Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2015 - 2016 Mơn: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm: 01 trang) Bài (2,0 điểm) 1) Cho đa thức P ( x) ax bx c Biết P ( x ) chia cho x + dư 3, P ( x ) chia cho x dư P ( x ) chia cho x – dư Tìm hệ số a, b, c x4 y 2) Cho số a, b, x, y thỏa mãn ab ≠ 0, a + b ≠ 0, ; x y Chứng minh rằng: a b ab 2 a) ay bx x 200 y 200 100 100 a b (a b)100 Bài (2,5 điểm) � ( y x)( y x 4) x x � 1) Giải hệ phương trình � �x ( y 4) x y b) 2) Giải phương trình 3( x 1) x x 3x x Bài (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc M Một đường thẳng cắt đường tròn (O1) hai điểm phân biệt A, B tiếp xúc với đường tròn (O2) E (B nằm A E) Đường thẳng EM cắt đường tròn (O1) điểm J khác M Gọi C điểm thuộc cung MJ không chứa A, B đường tròn (O1) (C khác M J) Kẻ tiếp tuyến CF với đường tròn (O2) (F tiếp điểm) cho đoạn thẳng CF, MJ không cắt Gọi I giao điểm đường thẳng JC EF, K giao điểm khác A đường thẳng AI đường tròn (O 1) Chứng minh rằng: 1) Tứ giác MCFI tứ giác nội tiếp JA = JI = JE.JM 2) CI phân giác góc ngồi C tam giác ABC 3) K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI Bài (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn 2x 1 x x 3 x y 11879 Bài (1,5 điểm) 1) Trong mặt phẳng cho tập S gồm 8065 điểm đơi phân biệt mà diện tích tam giác có đỉnh thuộc tập S không lớn (quy ước điểm thẳng hàng diện tích tam giác tạo điểm 0) Chứng minh tồn tam giác T có diện tích khơng lớn chứa 2017 điểm thuộc tập S (mỗi điểm số 2017 điểm nằm nằm cạnh tam giác T) 2) Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức 4a (b c) 4b (c a) 4c (a b) �3 2a b c 2b c a 2c a b -HẾT - Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN Bài Vì P(x) chia cho x + dư nên P(x) – chia hết cho x + ⇒ P(x) – = f(x).(x + 1) Thay x = –1 vào đẳng thức ta có: P(–1) – = f(–1).( –1 + 1) = ⇒ P(–1) = (1) Tương tự, P(x) chia cho x dư nên P(0) = (2) P(x) chia cho x – dư nên P(1) = (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: � a.(1) b.( 1) c � a b c a3 � � � � a.0 b.0 c �� c 1 �� b 1 � � � � a bc � c 1 a.12 b.1 c � � ⇒ P(x) = 3x2 + x + Thử lại ta thấy P(x) thỏa mãn đề Vậy P(x) = 3x2 + x + 2) a) Ta có: x4 y x 4b y a � a b a b ab a b 4 � (a b)( x b y a ) ab � abx a y b x aby ab � ab( x y 1) ( ay ) (bx ) 0(*) Mặt khác x y � ( x y ) � x y 2 x y Do (*) � 2abx y (ay ) (bx ) � (ay bx ) � ay bx b) Vì ab ≠ nên x2 y ay bx � a b Theo tính chất dãy tỉ số ta có x2 y x y a b a b a b 100 100 �x � �y � �� � � � 100 �a � �b � a b x 200 y 200 100 100 a b ( a b)100 Bài (2,5 điểm) � Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt � ( y x)( y x 4) x x (1) � 1) Giải hệ phương trình � �x( y 4) x y 6(2) Biến đổi phương trình (1): (1) � ( y x)( y 4) x ( y x) x( x 4) � ( y x)( y 4) x( x y x) � ( y x)( y 4) x( y 4) � ( y 4)( y x) y4 � �� y 2x � Với y = 4, thay vào (2) được: � x2 2x x2 x Đặt t x x , phương trình trở thành: t 2t � (t 1)(t t 3) (2) � x � x t 1 � � �2 t t 0(3) � Phương trình (3) có ∆ = – 4.3 = –11 < nên vô nghiệm Do t � x2 2x � x2 x � x � x 1 � y 2 x 1 � y 2 � 118 �� 118 � ,� ;4 � , 2; 2 , 2; Vậy hệ phương trình cho có nghiệm � � ;4� � � � � �� � 2) Giải phương trình 3( x 1) x x 3x x (1) ĐK: x2 + x + ≥ Đặt a x 1; b x x (b ≥ 0) Ta có a 2b ( x x 1) 2( x x 3) x x Phương trình (1) trở thành 3ab a 2b � (a b)( a 2b) ab � �� a 2b � Do Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt �x �1 � x x2 x � (1) � � � �� x 2x x2 x � x x2 x ��2 � x x 4( x x 3) �� �x �1 � x2 � �� �� 3x x 11 0(2) �� ⇔ x = (thỏa mãn) (Phương trình (2) có ∆’ = – 3.11 = –32 < nên vơ nghiệm) Do x = nghiệm phương trình Bài 1) Ta có tam giác O1MJ O2ME cân nên O1MJ = O1JM ; O2ME = O2EM Mặt khác O1MJ = O2ME (hai góc đối đỉnh) nên ∆O1MJ ~ ∆O2ME (g.g) => O1 = O2 Theo quan hệ góc nội tiếp góc tâm đường tròn ta có: JAM O1 MFI O2 � JAM MFI Mặt khác, AJCM tứ giác nội tiếp, nên MCI = JAM (góc góc ngồi đỉnh đối diện) => MCI = MFI ⇒ MCFI tứ giác nội tiếp => MIC = MFC (2 góc nội tiếp chắn cung MC) Mặt khác xét đường tròn O2 ta có: MFC = MEF (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung MF) => MIC = MEI Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt JM JI JM JE JI JI JE Tương tự JAM MFE AEJ � JAM ~ JEA � JM JE JA2 Do JA JI JE.JM 2) Do O1 = O2 (cmt) nên O1J // O2E ⇒ O1J ⊥ AB Mà O1A = O1B nên O1J trung trực AB ⇒ Tam giác JAB cân J Vì ABCJ tứ giác nội tiếp nên ta có: 180o AJB 180o ACB BCI BAJ 90o ACB 2 Do CI phân giác đỉnh C tam giác ABC 3) Do AJCK tứ giác nội tiếp nên ICK = IAJ = KIC => KI = KC Áp dụng tính chất góc ngồi với tam giác ACI, ta có: KAC = ACJ – AIC = ABJ – AIJ = BAJ – JAK = BAK => KB = KC Do KB = KC = KI ⇒ K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCI Do ∆JMI ~ ∆JIE (g.g) => Bài 2x 1 2x x 3 2x y 11879 � 22 x 5.2 x 22 x 5.2 x y 11879 (1) Đặt t 22 x 5.2 x 5, t ��*, ta có: (1) � (t 1)(t 1) y 11879 � t y 11880(2) Xét TH sau: TH1: y ≥ ⇒ 5y ⋮ 25 Từ (2) suy t2 ⋮ ⇒ t2 ⋮ 25 Do từ (2) ⇒ 11880 ⋮ 25 (vơ lí) TH2: y = (2) ⇔ t2 = 11885 (loại 11885 khơng phải số phương) TH3: y = (2) ⇔ t2 = 11881 ⇒ t = 109 � 22 x 5.2 x 109 � 2 x 5.2 x 104 � x 8(tm) � �x � x 13( L) � Vậy x = 3, y = số tự nhiên cần tìm Bài 1) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Gọi A, B điểm có khoảng cách lớn thuộc 8065 điểm cho Gọi a, b đường thẳng qua A, B vng góc AB Gọi C điểm có khoảng cách đến đường thẳng AB lớn 8065 điểm cho Đường thẳng qua C song song AB cắt a, b M, N Xét trường hợp: TH1: Không tồn điểm thuộc S mà nằm khác phía C so với AB Khi tất 8065 điểm cho nằm hình chữ nhật AMNB Thật vậy, ∀ điểm I ∈ S khơng nằm hình chữ nhật I nằm miền (1), (2),(3), (4) (5) Nếu I ∈ (1) I ∈ (4) dễ thấy AI > AB ( mâu thuẫn với giả sử) Nếu I ∈ (2) I ∈ (3) dễ thấy BI > AB (mâu thuẫn với giả sử) Nếu I ∈ (5) d(I; AB) > d(C; AB) ( mâu thuẫn) Do I thuộc hình chữ nhật AMNB ∀ I ∈ S Khi xét ba tam giác AMC, ABC BNC, ta có SAMC < SABC ≤ SBNC < SABC ≤ tồn ba tam giác chứa 2017 điểm, khơng hình chữ nhật AMNB chứa 3.2017 = 6051 (điểm) , vơ lí Do chọn tam giác T thỏa mãn TH2 : Tồn tập S’ điểm nằm khác phía với C so với AB Khi gọi D điểm thuộc S’ mà có khoảng cách đến AB lớn Qua D kẻ đường thẳng song song AB cắt a, b Q, P Gọi O giao MP, NQ Chứng minh tương tự ta có 8065 điểm cho nằm hình chữ nhật MNPQ Theo ngun lí Đi–rích–lê ⇒ Tồn bốn tam giác OMN, ONP, OPQ, OQM chứa 2017 điểm 1 Mặt khác SOMN = SONP = SOPQ = SOQM = S MNPQ 2.( S ACB S ADB ) � 2.(1 1) 4 Bài tốn chứng minh 2) Ta có: 4a (b c )2 2(2a b c ) (b c )2 (b c )2 2a b c 2a b c 2a b c Có hai đẳng thức tương tự BĐT cho tương đương với (b c)2 (c a ) ( a b) �3 2a b c 2b c a 2c a b Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 2 x y Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz cho số dương x y � , ta có: m n mn (b c) b2 c2 � 2a b c a b a c Ta có hai BĐT tương tự, cộng vế ta có: (b c)2 (c a ) ( a b) 2a b c 2b c a 2c a b � b2 c2 � � c2 a2 � � a2 b2 � �� �� � 2 � �2 a b � �c a c b � �a b a c � �b c � b2 a2 � � c2 b2 � � a c2 � �2 2 � � 2 2 � � �2 �a b a b � �b c c b � �a c a c � =3 ⇒ BĐT cho chứng minh Dấu xảy a = b = c Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... a b a b 100 100 �x � �y � �� � � � 100 �a � �b � a b x 200 y 200 100 100 a b ( a b )100 Bài (2,5 điểm) � Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com... = 109 � 22 x 5.2 x 109 � 2 x 5.2 x 104 � x 8(tm) � �x � x 13( L) � Vậy x = 3, y = số tự nhiên cần tìm Bài 1) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com... cung chắn cung MF) => MIC = MEI Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt JM JI JM JE JI JI JE Tương
Ngày đăng: 22/03/2019, 17:16
Xem thêm:
