40 bài tập hình học phẳng

HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET HèNH HC PHNG ễN THI I HC 1) Trong mp(Oxy) cho tam giỏc ABC bit A = ( 1; ) , phng trỡnh ng cao (BH): x y + = , Phng trỡnh ng phõn giỏc (CD) x + y = Tỡm to im B, C 2) Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): ( x 1)2 + ( y + 1)2 = Mt ng trũn (C') tip xỳc vi Oy v tip xỳc ngoi vi (C) Tỡm tõm ca (C') bit tõm thuc ng thng (d): x y = 3) Cho ABC cú nh A(1;2), ng trung tuyn BM: x + y + = v phõn giỏc CD x + y = Vit phng trỡnh ng thng BC HD: im C CD : x + y = C ( t ;1 t ) t +1 t ; Suy trung im M ca AC l M ữ im t +1 t M BM : x + y + = + = t = C ( 7;8 ) ữ+ T A(1;2), k AK CD : x + y = ti I (im K BC ) Suy AK : ( x 1) ( y ) = x y + = x + y = I ( 0;1) x y +1 = Ta im I tha h: Tam giỏc ACK cõn ti C nờn I l trung im ca AK ta ca K ( 1;0 ) ng thng BC i qua C, K nờn cú phng trỡnh: x +1 y = 4x + 3y + = + 4) Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú din tớch bng Bit A(1;0), B(0;2) v giao im I ca hai ng chộo nm trờn ng thng y = x Tỡm ta nh C vuuu D r Ta cú: AB = ( 1; ) AB = Phng trỡnh ca AB l: 2x + y = I ( d ) : y = x I ( t ; t ) I l trung im ca AC v BD nờn ta cú: C ( 2t 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t ) 8 | 6t | t = C ; ữ, D ; ữ = Ngoi ra: d ( C ; AB ) = CH 5 t = C ( 1;0 ) , D ( 0; ) Mt khỏc: S ABCD = AB.CH = (CH: chiu cao) CH = 8 Vy ta ca C v D l C ; ữ, D ; ữ hoc C ( 1;0 ) , D ( 0; ) 3 3 5) Trên Oxy cho Elip x2 y2 + = (a > b > 0) biết a2 b2 a2 b2 = hình chữ nhật sở cắt Ox a A, A, cắt Oy B, B Lập phơng trình Elip biết diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABAB có diện tích HD: gt: Diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABAB bán kính đờng tròn r = HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET O tâm hình tròn, kẻ OK AB r = OK = Xét tam giác vuông OAB ta có: 1 1 1 = + = + (1) 2 a OK OA OB b Từ gt: B a2 b2 = a = a b a a = 2a 2b a = 2b (2) A A O B K a2 b2 đợc tìm từ hệ (1); (2) a = 2b a = 12 1 b = + =4 b a Vậy Elíp thoả yêu cầu toán co pt là: x2 y2 + =1 12 6) Trên Oxy cho đờng thẳng d1: 2x-y-1=0, d2: 2x+y-3=0 Gọi I giao điểm d1 d2; A điểm thuộc d1, A có hoành độ dơng khác (0 < xA 1) Lập phơng trình đờng thẳng () qua A, cắt d2 B cho diện tích IAB IB = 3IA x y = x = x + y = y = I = d1 d2 tạo độ I n0 hệ Vậy I(1; 1) Từ gt d1 có VTPT n1 = (2;1); d2 có VTPT n = ( 2;1); Gọi góc d1 d2 4 = sin = 5 IA = IA.3IA = 5 cos = S IAB A I IA = IB 2B= 45 Từ gt: S IAB = 6IB=3TA A d1 A(a,2a 1) với a > 0, a =0 aloại a = 2 2 pt IA = (a 1) + (2a 2) = 5(a 1) = a = A(2;3) * B d 21 B(a,3 2b) IB = (b 1) + (2 2b) = 5(b 1) b = B( 4;5) IB = 45 (b 1) = b = B (2;7) Với A(2;3); B(4;5) pt cần tìm x2 y3 = x + y 11 = 42 53 Với A(2;3); B(-2;7) pt cần tìm x2 y = x+ y = 22 73 HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET 7) Trong mt phng ta Oxy cho tam giỏc ABC cú trung im cnh AB l M (1;2) , tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc l I (2; 1) ng cao ca tam giỏc k t A cú phng trỡnh: x + y + = Tỡm ta nh C uuur HD: AB i qua M nhn MI = (3, 3) lm vtpt nờn cú pt: x y + = x y + = x + y + = Ta A l nghim ca h : A ; ữ 3 M (1;2) l trung im ca AB nờn B ; ữ 3 r BC nhn n = (2;1) lm vtcp nờn cú p t: x = + 2t C + 2t ; + t ữ y = + t 2 2 10 10 IB = IC IB = IC 2t ữ + t + ữ = ữ + ữ t = 0,loai (do C B) t = 14 47 Vy C ; ữ 15 15 2 8) Trong mt phng ta Oxy cho tam giỏc ABC cú B ( 12;1) , ng phõn giỏc gúc A cú 3 phng trỡnh: x + y = Trng tõm tam giỏc ABC l G ; ữ.Vit phng trỡnh ng thng BC x = 2t H ( 2t ; t ) y = t Gi H l hỡnh chiu ca B trờn d : uuur uur BH = ( 17 2t ; t 1) ud = ( 2;1) ( 17 2t ) + t = t = H ( 9;7 ) Gi M l im i xng ca B qua d uuuur uuuuuuur BM = BH M ( 6;13) AC A d A ( 2a; a ) C ( + 2a;1 a ) uuur uuuur MA / / MC a = C ( 4;3) Vy BC : x y + 20 = 9) Trong mt phng ta (Oxy) Lp phng trỡnh ng thng qua M ( 2;1) v to vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng x y HD: Gi d l T cn tỡm v A ( a;0 ) , B ( 0; b ) l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra: d : + = a b Theo gi thit, ta cú: + = 1, ab = a b Khi ab = thỡ 2b + a = Nờn: b = 2; a = d1 : x + y = HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET 10) Trong mt phng ta (Oxy) , cho im M 3; ữ Vit phng trỡnh chớnh tc ca elip i ( ) qua im M v nhn F1 3;0 lm tiờu im 11) Trong mt phng vi h to Oxy, lp phng trỡnh ng thng d i qua im A(1; 2) v ct ng trũn (C) cú phng trỡnh ( x 2) + ( y + 1) = 25 theo mt dõy cung cú di bng r HD : G/s mt vộc t phỏp tuyn ca d l n(a; b) ,vỡ d i qua im A(1;2) nờn d cú phng trỡnh d: a(x 1)+ b(y 2) = hay d: ax + by a 2b = ( a2 + b2 > 0) Vỡ d ct (C) theo dõy cung cú di bng nờn khong cỏch t tõm I(2; 1) ca (C) n d bng d ( I,d ) = 2a b a 2b a2 + b2 = a 3b = a + b 2 a = 8a + 6ab = a = b a = 0: chn b = d: y = a = b : chn a = 3, b = d: 3x y + = 12) Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai ng trũn (C1): x2 + y2 2x 2y = 0, (C2): x2 + y2 8x 2y + 16 = HD: (C1): ( x 1)2 + ( y 1) = cú tõm I1 (1; 1) , bỏn kớnh R1 = (C2): ( x 4) + ( y 1)2 = cú tõm I (4; 1) , bỏn kớnh R2 = Ta cú: I1 I = = R1 + R2 (C1) v (C2) tip xỳc ngoi ti A(3; 1) (C1) v (C2) cú tip tuyn, ú cú tip tuyn chung ti A l x = // Oy * Xột tip tuyn chung ngoi: () : y = ax + b () : ax y + b = ta cú: a + b 2 =2 a= a= d ( I1 ; ) = R1 a +b 4 hay d ( I ; ) = R2 4a + b = b = b = + a + b2 4 Vy, cú tip tuyn chung: (1 ) : x = 3, (2 ) : y = 4+7 2 47 x+ , (3 ) y = x+ 4 4 13) Trong mt phng to Oxy cho ng trũn (C) : x2 + y2 + 4x 6y + = v im M( 1; - 8).Vit phng trỡnh ng thng d qua M cho d ct (C) ti hai im A,B phõn bit m din tớch tam giỏc ABI t giỏ tr ln nht.Vi I l tõm ca ng trũn (C) Đtròn (C) có tâm I(- 2; 3) & bán kính R = Giả sử ptđt (d) : Ax + By A + 8B = với A2 + B2 > Luôn có BIA cân I với IA = IB = ; SBIA = IA.IB.sinAIB = 2sinAIB 11B A = SBIA Dấu = AIB vuông cân I hay d(I ; (d)) = A2 + B 7A2 66BA + 119B2 = (A 7B)(7A 17B) = Vậy có hai đờng thẳng d thoả mãn: 7x + y + = & 17x + 7y + 39 = 14) Cho A(1 ; 4) v hai ng thng b : x + y = ; c : x + y = Tỡm im B trờn b , im C trờn c cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A Gọi B(b ; - b) & C( c ; - c) => AB (b - ; - - b) ; AC (c - ; - c) AB AC = (b 1)(c 1) = (b + 1)(5 c) & ABC vuông cân A 2 2 AB = AC (b 1) + (b + 1) = (c 1) + (5 c) HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET (b + 1)(5 c) (1) b = c c = không n0 nên hệ 2 (5 c ) (b + 1) + (b + 1) = (c 1) + (5 c) (2) (c 1) 2 Từ (2) (b + 1) = (c - 1) Với b = c thay vào (1) => c = ; b = => B(2 ; 1) & C( ; 5) Với b = - c thay vào (1) => c = ; b = - => B(- ; 5) & C(2 ; 7) Kết luận :có hai tam giác thoả mãn: B(2 ; 1) & C( ; 5) B(- ; 5) & C(2 ; 7) 15) Trong hệ toạ độ Oxy đờng thẳng (d): x y +1 =0 đờng tròn (C): x + y + x y = Tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) mà qua M kẻ đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) A B cho ãAMB =600 16) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết phơng trình cạnh BC:x + 2y - = phơng trình đờng chéo BD: 3x + y = 0,đờng chéo AC qua M(-5;2).Hãy tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD 17) Phng trỡnh hai cnh ca mt tam giỏc mt phng ta l 5x - 2y + = 0; 4x + 7y 21 = vit phng trỡnh cnh th ba ca tam giỏc ú, bit rng trc tõm ca nú trựng gc ta O Gi s AB: 5x - 2y + = 0; AC: 4x + 7y r21 = Vy A(0;3) ng cao nh BO i qua O nhn VTCP a = (7; - 4) ca AC lm VTPT Võy BO: 7x - 4y = vy B(-4;-7) A nm trờn Oy, vy ng cao AO chớnh l trc OY, Vy AC: y + = 18) Trong mpOxy, cho ng trũn (C): x2 + y2 6x + = Tỡm M thuc trc tung cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú bng 600 HD: (C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = M Oy M(0;m) Qua M k hai tip tuyn MA v MB ( A v B l hai tip im) ãAMB = 600 (1) Vy ãAMB = 1200 (2) Vỡ MI l phõn giỏc ca ãAMB IA (1) ãAMI = 300 MI = MI = 2R m + = m = m sin 300 IA (2) ãAMI = 600 MI = MI = R m2 + = Vụ nghim sin 600 3 Vy cú hai im M1(0; ) v M2(0;- ) 19) Trong mt phng to Oxy Lp phng trỡnh ng thng i qua A(8 ;6) v to vi trc to mt tam giỏc cú din tớch bng 12 Gi s (d) i qua A(8;6) ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti cỏc im M(a;0), N(0;b) a,b khỏc 0.Khi ú x y (d) cú phng trỡnh + = Vỡ (d) i qua A nờn + = (1) a b a b + =1 li cú S OAB = ab = 12 (2) T (1) v (2) ta cú h a b ab = 24 a = x y x y b = = 1, + = t ú cú ng thng tho iu kin l a = 8 b = HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET 20) Trong mt phng to Oxy vit phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh ch nht ABCD Bit rng AB = 2BC , A, B thuc ng thng i qua M( ;1 ), B, C thuc ng thng i qua N(0 ; 3), A,D thuc ng thng i qua P(4 ; -1/3), C,D thuc ng thng i qua Q(6 ;2) HD : Phng trỡnh AB cú dng: y = k(x + 4/3) + DC: y = k(x - 6) + , BC: x + ky 3k = , AD: x + ky -4 + k/3 = Vỡ AB = 2BC nờn d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC) k 3k k 6k + k= 10k 12 = 44k 3 = 2 10 k 12 = 44 k 1+ k 1+ k k = 17 Vi k = 1/3 ta cú phng trỡnh cỏc cnh hỡnh ch nht l: AB: y = 1/ 3( x + / 3) + 1, DC : y = 1/ 3( x 6) + 2, BC : x + 1/ y = 0, AD : x + 1/ y 35 / = Vi k = -3/17 ta cú phng trỡnh cỏc cnh ca hỡnh ch nht l: AB : y = /17( x + / 3) + 1, DC : y = /17( x 6) + 2, BC : x /17 y + /17 = 0, AD : x /17 y /17 = 21) Trong mp vi h ta Oxy cho ng trũn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C ) Vit PT ng thng () vuụng gúc vi ng thng : 4x-3y+2 =0 v ct ng trũn (C) ti A; B cho AB = ng trũn ( C) cú tõm I(1;-3); bỏn kớnh R=5 Gi H l trung im AB thỡ AH=3 v IH AB suy IH =4 Mt khỏc IH= d( I; ) I Vỡ || d: 4x-3y+2=0 nờn PT ca cú dng 3x+4y+c=0 A H B vy cú t tha bi toỏn: 3x+4y+29=0 v 3x+4y-11=0 d(I; )= x y2 =1 22) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hypebol (H) cú phng trỡnh: v im M(2; 1) Vit phng trỡnh ng thng d i qua M, bit rng ng thng ú ct (H) ti hai im A, B m M l trung im ca AB HD: Gi s d qua M ct (H) ti A, B : vi M l trung im AB 3x 2A 2y 2A = (1) 2 A, B (H) : 3x B 2y B = (2) M l trung im AB nờn : xA + xB = (3) v yA + yB = (4) (1) (2) ta cú : 3(x2A - x2B) - 2(y2A - y2B) = (5) Thay (3) v (4) vo (5) ta cú : 3(xA -xB)-(yA-yB) = 3(2xA-4)-(2yA- 2) = 3xA - yA = Tng t : 3xB - yB = Vy phng trỡnh d : 3x - y - = 23) Cho hỡnh tam giỏc ABC cú din tớch bng Bit A(1;0), B(0;2) v trung im I ca AC nm trờnuuu ng thng y = x Tỡm to nh C r HD: Ta cú: AB = ( 1; ) AB = Phng trỡnh ca AB l: x + y = I ( d ) : y = x I ( t ; t ) I l trung im ca AC: C (2t 1;2t ) Theo bi ra: S ABC t = = AB.d (C , AB) = 6t = t = 3 T ú ta cú im C(-1;0) hoc C( ; ) tho HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET 24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B (2; 5) , đỉnh C nằm đờng thẳng x = , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x y + = Tính diện tích tam giác ABC + + + yC y = 1, yG = = + C Điểm G nằm đờng Ta có C = (4; yC ) Khi tọa độ G xG = 3 x y + = y + = y = thẳng nên , C , tức C C = (4; 2) Ta có AB = (3; 4) , AC = (3;1) , AB = , AC = 10 , AB AC = 1 15 Diện tích tam giác ABC S = AB AC AB AC = 25.10 25 = 2 25) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;1) , B (1; 2) , trọng tâm G tam giác nằm đờng thẳng x + y = Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 13,5 Vì G nằm đờng thẳng x + y = nên G có tọa độ G = (t ; t ) Khi AG = (t 2;3 t ) , 1 AG AB AG AB = (t 2) + (3 t ) = AB = (1;1) Vậy diện tích tam giác ABG S = 2 2t 2t Nếu diện tích tam giác ABC 13,5 diện tích tam giác ABG 13,5 : = 4,5 Vậy = 4,5 , suy t = t = Vậy có hai điểm G : G1 = (6;4) , G = (3;1) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên xC = xG ( xa + xB ) yC = yG ( ya + y B ) Với G1 = (6;4) ta có C = (15;9) , với G = ( 3;1) ta có C =(12;18) ( ) ( ) [ ] 26)Trong mt phng oxy cho ABC cú A(2;1) ng cao qua nh B cú phng trỡnh x3y - = ng trung tuyn qua nh C cú phng trỡnh x + y +1 = Xỏc nh ta B v C Tớnh din tớch ABC r +AC qua A v vuụng gúc vi BH ú cú VTPT l n = (3;1) AC cú phng trỡnh 3x + y- 7=0 AC C(4;- 5) CM + xB + y B + +1 = ; M thuc CM ta c 2 + Ta C l nghim ca h + xB + yB = xM ; = yM 2 + xB + y B + +1 = + Gii h ta c B(-2 ;-3) xB yB = + Tớnh din tớch ABC + Ta H l nghim ca h Tớnh c Din tớch S = 14 x = x 3y = 3x + y = y = 10 ; AC = 10 1 10 AC.BH = 10 = 16 ( vdt) 2 BH = HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET 27) Trong mt phng vi h ta Oxy , cho tam giỏc ABC bit A(5; 2) Phng trỡnh ng trung trc cnh BC, ng trung tuyn CC ln lt l x + y = v 2x y + = Tỡm ta cỏc nh ca tam giỏc ABC 28) Trong mt phng vi h ta Oxy cho hai ng thng : x + y + = , ' :3 x y + 10 = v im A(-2 ; 1) Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng thng , i qua im A v tip xỳc vi ng thng HD: Tõm I ca ng trũn thuc nờn I(-3t 8; t) 3( 3t 8) 4t + 10 = (3t + 2) + (t 1) Theo yc thỡ k/c t I n bng k/c IA nờn ta cú 2 +4 Gii tip c t = -3 Khi ú I(1; -3), R = v pt cn tỡm: (x 1)2 + (y + 3)2 = 25 29)Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im I ( 1; 2;3) Vit phng trỡnh mt cu tõm I v tip xỳc vi trc Oy 2 Trong mt phng ta Oxy, cho ng trũn ( C ) : x + y + x = Vit phng trỡnh tip tuyn ca ( C ) , bit gúc gia tip tuyn ny v trc tung bng 30o Ta cú: H s gúc ca tip tuyn ( ) cn tỡm l ( C ) : ( x + 1) + y = I ( 1;0 ) ; R = Do ú: ( ) : x y + b = tip xỳc (C) b d ( I , ) = R = b = + KL: ( ) : x y + = V : ( ) : x + y + b = tip xỳc (C) d ( I , ) = R b = b = + KL: ( ) : x + y + = 30)Trong mt phng vi h to Oxy, hóy vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC bit trc tõm H (1;0) , chõn ng cao h t nh B l K (0; 2) , trung im cnh AB l M (3;1) + ng thng AC vuụng gúc vi HK nờn nhn uuur HK = (1; 2) lm vtpt v AC i qua K nờn ( AC ) : x y + = Ta cng d cú: ( BK ) : x + y = + Do A AC , B BK nờn gi s A(2a 4; a ), B (b; 2b) Mt khỏc M (3;1) l trung im ca AB nờn ta cú h: 2a + b = 2a + b = 10 a = a + 2b = a 2b = b = Suy ra: A(4; 4), B(2; 2) uuur + Suy ra: AB = (2; 6) , suy ra: ( AB) : 3x y = uuur + ng thng BC qua B v vuụng gúc vi AH nờn nhn HA = (3; 4) , suy ra: ( BC ) : x + y + = KL: Vy : ( AC ) : x y + = 0, ( AB ) : x y = , ( BC ) : x + y + = 31)Trong mt phng vi h ta Oxy cho ng trũn hai ng trũn (C ) : x + y x y + = 0, (C ') : x + y + x = cựng i qua M(1; 0) Vit phng trỡnh ng thng qua M ct hai ng trũn (C ), (C ') ln lt ti A, B cho MA= 2MB HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET + Gi tõm v bỏn kớnh ca (C), (C) ln lt l I(1; 1) , I(-2; 0) v R = 1, R ' = , ng thng (d) qua M cú phng trỡnh a ( x 1) + b( y 0) = ax + by a = 0, ( a + b 0)(*) + Gi H, H ln lt l trung im ca AM, BM 2 Khi ú ta cú: MA = 2MB IA2 IH = I ' A2 I ' H '2 ( d ( I ;d ) ) = 4[9 ( d ( I ';d ) ) ] , IA > IH 9a b2 36a b = 35 = 35 a = 36b 2 2 2 a +b a +b a +b a = D thy b nờn chn b = a=6 Kim tra iu kin IA > IH ri thay vo (*) ta cú hai ng thng tho ( d ( I ';d ) ) ( d ( I ;d ) ) = 35 2 32)Trong h ta Oxy, hóy vit phng trỡnh hyperbol (H) dng chớnh tc bit rng (H) tip xỳc vi ng thng d : x y = ti im A cú honh bng Gi ( H ) : x2 a y2 b = (H) tip xỳc vi d : x y = a b = x = y = A ( 4; ) ( H ) 16 a b2 ( 1) = ( 2) T (1) v (2) suy a = 8; b = ( H ) : x2 y2 =1 33)Trong mt phng vi h ta Oxy, hóy lp phng trỡnh tip tuyn chung ca elip (E): x2 y2 + = v parabol (P): y2 = 12x Gi s ng thng () cú dng: Ax + By + C = (A2 + B2 > 0) () l tip tuyn ca (E) 8A2 + 6B2 = C2 (1) () l tip tuyn ca (P) 12B2 = 4AC 3B2 = AC (2) Th (2) vo (1) ta cú: C = 4A hoc C = 2A Vi C = 2A A = B = (loi) Vi C = 4A B = 2A ng thng ó cho cú phng trỡnh: 2A y + 4A = x y+4=0 3 Vy cú hai tip tuyn cn tỡm: x y+4=0 Ax 34) Trong mt phng Oxy cho tam giỏc ABC vi A(1; -2), ng cao CH : x y + = , phõn giỏc BN : x + y + = Tỡm to cỏc nh B,C v tớnh din tớch tam giỏc ABC + Do AB CH nn AB: x + y + = x + y + = ta cú (x; y)=(-4; 3) x + y +1 = Do ú: AB BN = B (4;3) + Ly A i xng A qua BN th A ' BC Gii h: HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET - Phng trỡnh ng thng (d) qua A v vuụng gúc vi BN l (d): x y = x + y + = Suy ra: I(-1; 3) A '(3; 4) x 2y = x + y + 25 = + Phng trỡnh BC: x + y + 25 = Gii h: x y +1 = 13 Suy ra: C ( ; ) 4 450 d ( A; BC ) = 7.1 + 1(2) + 25 = + BC = (4 + 13 / 4) + (3 + / 4) = , + 12 1 450 45 Suy ra: S ABC = d ( A; BC ).BC = = 2 4 Gi I = (d ) BN Gii h: 35) Trong mt phng vi h trc to Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 12, tõm I l giao im ca ng thng d1 : x y = v d : x + y = Trung im ca mt cnh l giao im ca d1 vi trc Ox Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch nht Ta cú: d d = I To ca I l nghim ca h: x y = x = / Vy I = ; ữ 2 x + y = y = 3/ Do vai trũ A, B, C, D nờn gi s M l trung im cnh AD M = d Ox Suy M( 3; 0) 2 Ta cú: AB = IM = + = 2 S ABCD 12 = =2 AB Vỡ I v M cựng thuc ng thng d1 d AD Theo gi thit: S ABCD = AB.AD = 12 AD = ng thng AD i qua M ( 3; 0) v vuụng gúc vi d1 nhn n(1;1) lm VTPT nờn cú PT: 1(x 3) + 1(y 0) = x + y = Li cú: MA = MD = x + y = To A, D l nghim ca h PT: ( x 3) + y = y = x + y = x + y = x 2 2 x = ( x 3) + y = ( x 3) + (3 x) = x = x = hoc Vy A( 2; 1), D( 4; -1) y = y = x C = x I x A = = Do I ; l trung im ca AC suy ra: 2 y C = y I y A = = Tng t I cng l trung im ca BD nờn ta cú B( 5; 4) Vy to cỏc nh ca hỡnh ch nht l: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 36) Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm I = ;0 ữ ng thng AB cú phng trỡnh: x 2y + = 0, AB = 2AD v honh im A õm Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht ú +) d ( I , AB) = AD = AB = BD = +) PT ng trũn K BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4 10 HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET +) Ta A, B l nghim ca x = 25 ( x ) + y = y = A(2;0), B(2; 2) h: x = x y + = y = C (3;0), D(1; 2) 37) Trong mt phng vi h to Oxy cho im C(2;-5 ) v ng thng : 3x y + = Tỡm trờn hai im A v B i xng qua I(2;5/2) cho din tớch tam giỏc ABC bng15 3a + 16 3a ) B (4 a; ) Khi ú din tớch tam giỏc ABC l Gi A(a; 4 S ABC = AB.d (C ) = AB 2 a = 3a Theo gi thit ta cú AB = (4 2a ) + ữ = 25 a = Vy hai im cn tỡm l A(0;1) v B(4;4) x2 y 38) Trong mt phng vi h to Oxy cho elớp ( E ) : + = v hai im A(3;-2) , B(-3;2) Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng cho tam giỏc ABC cú din tớch ln nht Ta cú PT ng thng AB:2x+3y=0 x2 y2 Gi C(x;y) vi x>0,y>0.Khi ú ta cú + = v din tớch tam giỏc ABC l 85 85 x y S ABC = AB.d (C AB ) = 2x + 3y = + 13 13 85 x y 170 + ữ = 13 13 x2 y + = x = 3 Du bng xy Vy C ( ; 2) x = y y = 39) Trong mt phng to Oxy cho hai ng thng (d1) : 4x - 3y - 12 = v (d2): 4x + 3y - 12 = Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú cnh nm trờn (d1), (d2), trc Oy Gi A l giao im d1 v d2 ta cú A(3 ;0) Gi B l giao im d1 vi trc Oy ta cú B(0 ; - 4) Gi C l giao im d2 vi Oy ta cú C(0 ;4) Gi BI l ng phõn giỏc gúc B vi I thuc OA ú ta cú I(4/3 ; 0), R = 4/3 40) Cho im A(-1 ;0), B(1 ;2) v ng thng (d): x - y - = Lp phng trỡnh ng trũn i qua im A, B v tip xỳc vi ng thng (d) Vỡ ng trũn i qua A, B v tip xỳc vi d nờn ta cú h phng trỡnh (1 + a ) + b = R a = 2 2 (1 a ) + (2 y ) = R b = Vy ng trũn cn tỡm l: x + (y - 1) = (a b 1) = R R2 = 41)Trong mt phng Oxy cho tam giỏc ABC cú trng tõm G(2, 0) bit phng trỡnh cỏc cnh AB, AC theo th t l 4x + y + 14 = 0; 2x + 5y = Tỡm ta cỏc nh A, B, C { 4x + y + 14 = { x = Ta A l nghim ca h 2x + 5y = y = A(4, 2) Vỡ G(2, 0) l trng tõm ca ABC nờn 11 HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET 3x G = x A + x B + x C x B + x C = 3y G = y A + y B + y C y B + y C = (1) VỡB(xB, yB) AB yB = 4xB 14 (2); C(xC, yC) AC y C = 2x C + ( 3) 5 xB + xC = xB = yB = Th (2) v (3) vo (1) ta cú xC xB 14 + = xC = yC = Vy A(4, 2), B(3, 2), C(1, 0) 42)Cho ng trũn (C): x2 + y2 2x + 4y + = Vit phng trỡnh ng trũn (C') tõm M(5, 1) bit (C') ct (C) ti cỏc im A, B cho AB = Phng trỡnh ng trũn (C): x2 + y2 2x + 4y + = cú tõm I(1, 2) R = ng trũn (C') tõm M ct ng trũn (C) ti A, B nờn AB IM ti trung im H ca on AB Ta cú AH = BH = AB Cú v trớ cho AB i xng qua tõm I = 2 Gi A'B' l v trớ th ca AB Gi H' l trung im ca A'B' 3 2 Ta cú: IH ' = IH = IA AH = ữ Ta cú: MI = ( 1) + ( + ) = = ữ 13 v MH = MI HI = = ; MH ' = MI + H ' I = + = 2 2 49 52 R12 = MA = AH + MH = + = = 13 Ta cú: 4 169 172 R 22 = MA'2 = A' H'2 + MH'2 = + = = 43 4 2 Vy cú ng trũn (C') tha ycbt l: (x 5)2 + (y 1)2 = 13 hay (x 5)2 + (y 1)2 = 43 12 [...]...HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC – VIETMATHS.NET +) Tọa độ A, B là nghiệm của  x = 2  1 2 25  2 ( x − ) + y =   y = 2 ⇒ A(−2;0), B(2; 2) 4 ⇔ hệ:  2  x = −2  x − 2 y + 2 = 0    y = 0 ⇒ C (3;0), D(−1; −2) 37) Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng ∆ : 3x − 4 y + 4 = 0 Tìm trên... + y + 14 = 0; 2x + 5y − 2 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C { 4x + y + 14 = 0 { x = −4 Tọa độ A là nghiệm của hệ 2x + 5y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ⇒ A(–4, 2) Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên 11 HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC – VIETMATHS.NET 3x G = x A + x B + x C x B + x C = −2 ⇔  3y G = y A + y B + y C y B + y C = −2 (1) VìB(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2); C(xC, yC) ∈ AC ⇔ y C = − 2x C 2 + ( 3) 5... R = 4/3 40) Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) và đường thẳng (d): x - y - 1 = 0 Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (d) Vì đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d nên ta có hệ phương trình (1 + a ) 2 + b 2 = R 2 a = 0   2 2 2 2 2 (1 − a ) + (2 − y ) = R ⇔ b = 1 Vậy đường tròn cần tìm là: x + (y - 1) = 2 (a − b − 1) 2 = 2 R 2 R2 = 2   41)Trong mặt phẳng Oxy... là Gọi A(a; 4 4 1 S ABC = AB.d (C → ∆) = 3 AB 2 2 a = 4  6 − 3a  2 Theo giả thiết ta có AB = 5 ⇔ (4 − 2a ) +  ÷ = 25 ⇔  a = 0  2   Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4) x2 y 2 38) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) : + = 1 và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm 9 4 trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0... AB ) = 2x + 3y = 3 + 2 13 3 4 2 13 85  x 2 y 2  170 ≤3 2 + ÷ = 3 13  9 4  13  x2 y 2   9 + 4 = 1  x = 3 2 3 2 ⇔ 2 Dấu bằng xảy ra khi  Vậy C ( ; 2) 2 x = y y = 2   3 2 39) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = 0 và (d2): 4x + 3y - 12 = 0 Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có 3 cạnh nằm trên (d1), (d2), trục Oy Gọi A là giao điểm ... 16) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết phơng trình cạnh BC:x + 2y - = phơng trình đờng chéo BD: 3x + y = 0,đờng chéo AC qua M(-5;2).Hãy tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật...HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET O tâm hình tròn, kẻ OK AB r = OK = Xét tam giác vuông OAB ta có: 1 1 1 = + = + (1) 2 a OK OA OB b ... = 3 T ú ta cú im C(-1;0) hoc C( ; ) tho HèNH HC PHNG ễN THI I HC VIETMATHS.NET 24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1) , B (2; 5) , đỉnh C nằm đờng thẳng x = , trọng tâm