CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc ĐỀCHÍNHTHỨCĐỀTHI TUYỂN SINH Vào khối trung học phổ thông chuyênnăm2014Mơn thi: TỐN (Dùng cho thí sinh thivàochuyênToánchuyên Tin) Thời gian làm :150 phút -a b c x y z Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z số thực khác thỏa mãn + + = + + = Chứng x y z a b c 2 x y z minh + + = a b c Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất số thực x, y, z thỏa mãn BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI x − y + y − z + z − x3 = Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số nguyên n ≥ số: 2.6.10 (4n − 2) an = + số phương (n + 5)(n + 6) (2n) Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c số thực dương abc=1 Chứng minh 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + Câu (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O Gọi M trung điểm AB điểm N, P thuộc BC, CD cho MN//AP.Chứng minh 1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP góc NOP=450 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC 3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy Câu 6.(1 điểm) Có tập hợp A tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có y2 ∈A phần tử x ∈ A, y ∈ A, x > y , : x− y Ghi : Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh .số báo danh……………… Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Hướng dẫn giảiđềthichuyênToán sư phạm Hà Nội vòng -2014 Ngày thi 6/6/2014 Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z số thực khác thỏa mãn a b c x y z + + = + + = Chứng x y z a b c x2 y z minh + + = a b c Hướng dẫn x y z x2 y2 z x y z xy yz xz + + = ⇔ + + ÷ = ⇔ + + + + + ÷= a b c a b c a b c ab bc ac 2 x y z cxy + ayz + bxz + + + 2 ÷ = 1(*) a b c abc a b c ayz + bxz + cxy = ⇔ ayz + bxz + cxy = thay vào (*) ta có Từ + + = ⇔ x y z xyz x2 y z + + =1 a b2 c Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất số thực x, y, z thỏa mãn x − y + y − z + z − x3 = Hướng dẫn ĐKXĐ : | x |≤ 3;| y |≤ 1;| z |≤ A2 + B ta có với A,B x + − y y + − z z + − x3 x − y2 + y − z + z − x2 ≤ + + =3 2 Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy x = 1− y2 x2 + y = 2 y = − z y + z = ⇔ z = − x2 z + x = 2 2 2 x − y + y − z + z − x = x − y + y − z + z − x = x2 = x = y = ⇔ ⇔ y = z = x − y + y − z + z − x2 = z = Áp dụng Bất đẳng thức AB ≤ Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số nguyên n ≥ số: 2.6.10 (4n − 2) an = + số phương (n + 5)(n + 6) (2n) Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Hướng dẫn 2n.(1.3.5 (2n − 1).(n − 4)! n.( n + 4)! n 1.2.3 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)! an = + 1+ = 1+ (2n)! 2.4.6 2n n.1.2.3.4 n = + (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) an = (n + 5n + 5) Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c số thực dương abc=1 Chứng minh 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + Hướng dẫn x y z Đặt a = , b = ; c = y z x 1 yz zx xy P= + + = + + ab + a + bc + b + ca + c + xy + xz + yz xy + yz + xz xz + yz + xy Thì yz zx xy − P = 1− +1− +1− xy + xz + yz xy + yz + xz xz + yz + xy 1 − P = ( xy + yz + xz ) + + ÷ xy + xz + yz xy + yz + xz xz + yz + xy 1 Áp dụng Bất đẳng thức + + ≥ A B C A+ B +C ( Do ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương: A + B + C ≥ 3 ABC ; 1 1 + + ≥ 33 A B C ABC Nhân theo vế bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 1 ( A + B + C ) + + ÷≥ ⇒ + + ≥ A B C A+ B+C A B C 9 = ⇔ P ≤ 3− = Khi Ta có − P ≥ ( xy + yz + xz ) xy + yz + xz 4 xy + yz + xz = xy + yz + xz = xy + yz + xz ⇔ x = y = z =1 Dấu “=” xảy xyz = Câu (3điểm) Cho hình vng ABCD với tâm O Gọi M trung điểm AB điểm N, P thuộc BC, CD cho MN//AP.Chứng minh Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP góc NOP=450 Đăt AB = a ta có AC = a Chứng minh Tam giác ADP đồng dạng tam giác NBM (g.g) suy BM BN a2 a2 mà OB.OD = = ⇒ BN DP = DP AD 2 tam giác DOP đồng dạng BNO (c.g.c) từ tính ∠NOP = 45o 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC OB ON OD = = Theo a ta có góc PON = góc ODP=450 DP OP DP tam giác DOP đồng dạng ONP (c.g.c) suy góc DOP= góc ONP nên DO tiếp tuyến đường tròn ngoại tiêp tam giác OPN 3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy Đặt giao điểm cua MN BC Qvà AP K áp dung tính chát phân giác cho tam giác MBN; APD QM BM KP DP QM KP QM QN = ; = ⇔ = ⇒ = (1) ta có Giả sử MP cắt AN I K I cắt MN H Áp QN BN KA AD QN KA KP KA HM HN = (2) dụng định lí ta lét PK KA HM QM = Từ (1) (2) Suy Q trùng H, BD, PM, AN đồng quy HN QN Câu 6.(1 điểm) Có tập hợp A tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có y2 ∈A phần tử x ∈ A, y ∈ A, x > y , : x− y Hướng dẫn Với tập A tập S = {1;2;3; ;2014} thỏa mãn đề bài, gọi a b phần tử nhỏ lớn A (a, b ∈ S, a < b) Ta chứng minh b ≤ 2a, thật vậy, giả sử b > 2a a2 a2 a2 Theo giả thiết c = ∈ A Mà b > 2a => b – a > a > => c = < = a , mâu thuẫn với a phần tử nhỏ b−a b−a a A Vậy b ≤ 2a Gọi d phần tử lớn tập B = A\{b} Ta chứng minh b ≥ 2d Thật giả sử b < 2d, theo giả thiết Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt d2 d2 ∈ A, mà b < 2d => < b – d < d => e > =d b−d d d2 Suy e ∈ A e ∉ B ⇒ e = b ⇒ = b => d = b − bd => 5d = 4b − 4bd + d = (2b − d ) b−d (mâu thuẫn VP số phương, VT khơng số phương) Vậy b ≥ 2d ⇒ 2d ≤ b ≤ 2a ⇒ d ≤ a Mà a ≤ d (a d phần tử nhỏ lớn B) nên a = d ⇒ b = 2a Vậy A = {a;2a} Kiểm tra lại ta thấy A thỏa mãn đề Vì a ∈ S 2a ∈ S nên ≤ 2a ≤ 2014 ⇒ ≤ a ≤ 1007 Vậy số tập A thỏa mãn đề 1007 tập d < b => e = Website chuyên cung cấp đềthi file word có lờigiải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... ta thấy A thỏa mãn đề Vì a ∈ S 2a ∈ S nên ≤ 2a ≤ 2014 ⇒ ≤ a ≤ 100 7 Vậy số tập A thỏa mãn đề 100 7 tập d < b => e = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365... Thật giả sử b < 2d, theo giả thi t Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt d2 d2 ∈ A, mà b < 2d =>... Bất đẳng thức AB ≤ Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số nguyên n ≥ số: 2.6 .10 (4n − 2) an = + số phương (n + 5)(n + 6) (2n) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com