Gọi O là đường tròn đường kính BC O là trung điểm BC.. a Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.. d Gọi F là giao điểm của AH và BC... Vì
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÝ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN
Năm học 2015 – 2016 Khóa ngày 03 tháng 6 năm 2015 Môn: TOÁN (Toán chung)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm)
A
a) Rút gọn biểu thức A
b) Thực hiện phép tính để tính giá trị của A khi x 3 2 2
c) Tìm x để A = x + 1
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình (không sử dụng máy tính cầm tay): 2 7
x y
x y
b) Cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = 3x + b Vẽ parabol (P) và tìm b biết (d) đi qua điểm M thuộc (P) có hoành độ x = –1
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình 2 2
x m x m m (1) (m là tham số) a) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 đều khác 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
4
6
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, với ABC 60 , BC = 2a và AB < AC Gọi (O) là đường tròn đường kính BC (O là trung điểm BC) Đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E (D khác B, E khác C), BE cắt CD tại H
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b) Chứng minh: HB.DE = HD.BC
c) Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt đường thẳng DI tại M Tính tỉ số OB
OM
d) Gọi F là giao điểm của AH và BC Cho 3
4
a
BF , tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF theo
a
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÝ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN
Năm học 2015 – 2016 Khóa ngày 03 tháng 6 năm 2015 Môn: TOÁN (Toán chung)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
.ĐÁP ÁN Câu 1
a) Ta có
2
2
2
2 1
A
x
b) ĐKXĐ của A là x > 0, x 3 2 2 thỏa mãn điều kiện
Thay x 3 2 2, ta có:
2 1 1 2 (do 2 1 0)
Vậy khi x 3 2 2 thì A = 2
c) A x 1 x 1 x 1 x x 1 0 ⇔ x = 0 (loại) hoặc x = 1 (tm)
Vậy A = x + 1 ⇔ x = 1
Câu 2
x y
x y
Trang 3
( )
I
Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;–1)
b) Vẽ parabol (P)
(P): y = 2x2 nên có đỉnh là O(0;0), đi qua điểm A(1;2), B(2;8), nhận Oy là trục đối xứng
Điểm M(–1;m) thuộc (P) nên m = 2.(–1)2 = 2 ⇒ M(–1;2)
M(–1;2) ∈ (d) ⇒ 2 = 3.(–1) + b ⇒ b = 5
Vậy b = 5
Câu 3
x m x m m (1)
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 1
1
2
m
m
Trang 4Theo định lý Vi–ét:
2
1 2
x x m m
Thay vào P ta có:
2
2
2 2
2 2
2 2
4
6
4
6 1
4
4
1
2
m
m
m m
Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có:
1
Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 1 ⇔ m = 3 (thỏa mãn) hoặc m = 1 (loại)
Vậy GTNN của P là 8, đạt được khi m = 3
Câu 4
Trang 5a) Gọi I là trung điểm AH
Vì tam giác ADH vuông tại D, có I là trung điểm cạnh huyền nên IA = IH = ID
Vì tam giác AEH vuông tại E, có I là trung điểm cạnh huyền nên IA = IH = IE
⇒ IA = IH = ID = IE
⇒ Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm I
b) Vì BDEC là tứ giác nội tiếp nên:
D
H EHBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC) (1)
D
HE HCB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD) (2)
Từ (1) và (2)
D
H DE
HB BC
HD BC HB DE
∽
c) Vì ID = IH nên ∆ IDH cân ở I ⇒ DHI IHD (3)
Vì IH // MC (cùng vuông góc BC) nên IHDMCD (4)
Từ (3) và (4) ⇒ I HD MCD
Suy ra ∆ MDC cân tại M ⇒ MD = MC
Mà OD = OC nên OM là trung trực của CD
⇒ OM ⊥ CD
Mà BD ⊥ CD nên OM // BD
⇒ COM CBD 60
2
COM
d) Vì B HD BFH 90 90 180 nên BDHF là tứ giác nội tiếp ⇒ DBH DFH (5)
Từ (5), (6), (7) ⇒ DFH EFH ⇒ FH là phân giác góc DFE
Tương tự ta có: EH là phân giác góc DEF
Trang 6Do đó H là tâm đường tròn nội tiếp ∆ DEF Vẽ HK ⊥ DF tại K Suy ra bán kính đường tròn (H) nội tiếp ∆ DEF là HK
Tính HK:
Ta có: BDBC.cosDBCa
3
DC BC BD a
Hai tam giác vuông CDB và CFH có chung góc C nên chúng đồng dạng, suy ra
5
a a
HF
BD CD CD a
∆ BFH vuông tại F nên
∆ BDH vuông tại D nên
2
90
HBF HDK
HBF HDK HKD HFB
5
156 13
2 3
HK
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp ∆ DEF là HK = 5 39
156
a