SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮCGIANGĐỀTHICHÍNHTHỨCĐỀTHI TUYỂN SINH LỚP 10THPTCHUYÊNBẮCGIANGNĂM HỌC: 2015–2016 MƠN THI: TỐN (dành cho tất thí sinh) Ngày thi: 09/6/2015 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Câu I: Giải phương trình hệ phương trình sau: 1) x ( 2) x 2) x x �1 � x y 3 3) �2 � x y 13 � Câu II: x 11 x x 1 x x 2 x 1 x 2 a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa, rút gọn A b) Tìm số phương x cho A có giá trị số nguyên 2) Tìm giá trị m để phương trình: x mx m2 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 cho: x1 + 2x2 = 1) Cho biểu thức: A Câu III: Cho quãng đường AB dài 150 km Cùng lúc có xe thứ xuất phát từ A đến B, xe thứ hai từ B A Sau xuất phát xe gặp Biết thời gian quãng đường AB xe thứ nhiều xe thứ hai 30 phút Tính vận tốc xe Câu IV: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Điểm C điểm (O) C ≠ A,B Tiếp tuyến C cắt tiếp tuyến A,B P,Q 1) Chứng minh: AP.BQ = R2 2) Chứng minh: AB tiếp tuyến đường tròn đường kính PQ 3) Gọi M giao điểm OP với AC, N giao điểm OQ với BC Chứng minh: PMNQ tứ giác nội tiếp 4) Xác đinh vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ Câu V: Cho a, b, c > thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: a4 b4 c4 � (a 2)(b 2) (b 2)(c 2) (c 2)( a 2) Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN Câu I: 1) x ( 2) x (1) Phương trình (1) phương trình bậc hai có tổng hệ số a b c ( 2) ( 3) nên có hai nghiệm x1 1; x2 c a � 3� � � 1; Vậy tập nghiệm phương trình (1) � � � � 2) x x (2) Đặt t x , với t ≥ phương trình (2) trở thành t 2t � (t 2)(t 4) � t = –2 (loại) t = (thỏa mãn) Với t = x2 = ⇔ x = ±2 Vậy tập nghiệm phương trình (2) {–2;2} �1 � x y 3 3) �2 � x y 13 � Ta có: �1 x y 18 x y 36 � � x y 3 � �� �� �2 x y 13 x y 39 � � � x y 13 � �y �y �x �� �� �� x y 39 x 9.3 39 � � �y Vậy nghiệm hệ phương trình (2;3) Câu II: x 11 x x 1 x x 2 x 1 x 2 a) Để A có nghĩa, điều kiện là: �x �0 � �x �0 �x �0 �x x �0 �� �� � � x �2 �x �4 � x �0 � x �0 � Với điều kiện trên, ta có: 1) A Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt A x 11 x x 1 x x 2 x 1 x 2 x 11 x ( x 2) (2 x 1)( x 1) ( x 1)( x 2) x 11 ( x x ) (2 x x 1) ( x 1)( x 2) x x 12 ( x 2)( x 6) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) x 6 x 1 x 6 với x ≥ x ≠ x 1 x 6 b) Ta có: A = =1+ x 1 x 1 Để A có giá trị số ngun số nguyên x 1 x ước (*) Mặt khác x �1 nên (*) ⇔ x ∈{1; 5} – Nếu x = ⇒ x = (tm) – Nếu x = ⇒ x = 16 (tm) Vậy giá trị x cần tìm x = x = 16 Vậy A = 2) x mx m (1) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ = m2 – 4(m2 – 3) > ⇔ –3m2 +12 > ⇔ m2 < ⇔ –2 < m < Hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệthức x1 + 2x2 = => x1 = - 2x2 �x1 x2 m �x1 2 x2 �x1 2 x2 � � � � �x1 x2 m � � 2 x2 x2 m � �x2 m �x x � � 2 x2 x2 m � 2m m2 � �1 � 2m m � m � m �1 (tm) Thử lại: – Với m = 1: (1) ⇔ x2 + x – = ⇔ x1 = –2; x2 = (tm) – Với m = –1: (1) ⇔ x2 – x – = ⇔ x1 = 2; x2 = –1 (tm) Vậy m = ± giá trị cần tìm Câu III: Gọi vận tốc xe từ A đến B x (km/h) (x > 0) Gọi vận tốc xe từ B đến A y (km/h) (y > 0) Sau giờ, quãng đường xe từ A 3x (km) quãng đường xe từ B 3y (km) Sau kể từ xuất phát, hai xe gặp nhau, ta có phương trình 3x + 3y = 150 Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt (1) Thời gian quãng đường AB xe từ A 150 150 (giờ) xe từ B (giờ) y x 150 150 2,5 (2) x y Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: �x y 50 �y 50 x �y 50 x � � � 150 150 � �1 � 1 � �50 x �x � �x (50 x ) 60 y �x 50 x 60 � � Theo ta có phương trình: � 60(50 x) x(50 x) � x 170 x 3000 ⇔ x = 20 x = 150 x = 20 ⇒ y = 30 (tm) x = 150 ⇒ y = –100 (loại) Vậy vận tốc hai xe 20km/h 30km/h Câu IV: 1) Vì AP CP tiếp tuyến (O) nên OA ⊥ AP, OC ⊥ PC Xét tam giác vng OAP tam giác vng OCP có: Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt OP (chung ) � � OAP OCP (cạnh huyền–cạnh góc vng) � OA OC R � �PC PA(1) � �� POA POC � POC COA(2) � � QC QB (3) � � Tương tự ta có: � QOC COB(4) � � 1 o o Từ (2) (4) ta có: POQ POC QOC (COA COB ) 180 90 2 ⇒ ∆ POQ vuông O Từ (1), (3) áp dụng hệthức lượng tam giác vng OPQ ta có: AP.BQ CP.CQ CO R (đpcm) 2) Xét tam giác vuông OPQ, gọi I trung điểm cạnh huyền PQ, đó: IP = IQ = IO ⇒ O thuộc đường tròn đường kính PQ (5) Mặt khác, AP // BQ nên APQB hình thang nhận IO đường trung bình, suy OI // BQ Mà BQ ⊥ AB ⇒ OI ⊥ AB (6) Từ (5) (6) ⇒ AB tiếp tuyến đường tròn đường kính PQ O 3) Vì OC = OA = R, PC = PA (cmt) nên PO trung trực đoạn AC ⇒ PO ⊥ AC Tương tự QO ⊥ BC Tứ giác OMCN có ba góc vng nên hình chữ nhật ⇒ OMCN tứ giác nội tiếp => OMN = OCN (hai góc nội tiếp chắn cung ON) (7) Mặt khác, tam giác OCQ OCN vuông, suy ra: OCN = PQO (cùng phụ với CON) (8) Từ (7) (8) ⇒ OMN = PQO Mặt khác OMN + PMN = 180o => PQO + PMN = 180o ⇒ Tứ giác PMNQ tứ giác nội tiếp 4) Gọi H, I trung điểm MN, PQ K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ Ta có: KH ⊥ MN KI ⊥ PQ Vì OP trung trực AC (cmt) nên M trung điểm AC, tương tự N trung điểm BC AB MN AB R � HN ⇒ MN //AB MN = (9) 2 Vì MN // AB, OI ⊥ AB ⇒ MN ⊥ OI Mà MN ⊥ KH nên OI // KH Mà KI // HO (cùng vng góc PQ) nên OIKH hình bình hành ⇒ KH = OI ≥ OC = R (10) Bán kính đường tròn (K) KN Từ (9) (10) ta có: �R � R KN KH HN � R � � �2 � Dấu xảy ⇔ OI = OC ⇔ O ≡ C ⇔ OC ⊥ AB ⇔ C điểm cung AB Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp PMNQ nhỏ C điểm cung AB đường tròn (O) 2 Câu V: Áp dụng BĐT Cô–si cho số không âm, ta có: Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt a4 a2 b2 a4 a2 b2 a 4a 4 �4 4 (a 2)(b 2) 27 27 (a 2)(b 2) 27 27 9 a4 11a b (1) (a 2)(b 2) 27 27 27 Tương tự ta có: b4 11b c � (2) (b 2)(c 2) 27 27 27 c4 11c a � (3) (c 2)(a 2) 27 27 27 Cộng vế (1), (2) (3) ta có: a4 b4 c4 11(a b c ) a b c 21 � (a 2)(b 2) (b 2)(c 2) (c 2)( a 2) 27 27 27 Thay điều kiện a + b + c = ta được: a4 b4 c4 � (a 2)(b 2) (b 2)(c 2) (c 2)(a 2) Dấu xảy a = b = c = Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... y 3 3) �2 � x y 13 � Ta có: �1 x y 18 x y 36 � � x y 3 � �� �� �2 x y 13 x y 39 � � � x y 13 � �y �y �x �� �� �� x y 39 x 9 .3 39 � � �y Vậy nghiệm hệ. .. OAP tam giác vng OCP có: Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.5 63. 365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt OP (chung ) � � OAP OCP (cạnh huyền–cạnh... đường xe từ A 3x (km) quãng đường xe từ B 3y (km) Sau kể từ xuất phát, hai xe gặp nhau, ta có phương trình 3x + 3y = 150 Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT