W y = 28,2cm 3 Khi đó: y 2 x max xy M M 1216000 240000 14500N / cm W W 203 28,2 = + = + = ứng suất nhỏ hơn: [] [] max 14500 16000 100 100 9,4% 16000 == Vì giữa thép có số hiệu 20 v 20a không còn số hiệu no khác nên ta chọn dầm thép có số hiệu 20a. Xác định vị trí đờng trung ho. Tra bảng với I(20a) ta có J x =2030cm 4 ; J y =155cm 4. Do đó tại mặt cắt ngm, phơng của đờng trung ho l : min Hình 7.5 P q y x A B x y n max Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 67 xymax yxmax JM 2030 2400 t g 2,58 J M 155 12160 ì = = =+ ì hay 0 68 50=+ III. Uốn - kéo (nén) đồng thời 1. Định nghĩa Một thanh đợc gọi l chịu uốn - kéo (nén) đồng thời khi trên MCN của thanh có các thnh phần nội lực l lực dọc N z , mômen uốn M x , M y (hình 7.6). Ví dụ ống khói vừa chịu nén do trọng lợng bản thân G, vừa chịu uốn do tải trọng gió q (hình 7.7). 2. ứ ng suất pháp trên MCN ứng suất pháp tại một điểm trên MCN đợc xác định theo công thức: y zx z xy M NM yx FJ J = + + (7.18) hoặc y zx z 22 zx zy M NM .1 y x FNiNi = + + (7.19) trong đó: F - diện tích MCN; i x , i y - bán kính quán tính chính: xx iJ/F= ; yy iJ/F= ; J x , J y - mômen quán tính chính trung tâm của MCN; x, y - toạ độ của điểm tính ứng suất. Quy ớc dấu của N z (chơng 2), của M x , M y nh trong uốn xiên. Công thức kỹ thuật có dạng: Hình 7.7 q G Hình 7.6 z N z O M y x y M x Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 68 y zx z xy M NM yx FJ J = (7.20) Các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối. Còn lấy dấu + hoặc - trớc mỗi số hạng tuỳ theo lực dọc l kéo hay nén v các mômen uốn M x , M y gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét. 3. Vị trí đờng trung ho Từ (7.18) ta suy ra phơng trình đờng trung ho l: y zx xy M NM yx0 FJ J ++= (7.21) hay: y x 22 zx zy M M 1yx0 Ni Ni ++= (7.22) Đờng trung ho l một đờng thẳng không đi qua trọng tâm của MCN nh trong uốn xiên. 4. Biểu đồ ứng suất pháp trên MCN Tơng tự nh trong uốn xiên do mặt cắt ứng suất l phẳng, nên ứng suất pháp phân bố đều trên đờng thẳng song song với đờng trung ho. Biểu đồ phân bố ứng suất đợc vẽ nh hình 7.8. 5. Điều kiện bền Điểm nguy hiểm l các điểm ở chu vi, xa đờng trung ho nhất về phía kéo hoặc phía nén. Trạng thái ứng suất của điểm nguy hiểm l trạng thái ứng suất đơn điều kiện bền l : - Đối với vật liệu dẻo: [ ] max (7.23) - Đối với vật liệu giòn: [ ] max k ; [ ] min n (7.24) trong đó: y zx max xy M NM yx FJ J = + + (7.25) y zx min xy M NM yx FJ J = (7.26) x k , y k l toạ độ của điểm chịu kéo cách xa đờng trung ho nhất. x n , y n l toạ độ của điểm chịu nén cách xa đờng trung ho nhất. =N/F Hình 7.8 B Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 69 Hình 7.9 a) b) min max A B Nếu MCN của thanh có dạng nh trên hình 7.9 thì lí luận tơng tự nh trong uốn xiên ta có: y zx max xy M NM FWW = + + (7.27) y zx min xy M NM FWW = (7.28) Ví dụ 7.2: Cho một thanh chịu lực nh hình 7.9a. Tìm giá trị ứng suất max v min , vị trí đờng trung ho v vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt nguy hiểm. Cho: P 1 = 160 kN; P 2 = 4kN; P 0 = 240kN; q=2kN/m; l=2m; b=12cm; h=16 cm. Bi giải Mặt cắt nguy hiểm tại đầu ngm. Vị trí đờng trung ho v biểu đồ ứng suất pháp đợc vẽ trên hình 7.9b. Lực dọc: z01 N P P (240 160) 400kN= = + = . Mômen uốn: 24 1 x Ph ql 2 4 10 M 160 8 1680kNcm 22 1002 ìì =+=ì+ = ì 2 12 y Pb Pl M 160 6 4 10 1360kNcm 22 =+=ì+ì= Giá trị ứng suất pháp lớn nhất v bé nhất theo (7.27), (7.28) l: y zx max 22 xy M NM 400 1680 6 1360 6 4,75kNcm F W W 12 16 12 6 16 12 ìì = + + = + + = ììì y zx min 22 xy M NM 400 1680 6 1360 6 8,91kNcm FWW 12161261612 ìì = = = ììì Vị trí đờng trung ho: đờng trung ho cắt trục x v trục y tại các điểm: Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 70 2 zy 0 y Ni x M = ; 2 zx 0 x Ni y M = trong đó 2 22 x h i21,3cm 12 == ; 2 22 y b i 12cm 12 == z N0< ; x M0> ; y M0> . Khi thay bằng số ta đợc: 0 x3,53cm= ; 0 y5,07cm= IV. Uốn - xoắn đồng thời 1. Định nghĩa Một thanh gọi l xoắn v uốn đồng thời. Khi trên MCN của thanh có hai thnh phần nội lực l mômen xoắn v mômen uốn (hình 7.10). 2. ứ ng suất trên MCN tròn - điều kiện bền ứng suất pháp do mômen uốn gây ra. ứng suất tiếp do mômen xoắn gây nên phân bố nh trờng hợp xoắn thuần tuý (bỏ qua ảnh hởng của lực cắt Q). Điểm nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm l giao điểm của đờng tải trọng với chu vi: điểm A hoặc B (hình 7.11). ứng suất pháp v tiếp có giá trị: 22 xy u AB max min uu MM M WW + == = (7.29) max A,B z p M W = (7.30) Vì phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng nên điều kiện bền có dạng: [ ] tdmax (7.31) Ví dụ theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất ta có: 22 td 4 =+ Thay các giá trị của v theo (7.29), (7.30) v chú ý W p = 2W u , ta có: 222 xyz td max uu MMM M WW ++ = = ; 222 td x y z MMMM=++ (7.32) Hình 7.11 Hình 7.1 0 Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 71 Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng : 22 2 xy z 22 td max uu MM0,75M M 3 WW ++ =+= = với 22 2 td x y z M M M 0,75M=++ (7.33) Theo thuyết bền Mo ta có: [ ] k td 1 3 = trong đó: 2 2 1,3 22 = + ; [ ] [] k n = với 22 222 td xy xyz 11 MMMMMM 22 + =++++ (7.34) M td đợc tính theo các thuyết bền thích hợp (7.32), (7.33), (7.34). Ví dụ 7.3: Một trục truyền bằng thép chịu lực nh trên hình 7.12. Trọng lợng Puli G = 3kN, công suất v số vòng quay của môtơ l: W = 50kN, n = 500vg/ph. Kiểm tra bền trục theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng biết [ ] 2 12kN / cm= . Bi giải: Sơ đồ chịu lực của trục biểu diễn trên hình 7.12a, trong đó: n 3,14 500 52,4rad /s 30 30 ì = = = ; 3 W M 0,955 10 Nm 95,5kNcm== ì = Lực căng dây đai xác định theo điều kiện cân bằng của mômen xoắn: 11 1 TD tD tD M 222 == 1 2M 2 95,5 t2,38kN D80 ì == = ; 11 T 2t 2 2.38 4,76kN==ì = ; 11 PTt 4,762,387,14kN= += + = ứng suất tơng đơng tính theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng: Hình 7.12 Chơng 7. Thanh chịu lực phức tạp 72 22 2 xy z td td 3 x MM0,75M M W0,1d ++ = = ì Mặt cắt nguy hiểm tại C về phía CB, tại đó: x Gl M75kNcm 4 == ; y Pl M 178kNcm 4 == ; z M95,5kNcm= Các biểu đồ nội lực đợc biểu diễn trên các hình 7.12b, c, d. Thay số vo ta đợc: [] 22 2 22 td 3 75 178 0,75 95,5 9,72kN /cm 12kN / cm 0,1 6 ++ì = = <= ì Vậy trục thoả mãn điều kiện bền. 3. ứ ng suất trên MCN hình chữ nhật - điều kiện bền Giả sử tại MCN nguy hiểm có các thnh phần nội lực M x , M y , M z biểu diễn trên hình 7.13. Đối với trờng hợp đang xét, các điểm B, D có ứng suất pháp cực trị: y x B max xy M M WW = + y x D min xy M M WW = Mômen xoắn sinh ra ứng suất tiếp: x A max p M W = z C 1max p M W = = ; với 2 p Whb= Chúng ta cha biết đợc trong ba điểm A, B, C điểm no l nguy hiểm. Vậy ta phải tính ứng suất tơng đơng cho cả ba phân tố lấy ở 3 điểm ny, sau đó so sánh điểm no có tđ l lớn nhất. - Đối với phân tố ở điểm B: y x BB td max xy M M WW = = + - Đối với phân tố ở điểm A (vừa có ứng suất pháp vừa có max ): y C B A D z x M x M y M z h b Hình 7.13 [...]...Chơng 7 Thanh chịu lực phức tạp My Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: = + 4 = Wy A td 2 2 2 M + 4 z Wp 2 Thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng: 2 My M = + 3 = + 3 z Wy Wp A td 2 2 2 - Đối với phân tố ở điểm C: M M = x + 4 z Theo thuyết bền thứ ba, ta có: Wp Wx 2 2 C td M M C = x + 3 z Theo thuyết bền thứ t, ta có: td Wp Wx 2 2 73 . Trờng hợp ny điều kiện bền sẽ l: -Vật liệu dẻo: [] y x xy M M WW + (7.12); Vật liệu giòn: [] y x k xy M M WW + (7.13) Từ điều kiện bền trên ta suy ra ba. hiểm l trạng thái ứng suất đơn. Điều kiện bền có dạng: - Đối với vật liệu dẻo: [ ] max (7.6) - Đối với vật liệu giòn: [ ] max k (7.7) [ ] min n (7.8)