37 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chuyên THPT chuyên cần thơ năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ ĐỀ CHÍNH THỨC KÝ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015–2016 MƠN: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) � x y x  y � x2 y y   , ( x  0; y  0, x �y ) Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức � �x y  y x x y  y x � �x  y x  y � � a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A biết x,y nghiệm phương trình t2 – 4t + = Câu 2: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : y  ( x  1)  m  đường m m 3m x  m2   (m tham số thực khác 0) 2 a) Chứng minh với giá trị m khác hai đường thẳng d1 d2 cắt điểm b) Gọi M(x;y) giao điểm d1 d2 Tìm m để biểu thức P  x  y  xy  2n  y đạt giá trị nhỏ Câu 3: (2,5 điểm) Cho đường tròn tâm H tiếp xúc với đường tròn tâm O D (OD > HD) Gọi A điểm thuộc (O) (A khác D) cho tiếp tuyến AE, AF đường tròn tâm H (E, F tiếp điểm) cắt đường tròn tâm O B C thỏa AB < AC Gọi P giao điểm thứ hai DF với đường tròn (O) a) Chứng minh DP tia phân giác ADC b) Tia phân giác BDC cắt EF Q Chứng minh tứ giác QFCD nội tiếp c) Chứng minh QD2 = DB.DC Câu 4: (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau tập số thực thẳng d : y  a )2 x  x  x   8( x  1) � x  y   y2  x � b) � 2 �x  y  xy ( x  y  1)  4(4  xy ) � Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có trực tập H Gọi M, N chân đường cao vẽ từ B C tam giác ABC Gọi D điểm thuộc cạnh BC (D khác B C), E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác CDM đường tròn ngoại tiếp ta giác BDN (E khác D) Chứng minh ba điểm A, E, D thẳng hàng Câu 6: (1,5 điểm) a) Cho A  a 2015  b2015  c 2015  d 2015 , với a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn ab=cd Chứng minh A hợp số b) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 2xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z P   z (z  x ) x( x  y ) y ( y  z ) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN Câu 1: � x y x  y � x2 y y   ,( x  0; y  0, x �y) a) A= � �x y  y x x y  y x � �x  y x  y � �     ( x  y )( x y  y x )  ( x  y )( x y  y x ) x y y  x y x y ( x y  y x )( x y  y x ) x xy  y xy x y y  ( x y  y x )( x y  y x ) x  y x  y 2( x  y ) xy x y xy ( x  y )( x  y )(x  y)  y x y y x  ( x  y )( x  y ) x  y x 2 y x y  x y  Vậy A= x y b) Do x y nghiệm phương trình t2 – 4t + = (1) nên theo định lí Vi–ét ta có: x + y = 4; xy = ⇒ x, y > 0; x ≠ y ⇒ x, y thỏa mãn ĐKXĐ A Mặt khác ta có ( x  y )  x  y  xy   2.1   x  y  6(do  A  x  y  0) 2   x y Câu 2: a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d1 d2: Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt m 3m ( x  1)  m   x  m2  3 m 2 m 3m  x(  )  m    m 1 m 2 m 4m 2m  m  8m   x  2m 2m  (4  m ) x  (2m  1)(4  m )  x  2m   y  ( x  1)  m   m m Vậy đường thẳng cắt điểm M(2m-1;3-m) ∀ m b) Theo câu a ta có x = 2m – 1; y = – m Thay vào P, ta có: P  x  y  xy  x  y  (2m  1)  (3  m)  (2m  1)(3  m)  2(2m  1)  3(3  m)  (4m  4m  1)  ( m  6m  9)  ( 2m  m  3)  4m    3m  m  10m   (m  5)  29 �29 Dấu xảy ⇔ m = –5 Vậy GTNN P –29 ⇔ m = –5 Câu 3: a) Do tam giác OPD HFD cân nên DOP=PDO;DFH=PDO Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt =>DOP=DFH ⇒ FH // OP Mà FH ⊥ AC (tính chất tiếp tuyến) nên OP ⊥ AC Tam giác OAC cân O có OP đường cao kẻ từ đỉnh O, nên OP phân giác góc AOC Suy AOP =COP (1) Theo quan hệ góc nội tiếp góc tâm chắn cung, ta có: 1 ADP  AOP; CDP  COP (2) 2 Từ (1) (2) ta có: ADP=CDP Suy DP phân giác góc ADC b) Chứng minh tương tự câu a ta có DE phân giác góc ADB Do 1 EDF  EDA  FDA  BDA  CDA 2  BDC  CDQ  EDF  CDQ (3) Theo quan hệ góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung: EDF=EFA(4) Từ (3) (4) ta có: CDQ=EFA=>CDQ+QFC=180o Suy tứ giác QFCD nội tiếp đường tròn c) Chứng minh tương tự câu b ta có hai tứ giác QFCD QEBD nội tiếp Suy DBQ=DEQ;DQC=DFC(5) Mặt khác: DEQ=DFC (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung DF) (6) Từ (5) (6) suy DBQ=DQC Xét ∆ DQB ∆ DCQ có: QDB  QDC ( gt ) �  DBQ ~ DQC ( g g ) � �DBQ  DQC (cmt )  DB DQ   DQ  DB.DC DQ DC Câu 4: a )2 x  x  x   8( x  1)(1) ĐK: x  x  �0  ( x  2)2  �0 (luôn ∀ x) (1)  2( x  x  5)  x  x    Đặt t  x  x  5, t �0 Phương trình (1) trở thành Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 2t  3t   � t  2(TM )  x  x    x  x    x  �  � � t   ( L) � �  Vậy tập nghiệm phương trình (1)  3;   � x  y   y  x(2) � b) � 2 �x  y  xy ( x  y  1)  4(4  xy )(3) � ĐK: x-y>0x>y (3)  x  y  xy  16 x y  ( x  y )( x  y )  xy  16( x  y )  (x  y )( x  y  4)  4( x  y )  16( x  y )  ( x  y  4)( x  y  4( x  y ))  44 4 43 0  x  y  Thay x = y + vào (2), ta có: y   y   y2  y   y  y  15  y   x  � �  5 (TM ) � y  x  � 2 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm (7;3);( ; ) 2 Câu 5: Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Vì BNED tứ giác nội tiếp nên: BNE=EDC (góc góc ngồi đỉnh đối diện) (1) Vì CDEM tứ giác nội tiếp nên: EDC=EMA (góc góc ngồi đỉnh đối diện) (2) Từ (1) (2) suy BNE =EMA =>ANE+ EMA 180 Suy tứ giác ANEM nội tiếp ⇒ AEN= AMN (hai góc nội tiếp chắn cung AN) (3) Vì BNC= BMC  90 nên BNMC tứ giác nội tiếp Suy AMN= NBD (góc góc ngồi đỉnh đối diện) (4) Từ (3) (4) suy AEN= NBD Mà BNED tứ giác nội tiếp nên NBD +NED=180o=> AEN +NED=180o =>AED =180o Suy A, E, D thẳng hàng Câu 6: a) Đặt (a, d) = k, suy a = ka1, d = kd1 với (a1, d1) = k, a1, d1 ∈ ℕ* Khi ab = cd ⇔ a1b = cd1 ⇒ cd1 ⋮ a1, mà (a1, d1) = nên c ⋮ a1 ⇒ c = a1c1 ⇒ a1b = cd1 = c1a1d1 ⇒ b = c1d1 Từ ta được: A  a 2015  b2015  c 2015  k 2015 a12015  c12015 d12015  a12015 c12015  k 2015 d12015  (a12015  d12015 )(k 2015  c12015 ) 2015 2015 2015 2015 hợp số a1  d1 k  c1 số nguyên dương ≥ b) Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương, ta có: Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt x y y ( z  x) 2x y y ( z  x)  �2  xy (1) zx zx Tương tự ta có: y z z (x  y)  �2 yz (2) x y 2 z x x(y  z)  �2 zx(3) yz Cộng vế (1), (2) (3), ta có: x2 y y z 2z x    xy  yz  zx �2( xy  yz  zx) zx x y yz  2x2 y y z z x   �xy  yz  zx zx x y yz Chia hai vế BĐT cho 2xyz, ta có: x y z xy  yz  zx P   � 1 z ( z  x) x( x  y ) y ( y  z ) xyz Dấu xảy x  y  z  Vậy GTNN P x  y  z  Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... = c1d1 Từ ta được: A  a 2015  b2015  c 2015  k 2015 a 12015  c 12015 d 12015  a 12015 c 12015  k 2015 d 12015  (a 12015  d 12015 )(k 2015  c 12015 ) 2015 2015 2015 2015 hợp số a1  d1 k  c1... HFD cân nên DOP=PDO;DFH=PDO Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt =>DOP=DFH ⇒ FH // OP Mà FH ⊥ AC... Phương trình (1) trở thành Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 2t  3t   � t  2(TM )  x