2, Chứng minh rằng: với mọi m parabol P và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt.. Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương.. 3, Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi
Trang 1SỞ GD & ĐT THÁI BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học 2014 – 2015 MÔN THI: TOÁN
( Dành cho tất cả các thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 điểm)
Cho biểu thức 2 3 5 7 : 2 3
2 2 1 2 3 2 5 10
A
1, Rút gọn biểu thức A
2, Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên
Bài 2 (2, 5 điểm)
Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2(m + 3)x – 2m + 2 ( m là tham số, m ∈ ℝ)
1, Với m = –5 tìm tọa độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d)
2, Chứng minh rằng: với mọi m parabol (P) và đường thẳng (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương
3, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m
Bài 3 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 3 2 5(2 ) 0
2 3 15 0
x xy y
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O; R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A
1, Chứng minh rằng tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT
2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC
3, Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC , góc BDC và đường thẳng BC đồng quy tai một điểm
4, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng góc BAD bằng góc MAC
Bài 5 (0,5 điểm)
Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x( x + 1) + y( y + 1) + z( z + 1) ≤ 18
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1
B
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1
1 Với x > 0, x ≠ 4 ta có:
:
2 2 1 2 3 2 5 10
2 2 1
2 2 1
5
2 1
A
x
x x x
x
x
x
=
+
− +
=
+
=
+
2 Vìx> ⇒0 5 x >0; 2 x+ > ⇒ >1 0 A 0
Mặt khác, xét 5 3 2( 1) 3
A
Vậy 0 < A < 3
Do đó A nguyên ⇔ A = 1 hoặc A = 2
2 1
x
x
5
2 1
x
x
9
A∈ ⇔ =¢ x
Bài 2.
1 Khi m = –5 ⇒ (d) : y = –4x + 12
Khi đó , phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
x = − + ⇔x x + x− = ⇔ +x x− =
⇔ x = –6 hoặc x = 2
Khi x = –6 ⇒ y = 36
Khi x = 2 ⇒ y = 4
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (–6;36) và (2;4)
2 Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x = m+ x− m+ ⇔x − m+ x+ m− = (1)
Trang 32 2
2
2
' ( 3) (2 2) 0
( 6 9) (2 2) 0
4 7 0
( 2) 3 0
m
⇔ ∆ = + − − >
⇔ + + >
⇔ + + >
(luôn đúng ∀ m)
Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x x với1, 2 x x là hai nghiệm của phương trình (1)1, 2
Hai giao điểm có hoành độ dương ⇔ (1) có hai nghiệm dương
1 2
1
m
+ = + > > −
= − > >
Vậy m > 1
3 Gọi (x y là điểm cố định mà (d) luôn đi qua ∀ m0; 0)
Khi đó:
2( 3) 2 2( )
(2 2) (6 2 ) 0( )
Vậy (d) luôn đi qua điểm (1;8) ∀m
Bài 3.
2 3 2 5(2 ) 0(1)
( )
2 3 15 0(2)
I
x xy y
Ta có:
(1) (2 )( 2 ) 5(2 ) 0
(2 )( 2 5) 0
2
5 2
x y x y
y x
=
⇔ = −
Do đó:( ) 2 2 2 ( )
2 2 3(2 ) 15 0
y x
=
5 2
( ) (5 2 ) 2(5 2 ) 3 15 0
III
= −
2
( )
1; 2
15 15 0
II
x
⇔− + = ⇔ = − = −
2
( )
4; 3
5 30 40 0
III
⇔ − + = ⇔ = = −
Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm (1;2) , (-1;-2) , (-3;4)
Bài 4.
Trang 41 Vì TB là tiếp tuyến của (O) nên
BAD = DBT (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cùng BD)
Xét ∆ ABT và ∆ BDT có:
~ ( ) ( )
ATB chung
ABT BDT g g DBT BAT cmt
2 Vì
2
ABT BDT
Chứng minh tương tự ta có:
2
Do đó
AB CD BD AC
3 Gọi I1, I2 lần lượt là giao điểm của BC với tia phân giác góc BAC và góc BDC Xét ∆ ABC có tia phân giác AI1, theo tính chất đường phân giác ta có:
1
1
I B AB
I C = AC
Chứng minh tương tự ta có: 2
2
I B DB
I C = DC
I B I B
AB DB
Trang 5⇒ I1 ≡ I2
⇒ Đường phân giác góc BAC, đường phân giác góc BDC và đường thẳng BC đồng quy
4 Gọi M’ là điểm thuộc đoạn BC sao cho CAM’ = BAD Ta chứng minh M’ ≡ M
Vì CAM’ = BAD => BAM’ = CAD
Vì ABDC là tứ giác nội tiếp nên ADB = ACM’ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Mà CAM’ = BAD => ∆ADB ~ ∆ACM’ (g.g) '
'
BD AD
BD AC AD CM
Chứng minh tương tự ta có: AB.CD = AD.BM’ (2)
Từ (1) và (2) với chú ý BD.AC = AB.CD => AD.CM’ = AD.BM’ => CM’ = BM’
⇒ M’ ≡ M
=> BAD = MAC
Bài 5 Với mọi a, b, c > 0, ta có:
Với mọi a, b, c > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho ba số dương, ta có:
3
3
1 1 1
1 1 1 9
(**)
a b c abc
a b c
a b c
a b c abc
a b c a b c
+ + ≥ >
⇒ + + ≥
+ +
Áp dụng BĐT (*) với a = x, b = y, c = z và từ điều kiện của x, y, z ta có:
2
2
18
3
x y z
x y z x y z
+ +
6
x y z
⇒ + + ≤ (do x + y + z + 9 > 0) (***)
Áp dụng BĐT (**) với a = x + y + 1, b = y + z + 1, c = z + x + 1, ta có:
B
Áp dụng (***) ta có: 9 3
2.6 3 5
+
6
x y z
x y z
= =
⇔ + + = + + = + + ⇔ = = =
+ + =
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là3
5 , xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2.