Sức bền vật liệu_Chương 4_ Trạng thái ứng suất

Bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất phẳng Tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không đổi... Định luật Hooke Định luật Hooke cho bi

Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng

4.4 Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

4.5 Trạng thái ứng suất khối

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

Các thuyết bền

4.1 Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

a Trạng thái ứng suất tại một điểm

 Xét điểm K(x,y,z) trong vật thể chịu lực

phần ứng suất:

 Ứng suất pháp σ

 Ứng suất tiếp τ

 Qua điểm K có vô số mặt cắt

 Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập

hợp tất cả những thành phần ứng suất trên

tất cả các mặt cắt đi qua điểm đó

 Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại

 Trạng thái ứng suất tại một điểm có thể

được biểu diễn hoàn toàn bằng ten-xơ

4.1 Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

b Mặt chính – ứng suất chính –

phương chính

 Mặt chính: Là mặt không có tác dụng

của ứng suất tiếp.

 Phương chính: là phương pháp tuyến

của mặt chính.

 Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác

dụng trên mặt chính.

 Tại mỗi điểm bất kỳ trong vật thể, luôn

tồn tại 3 mặt chính tương hỗ vuông góc

4.1 Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

 Tại 1 điểm luôn tồn tại 3 mặt chính tương hỗ vuông góc với nhau; 3 ứng suất chính tương ứng được ký hiệu là σ1, σ2, σ3 và được đặt tên theo thứ tự σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

 Phân loại trạng thái ứng suất:

Trạng thái ứng suất khối Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái ứng suất đơn

 Một trạng thái ứng suất phẳng được

đặc trưng bởi 4 giá trị: σx; σy; τxy; τyx

4.2 Trạng thái ứng suất phẳng

Quy ước dấu:

 Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra

khỏi phân tố

 Ứng suất tiếp dương khi đi vòng quanh

phân tố theo chiều kim đồng hồ

a Định luật đối ứng của ứng suất tiếp:

Ứng suất tiếp trên hai mặt bất kỳ vuông

góc với nhau có trị số bằng nhau, có chiều

cùng đi vào cạnh chung hoặc cùng đi ra

khỏi cạnh chung

Vậy, trạng thái ứng suất phẳng được xác

4.2 Trạng thái ứng suất phẳng

b Ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ // Oz

 Xét mặt nghiêng có pháp tuyến u hợp với

chiều dương của trục x một góc α (α>0: từ

x quay đến u theo chiều ngược chiều kim

đồng hồ)

 Xét cân bằng của phân tố hình lăng trụ:

α >0 – ngược chiều kim đồng hồ

4.2 Trạng thái ứng suất phẳng

c Phương chính – Ứng suất chính (≡ ứng suất pháp cực trị)

Phương chính được xác định từ điều kiện:

Mặt khác, phương của mặt có ứng suất pháp cực trị được xác định từ điềukiện:

(1);(2) → α1 ≡ α0 → Các phương này trùng nhau

Vậy, các ứng suất chính cũng chính là các ứng suất pháp cực trị của trạng tháiứng suất phẳng Từ các pt trên, ta có 2 nghiệm α01 và α02 hơn kém nhau 90o,xác định 2 phương chính tương ứng (1 phương chính đã biết – là phương z):

4.2 Trạng thái ứng suất phẳng

c Phương chính – Ứng suất chính (≡ ứng suất pháp cực trị) (tiếp theo)

 Công thức tính ứng suất chính, ứng suất pháp cực trị:

Ghi chú: Trạng thái ứng suất phẳng có một ứng suất chính bằng 0, công thức này xác định cho ta 2 ứng suất chính còn lại.

 Công thức xác định phương pháp tuyến của các mặt có ứng suất pháp cựcđại và cực tiểu tương ứng là:

4.2 Trạng thái ứng suất phẳng

d Ứng suất tiếp cực trị

Vậy: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 45o.

e Bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất phẳng

Tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không đổi

4.3 Vòng tròn Mohr ứng suất

Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất

Từ các công thức ứng suất trên mặt nghiêng:

Christian Otto Mohr (1835 -1918)

4.3 Vòng tròn Mohr ứng suất

Phương trình vòng tròn Mohr ứng suất

Từ các công thức ứng suất trên mặt nghiêng:

Christian Otto Mohr (1835 -1918)

→ Phương trình đường tròn tâm ;

bán kính

Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

 Trạng thái ứng suất đơn (thanh chịu kéo-nén đúng tâm)

 Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý (xoắn thuần tuý thanh tròn)

4.4 Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

 Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt (dầm chịu uốn ngang phẳng)

4.4 Một số trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

4.5 Trạng thái ứng suất khối

 Dựa trên 3 giá trị (σ1; σ2; σ3), vẽ được 3 vòng tròn Mohr C1, C2, C3

 Ứng suất p trên mặt cắt nghiêng bất kỳ sẽ được biểu diễn bằng toạ độ của 1điểm nằm trong miền giới hạn giữa 3 vòng tròn Mohr

 Bán kính của các vòng tròn Mohr là giá trị của các ứng suất tiếp cực trị

 Trạng thái ứng suất khối: cả 3 ứng suất

chính (σ1; σ2; σ3) đều khác 0

 Bất biến thứ nhất của trạng thái ứng

suất:

Ví dụ

Ví dụ 4.1:

Cho phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng như

hình vẽ

1 Tìm các ứng suất trên mặt cắt nghiêng như

trên hình vẽ của phân tố

Ví dụ

2 Ứng suất chính, phương chính:

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

 Định luật Hooke cho biến dạng dài

Xét phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối, theo

nguyên lý cộng tác dụng:

Robert Hooke (1635 -1703)

Tương tự:

Trong hệ trục toạ độ bất kỳ xyz, giả thiết ứng suất tiếp không gây ra biến dạngdài nên ta có thể viết:

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

 Định luật Hooke cho biến dạng góc

Giả thiết ứng suất pháp không ảnh hưởng đến biến

dạng góc; và ứng suất tiếp trong mặt phẳng nào chỉ

phát sinh biến dạng góc trong mặt phẳng đó

→ Chỉ cần xét phân tố ở trạng thái ứng suất trượt

thuần tuý như hình vẽ

Định luật Hooke cho quan hệ tuyến tính giữa biến dạng

trượt và ứng suất tiếp:

Charles Augustine de

Coulomb (1736 -1806)

γ xy ; γ yz ; γ zx – biến dạng trượt trong các mặt phẳng xy, yz, zx

G – mô-đun đàn hồi trượt (mô-đun Coulomb) của vật liệu, được

xác định bằng thực nghiệm hoặc xác định bằng công thức:

Đối với thép, E = 2.1x103kN/cm2; m ≈ 0.3 → G = 8x103kN/cm3

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

 Định luật Hooke cho biến dạng thể tích

Xét phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối như hình vẽ

Gọi θ là biến dạng thể tích tỷ đối:

Robert Hooke (1635 -1703)

Thay ε1, ε2, ε3 bằng biểu thức của định luật Hooke

cho biến dạng dài, ta có:

V o – Thể tích trước biến dạng

V – Thể tích sau biến dạng

Khai triển và bỏ qua vô cùng bé bậc cao:

Đặt Σ = σ1 + σ2 + σ3

 Định luật Hooke cho trạng thái ứng suất phẳng

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

Xét phân tố chính: τ = 0

 Thế năng biến dạng đàn hồi

Phân tố biến dạng → Thay đổi Hình dạng

Thể tích 4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

 Thế năng biến dạng đàn hồi

Thế năng biến dạng đàn hồi riêng u

Thế năng biến đổi thể tích utt

Thế năng biến đổi hình dạng uhd

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

 Thế năng biến dạng đàn hồi

Thế năng biến dạng đàn hồi riêng u

Thế năng biến đổi thể tích utt

Thế năng biến đổi hình dạng uhd

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

Ví dụ 4.2:

Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng

trên bề mặt vật thể chịu lực, bằng các cảm biến

điện trở, người ta đo được biến dạng dài tỷ đối

theo 3 phương lần lượt là:

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

Định luật Hooke cho biến dạng dài theo phương

u và bất biến thứ nhất của trạng thái ứng suất:

Mặt khác, ta có:

4.6 Quan hệ ứng suất – biến dạng Định luật Hooke

Với 3 giá trị cơ bản (σm; σn; τmn), trạng thái ứng

suất phẳng được xác định Ta có:

4.7 Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Trạng thái ứng suất đơn (kéo-nén

đúng tâm):

→ Điều kiện bền

 Trạng thái ứng suất trượt thuần

tuý ( xoắn thuần tuý thanh tròn):

→ Điều kiện bền

 Giá trị các ứng suất cho phép

được xác định theo ứng suất

 Tương tự, đối với trạng thái ứng suất phức tạp, cần phải tiến hành

thí nghiệm để xác định ứng suất nguy hiểm cho trạng thái ứng suất tương ứng → không thực hiện được, vì:

 Số lượng thí nghiệm là vô số (tương ứng với vô số tỷ lệ giữa các ứngsuất chính có thể xảy ra trong thực tế)

 Nhiều thí nghiệm không tiến hành được do điều kiện kỹ thuật hạn chế

 Không tiến hành thí nghiệm được → Không biết được nguyên nhân phá hoại của vật liệu → Cần đưa ra các giả thuyết

 Thuyết bền là các giả thuyết về nguyên nhân phá hoại của vật

 Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất (Thuyết bền 1)

Galileo Galilei (1564-1642)

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất pháp lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới ứng suất nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

Điều kiện bền:

4.7 Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất (Thuyết bền 2)

Edme Mariotte (1620-1684)

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do biến dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới biến dạng dài tương đối nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu giòn

Điều kiện bền:

4.7 Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền 3)

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất tiếp lớn nhất của phân

tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới ứng suất pháp nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

Henri Tresca (1814 -1885)

Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant (1797 -1886)

Điều kiện bền:

4.7 Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất (Thuyết bền 4)

Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới thế năng biến đổi hình dạng nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

(*) Thuyết bền này phù hợp với vật liệu dẻo (có độ bền kéo, nén như nhau)

Richard Edler von Mises

(1883 -1953)

Điều kiện bền:

4.7 Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

 Thuyết bền Mohr (Thuyết bền 5)

Dựa vào kết quả thí nghiệm → Vẽ vòng tròn Mohr ứng suất giới hạn →

Vẽ đường bao → Xác định miền an toàn của vật liệu

Nếu vòng tròn Mohr ứng suất khối nằm trong đường bao giới hạn bền thì trạng thái ứng suất đó là bền.

Christian Otto Mohr (1835 -1918)

Điều kiện bền:

4.7 Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

Ví dụ 4.3:

Kiểm tra bền cho phân tố ở trạng thái ứng suất

phẳng như hình vẽ

• Áp dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất

• Áp dụng thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất

• Áp dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình

dạng lớn nhất

GIẢI:

4.7 Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

• Áp dụng thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất:

→ Phân tố thoả mãn điều kiện bền ứng suất

pháp cực đại

• Áp dụng thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất:

→ Phân tố không thoả mãn điều kiện bền ứng suất tiếp lớn nhất

(vượt quá 1% so với ứng suất cho phép)

• Áp dụng thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất:

4.7 Điều kiện bền cho phân tố ở TTƯS phức tạp – Các thuyết bền

SỨC BỀN VẬT LIỆU 1

Thank you for your attention

Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng E-mail: tpnt2002@yahoo.com