Sức bền vật liệu_Chương 5_Đặc trưng hình học

Khi mômen tĩnh của diện tích A đối với một trục xo nào đó bằng 0 thì trục đó được gọi là trục trung tâm: Các trục trung tâm đồng quy tại trọng tâm của mặt cắt... Mômen quán tính ly tâm –

NỘI DUNG CHƯƠNG 5 – ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

5.1 Khái niệm chung

5.2 Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm

5.3 Mômen quán tính đối với một trục

5.1 Khái niệm chung

 Thanh chịu kéo-nén đúng tâm: khả năng chịu lực của thanh chỉ phụ thuộc vào một đặc trưng hình học là diện tích A của mặt cắt ngang.

 Tuy nhiên, với nhiều kết cấu khác (chịu uốn, xoắn…), khả năng chịu lực của kết cấu còn phụ thuộc vào hình dạng của mặt cắt ngang (đặc, rỗng…) cũng như phương tác dụng của ngoại lực đối với mặt cắt (dầm đặt đứng hay đặt ngang như trên hình vẽ ví dụ).

 Những đại lượng hình học ảnh hưởng đến khả năng chịu lực của kết cấu

được gọi là các đặc trưng hình học của mặt cắt ngang.

5.2 Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm

Cho hình phẳng diện tích A trong

hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.

Xét một phân tố diện tích dA có

toạ độ (x; y)

Mômen tĩnh của diện tích A đối

với trục Ox và Oy lần lượt là:

Đơn vị: [chiều dài3] (ví dụ: m3; cm3…)

Giá trị của mô-men tĩnh có thể âm, dương hoặc bằng 0

Khi mômen tĩnh của diện tích A đối với một trục xo nào đó

bằng 0 thì trục đó được gọi là trục trung tâm:

Các trục trung tâm đồng quy tại trọng tâm của mặt cắt.

Bài toán xác định trọng tâm

5.2 Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm

Tương tự, ta có:

Vậy, giả sử C (xC; yC) là trọng tâm của mặt cắt ngang có diện

tích A , ta có công thức tìm toạ độ của C:

Nếu mặt cắt A được ghép bởi nhiều hình đơn giản:

5.2 Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm

 Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm.

5.2 Mômen tĩnh – Trọng tâm – Trục trung tâm

5.3 Mômen quán tính đối với một trục

Mômen quán tính của diện tích A

đối với trục Ox và Oy lần lượt là:

Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4…)

Giá trị của mô-men quán tính luôn dương

Nếu diện tích A được ghép từ nhiều hình đơn giản:

5.3 Mômen quán tính đối với một trục

Bán kính quán tính của diện tích

A đối với trục Ox và Oy lần lượt là:

Đơn vị: [chiều dài] (ví dụ: m; cm…)

Giá trị của bán kính quán tính luôn dương

Bán kính quán tính của diện tích A đối với một trục đặc trưng

cho phân bố của vật liệu đối với trục đó (với cùng một diện tích

A , bán kính quán tính càng lớn thì càng có nhiều vật liệu ở xa

trục và ngược lại).

5.4 Mômen quán tính độc cực

Mômen quán tính độc cực của

diện tích A đối với điểm O là:

Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4…)

Giá trị của mô-men quán tính độc cực

luôn dương

Dựa vào định lý Pythagore, ta có quan hệ giữa các mô-men

quán tính:

5.5 Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung tâm

diện tích A đối với hệ trục Ox và

Oy là:

Đơn vị: [chiều dài4] (ví dụ: m4; cm4…)

Giá trị của mô-men quán tính ly tâm có thể

dương, âm hoặc bằng 0

• Khi mômen quán tính ly tâm của mặt cắt đối với một hệ trục nào đó

bằng 0 thì hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính:

• Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt cắt, ta cũng có thể xácđịnh được 1 hệ trục quán tính chính

• Hệ trục quán tính chính có gốc tại trọng tâm C của mặt cắt được gọi

là hệ trục quán tính chính trung tâm.

5.5 Mômen quán tính ly tâm – Hệ trục quán tính chính trung tâm

Nếu mặt cắt có 1 trục đối xứng thì bất cứ trục xo nào

vuông góc với trục đối xứng đó cũng lập với nó 1 hệ trục

quán tính chính Oxoy.

Trục x đi qua trọng tâm C và vuông góc với trục đối xứng

tạo thành hệ trục quán tính chính trung tâm Cxy.

5.6 Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Hình chữ nhật:

Đối với hệ trục Cxy đi qua trọng tâm

C của hình chữ nhật:

5.6 Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Hình tam giác:

Đối với hệ trục Oxy có trục Ox trùng với 1 đáy của tam giác:

Nếu trục x đi qua trọng tâm C của hình tam giác:

5.6 Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Hình tròn:

Đối với điểm O là tâm (đồng thời là trọng tâm) của hình tròn:

Do Ix = Iy và Ip = Ix + Iy ta có:

5.6 Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Hình vành khuyên:

Các công thức trên còn có thể được

viết dưới dạng:

5.6 Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Thép định hình chữ I, chữ C; thép góc (đều cạnh, không đều cạnh); théphộp, thép ống:

Các đặc trưng hình học đã được tính sẵn và lập thành bảng, có thể được tra cứu dựa vào số hiệu của mặt cắt.

5.6 Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Ví dụ bảng tra

thép hình:

5.6 Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang thông dụng

 Ví dụ bảng tra

thép hình:

5.7 Công thức chuyển trục song song

Cho mặt cắt ngang có diện tích A

trong hệ trục toạ độ oxy Các đặc

trưng hình học của mặt cắt ngang đó

trong hệ trục toạ độ oxy lần lượt là Sx;

Sy; Ix; Iy

Ta sẽ xác định các đặc trưng hình

học này trong hệ trục toạ độ mới

OXY song song với hệ trục toạ độ cũ

Ta có:

(*) (a; b) là toạ độ của gốc tọa độ cũ trong hệ trục toạ độ mới.

5.7 Công thức chuyển trục song song

Biến đổi tương tự ta có:

→ Công thức chuyển trục song song

của mômen quán tính

Nếu hệ trục ban đầu là hệ trục trung

tâm của mặt cắt ngang thì ta có các

công thức đơn giản:

Chú ý: dấu của khoảng cách a, b giữa các trục.

Trong nhiều trường hợp, cần xác định các đặc trưng hình học mặt cắt ngang trong hệ trục toạ độ xoay một góc nào đó so với

hệ trục ban đầu

5.8 Công thức xoay trục

5.8 Công thức xoay trục

Cho mặt cắt ngang có diện tích

A trong hệ trục toạ độ Oxy Các

đặc trưng hình học của mặt cắt

ngang đó trong hệ trục toạ độ

Oxy lần lượt là Sx; Sy; Ix; Iy.

Ta sẽ xác định các đặc trưng

hình học này trong hệ trục toạ độ

mới Ouv là hệ trục Oxy quay đi

một góc α Ta có:

5.8 Công thức xoay trục

Khai triển và sử dụng các biến

đổi lượng giác:

Đây là các công thức xoaytrục của mômen quán tính

5.8 Công thức xoay trục

Nhận xét:

Các công thức xoay trục của mô-men quán tính hoàn toàn tương tự các công thức của trạng thái ứng suất phẳng Vì vậy, ta có thể áp dụng toàn bộ kết quả của trạng thái ứng suất phẳng cho trạng thái mô-men quán tính của một mặt cắt ngang.

Cho mặt cắt ngang có hình dạng và kích

thước như hình vẽ Xác định các mômen

quán tính chính trung tâm của mặt cắt

ngang

GIẢI:

Chọn hệ trục toạ độ ban đầu Ox1y

như hình vẽ Chia mặt cắt ngang làm

hai hình đơn giản (1) và (2)

1 Xác định tọa độ trọng tâm:

 Oy là trục đối xứng → xC = 0

 Xác định yC:

Ví dụ 5.1

Ví dụ 5.2

Xác định hệ trục quán tính chính

trung tâm và tính các mômen quán

tính chính trung tâm của mặt cắt

ngang như trên hình vẽ

Ví dụ 5.2

•Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm:

Lập hệ trục trung tâm CXY Hệ trục quán

tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY

quay đi một góc αo Góc αo được xác định

bằng công thức:

Ví dụ 5.2

•Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm:

Lập hệ trục trung tâm CXY Hệ trục quán

tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY

quay đi một góc αo Góc αo được xác định

bằng công thức:

Ví dụ 5.2

•Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm:

Lập hệ trục trung tâm CXY Hệ trục quán

tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY

quay đi một góc αo Góc αo được xác định

bằng công thức:

Ví dụ 5.2

•Tìm hệ trục quán tính chính trung tâm:

Lập hệ trục trung tâm CXY Hệ trục quán

tính chính trung tâm sẽ là hệ trục CXY

quay đi một góc αo Góc αo được xác định

bằng công thức:

Cuv là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

SỨC BỀN VẬT LIỆU 1

Thank you for your attention

Trần Minh Tú – Đại học Xây dựng E-mail: tpnt2002@yahoo.com