8 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chuyên THPT chuyên thái nguyên năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI NGUN NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu : (1,5đ) Cho phương trình x − (m + 1) x + m = 0, m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái 2 dấu x1 , x2 cho x1 + x2 = 17 Câu : (1,5đ)  x + y = 97 Giải hệ phương trình sau :  x + y = Câu : (1,0đ) Hay tìm chữ số a , b , c , d biết a, ad , cd , abcd số phương Câu (1,0đ) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình sau : x + y = xy + Câu : (1,0đ) Chứng minh tồn số dạng 20162016…2016 (gồm số 2016 viết nhau) mà số chia hết cho 2017 Câu (1,5đ) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M , N theo thứ tự trung điểm cạnh AB , CD Biết đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính + tồn điểm I thuộc đoạn thẳng MN cho · · góc DAI = 45o góc IDA = 30o Tính diện tích hình chữ nhật ABCD Câu (2,5đ) Cho hai đường tròn (O1) (O2) tiếp xúc điểm K Vẽ tiếp tuyến chung AD (A ∈ (O1), D ∈ (O2)) vẽ đường kính AB đường tròn (O1) Qua B vẽ tiếp tuyến BM với đường tròn (O2) Chứng minh : a BM2 = BK.BD b AB = BM -Hết Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN THÁI NGUYÊN Bài : Phương trình : x − (m + 1) x + m = có hai nghiệm trái dấu ac < m < (*) Áp dụng định lý Vi – et ta có : x1 + x2 = m + 1; x1 x2 = m 2 Để : x1 + x2 = 17 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 17 0,5đ 0,25đ ⇔ (m + 1) − 2m = 17 ⇔ m = 16 ⇔ m = ±4 Kết hợp điều kiện (*) ta tìm m = - 0,25đ 0,25đ 2 0,25đ Bài : Đặt xy = a ta có : x + y = 97 ⇔ ( x + y ) − x y = 97 ⇔ (( x + y ) − xy ) − x y = 97 ⇔ (52 − 2a) − 2a = 97 ⇔ (( x + y ) − xy ) − x y = 97 ⇔ (52 − 2a) − 2a = 97 a = ⇔ 2a − 100a + 528 = ⇔  0, 25d  a = 44 + Với a = , ta có hệ phương trình  xy = x = x = ⇔  0,5đ  x + y =  y = y =  xy = 44 + Với a = 44 ta có hệ phương trình :  vơ nghiệm 0,25đ x + y = Vậy nghiệm hệ phương trình : (2;3) , (3;2) Câu : Do a phương nên a∈{1; 4; 9} Ta có 92 = 81,10 = 100 nên khơng có số dạng 9x phương suy a = a = 0,25đ + Do ab phương nên ad = 16 ad = 49 suy d = d = + Do cd phương nên cd =16 cd =36 cd =49 => c = c = c = 0,25đ + Nếu a = , d = c = c = abcd = 1b16 abcd = 1b36 Do 1bc6 = ( x 4) 1bc6 = ( x6) nên ta có 262 = 676; 342 = 1156; 442 = 1936; 462 = 2126 Chỉ có 1936 thỏa mãn yêu cầu toán ( ) + Nếu a = , d = c = abcd = 4b 49 = x3 ( ) hay abcd = x7 Ta có : 632 = 3969;67 = 4489;732 = 5329 khơng có số thỏa mãn yêu cầu đề 0,25đ Vậy với a = , b = , c = , d = thỏa mãn yêu cầu toán 0,25đ Câu : Ta có : x + y = xy + ⇔ x − + y − xy = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt x =1 ⇔ ( x − 1)( x3 + x + x + − y ) = ⇔  3 x + x + x +1 = y + Với x = thay vào phương trình cho ta : + y = y + với y nguyên Vậy (x;y) = (1;t) , ∀t ∈ Z + Với x + x + x + = y (1) Khi : Do x ∈ Z x + x + > => x < y (2) + Mặt khác : x ∈ Z x(x+1) > nên ta có: Khi x = y = thỏa mãn Khi x = -1 y = thỏa mãn 0,25đ Vậy cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình cho là(0;1) , (-1; 0), (1; t) , ∀t ∈ Z Câu : Ta xét 2018 số dạng an = 20162016 2016 ( gồm n số 2016 viết )1 ≤ n ≤ 2018 Theo nguyên lý Dirichlet tồn số ak , at mà có hiệu ( ak − at ) M2017, ≤ t ≤ k ≤ 2018, k , t ∈ N * 4t Do: ak − at = 10 ak −t 4t Mà (10 , 2017) = => ak −t M2017 Vậy chứng tỏ tồn số có dạng 20162016…2016 chỉa hết cho 2017 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu : Đặt AB = x , AD = y , < x < y Do đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có đường kính : + nên ta có : AC = BD = + => x + y = + (*) · Do : DAI =45o nên tam giác MAI vuông cân M x Suy : MI = MA = 0,25đ 0,25đ x x · Ta lại có tam giác NDI vng N NDI 0,25đ = 60o nên tam giác IND có : ND = => NI = 2 x x 1+ Từ suy : y = MN = MI + IN = + 0,25đ = x 2 1+ Thay y = x vào (*) ta : Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt  1+  4+2 2 x +  x÷ = + ⇔ x + x = 8+ ÷   ⇔ x = => x = => y = + 0,25đ Vậy : S ABCD = xy = + 0,25đ ( ) Bài : 0,25đ a) + Hình vẽ : ( BM nằm BA BD ) + Dễ dàng chứng minh điểm B , K , D thẳng hàng 0,25đ Xét hai tam giác ΔBMK ΔBDM có : · · (vì nửa số đo cung KM (O2) ) 0,25 đ BDM = KMB · chung 0,25đ MBD Suy : ΔBMK đồng dạng với ΔBDM 0,25đ BK BM ⇒ = => BM = BK BD (1) 0,5đ BM BD b) Có : ·AKB = 90o ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O1) ) · Có DAB 0,25đ = 90o ( Do AD tiếp tuyến đường tròn (O1) ) ·ABK = KAD · (Vì c ng nửa số đo cung AK (O1) ) 0,25đ Suy : ΔAKB đồng dạng với ΔDAB AB BK ⇒ = ⇒ AB = BD.BK (2) 0,25đ BD AB Từ (1) (2) suy : AB = BM => AB = BM 0,25đ Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... = x vào (*) ta : Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0 982 .563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt  1+  4+2 2 x +  x÷ = + ⇔ x + x = 8+ ÷... cầu toán 0,25đ Câu : Ta có : x + y = xy + ⇔ x − + y − xy = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0 982 .563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt... suy : AB = BM => AB = BM 0,25đ Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0 982 .563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt