I - Khái niệm trạng thái ứng suất tại một điểm Thời gian: 15 phút Phương pháp: thuyết trình.. Đã biết trên các mặt cắt VCB qua khỏi 1 điểm K cho trước của vật thể chịu tải trọng nói chu
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ: 05
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BỀN
MỤC ĐÍCH:
Nắm được khái niệm TTƯS và lý thuyết bền làm cơ sở giải các bài toán cơ bản theo điều kiện bền
YÊU CẦU:
- Nắm được TTƯS phẳng, định luật đối ứng, phương chính, ứng suất chính
Sử dụng thành thạo vòng tròn Mor ứng suất
- Nắm được thuyết bền và phạm vi ứng dụng
THỜI GIAN : 06 tiết.
Lý thuyết : 04 tiết ; Bài tập : 02 tiết
VẬT CHẤT ĐẢM BẢO :
- Phòng học và các thiết bị giảng dạy kèm theo
- Bài giảng, bảng biểu nếu có
- Tài liệu tham khảo : [1] Lê Hoàng Tuấn- Bùi Công Thành Sức bền vật liệu T1, T2 NXB KH&KT-1998
[2] Bùi Trọng Lựu- Nguyễn Văn Vượng Bài tập SBVL NXB Giáo dục-1996
PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN :
1) Giờ lý thuyết :
Giảng viên: Chỉ dẩn tài liệu nghiên cứu và diễn đạt những điều cần chú ý
Học viên: Chú ý nghe và ghi những điều cần thiết
2) Giờ bài tập :
Giảng viên : Tổ chức kiểm tra 15 phút, gợi ý, giải đáp thắc mắc, ra bài tập
Học viên : Làm bài kiểm tra và tự giải quyết bài tập
(Cặp tiết thứ nhất)
Trang 2I - Khái niệm trạng thái ứng suất tại một điểm
Thời gian: 15 phút
Phương pháp: thuyết trình
Đã biết trên các mặt cắt VCB qua khỏi 1 điểm K cho trước của vật thể chịu tải trọng nói chung ứng suất sẽ có giá trị khác nhau tuỳ theo phương của mặt cắt, chỉ
có trong các trường hợp đặc biệt rất hiếm giá trị ứng suất như nhau trong tất cả các phương
Ta gọi “tập hợp tất cả những giá trị ứng suất pháp () và ứng suất tiếp () trên các mặt cắt cùng đi qua 1 điểm là trạng thái ứng suất tại điểm đó”.
Khi nghiên cứu ứng suất tại 1 điểm K ta thường tưởng tách ra tại K 1 phân tố diện tích hình hộp VCB, các mặt của nó vuông góc với các trục toạ độ
Trong trường hợp tổng quát trên các mặt có 9 thành phần ứng suất :
x , y , z , xy , xz , yx , yz , zx , zy
Theo định luật đối xứng :
xy yx , yz zy , xz zx
Do đó chỉ còn có 6 thành phần độc lập (3 thành phần ứng suất pháp – 3 thành phần ứng suất tiếp)
Người ta đã chứng minh được rằng tập hợp
tất cả ứng suất trên các mặt của phân tố hình hộp
đặc trưng hoàn toàn cho trạng thái ứng suất tại 1
điểm của vật thể chịu tải Tập hợp các ứng suất này
gọi là tenxơ ứng suất
Có thể tìm được những phân tố mà trên các
mặt chỉ có ứng suất pháp còn ứng suất tiếp bằng 0
Phân tố đó gọi là phân tố chính, các mặt của nó gọi
là mặt chính.ứng suất tác động lên mặt chính gọi là
ứng suất chính, pháp tuyến của mặt chính gọi là
phương chính
Tại 1 điểm bất kỳ của vật thể chịu tải ta luôn tìm được 3 mặt chính vuông góc nhau
Ta ký hiệu ứng suất chính là 1, 2 và 3 và thoả mãn: 1 >2 > 3 và 3 <0 Trạng thái ứng suất được qui định như sau :
- Nếu cả 3 ứng suất chính đều khác 0 ta gọi là trạng thái ứng suất khối
- Nếu 1 trong 3 ứng suất chính bằng 0 ta gọi là trạng thái ứng phẳng
- Nếu 2 trong 3 ứng suất chính bằng 0 ta gọi là trạng thái ứng suất đơn
y
z x
y
x
yz
yx
Hình 5-1
xz
xy
zx
zy
y
x z
Hình 5-2
3 1 1
2
2
1 1
2
2
2
2
Trang 3II – Trạng thái ứng suất phẳng.
Thời gian : 50 phút Phương pháp : Thuyết trình
1 - Phương pháp giải tích :
Thời gian: 20 phút Phương pháp: Thuyết trình
a) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ // trục z
(xem trục z trùng với trục có ứng suất chính bằng 0)
Cắt phân tố bằng 1 mặt cắt nghiêng // với trục z có pháp tuyến tạo với trục x một góc được xem là dương nếu quay trục x đến pháp tuyến ngoài theo chiều ngược kim đồng hồ
Xét cân bằng phân tố, thiết lập các phương trình hình chiếu lên trục u, v :
Hình 5-3
y
x
y
x
yx
xy
y
x z
x x
y
y
xy
yx
Hình 5-4
x
y
u
uv
yx
xy
x y
z
v
u ds
dx
u
v
u
uv x
xy
y yx
dx
Trang 4) 1 ( 0
cos dz dx
sin dz dy sin
dx dz cos
dy dz dz ds F
yx
xy y
x u
u
) 2 ( 0
cos dx dz
sin dy ds cos
dy dz sin
dz dx dz ds F
y
x xy
yx uv
v
Thay yx xy; dx ds sin ; dy ds cos và lưu ý :
2
2 1
2
2
cos ;cos cos
và ứng suất tiếp trên mặt cắt nghiêng bất kỳ // với trục z :
2
y x y x u
2 2
2 ysin xycos
x
b) Ứng suất chính và phương chính :
Gọi o là góc hợp bởi trục x và phương chính Giá trị o phải thoã mãn
uv = 0
y x
xy o
tg
Đặt tg
y x xy
Hay
2 2
2 o k o k
Vậy luôn tìm được 2 nghiệm o khác nhau góc /2 Như vậy ta luôn có 2 mặt chính vuông góc với nhau và // với trục z Trên mỗi mặt chính có 1 ứng suất chính
Thay vào trên để tính ứng suất chính với chú ý :
o
o o
o o
tg cos
; tg
tg sin
2 1
1 2
2 1
2 2
2 2
2
1
y x min
Ứng suất chính cũng là những ứng suất có giá trị cực trị Thật vậy :
y x
xy
d
d
2 0
Từ (4) ta có : maxmin xy
Hay tổng ứng suất pháp theo 2 phương vuông góc nhau là 1 hằng số
c) Ứng suất tiếp cực trị :
Ứng suất tiếp cực trị đạt được trên các mặt thoả mãn 0
d
d uv
Từ (3) ta có : cos 2 2 sin 2 0
2
2 d
d
xy y
x
uv
xy
y x
tg
2
2 (5)
o
g cot tg
2 1 2
Trang 5
o k , trong đó là góc nghiêng của mặt cắt có ứng suất cực trị o
là góc nghiêng của mặt chính
Thay (5) vào (3) ta có giá trị của ứng suất tiếp cực trị :
4 2
1
xy y
x min
(6)
2 - Phương pháp đồ thị – Vòng tròn Mo ứng suất :
Thời gian: 20 Phút Phương pháp: Thuyết trình
a) Phương trình vòng tròn ứng suất – Vòng Mo ứng suất :
Từ (3) ta có :
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
cos sin
sin cos
xy y
x uv
xy y
x y
x u
(7)
Cộng 2 vế của chúng :
2
2 2
2
2
y x uv y
x
2
2
x
Ta có :u A2 2uv R 2 (9)
Nếu ta chọn trục tung là uv, trục hoành là uthì (9) là phương trình đường tròn có tâm nằm trên trục hoành (hoành độ A) và bán kính R Như vậy tất cả các giá trị của uvà uvcủa một trạng thái ứng suất tại 1 điểm biểu thị bằng toạ độ của điểm trên đường tròn (9) Đường tròn đó gọi là đường tròn ứng suất hay vòng tròn
Mo ứng suất
b) Cách vẽ :
Khi có 1 phân tố ở TTƯS mà ta đã biết x , y , xy thì cách dựng vòng tròn ứng suất như sau:
- Lập hệ trục toạ độ với trục hoành , trục tung theo 1 tỷ lệ nhất định
- Lấy điểm E(x, 0); F (y, 0); D (x, xy); D’ (y, yx)
x
x
y
y
xy
xy
D(x,xy) P(y,xy)
D’(y,yx))
F
y
C
xy
O
Trang 6- Nối D D’ cắt trục hoành tại C Lấy C làm tâm vẽ đường tròn có bán kính
CD ta có được vòng tròn ứng suất cần tìm
- Tất cả giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt // với trục Z của phân tố đều biểu thị bằng toạ độ những điểm trên vòng tròn (vòng tròn ứng suất) (Cho Học viên tự chứng minh)
c) Sử dụng vòng tròn Mo để xác định ƯS trên mặt nghiêng bất kỳ có pháp tuyến tạo với phương x 1 góc :
- Cách tìm u và uv :
+ Vẽ vòng tròn ứng suất khi biết x , y , xy
+ Vẽ cực P ( y, xy)
+ Vẽ tia PM // pháp tuyến u của mặt cắt nghiêng
+ Toạ độ M ( u, uv) đã được xác định
- Chứng minh : Ta có:
2 Sin 2 RSin 2
Cos 2 RCos 2
2 2 Cos R 2
CG OC OG
1 1
y x
1 y
x
y x
2 CE
2 Cos
y x y
2 2
OG
Tương tự:
uv xy
y x
1 1
1
2 Cos 2
Sin 2
2 Cos 2 Sin R 2 Sin 2 Cos R 2
2 Sin R GM
- Xác định ứng suất chính và phương chính:
x
x
y
y
xy
yxx
1
2
uv
u
Hình 5-6
2
y
min
u
x
Max= 1
u
min
2
uv
Max
Max= 1
Max
Min
21 2
1
2 P
M
A E
C
G F B
J O
I
Min
Trang 7Ta đã biết ứng suất chính là ứng suất trên mặt chính có = 0 Trên vòng tròn Mor ta thấy 2 điểm A và B có tung độ bằng 0 Vậy hoành độ của A và B là ứng suất chính và phương PA, PB là phương chính của ứng suất này Ta xác định các phương chính với trục x là 1 và 2 như sau:
-
Max y
xy 1
OA FO
ED FA
ED BE
DE Tg
-
min y
xy 2
OF BO
FP BF
FP Tg
- Phương có ứng suất tiếp cực trị:
Nhìn vào vòng tròn Mor ta thấy 2 điểm I và J là 2 điểm có lớn nhất và nhỏ nhất Vậy tung độ của I là giá trị Max và J là giá trị Mịn Từ P vẽ tia PI, PJ ta có các phương pháp tuyến của những mặt cắt có Max và Min Những mặt này tạo với mặt chính 1 góc 450
- Chú ý: + Khi lấy các điểm của các ứng suất đã biết cũng như các giá trị ứng suất cần tìm ta phải lấy cả dấu theo hệ trục toạ độ của đồ thị
+ Chiều dương của các góc là chiều từ phương ngang lấy ngược chiều kim đồng hồ
3 - Hai trường hợp đặc biệt:
Thời gian: 10 Phút
Phương pháp: Thuyết trình
a) Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt:
Theo cách vẽ vòng tròn ứng suất ta thấy rằng luôn luôn có 2 điểm A và B tức
là có Max và Min , hay nói cách khác phân tố trên luôn luôn là phân tố ở TTƯS phẳng (có 2 ứng suất chính)
b) Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý:
Khi trên các mặt của phân tố hình chỉ có ứng suất tiếp người ta thường gọi là phân tố ở TTƯS trượt thuần tuý
A B
P
C
Max
min
Max
min
Hình 5-7
Trang 8Xây dựng vòng Mo của trạng thái trượt thuần tuý ta tìm được một số đặc điểm của trạng thái.13 xy
- Phương chính tạo với phương mặt trượt thuần tuý góc 450
- Ứng suất tiếp trên mặt trượt là ứng suất tiếp cực trị
- Ứng suất pháp trên 2 mặt cắt bất kỳ vuông góc nhau bằng nhau về trị số nhưng ngược về dấu
III – Khái niệm về trạng thái ứng suất khối
Thời gian: 10 phút Phương pháp: Thuyết trình Trong các bài toán của SBVL trạng thái ứng suất khối rất ít gặp Bởi vậy ở đây ta chỉ nghiên cứu những khái niệm cơ bản nhất của trạng thái ứng suất khối Hình 5-9a biểu thị trạng thái ứng suất khối Các mặt giới hạn của nó là các mặt chính
Trước hết khảo sát mặt nghiêng // phương chính Ví dụ những mặt // 1 (Hình 5-9b) Như đã biết là ứng suất trên các mặt này không phụ thuộc vào 1và xác định bởi các giá trị 2 và 3 Nó được xác định bằng toạ độ của 1 điểm nằm trên vòng tròn Mor ứng suất số 1 đi qua 2 điểm có toạ độ 2và 3 Tương tự ứng suất trên các mặt nghiêng // với 2(Hình 5-9c), biểu thị bằng toạ độ của vòng tròn Mor ứng suất số 2 đi qua 1và 3.Ứng suất trên các mặt nghiêng // với 3(Hình 5-9d), biểu thị bằng toạ độ của vòng tròn Mor ứng suất số 3 đi qua 1và 2.(Hình 5-10)
C O
A B
P
Max
Hình 5-8
Min
Hình 5-10
3
32 13 21
1 3
2 D
1 3
d) 1
2
2
b)
Hình 5-9
1
c) 2
2
1
3
1 2
2 a)
Trang 9Có thể chứng minh được rằng ứng suất trên mặt nghiêng bất kỳ được biểu thị bằng toạ độ của điểm D ( , ) nằm trong miền giới hạn của 3 vòng Mor (phần gạch chéo)
Bằng giải tích có thể xác định được và theo công thức:
2 2 3 3 2 2 2 2 1 1
2 3 3 2 2 2 2 1 1
cos cos
cos
cos cos
cos
1
; 2; 3 là các góc hợp bởi pháp tuyến của mặt nghiêng với phương của 1, 2
, 3 tương ứng Dể dàng nhận thấy ứng suất tiếp cực trị (max) là tung độ của điểm D nằm trên vòng tròn Mor số 2 có giá trị:
2
2
1
CÂU HỎI NGHIÊN CỨU Thời gian: 05 phút
Phương pháp: Gợi ý, tóm tắt
1 - Khái niệm về TTƯS tại 1 điểm
2 - Xác định TTƯS phẳng bằng Phương pháp giải tích
3 - Xác định TTƯS phẳng bằng Phương pháp đồ thị Nêu 2 trường hợp đặc biệt
4 - Khái niệm về TTƯS khối
Trang 10(Cặp tiết thứ 2)
Kiểm tra bài cũ: 05 phút
Phương pháp: Kiểm tra miệng
IV – Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
Thời gian : 25 phút Phương pháp : thuyết trình
1 - Định luật Húc tổng quát:
Khi nghiên cứu ứng suất và biến dạng trong kéo nén đúng tâm ta đã đưa ra được quan hệ giữa ứng suất và biến dạng : E => = / E theo phương Và biến dạng ngang tỷ đối (theo phương ): ' E
Ở đây chúng ta sẽ thiết lập quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong trường hợp tổng quát nhất ở trạng thái ứng suất khối Với giả thiết ứng suất tuân theo định luật Húc và biến dạng bé Ta tưởng tượng tách từ vật thể biến dạng1 phân tố hình hộp, trên các mặt có 9 thành phần ứng suất Như chúng ta đã thừa nhận ứng suất pháp chỉ gây biến dạng dài còn biến dạng góc chỉ bị gây ra do ứng suất tiếp
Dùng nguyên lý độc lập tác dụng ta tính biến dạng dài tỷ đối theo phương x : x xx xy xz
xx : biến dạng dài tỷ đối theo phương x do x gây ra
xy : biến dạng dài tỷ đối theo phương x do y gây ra
xz : biến dạng dài tỷ đối theo phương x do z gây ra
Theo trên ta có :
E
E
1 E
E
z xz
z y x
x
y xy
x xx
Trang 11Tương tự ta nhận được những biến dạng dài tỷ đối theo phương y và z :
z
z x y
y
E
E
1 1
Nếu phân tố được tách ra mà các mặt giới hạn là các mặt chính :
3 1 2
3
1 3 2
2
3 2 1 1
1 1 1
E E E
2 - Định luật Húc về trượt :
Xét 1 phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý và phân tố này ở trong giới hạn đàn hồi
Liên hệ giữa biến dạng góc và ứng suất tiếp:
G (Định luật Húc về trượt)
Trong đó : G là môđun trượt
: góc trượt tuyệt đối
Quan hệ giữa môđun đàn hồi khi trượt và
môđun đàn hồi khi kéo nén:
1 2
E G
Trong đó: - E là Môđuyn đàn hồi của vật liệu
- µ là hệ số Poat xông
3 - Quan hệ giữa biến dạng thể tích và ứng suất :
Chúng ta sẽ thiết lập quan hệ giữa sự thay đổi thể
tích tương đối v và các thành phần tương ứng Khi biến
dạng nói chung thể tích của phân tố thay đổi, sự biến đổi
đó chủ yếu do biến dạng dài gây ra Biến dạng góc cũng
làm thay đổi thể tích song không đáng kể có thể bỏ qua
Xét 1 phân tố chính ở trạng thái ứng suất khối
Thể tích phân tố trước biến dạng: Vo dl 1 dl 2 dl 3
Và trong trạng thái biến dạng :
0
3
3
2
2
1
1 3
2 1
3 3 2 2
1 1 1
1 1
1
1 1
1
V
dl
dl dl
dl dl
dl dl
dl dl
dl dl dl dl
dl dl V
Bỏ qua các đại lượng VCB bậc cao, ta có: V1V01 1 2 3
Hình 5-11
Hình 5-12
dl1 dl3
dl2
2
1 3
Trang 12 biến dạng thể tích tương đối: 1 2 3
0
0
1
V
V V
v
Vậy biến dạng thể tích tương đối bằng tổng biến dạng dài tỷ đối theo 3 phương vuông góc nhau
Thay các giá trị biến dạng của định luật Húc tổng quát vào ta được:
1 2 3
2 1
E
v
Đặt :
3
3 2
1
tb : giá trị ứng suất trung bình
K
E
tb tb v
2 1 3
E
K : được gọi là môđuyn biến dạng thể tích.) Vậy khi 0, 5 thì v 0 biến dạng thể tích không thay đổi Những vật liệu như vậy gọi là vật liệu không nén được
V – Thế năng biến dạng đàn hồi
Thời gian: 20 phút
Phương pháp: thuyết trình
Năng lượng mà vật thể tích luỹ đựoc trong quá trình biến dạng để đưa vật thể
về vị trí ban đầu ở dưới dạng thế năng gọi là thế năng biến dạng đàn hồi (kí hiệu U), trị số thế năng tích luỹ trong 1 đơn vị thể tích được gọi là thế năng riêng biến dạng đàn hồi và kí hiệu u
Trị số của thế năng biến dạng đàn hồi có thể dễ dàng xác định qua định luật bảo toàn năng lượng : nếu bỏ qua sự mất mát năng lượng vì nhiệt và những yếu tố khác thì thé năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong vật thể bằng tổng công ngoại lực lên hệ :
A = U
Tưởng tượng tách từ vật thể đàn hồi một phân tố giới hạn bởi các mặt chính Thế năng biến dạng đàn hồi tích luỹ trong phân tố : dU = dA
2 2
2
3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2
1 dl dl dl dl dl dl dl dl dl
1 1
1 ; dl ; dl
dl
: biến dạng dài tuyệt đối của các phân tố đựoc tính bằng các biểu thức : dl 1 1 dl 1 ; dl 2 2 dl 2 ; dl 3 3 dl 3
Thay vào trên ta được : 1 2 3 1 1 2 2 3 3
dl dl dl dA
dA
Thế năng biến dạng đàn hồi : 1 1 2 2 3 3
2
1
u
Thay các giá trị của các đại lượng 1 ; 2 ; 3 bằng các biểu thức của đ/l Húc tổng quát : 1 2 2 3 3 1
2 3
2 2
2
2
1
E u