6 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chung THPT chuyên đại học vinh năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015 Mơn thi: Tốn (vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Câu (2,0 điểm) Giải phương trình: + = a) x +1 2x +1 x − b) x + + − x = x +  x + x = y + y ( x, y ∈ ¡ ) Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình  2  x + y = Câu (1,5 điểm) Cho hai số thực a, b thỏa mãn a + b = 3, ab = Tính giá trị biểu thức ( P= ) a − b ( a − b2 ) a a +b b Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), AB < AC Phân giác góc BAC cắt BC D Đường tròn tâm I đường kính AD cắt AB, AC E F a) Chứng minh AD ⊥ EF b) Gọi K giao điểm thứ hai AD (O) Chứng minh ∆ABD : ∆AKC c) Kẻ EH ⊥ AC H Chứng minh HE.AD = EA.EF d) Hãy so sánh diện tích tam giác ABC với diện tích tứ giác AEKF Câu (1,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c P= + + 2 + b + c + a2 –––––––––––––– HẾT –––––––––––––– Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2015 Câu 1 + = a) (1) x +1 2x +1 x − ĐK: x ≠ –1; x ≠ 2; x ≠ − (2 x + 1)( x − 2) + 3( x + 1)( x − 2) − 8( x + 1)(2 x + 1) =0 (1)  ( x + 1)(2 x + 1)( x − 2) (2 x − 3x − 2) + 3( x − x − 2) − 8(2 x + x + 1) =0  ( x + 1)(2 x + 1)( x − 2) −11x − 30 x − 16 =0  ( x + 1)(2 x + 1)( x − 2) ⇒ 11x + 30 x + 16 =  x = −2(tm) ⇔  x = − (tm)  11 8  Vậy tập nghiệm phương trình (1)  −2; −  11   b) x + + − x = x + (2)  x≥−  2 x + ≥   ĐK: 3 − x ≥ ⇔  x ≤ ⇔ − ≤ x ≤ 3 x + ≥   x ≥ −  Với điều kiện trên, ta có: (2) ⇔ x + + − x + (2 x + 1)(3 − x) = x + ⇔ −2 x + x + = x + 1  x ≥ −   2 x + ≥ x ≥ −  ⇔ ⇔ ⇔  x = − 2 2 4(−2 x + x + 3) = x + x + 12 x − 16 x − 11 =    11   x =    x = − (tm) ⇔  x = 11 (tm)   11  Vậy tập nghiệm phương trình (2) − ;   6 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Câu  x + x = y + y (1) (I )  2  x + y = 5(2) (1) ⇔ x − y + x − y = ⇔ ( x − y )( x + y + 1) = y = x ⇔  y = −x −1 • y = x: Thay vào (2) ta được: (2) ⇔ x = ⇔ x = 10 ⇔x=± 2 10 • y = – x – Thay vào (2) ta được: ⇒ y=± x = (2) ⇔ x + (− x − 1) = ⇔ x + x − = ⇔   x = −2 x = ⇒ y = − x − = −2 x = −2 ⇒ y = − x − =  10 10   10 10  ; , − ; − Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm (1; −2), (−2;1),  ÷  ÷  ÷ ÷    Câu Ta có ( P= ) a − b ( a − b2 ) = ( ) a − b (a − b)(a + b) ( a) +( b) ( a − b ) ( a − b ) ( a + b ) (a + b) = ( a + b ) ( a + b − ab ) ( a + b − ab ) (a + b) = a a +b b 3 a + b − ab Thay a + b = 3, ab = ta được: ( − 2.1) = P= −1 Câu Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt a) Do E, F thuộc đường tròn đường kính AD nên AED = AFD = 90o Xét hai tam giác vng AED AFD có  AD(chung ) ⇒ ∆AED = ∆AFD (cạnh huyền – góc nhọn)   EAD = FAD ( gt ) ⇒ AE = AF DE = DF (hai cạnh tương ứng) ⇒ AD đường trung trực đoạn EF ⇒ AD ⊥ EF b) Do ABKC tứ giác nội tiếp đường tròn (O) nên ABC = AKC (hai góc nội tiếp chắn cung AC) Xét hai tam giác ABD ACK có  BAD = CAK ( gt ) ⇒ ∆ABC ~ ∆ACK (g.g)   ABD = AKC (cmt ) c) Vì AEDF tứ giác nội tiếp nên EDA = EFH (hai góc nội tiếp chắn cung EA) Xét tam giác AED tam giác EHF ta có:  AED = EHF = 90o ⇒ ∆AED ~ ∆EHF (g.g)   EDA = EFH (cmt ) EA AD ⇒ = EH EF ⇒ HE AD = EA.EF d) Trên tia AC lấy B’ cho AB = AB’ Vẽ KI ⊥ AC I Xét ∆ ABK ∆ AB’K có  AK (chung )   KAB = KAB '( gt ) ⇒ ∆ABK = ∆AB ' K (c.g.c)  AB = AB '  ⇒ KB = KB’ (hai cạnh tương ứng) Mặt khác AK phân giác góc BAC nên K điểm cung BC ⇒ KB = KC ⇒ KB’ = KC ⇒ ∆ KB’C cân K Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ⇒ I trung điểm B’C AB '+ AC AB + AC ⇒ AI = = 2 ⇒ I trung điểm B’C 1 S ABC = S ABD + S ACD = DE AB + DF AC = DF ( AB + AC ) 2 Vì AK trung trực EF nên AE = AF, EK = FK ⇒ ∆ AEK = ∆ AFK (c.c.c) Do S AEDF = 2.S AKF = KI AF Vì DF // KI ( vng góc AC) nên theo định lí Ta–lét: DF AF AB + AC = ⇒ S AEDF = KI AF = DF AI = DF = S ABC KI AI Vậy S ABC = S AEDF Câu a b c + + 2 + b + c + a2 Ta có: a ab (1) = a − + b2 + b2 Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có + b ≥ 2b Thay vào (1) ta được: a ab ab ab (2) = a − ≥ a − =a− 2 1+ b 1+ b 2b Tương tự, ta có: b bc ≥b− (3) 1+ c c ca ≥c− (4) 1+ a Cộng vế ba BĐT (2), (3), (4) ta được: a b c  ab + bc + ca  + + ≥ a+b+c− ÷ (5) 2 1+ b 1+ c 1+ a   Mặt khác ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  ≥ 2 (a + b + c) (6) ⇒ ab + bc + ca ≤ =3 Thay điều kiện a + b + c = BĐT (6) vào (5) ta có a b c P= + + ≥ 2 1+ b 1+ c 1+ a Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P , đạt a = b = c = P= Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2015 Câu 1 + = a) (1) x +1 2x +1 x − ĐK: x ≠ –1; x ≠ 2; x ≠ − (2... ta được: ( − 2.1) = P= −1 Câu Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982. 563 . 365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt a) Do E, F thuộc đường tròn đường... KC ⇒ KB’ = KC ⇒ ∆ KB’C cân K Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982. 563 . 365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ⇒ I trung điểm B’C AB '+ AC AB