LUYỆN THI đại học cấp tốc môn TOÁN năm 2011

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC MÔN TOÁN NĂM 2014; GV: NGÔ KHÁNH A) PHẦN CHUNG: CÂU I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÂU HỎI LIÊN QUAN: 1) Khảo sát hàm số: + Lưu ý tính đủ, bước, y’, tìm điểm uốn hàm bậc không tìm điểm uốn hàm trùng phương + Khi vẽ đồ thị hàm y= ax+b không nhầm trục toạ độ với tiệm cận cx+d 2) Câu hỏi liên quan: Cần thành thạo cách lập phương trình tiếp tuyến điểm M có hoành độ x0 đồ thị hàm số theo tham số x0 , từ giải toán liên quan đến tiếp tuyến, ý công thức k = f’( x0 ) a)Hàm bậc 3: + Gặp dạng toán tìm m để hàm số có cực trị ( Hai cực trị) thoả điều kiện nhớ phải tìm m đề hàm số có cực trị trước ( Đ/ kiện có cực trị : Pt y’ = có nghiệm phân biệt, pt y’ = có dạng đặc biệt phát nghiệm dùng điều kiện x1 ≠ x2 ) sau dựa vào điều kiện toán để lập phương trình bất phương trình để giải tìm m, nhớ so với điều kiện để chọn m, ý áp dụng định lý Viet + Gặp dạng toán cho đường cong bậc đường thẳng, có đường thay đổi theo tham số hai đề qua điểm chung A, yêu cầu tìm tham số để hai đường có điểm chung phân biệt A,B,C thoả điều kiện đó, ta lập phương trình hoành độ, phương trình hoành độ có x = x A nên dùng sơ đồ Hóc-nơ phân tích được: ( x − xA ) g ( x) = (1) , Lập luận để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x A; xB ; xC (với xB ; xC nghiệm phương trình g(x) = ) ta tìm điều kiện tham số Sau ta dựa vào yêu cầu đề bài, sử nghiệm dụng Viet để lập p/trình ẩn m, giải tìm m; so với điều kiện để chọn m thích hợp + Chú ý cách chia y cho y’ lập luận để tìm phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số tìm phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt A, B đồ thị mà tiếp tuyến A B có hệ số góc k ( Tức tiếp tuyến song song nhau), từ giải toán liên quan đến đường thẳng b) Hàm bậc : y = ax + bx + c (a ≠ 0) : + Thường gặp dạng toán tìm tham số m để đồ thị hàm số có điểm cực trị thoả điều kiện đó, làm sau: x = - , Tính y’; y = ⇔  - Đồ thị có điểm cực trị  x = g (m) (*) ⇔ phương trình y’ = có nghiệm phân biệt ⇔ (*) có nghiệm phân biệt khác ⇔ g ( m) > Từ tìm điều kiện tham số m, suy toạ độ điểm cực trị theo tham số m, ý điểm cực trị đỉnh tam giác cân Tiếp tục dựa vào yêu cầu đề để tìm phương trình ẩn m, giải tìm m, so điều kiện để kết luận + Liên quan đến điểm cực trị cần thuộc lòng công thức tính tính diện tích tam giác, học sinh hay quên công thức S = S= ab.sin C ; a.b.c ; S = p.r , công thức Hê –rông Cần thuộc công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ( hay quên dấu 4R ), nhớ độ dài đoạn thẳng nằm ngang giá trị tuyệt đối hiệu hai hoành độ, độ dài đoạn thẳng đứng giá trị tuyệt đối hiệu hai tung độ + Chú ý toán tìm điểm M thuộc đồ thị hàm bậc bốn cho tiếp tuyến M cắt đồ thị điểm phân biệt N, P ( khác M) đồng thời thoả điều kiện đó, cách làm sau: Gọi M(t, f(t)) điểm nằm (C), viết phương trình tiếp tuyến M theo tham số t Lập phương trình hoành độ ( có nghiệm kép t), dùng sơ đồ Hóc nơ phân tích phương trình hoành ⇔ ( x − t ) g ( x; t ) = (1) Lập luận có điểm chung phân biệt M,N,P ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ g(x;t) có nghiệm phân biệt khác t ⇔ điều kiện t (*) độ - Tiếp tục dựa vào yêu cầu đề để tìm t, so với điều kiện (*) để kết luận c) Hàm y = ax + b : Thường gặp dạng toán sau: cx + d + M thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A B, tìm M biết tam giác IAB (I giao điểm tiệm cận) thoả tính chất Giải sau: - Xét M (t ; at + b d ); t ≠ − thuộc (C), viết pttt M theo tham số t ( Chú ý ta chứng minh M trung điểm AB diện tích ct + d c tam giác IAB không đổi) - Dựa vào yêu cầu đề để tìm phương trình ẩn t, giải tìm t, suy toạ độ điểm M - Chú ý toán tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất, làm sau: Chu vi tam giác IAB = IA+IB + AB = IA + IB + IA2 + IB ≥ IA.IB + IA.IB = (2 + 2) IA.IB = (2 + 2) S ( Với S diện tích tam giác IAB số), từ suy chu vi (2 + 2) 2S , dấu xảy IA = IB, từ tìm t, suy toạ độ điểm M + Tìm M thuộc (C) có tổng d khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất, ta tính tổng khoảng cách, dùng cô si + Tìm điểm (C) đối xứng qua đường thẳng d có phương trình cho trước, ta xét đường thẳng d’ vuông góc với d ( phụ thuộc tham số m) ; tìm điều kiện để d’ cắt (C) điểm phân biệt A,B cho trung điểm I AB thuộc d’, từ tìm tham số m, suy phương trình d’, suy toạ độ điểm A,B + Cho đường thẳng d phụ thuộc tham số m, tìm m để d cắt (C) điểm phân biệt A, B cho AB thoả điều kiện Có biết cách giải không? + Chú ý toán tìm điểm phân biệt A, B thuộc (C) cho tiếp tuyến A, B song song khoảng cách chúng lớn Có nhớ cách giải không? CÂU II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC: + Thông thường câu dễ, chương trình chuẩn học có hai loại phương trình lượng giác phương trình bậc hai phương trình bậc theo sin cos + Chú ý kĩ thuật sau: - Đặt điều kiện, cần Nếu giải điều kiện giải, neeud điều kiện phức tạp thôi, tránh trường hợp giải sai điề kiện - Dùng công thức để biến đổi: “ Xấu xấu” thành “đẹp”, thông thường: Hạ bậc, có tổng biến đổi thành tích, có tích biến đổi thành tổng, công thức nhân đôi, sử dụng: Cos đối, sin bù, phụ chéo, nửa π sin = cos, cos = âm sin, π sin, cos đối, - Phần lớn phương trình lượng giác sau xử lý bước xong biến đổi đưa dạng tích cách: nhẩm nghiệm để làm xuất nhân tử chung, ý dùng tam thức bậc hai: ví dụ gặp nhóm cos x − 3cos x + phân tích cos x − 3cos x + = 2(cos x − 1)(cos x − ) = (cos x − 1)(2 cos x − 1) ; ý đến nhóm có nhân tử chung, ví dụ: Các nhóm: sinx + cosx, π π 2cos(x- ), 2sin(x+ ) ,1+sin2x, cos2x, 1+tanx, 1+cotx, có nhân tử chung sinx + cosx; nhóm ± cosx, sin x có nhân tử chung 4 là: ± cosx , - Chú ý hay gặp dạng phương trình bậc theo sin cos: a cos x + b sin x = c kiểm tra điều kiện có nghiệm a + b ≥ c trước giải; đề có xuất thường biến đổi để đưa : ± 3cosu ± sinu = c , ± 3cosu ± sinu = ± 3cosv ± sinv , ± 3cosu ± sinu = ± 2cosv ( ± 2sinv) ( Các số ± , ± đổi chỗ cho nhau); chia vế cho để giải - Cần thuộc lòng công thức: cos u ± sin u = 2cos( π π mu ) = sin( ± u ) 4 - Cần biết nhận dạng phương trình đẳng cấp bậc 2, 3,4, theo sin cos: đẳng cấp bậc hai có bậc hai bậc không (hằng số ≠ ), đẳng cấp bậc có bậc bậc 1, đẳng cấp bậc có bậc 4, bậc 2, bậc không (hằng số ≠ ), - Có điều kiện phải kiểm tra điều kiện cách biểu thức nghiệm vào biểu thức điều kiện để chọn k thích hợp, dùng đường tròn l/giác Câu III: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1)Phương trình, bất phương trình vô tỉ: + Gặp dạng A = B, A > B, A ≥ B, A < B, A ≤ B cần thuộc lòng phép biến đổi tương đương Chú ý dạng B ≥ A=B⇔ sử dụng nhiều học toán A = B + Gặp dạng khác đặt điều kiện (nếu cần), sau đó: - Biến đổi đưa dạng - Đặt ẩn phụ: đưa pt, bpt ẩn; hệ ẩn, đặt ẩn phụ không hoàn toàn, Đây dạng phổ biến đề thi Cần ý dạng đưa hệ dạng vừa có bậc hai bậc 3, dạng x n + a = b n bx − a đặt t = đưa hệ đối xứng loại 2, - Đặt thừa số chung ( số ý kĩ thuật nhân với lượng liên hiệp sau đặt thừa số chung) - Chú ý dựa vào điều kiện để nhân chia, xét trường hợp cho Đối với bất phương trình nhân chia phải đặc biệt ý đến dấu: Nhân chia với biểu thức dương bất phương trình không đổi chiều, âm đổi chiều - Đoán nghiệm, dùng tính đơn điệu để chứng minh: y’ vô nghiệm pt y = có nhiều nghiệm, y’ có nghiệm pt y = có nhiều nghiệm, dùng tính đồng biến, nghịch biến, 2) Hệ phương trình: Hãy dựa vào đặc điểm đề xem thử sử dụng phương pháp hợp lý, thông thường có dạng sau: + Đối xứng loại 1: Đặt tổng, tích + Đối xứng loại 2: Trừ theo vế, xuất nhân tử chung (x-y) dùng phương pháp hàm số + Biến đổi để hệ có phương trình đẳng cấp ( đồng bậc) bậc 2,3, + Đặt ẩn phụ: Đây dạng thường gặp nhất, phải biến đổi tìm mối liên hệ nhóm đặt được, đặt điều kiện cho ẩn phụ tính nhóm lại theo ẩn phụ, chẳng hạn: đặt u = A + 1 ( A ≠ 0) điều kiện u u ≥ , A2 + = u − 2; A3 + = u −3u , Lưu ý A A A phải biến đổi phù hợp đặt ẩn phụ, kĩ thuật hay dùng thêm, bớt, cộng, trừ, nhân, chia( hay gặp) , dùng đẳng thức, + Phương pháp hàm số: Thường gặp hệ có phương trình phức tạp hướng biến đổi, ta cố gắng biến đổi phương trình lại; có nên đặt u = để dễ phát vế có hình thức giống nhau, từ suy hàm đặc trưng f (t ) → f (u ) = f (v ) Khi xét hàm đặc trung f (t ) , f (t ) đơn điệu R tốt, không xét điều kiện t giao điều kiện u v tập f (t ) đơn điệu ⇒ u = v Có u = v tìm mối liên hệ x,y thay vào phương trình lại có phương trình ẩn x ( y); thường gặp đoán nghiệm chứng minh nghiệm + Phương pháp sống chung với lũ: Có phương trình bậc ẩn x, coi y tham số, lập ∆ theo y dạng “ kì diệu” giải tìm x theo y Lưu ý coi x ẩn mà ∆ không “ kì diệu” thì tìm cách khác, ví dụ cộng, trừ pt, xem y ẩn, Đôi ∆ không “ kì diệu”, để hệ có nghiệm ∆ ≥ , từ tìm điều kiện x y, có dựa vào điều kiện để lý luận tìm nghiệm +Phương pháp thế: Chú ý đơn cụm +Phương pháp biến đổi đưa dạng tích: +Sử dụng số phức: ( Ít gặp) +Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá: ( Thay bất đẳng thức nên thường khó) * Lưu ý tìm tham số m, đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện “ chặt ” cho ẩn phụ Nếu không phần giải không chấm Thế điều kiện “ chặt ” ? Câu IV: TÍCH PHÂN + Chú ý dạng đổi biến số tích phân phần bản, đọc kỹ đề để chọn phương pháp đổi biến hay tích phân phần cho phù hợp, phải thêm, bớt nhân, chia thấy cách đặt Nếu tử có dạng tổng hiệu thường tách thành tích phân + Chú ý đến cận để đổi biến số cho phù hợp + Một số sau tách I = I1+I2, ta tính trực tiếp tích phân không dùng phần tính I thấy xuất I2 tính I2 thấy xuất I1; từ suy tổng I1+I2 tức tính I + Một số phương hướng, thử đặt t = a + b – x ( a, b cận) + Chú ý công thức lượng giác: cosx ± sinx = 2cos( + cos2x = 2cos x ; − cos2x = 2sin x ; + Nhắc lại: π π mx) = sin( ± x) ; ± sin x = (cosx ± sinx) ; 4 β b - a −x Gặp có chứa đặt x = a sint; dx ∫a a + x đặt x = a tant.; ∫a α dx + (mx + n) đặt mx + n = a tant s in(ax+b)dx  ∫a P( x) cos(ax+b)dx bắt buộc phải tích phân phần, đặt u = P(x); dv = biểu thức lại eax+b dx b - Gặp - Gặp b b a a ln x ∫ P( x).ln x.dx bắt buộc phải tích phân phần, đặt u = lnx, dv = P(x).dx, mở rộng ∫ P( x) dx Cái mấu chốt TPTP đặt dv = ?.dx để tính v tích phân trung gian tính được, thông thường tính v ngay, phải biến đổi tí tính v log a u ( x) đổi qua số e để tính toán khỏi nhầm, công thức đổi: log a b = ln b ln a - Tích phân có chứa - Cần ý đến số tích phân tổng quát có liên quan đến cận tích phân cách chứng minh, để gặp dạng chứng minh áp dụng, ví dụ: Bài 1: π ∫ π π f (cosx;sinx)dx = ∫ f (s inx;cosx)dx CM: Đặt x = − t , thay vào thấy VT = VP π Bài 2: ∫ xf (sinx)dx = ππ f (s inx)dx TP VP không dính chữ x CM: Đặt x = π − t , ∫0 0 f le  I = ∫ f ( x )dx =  a CM: Đặt x = −t −a 2 ∫ f(x)dx f chan  m m m f ( x) dx = f(x)dx = ∫ 1+ ax ∫0 f ( x)dx f hàm lẻ CM: Đặt x = −t , nói chung liên quan chẵn lẻ, đặt x = -t −∫m −m a Bài 3: Bài 4: b Chú ý: Gặp tích phân I = ∫ f ( x)dx mà không tìm hướng giải thử đặt x = a + b − t , đặt xuất tích phân có a cận a, b Nếu tích phân mà tách tích phân có tích phân liên quan tới I, tính I Ví dụ: a) π π π ln π ln I = ∫ ln(1 + t anx)dx , đặt x = a + b − t = − t , suy I = − I ⇒ I = − I ⇒ I = b) 1− 2x I = ∫ ln( )dx , đặt x = a + b − t = −t + x −1 , suy I = −I ⇒ I = ln e - Nhớ cách giải số tích phân khó thấy cách đặt dạng: C= ∫ u = tử, dv = 1/mẫu.dx; dạng = 0; dạng phải đặt vào tính tiếp Dạng dx −1 + x + + x2 E=∫ x 2e x ( x + 1)e x dx D = ; ∫0 ( x + 1)3 dx ( x + 2) ta dùng tích phân phần, đặt không nhân với LLH lúc mẫu thành 2x, biểu thức lấy tích phân không xác định x t = x + x + ⇒ t − x = x + , bình phương vế, rút gọn xong tính x theo t, suy dx theo dt, đổi cận sin x + 8cos x dx ?, F=∫ dx ?, G = ∫ 2sin x + cos x a sin x + b sin x cos x + c cos x - Nhớ công thức tính diện tích, thể tích cho xác để chuyển toán tích phân, cụ thể +  y = f ( x) b  ( H ) :  y = g ( x) ⇒ S = ∫ f ( x) − g ( x) dx Như cần biết nhớ cách tính tích phân có chứa dấu a  x = a; x = b  Chưa có đủ cận tìm cận, chưa có đủ hàm số tìm hàm số; loại tới ba hàm số có hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối vẽ đồ thị đường lên hệ trục để xác định phần diện tích cần tính, sau tính diện tích phần cộng lại; Chú ý có đồ thị “ lấy phương trình đường trừ phương trình đường dưới”, không cần dấu +  y = f ( x)  (H ) :  y = quay vòng quanh O  x = a; x = b  b x ⇒ V = π ∫ f ( x )dx a Câu V: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN: + Cần thuộc lòng công thức tính diện tích, thể tích khối chóp, lăng trụ, khối trụ, khối nón, khối cầu + Chú ý vẽ hình xác, vẽ hình sai không chấm phần liên quan + Cần nắm vững cách xác định góc, khoảng cách thành thạo thực hành tính góc, khoảng cách, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng chéo cách tính trực tiếp tính gián tiếp + Đặc biệt phải nắm vững thành thạo việc xác định chân đường cao khối chóp, lăng trụ + Cần ôn tập kĩ cách xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo + Câu HHKG thông thường có yêu cầu: Tính thể tích tính khoảng cách (góc), tính thể tích dễ hơn, khó khăn chỗ xác định chân đường cao, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính trực tiếp tính gián tiếp h= 3V S ; tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thường tìm (hoặc dựng) mặt phẳng chứa đường song song với đường kia, sau tính khoảng cách từ điểm đặc biệt đường thẳng đến mặt phẳng + Cần ý cách xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Nếu dùng phương pháp thường thấy khó khăn mà sử dụng phương pháp toạ độ dễ sử dụng phương pháp toạ độ ( tính toán dễ sai) Câu VI: BẤT ĐẲNG THỨC, + Đây câu khó đề thi để khống chế điểm 10, dành cho học sinh xuất sắc Do vậy, em có đầu tư gặp dạng quen thuộc, biết cách giải giải; em học sinh không rành dạng toán gặp không thầy hướng giải đừng làm thời gian, dành thời gian làm dễ, dò lại làm B) PHẦN TỰ CHỌN: * Phần điểm: gồm câu mpOxy, câu không gian Oxyz, câu số phức câu giải tích tổ hợp, xác suất( chương trình nâng cao giả hệ mũ, loga hay hàm số bậc 2/ bậc 1) Thông thường phần có câu khó ( thường rơi vào câu mpOxy) Do em cần xem xét, so đo cân nhắc thật kỹ trước định chọn làm phần chuẩn hay phần nâng cao CâuVIIa;b: MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ OXY - Cần thuộc lòng cách viết phương trình đường thẳng dạng tham số, dạng tổng quát, dạng theo hệ số góc k ( đường thẳng cần tìm không vuông góc với Ox), thuộc công tính tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng dấu d (M ; ∆) = Ax + By0 + C A2 + B , nhớ không quên - Biết cách lập phương trình đường thẳng qua điểm A cho trước cách điểm B cho trước khoảng cách không đổi; qua điểm A cho trước tạo với đương thẳng d cho trước góc không đổi - Thành thạo việc tìm hình chiếu vuông góc điểm lên đường thẳng, tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng - Cần nắm cách giải toán: Cho tam giác ABC, biết toạ độ đỉnh A hai đường đặc biệt qua hai đỉnh lại, hảy tìm đỉnh lại ( viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác); dạng tương tự Nhớ: Đường cao: dùng vuông góc; trung tuyến: Công thức trung điểm; phân giác: Tìm điểm đối xứng, - Cần nắm vững tính chất hình vuông, chữ nhật, thoi, thang, bình hành, - Cần nắm vững công thức tính diện tích tam giác, công thức liên quan yếu tố tam giác với đường tròn ngoại tiếp để sử dụng cần thiết - Cần nắm toán liên quan đến hai tiếp tuyến kẻ từ điểm đường tròn đến đường tròn, toán mà người ta thường hay khai thác để đề thi - Thuộc công thức elip: đỉnh, tiêu điểm, tâm sai, hcn sở, công thức tính bán kính qua tiêu điểm, biết cách lập phương trình tắc elip toán liên quan đến elip * Trong phần cao gặp toán parabol, hyperbol CâuVIIIa;b: KHÔNG GIAN OXYZ - Loại thường không khó, cần nắm vững cách lập phương trình mp, đường thẳng, mặt cầu mối quan hệ chúng Chú ý loại phương trình mp theo đoạn chắn - Biết cách tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng, lên đương thẳng điểm đối xứng qua mặt phẳng hay đường thẳng - Thuộc công thức khoảng cách: từ điểm đến mp, điểm đến đường thẳng, khoảng cách đường thẳng chéo - Thuộc công thức tính diện tích tam giác, hbh, thể tích hình tứ diện, hình hộp - Chú ý toán liên quan đến mặt phẳng mặt cầu cắt theo giao tuyến đường tròn CâuIXa;b: SỐ PHỨC, GIẢI TÍCH TỔ HỢP, XÁC SUẤT + Toán số phức chương trình dễ, xoay quanh dạng: Dạng 1: Tính toán với số phức, tìm số phức thoả điều kiện đó, tìm modun, phần thực, phần ảo, Dạng 2: Tìm quỹ tích phức Dạng 3: Các toán liên quan đến phương trình phức • Ở chương trình nâng cao số phức thường liên quan đến dạng lượng giác, công thức Moa-vơ - rơ Vậy em cần nắm lý thuyết cách giải dạng toán câu số phức giải đuqược n + Toán nhị thức Niu Tơn thường gặp liên quan đến công thức khai triển , với n cho trước phải giải phương trình có ( a + b) n chứa ký hiệu tổ hợp để tìm n, hay sử dụng số hạng tổng quát để giải Chú ý khai triển thường dùng (1 + x) n = ∑ x k k =1 + Toán liên quan đến hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp thường toán tìm số cách chọn, thường gặp toàn số + Toán xác suất thường dùng công thức tính xác suất p ( A) = n( A) , xác suất biến cố đối Nên ý đến công thức cộng nhân xác suất n(Ω ) ... - Cần biết nhận dạng phương trình đẳng cấp bậc 2, 3,4, theo sin cos: đẳng cấp bậc hai có bậc hai bậc không (hằng số ≠ ), đẳng cấp bậc có bậc bậc 1, đẳng cấp bậc có bậc 4, bậc 2, bậc không (hằng... độ ( tính toán dễ sai) Câu VI: BẤT ĐẲNG THỨC, + Đây câu khó đề thi để khống chế điểm 10, dành cho học sinh xuất sắc Do vậy, em có đầu tư gặp dạng quen thuộc, biết cách giải giải; em học sinh... tròn ngoại tiếp để sử dụng cần thi t - Cần nắm toán liên quan đến hai tiếp tuyến kẻ từ điểm đường tròn đến đường tròn, toán mà người ta thường hay khai thác để đề thi - Thuộc công thức elip: đỉnh,