TS247 DT de thi chinh thuc vao 10 mon toan thpt chuyen quang nam nam 2015 2016 co loi giai chi tiet 7013 1464318930

ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUẢNG NAM NĂM HỌC: 2015 – 2016 Thời gian: 150 phút Ngày thi: 4/6/2015 Câu (2 điểm) x x  x 1 (với x ≠ 1; x ≥ 0) Rút gọn A, sau tính giá trị A –  x 1 x 1 x  2016  2015 b) Cho A  12015  22015   n2015  với n số nguyên dương Chứng minh A chia hết a) Cho biểu thức A  cho n(n + 1) Câu (2 điểm)    0 x  x  11 x  x  12  x  x   x  y    b) Giải hệ phương trình:    x  x  y  5 a) Giải phương trình sau: Câu (1 điểm) Cho parabol (P): y = ax2 đường thẳng (d): y = bx + c với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác vuông a độ dài cạnh huyền Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1 x2 thỏa mãn x12  x22  Câu (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE cắt H Các tia phân giác góc EHB, DHC cắt AB, AC I K Qua I K vẽ đường vuông góc với AB, AC chúng cắt M a) Chứng minh AI = AK b) Giả sử tam giác nhọn ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A di động Chứng minh đường thẳng HM qua điểm cố định Câu (2 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB Qua A B vẽ tiếp tuyến d1 d2 với (O) Từ điểm M (O) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt d1 C cắt d2 D Đường tròn đường kính CD cắt đường tròn (O) E F (E thuộc cung AM), gọi I giao điểm AD BC a) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD b) Chứng minh MI vuông góc với AB ba điểm E, I, F thẳng hàng Câu (1 điểm) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + y + z – (xy + yz + zx) HẾT >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu a) Với x ≥ 0, x ≠ ta có  x     x  1 x  1  x  x   A  x 1 x 1  x  1 x  1 x  x    x  1 x    x 1 x 1 A 1  x  x 1  x 1 x 1 x 1 Ta có x  2016  2015 thỏa mãn điều kiện x ≥ x ≠ Có x  2015  2015   A 1    2015   x  2015  Thay vào biểu thức A – ta được: 2015 b) Với số nguyên dương a, b ta có: a 2015  b2015   a  b   a 2014  a 2013b   ab2013  b2014   a 2015  b2015  a  b  + Xét trường hợp n số lẻ Áp dụng khẳng định ta có: 2015 12015   n  1  n   2015  22015   n    n    n  2015  n  2015       n      Suy A  n 2015  n  2015  n  2015  2015 2015 2015 2015        n  1  2   n  2        n          Tương tự >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2015 2015 2015 2015         n     n      n     n     n  1            Mặt khác n n + nguyên tố nên A ⋮ n(n + 1) A  12015  n 2015    22015   n  1  2015 Tương tự với trường hợp n chẵn ta có A ⋮ n(n + 1) Câu a) Điều kiện: x2  8; x2  9; x2  11; x2  12 Phương trình cho tương đương với         0  x  x    x  11 x  12    x  8   x   x   x     x  12    x  11 x  11 x  12  0  x  15 x  15   0  x   x  8  x2  11 x  12   x  15      1     3   x   x    x  11 x  12   Phương trình    x   15 (thỏa mãn) Phương trình  3   x   x  8   x  11 x  12   x2  60   x2  10  x   10 (thỏa mãn)  Vậy tập nghiệm phương trình cho  15;  10  b) Hệ cho tương đương với  x  x   x  y       x  x    x  y   5 Suy x2 + 4x 4x + y nghiệm phương trình t  2 t  x     t   t  3    t  3  x  x  2 Vậy hệ cho tương đương với  (I) 4 x  y  3  x  x  3 (II)  4 x  y  2 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!  x  2   y  3  x   2 Giải (I): x  x  2   x       x  2   y  3  x    x  1  y  2  x  Giải (II): x  x     x  1 x  3    x  3  y  2  x  10    Vậy hệ cho có nghiệm 2  2;5  , 2  2;5  ,  1; 2 ,  3;10 Câu Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): ax2  bx  c  ax2  bx  c  1 Vì a, b, c cạnh tam giác vuông với cạnh huyền a nên a, b, c > 0, a2 = b2 + c2 (d) cắt (P) điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔   b2  4ac  (luôn ∀ a, b, c > 0) Gọi giao điểm có hoành độ x1, x2 , nghiệm (1) Theo Viét ta có: b   x1  x2  a  x x   c  a Xét P  x  x    x1  x2  2 c b2  2ac  2a b  x1 x2        a a2 a 2   Có b2  2ac  2a  b2  2ac  b2  c  a  2ac  c  a    c  a   0, a, c,0  c  a Suy P < ⇒ đpcm Câu >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! a) Vì HI, HK phân giác góc EHB góc DHC nên EHI  1 EHB; DHK  CHK  DHC Mà EHB  DHC (đối đỉnh)  EHI  DHK  CHK (1) 2 Có AIH  90  EHI ; AKH  90  DHK  AIH  AKH (2) Từ (1) suy EHI  EHK  CHK  EHK  180 ⇒ I, H, K thẳng hàng (3) Từ (2) (3) ⇒ ∆ AIK cân A ⇒ AI = AK b) Gọi giao IM BH P, giao KM CH Q, giao HM PQ J, giao HM BC N Ta có: HE EI  HD DK HE EB HEB ∽ HDC  g.g    HD DC HEI ∽ HDK  g.g    EI EB EI DK    DK DC EB DC Vì IP ⊥ AB, HE ⊥ AB ⇒ IP // HE ⇒ Từ (4), (5), (6) ⇒ Suy (4) EI HP DK HQ (5) Tương tự (6)   EB HB DC HC HP HQ ⇒ PQ // BC  HB HC PJ HJ JQ PJ BN     BN HN NC JQ NC Vì HP // MQ, HQ // PM nên HQMP hình bình hành ⇒ J trung điểm PQ ⇒ PJ = JQ ⇒ BN = NC ⇒ N trung điểm BC Vậy HM qua trung điểm BC điểm cố định Câu >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! a) Vì AC ⊥ AB, BD ⊥ AB ⇒ AC // BD ⇒ ACDB hình thang Vì CM, CA tiếp tuyến (O) nên CM = CA Tương tự DM = DB Gọi J trung điểm CD JO đường trung bình hình thang ACDB suy JO // BD OJ  AC  BD CM  MD CD    IC  ID 2 (1) Vì BD ⊥ AB nên JO ⊥ AB O (2) Từ (1) (2) suy AB tiếp tuyến đường tròn (J) đường kính CD b) Vì CA // BD nên theo định lý Talét ta có: CI CA CM ⇒ IM // BD   IB BD MD Mà BD ⊥ AB nên MI ⊥ AB Gọi P, Q giao AD (O), BC (J) Có APB  CQD  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  DPB  BQD  90 Suy BQPD tứ giác nội tiếp  PDB  PQI Vì AC // BD nên PDB  IAC  PQI  IAC  PQI ∽ CAI  g.g   PI QI   IP.IA  IC.IQ CI AI Suy phương tích điểm I đường tròn (O) (J) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Suy I nằm trục đẳng phương EF đường tròn Vậy I, E, F thẳng hàng Câu Ta có:  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx     xy  yz  zx   x  y  z  xy  yz  zx  9   x  y  z  P x yz 2  t2 t  2t  1 Đặt x  y  z  t  P  t       t  1   2 x  y  z  Dấu xảy  , chẳng hạn x = 1, y = 2, z = –2 2 x  y  z  Vậy giá trị lớn P >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!