34 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chung THPT năng khiếu HCM năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH _ ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học: 2015 – 2016 Mơn thi: TỐN (không chuyên) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề Bài 1: (2 điểm) a/ Giải phương trình ( x − 9) − x = x( x − 9) ( x + y ) − 4( x + y ) = b/ Giải hệ phương trình  2 3 x + y = ( x − 2m)( x + m − 3) = 0(1) Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình x −1 a/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2 2 b/ Tìm m để x1 + x2 − x1 x2 = 14m − 30m + Bài 3: (1,5 điểm)  3+ x 3− x 36  x −5 − − : ( x > 0; x ≠ 9; x ≠ 25) a/ Rút gọn Q =  ÷ ÷  3− x 3+ x x −9  x − x b/ Tìm x để Q < Bài 4: (2 điểm) a/ Cho tam giác vng Nếu ta tăng độ dài cạnh góc vng thêm 3cm diện tích tang thêm 33cm2; giảm độ dài cạnh góc vng 2cm tăng độ dài cạnh góc lại thêm 1cm diện tích giảm 2cm Hãy tính độ dài cạnh tam giác vuông b/ Bạn An dự định khoảng thời gian từ ngày 1/3 đến ngày 30/4 giải ngày toán Thực kế hoạch thời gian, vào khoảng cuối tháng (tháng có 31 ngày) An bị bệnh, phải nghỉ giải toán nhiều ngày liên tiếp Khi hồi phục, tuần đầu An giải 16 bài; sau đó, An cố gắng giải ngày đến 30/4 An hồn thành kế hoạch định Hỏi An phải nghỉ giải toán ngày? Bài (2 điểm) Hình bình hành ABCD có tam giác ADC nhọn, ADC=60o Đường tròn tâm O tiếp tam giác ADC cắt cạnh AB E ( E≠ A ), AC cắt DE I a/ Chứng minh tam giác BCE IO ⊥ DC b/ Gọi K trung điểm BD, KO cắt DC M Chứng minh A, D, M, I thuộc đường tròn OJ c/ Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính DE Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN Bài 1: a) ( x − 9) − x = x( x − 9) (1) ĐK: x ≤ (1) ( x − 9)( − x − x) =  x2 − =   − x − x = +) x − = ⇔ (x – 3)(x + 3) = ⇔ x = (loại) x = –3 (thỏa mãn) 0 ≤ x ≤ 0 ≤ x ≤    x = −2 x = +) − x − x = − x = x  x + x − =  x =  Vậy tập nghiệm phương trình (1) {–3;1} ( x + y ) − 4( x + y ) = 5(*) b)  2 3 x + y = Đặt a=x2+4y2,a>0,ta có: (*) a − 4a − = (a − 5)(a + 1) =  a = 5(TM )   A = −1( L) 2 2  x + y = 3x + 12 y = 15 10 y = 10 (I)    2 2 3x + y = 3 x + y = 3x + y =  x = ±1  y =    x =  y = ±1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;1),(–1;1), (1;–1), (–1;–1) Bài 2: ( x − 2m)( x + m − 3) = 0(1) a) x −1 ĐK: x ≠ x ≠  (1)   x = 2m  x = − m   m ≠  2m ≠   Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 3 − m ≠ m ≠  2m ≠ − m m ≠    b) Với điều kiện trên, ta có (1) có hai nghiệm phân biệt x1 = 2m, x2 = – m Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Khi x12 + x2 − x1 x2 = 14m − 30m + (2m) + (3 − m) − 5.2.m(3 − m) = 14m − 30m + 4m + − 6m + m − 30m + 10m = 14m − 30m + m − 6m + = (m − 1)( m − 5) = ⇔ m = (loại) m = (thỏa mãn) Vậy m = giá trị cần tìm Bài 3: a) Với x > 0, x ≠ 9, x ≠ 25 ta có:  3+ x 3− x 36  x −5 Q =  − − : ÷ ÷  3− x 3+ x x −9  x − x = (3 + x ) − (3 − x ) + 36 x − x (3 − x )(3 + x ) x −5 = (9 + x + x) − (9 − x + x) x (3 − x ) (3 − x )(3 + x ) x −5 = (12 x + 36)(3 − x ) x 12 x = (3 − x )(3 + x )( x − 5) x −5 b) Với x > 12 x > Do 12 x Q < < x − < ≤ x < 25 x −5 Kết hợp với điều kiện, ta có Q < ⇔ < x < 25, x ≠ Vậy giá trị x cần tìm x ∈ (0;25)\{9} Bài 4: a) Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác vng x, y (cm) (giả sử tốn giảm 2cm cạnh x) (x > 2, y > 0) Diện tích tam giác vng ban đầu xy (cm2) 2 Khi tăng cạnh góc vng thêm 3cm diện tích tam giác vng ( x + 3)( y + 3)(cm ) Theo ta có phương trình: 1 ( x + 3)( y + 3) − xy = 33 (1) 2 Khi giảm cạnh x 2cm, tăng cạnh y thêm 1cm diện tích tam giác vuông ( x − 2)( y + 1)(cm ) Theo ta có phương trình: 1 xy − ( x − 2)( y + 1) = 2(2) 2 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 1  ( x + 3)( y + 3) − xy = 33  x + y = 19  x = 12    − x + y = y =  xy − ( x − 2)( y + 1) =  2 (thỏa mãn điều kiện) Độ dài cạnh góc vng tam giác vuông 12cm 7cm ⇒ Độ dài cạnh huyền 122 + = 193(cm) b) Từ 1/3 đến 30/4 có 61 ngày Số tốn theo kế hoạch mà An phải giải 61.3 = 183 (bài) Gọi: số ngày An giải toán theo kế hoạch x (ngày) Trong thời gian này, An giải 3x (bài) số ngày An nghỉ giải toán y (ngày) (x, y ∈ ℕ*, ≤ x ≤ 30, y bé nhất) Khi số ngày An giải ngày 61 – – x – y = 54 – x – y (ngày) Trong thời gian này, An giải 4(54 – x – y) (bài) Vậy tổng số An giải 3x + 16 + 4(54 – x – y) (bài) Theo ta có phương trình: x + 16 + 4(54 − x − y ) = 183 x + y = 49 49 − x y = 49 − x 49 − 30 19 ≥ = 4 y số nguyên, bé ⇒ y = ⇒ x = 29 Vậy An phải nghỉ ngày Câu 5: Vì ≤ x ≤ 30 => y = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt a) Vì AE // DC (do ABCD hình bình hành) nên AED=EDC Đây hai góc nội tiếp chắn cung AD cung EC đường tròn (O) ⇒ AD = EC Mà AD = BC (ABCD hình bình hành) ⇒ BC = EC (1) Vì ABCD hình bình hành nên EBC=ADC = 60° (2) Từ (1) (2) ⇒ ∆ EBC Vì AECD tứ giác nội tiếp nên AED= ACD, mà AED= EDC (cmt) nên EDC =ACD hay IDC= ICD Suy ∆ ICD cân I ⇒ ID = IC Mà OC = OD ( = bán kính đường tròn (O)) nên OI trung trực CD ⇒ OI ⊥ CD b) Vì ABCD hình bình hành nên hai đường chéo BD AC cắt trung điểm đường ⇒ K ∈ AC KA = KC Mà OA = OC ( = bán kính (O)) nên OK trung trực AC ⇒ MA = MC (vì M ∈ OK) ⇒ ∆ MAC cân M =>MAC=MCA Mà MDI=MCA (do ∆ IDC cân I) nên MAC=MDI hay MAI=MDI ⇒ AIMD tứ giác nội tiếp hay A, I, M, D thuộc đường tròn c) Xét đường tròn (J), ta có: AJC=2ABC=120o (góc tâm góc nội tiếp chắn cung AC) =>AJC+ADC=180o ⇒ J ∈ (O) Chứng minh tương tự ⇒ O ∈ (J) ⇒ JO = JC = OC ⇒ ∆ JOC ⇒ IOC=60o Xét đường tròn (O): sđ AD = sđ EC ⇒ sđ AD + sđ AE = sđ EC + sđ AE ⇒ sđ DE = sđ AC Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ⇒ DE = AC OJ OC OC => = = = = o DE AC 2CK 2sin 60 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ⇒ DE = AC OJ OC OC => = = = = o DE AC 2CK 2sin 60 Website chuyên cung cấp đề thi. .. 2(2) 2 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: Website chun cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 1  ( x + 3)( y +... 5: Vì ≤ x ≤ 30 => y = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt a) Vì AE // DC (do ABCD hình bình hành)