12 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chung THPT chuyên thái bình năm 2014 2015 (có lời giải chi tiết)

SỞ GD & ĐT THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học 2014 – 2015 MƠN THI: TỐN ( Dành cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm)  x −7  x +3 + − Cho biểu thức A =  ÷ ÷: x − 10 x (x > 0, x ≠ 4) x − 2 x + x − x −   1, Rút gọn biểu thức A 2, Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Bài (2, điểm) Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 2(m + 3)x – 2m + ( m tham số, m ∈ ℝ) 1, Với m = –5 tìm tọa độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) 2, Chứng minh rằng: với m parabol (P) đường thẳng (d) cắt hai điểm phân biệt Tìm m cho hai giao điểm có hồnh độ dương 3, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) qua với m Bài (1,5 điểm)  x + xy − y − 5(2 x − y ) = Giải hệ phương trình:  2  x − xy − y + 15 = Bài (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến B C đường tròn (O; R) cắt T, đường thẳng AT cắt đường tròn điểm thứ hai D khác A 1, Chứng minh tam giác ABT đồng dạng với tam giác BDT 2, Chứng minh rằng: AB.CD = BD.AC 3, Chứng minh hai đường phân giác góc BAC , góc BDC đường thẳng BC đồng quy tai điểm 4, Gọi M trung điểm BC, chứng minh góc BAD góc MAC Bài (0,5 điểm) Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: x( x + 1) + y( y + 1) + z( z + 1) ≤ 18 1 + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x + y +1 y + z +1 z + x +1 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN Bài 1 Với x > 0, x ≠ ta có:  x −7  x +3 A =  + − ÷ ÷:  x − 2 x + x − x −  x − 10 x = = ( ) ( 2 x +1 + ( ( x +3 )( ) ( ) x − − x − x − 10 x x +3 x − 2 x +1 )( ) x − 2 x +1 x ( ) x −2 ) x +3 x x +1 Vì x > ⇒ x > 0; x + > ⇒ A > = Mặt khác, xét A − = ( ) =− x − x +1 x +1 x −3 < ∀x > ⇒ A < x +1 Vậy < A < Do A nguyên ⇔ A = A = x 1 A =1⇔ = ⇔ x = x + ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn) x +1 x = ⇔ x = 2(2 x + 1) ⇔ x = ⇔ x = ⇔ x = (loại) x +1 Vậy A ∈ ¢ ⇔ x = Bài Khi m = –5 ⇒ (d) : y = –4x + 12 Khi , phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x = −4 x + 12 ⇔ x + x − 12 = ⇔ ( x + 6)( x − 2) = ⇔ x = –6 x = A=2⇔ Khi x = –6 ⇒ y = 36 Khi x = ⇒ y = Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) (–6;36) (2;4) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x = 2(m + 3) x − 2m + ⇔ x − 2(m + 3) x + 2m − = (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt (1) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ⇔ ∆ ' = (m + 3) − (2m − 2) > ⇔ (m + 6m + 9) − (2m − 2) > ⇔ m + 4m + > ⇔ (m + 2) + > (luôn ∀ m) Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1) Hai giao điểm có hồnh độ dương ⇔ (1) có hai nghiệm dương  x + x = 2(m + 3) >  m > −3 ⇔ ⇔ ⇔ m >1 m >  x1 x2 = 2m − > Vậy m > Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà (d) qua ∀ m Khi đó: y0 = 2(m + 3) x0 − 2m + 2(∀m) ⇔ m(2 x0 − 2) + (6 x0 + − y0 ) = 0(∀m) 2 x0 − =  x0 =  x0 = ⇔ ⇔ ⇔ 6 x0 + − y0 = 6.1 + − y0 =  y0 = Vậy (d) qua điểm (1;8) ∀m Bài  x + xy − y − 5(2 x − y ) = 0(1) (I )  2  x − xy − y + 15 = 0(2) Ta có: (1) ⇔ (2 x − y )( x + y ) − 5(2 x − y ) = ⇔ (2 x − y )( x + y − 5) =  y = 2x ⇔ x = − 2y  y = 2x x = − y ( II ) ( III ) Do đó: ( I ) ⇔   2  x − x.2 x − 3(2 x) + 15 = (5 − y ) − 2(5 − y ) y − y + 15 =  y = 2x  x = 1; y = ( II ) ⇔  ⇔  x = −1; y = −2  −15 x + 15 = x = − y  y = 2; x = ( III ) ⇔  ⇔  y = 4; x = −3 5 y − 30 y + 40 = Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm (1;2) , (-1;-2) , (-3;4) Bài Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Vì TB tiếp tuyến (O) nên BAD = DBT (góc nội tiếp góc tâm chắn BD) Xét ∆ ABT ∆ BDT có:  ATB(chung ) ⇒ ∆ABT ~ ∆BDT ( g g )   DBT = BAT (cmt ) AB AT BT AT BT AT  AB  Vì ∆ABT ~ ∆BDT ⇒ = = ⇒ = ÷ = BD BT DT BT DT DT  BD  Chứng minh tương tự ta có: AT  AC   ÷ = DT  CD  2 AB AC  AB   AC  Do  = ⇒ AB.CD = BD AC ÷ = ÷ ⇒ BD CD  BD   CD  Gọi I1, I2 giao điểm BC với tia phân giác góc BAC góc BDC Xét ∆ ABC có tia phân giác AI1, theo tính chất đường phân giác ta có: I1 B AB = I1C AC I B DB = Chứng minh tương tự ta có: I 2C DC AB DB IB I B = ⇒ = Theo câu 2) ta có AB.CD = BD AC ⇒ AC DC I1C I 2C Mà I1, I2 thuộc đoạn BC nên chúng chia đoạn BC theo tỉ số Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ⇒ I1 ≡ I ⇒ Đường phân giác góc BAC, đường phân giác góc BDC đường thẳng BC đồng quy Gọi M’ điểm thuộc đoạn BC cho CAM’ = BAD Ta chứng minh M’ ≡ M Vì CAM’ = BAD => BAM’ = CAD Vì ABDC tứ giác nội tiếp nên ADB = ACM’ (hai góc nội tiếp chắn cung AB) BD AD = ⇒ BD AC = AD.CM ' (1) Mà CAM’ = BAD => ∆ADB ~ ∆ACM’ (g.g) ⇒ CM ' AC Chứng minh tương tự ta có: AB.CD = AD.BM’ (2) Từ (1) (2) với ý BD.AC = AB.CD => AD.CM’ = AD.BM’ => CM’ = BM’ ⇒ M’ ≡ M => BAD = MAC Bài Với a, b, c > 0, ta có: (a − b) + (b − c) + (c − a ) ≥ ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ ⇔ 2(a + b + c ) ≥ 2ab + 2bc + 2ca ⇔ 3(a + b + c ) ≥ a + b + c 2ab + 2bc + 2ca ⇔ 3(a + b + c ) ≥ (a + b + c) (*) Với a, b, c > 0, áp dụng BĐT Cô–si cho ba số dương, ta có:  a + b + c ≥ 3 abc >  1 1 ⇒ (a + b + c)  + + ÷ ≥ 1 1 a b c >0  + + ≥ 33 abc a b c 1 ⇒ + + ≥ (**) a b c a +b+c Áp dụng BĐT (*) với a = x, b = y, c = z từ điều kiện x, y, z ta có: ( x + y + z )2 18 ≥ x + y + z + x + y + z ≥ + x+ y+ z ⇒ ( x + y + z ) + 3( x + y + z ) − 54 ≤ ⇒ ( x + y + z + 9)( x + y + z − 6) ≤ ⇒ x + y + z ≤ (do x + y + z + > 0) (***) Áp dụng BĐT (**) với a = x + y + 1, b = y + z + 1, c = z + x + 1, ta có: 1 9 B= + + ≥ = x + y + y + z + z + x + x + y + + y + z + + z + x + 2( x + y + z ) + = Áp dụng (***) ta có: B ≥ 2.6 + x = y =z   Dấu xảy ⇔  x + y + = y + z + = z + x + ⇔ x = y = z = x + y + z =  Vậy giá trị nhỏ B , xảy x = y = z = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm (1;2) , (-1;-2) , (-3;4) Bài Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt... thuộc đoạn BC nên chúng chia đoạn BC theo tỉ số Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ⇒ I1 ≡ I ⇒ Đường... có hai nghiệm phân biệt (1) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ⇔ ∆ ' = (m + 3) − (2m − 2) > ⇔