Tài liệu Sức bền vật liệu P3 doc

18 Chơng 3. Trạng thái ứng suất I. Khái niệm về trạng thái ứng suất Trạng thái ứng suất tại một điểm của vật thể đn hồi chịu lực l tập hợp tất cả các ứng suất tác dụng trên tất cả các mặt vô cùng bé đi qua điểm đó, đặc trng bởi tenxơ đối xứng cấp 2 có 6 thnh phần ứng suất độc lập (hình 3.1): xxyxz yx y yz zx zy z (3.1) nh biểu thị trên các mặt của phân tố toạ độ Cdxdydz. Qua 1 điểm ta luôn tìm ba mặt vuông góc với nhau có ứng suất tiếp bằng 0, các mặt đó l mặt chính , pháp tuyến mặt chính gọi l phơng chính , ứng suất pháp trên các mặt chính gọi l ứng suất chính 1 , 2 v 3 : 1 > 2 > 3 (3.2) Căn cứ vo các ứng suất chính ta hân loại trạng thái ứng suất nh sau: Trạng thái ứng suất khối (hình 3.2a), trạng thái ứng suất phẳng (hình 3.2b), trạng thái ứng suất đơn (hình 3.2c). Hình 3.2 Hình 3.1 19 II. Trạng thái ứng suất phẳng 1. ứ ng suất trên mặt nghiêng bất kì Tách một phân tố khỏi vật thể đn hồi chịu lực. Giả thiết mặt vuông góc với trục z l mặt chính ( z = zx = zy = 0), những mặt còn lại có cả ứng suất pháp v ứng suất tiếp (hình 3.3). Hình 3.3 Xét sự cân bằng của phân tố hình lăng trụ đáy l tam giác, mặt bên nghiêng. Phơng trình tổng mômen các lực với O: = = Oxy yx dx dy Mdydz dzdx0 22 = xy yx (3.3) Đó l luật đối ứng của ứng suất tiếp , phát biểu nh sau: Nếu trên mặt cắt no đó có ứng suất tiếp thì trên mặt cắt vuông góc với nó cũng phải có ứng suất tiếp có cùng trị số nhng đối chiều . Lập các phơng trình hình chiếu sau: = + + = ux xy yyx u dzds ( dzdscos )cos ( dzdscos )sin ( dzdssin )sin ( dzdssin )cos 0 = + + + = uv x xy yyx v dzds ( dzdscos )sin ( dzdscos )cos ( dzdssin )cos ( dzdssin )sin 0 Sau khi rút gọn, sử dụng định luật đối ứng ứng suất tiếp ta đợc giá trị của u v uv : + = + xy xy uxy cos2 sin 2 22 (3.4) = + xy uv xy sin2 cos2 2 (3.5) Rõ rng l khi = 0 (hoặc /2) thì u v uv có giá trị bằng x , 20 xy (hoặc y , yx ). 2. ứ ng suất chính v phơng chính Mặt chính đợc xác định thông qua góc nghiêng 0 , sao cho ứng suất tiếp trên đó bằng 0: + = = xy xy 0xy 0 0 xy sin2 cos2 0 tg2 2 Đặt = = xy 0 xy tg tg2 tg = + 0 k. 22 (3.6) Ta thấy 0 có hai nghiệm l 1 v 2 (ứng với k = 0 v k = 1) lệch nhau 90 0 ta luôn có hai phơng chính vuông góc với nhau. Thay 1 v 2 vo (3.4) ta sẽ đợc các ứng suất chính cần tìm, đó l những ứng suất pháp cực trị, vì d u /d = - 2 uv = 0: + = + 2 xy xy 2 max xy min 22 (3.7) ứng suất tiếp cực trị xác định bằng d uv /d = 0: == xy uv xy d 2cos22sin20 d2 = xy xy tg2 2 So sánh với (3.7), ta đợc: = = 0 0 1 tg2 cotg2 tg2 = + 0 k. 4 (3.8) Kết luận : những mặt có ứng suất tiếp cực trị tạo với mặt chính một góc 45 0 . Thay (3.8) vo (3.5) với 2 1 cos2 1tg2 = + , ta đợc: () = + 2 2 max x y xy min 1 4 2 (3.9) Tính theo ứng suất chính ta có: 21 = max min max min 2 (3.10) III. Vòng tròn Mo (Mohr) ứng suất 1. Cơ sở của phơng pháp v cách vẽ vòng tròn MO ứng suất Xét một phân tố với các ứng suất x , y , xy đã cho nh hình 3.4a. Lập hệ toạ độ O (hình 3.4b) theo tỷ lệ nhất định. Trên trục honh đặt các đoạn OE = y v OF = z . Từ E dựng đoạn ED = xy vuông góc với OE. Vẽ vòng tròn có tâm C l trung điểm của đoạn yz EF OC 2 + = v bán kính CD (CD = R = 2 yz 2 yz 2 + ), gọi l vòng tròn Mo ứng suất (Mohr). Hình 3.4 Để xác định các ứng suất u v uv trên mặt xiên có phơng u lm với trục x một góc cho trớc (hình 3.4a) hãy lấy trên vòng tròn vừa vẽ một điểm P (thờng gọi l điểm cực ) có honh độ y v y y x x xy yx xy uv x y xy yx 22 tung độ xy (hình 3.4b), rồi từ P vẽ tia song song với phơng u cho cắt vòng tròn tại điểm M. Toạ độ của M chính l các ứng suất u v uv cần tìm. 2. Xác định ứng suất chính v phơng chính Các giao điểm A v B của vòng tròn Mo với trục honh O l những điểm có honh độ lớn nhất v nhỏ nhất, tung độ bằng 0: + = + 2 xy xy 2 max xy min 22 (3.11) Phơng của các tia PA v PB l các phơng chính cần tìm của phân tố (hình 3.4a). Theo hình 3.4b dễ thấy luôn luôn có: max + min = 2OC = y + z = hằng (3.12) Tổng ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau l hằng số . Gọi 1 v 2 l góc của phơng chính thứ nhất v phơng chính thứ hai đối với trục x. Theo hình 3.4b, có: tg 1 = = xy ymax FP FA ; tg 2 = = xy ymin FP FB (3.13) Trong trờng hợp kéo (nén) đúng tâm ứng suất tiếp lớn nhất: max min z 1 2 == (3.14) đó l hai mặt vuông góc với nhau, lần lợt lm với trục z một góc 45 o v 135 o . 3. Hai trờng hợp đặc biệt Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt, ví dụ x = , y = 0 (hình 3.5). Trạng thái trợt thuần tuý: phân tố m trên các mặt chỉ có ứng suất tiếp (hình 3.6a). Lúc ny vòng tròn Mo có tâm trùng y x Hình 3.5 Hình 3.6 xy 23 với gốc toạ độ (hình 3.6b). Các ứng suất chính khác dấu nhau v có giá trị bằng giá trị của ứng suất tiếp: 1 = 3 = xy (3.15) IV. Liên hệ giữa ứng suất - biến dạng 1. Biến dạng di (định luật Húc tổng quát) Trớc hết hãy tìm biến dạng di tơng đối 1 theo phơng I của phân tố. Biến dạng do 1 sinh ra: 1 11 E = Biến dạng do 2 sinh ra: 12 = 2 E Biến dạng do 3 sinh ra: 13 = 3 E Biến dạng di (tơng đối) theo phơng I do các ba ứng suất 1 , 2 v 3 sinh ra: 1 = 11 + 12 + 13 . Lm tơng tự ta đợc biến dạng (tơng đối) theo phơng II v phơng III của phân tố: () () () = + = + = + 1123 2231 3312 1 E 1 E 1 E hoặc () () () = + = + = + xxyz yyzx zzxy 1 E 1 E 1 E (3.16) Các hệ thức bậc nhất (3.16) trên đây giữa biến dạng di v ứng suất pháp l nội dung của định luật Húc tổng quát đối với vật rắn đn hồi tuyến tính. 2. Biến dạng góc (Định luật Húc về trợt) Xét biến dạng của phân tố. Dới tác dụng của ứng suất tiếp phân tố bị biến đổi hình dáng v trở thnh hình ij ij ij ij ij ij Hình3.8 Hình 3.7 24 bình hnh (hình 3-8). Theo định luật Húc, giữa ứng suất tiếp v góc trợt có liên hệ sau: ij = G ij ( i, j = 1, 2, 3) (3.18) trong đó G l hệ số tỷ lệ gọi l môđun đn hồi khi trợt [lực/chiều di 2 ], đó l hằng số vật liệu, đợc xác định từ thí nghiệm. Môđun G liên hệ với E v nh sau: E G 2(1 ) = + (3.19) 3. Biến dạng thể tích tỷ đối (định luật Húc khối) Gọi dx, dy v dz l các cạnh của phân tố v V 0 l thể tích ban đầu của phân tố, ta có: V 0 = dxdydz Sau khi biến dạng, chiều di các cạnh thay đổi sẽ l (dx + dx), (dy + dy) v (dz + dz). Thể tích sau khi biến dạng: V 1 = V 0 + V = (dx + dx).(dy + dy).(dz + dz)= = dxdydz dx dy dz 111 dx d y dz +++ = dxdydz ( ) () () xyz 111+ ++ Vì biến dạng l bé nên có thể bỏ qua các đại lợng vô cùng bé bậc 2 trở lên. Cuối cùng ta đợc: V 1 = V 0 (1 + x + Y + z ) Gọi l biến dạng thể tích tơng đối của phân tố, ta có: 10 0 VV V = = x + Y + z Thay x , Y v z từ (3.16) vo công thức trên ta đợc: = x + Y + z = () xyz 12 E + + Đặt tổng ứng suất pháp l: = xyz () + + = E 12 (3.20) Công thức trên biểu diễn liên hệ bậc nhất giữa biến dạng thể 25 tích tơng đối v tổng các ứng suất pháp, gọi l định luật Húc khối . V. Ví dụ áp dụng Ví dụ 3.1 . ứ ng suất ton phần trên mặt cắt m-n đi qua một điểm của một vật thể trong trạng thái ứng suất phẳng P = 3000 N/cm 2 có phơng tạo thnh một góc 60 0 với mặt cắt. Trên mặt vuông góc với mặt cắt ny chỉ có ứng suất tiếp (hình 3.9). Tính ứng suất pháp v ứng suất tiếp trên mặt cắt tạo thnh góc 45 0 với mặt cắt m-n. Tính ứng suất pháp lớn nhất tại điểm đó. Giải Ta thiết lập hệ trục xy trên mặt cắt m-n v hệ trục uv trên mặt cắt nghiêng nh hình 3.9. Khi đó các thnh phần ứng suất trên các mặt của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng: = = = = = = = 02 x 02 xy y p sin 60 3.0,86 2,6kN / cm pcos60 5.0,5 1,5kN / cm 0 á p dụng công thức tính ứng suất trên mặt cắt nghiêng với = - 135 0 , ta có: + = + xy xy 2 uxy cos2 sin 2 2,8kN / cm 22 uv = xy 2 sin2 + xy cos2 1,3 kN/cm 2 ứ ng suất pháp lớn nhất tại điểm đó l: u v 45 0 p x y 60 0 n m Hình 3.9 26 max = + ++ 2 xy xy 2 xy 22 3,28 kN/cm 2 Ví dụ 3.2 . Tại một điểm trên mặt một vật thể chịu lực ngời ta đo đợc biến dạng tỷ đối theo các phơng om, on, ou nh sau: m = 2,81.10 -4 ; n = -2,81.10 -4 ; u = 1,625.10 -4 Xác định phơng chính v ứng suất chính tại điểm ấy. Cho biết = 0,3; E = 2.10 4 kN/cm 2 . Giải Từ định luật Húc ta rút ra đợc ứng suất pháp phơng m, n: ()() ()() = = = = = = 4 mmn mn 4 4 nnm nm 4 11 0,3 2,81.10 E 2.10 11 0,3 2,81.10 E2.10 m 4,32= kN/cm 2 ; n 4,32 = kN/cm 2 Biến dạng theo phơng u: () () = + = = uumnu 4 uu 4 1 E 1 = 0,3 4,32 4,32 1,625.10 2.10 m 2,5= kN/cm 2 ứ ng suất tiếp mn tình từ công thức: + = + mn mn umn cos2 sin 2 22 + =+ 00 mn 4,32 4,32 4,32 4,32 2,5 cos 2.45 sin 2.45 22 mn 2,5= kN/cm 2 Giá trị ứng suất chính tại điểm cho trớc: () () + = += + 2 2 mn max m n mn min 2 2 1 4 22 4,32 4,32 1 = 4,32 4,32 4.2,5 22 2 max 2 min 5kN / cm 5kN / cm = = u n m O 45 0 Hình 3.10 45 0 27 Ph−¬ng chÝnh: τ α=− = σ−σ +  mn mn 2 2.2,5 1 tg2 4,32 4,32 3 ⇒ 0 1 0 2 15 105 ⎧ α= ⎪ ⎨ α= ⎪ ⎩ . l hệ số tỷ lệ gọi l môđun đn hồi khi trợt [lực/chiều di 2 ], đó l hằng số vật liệu, đợc xác định từ thí nghiệm. Môđun G liên hệ với E v nh sau: E G 2(1. ứng suất phẳng 1. ứ ng suất trên mặt nghiêng bất kì Tách một phân tố khỏi vật thể đn hồi chịu lực. Giả thiết mặt vuông góc với trục z l mặt chính ( z