10 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chuyên THPT chuyên ĐHSP HN năm 2014 2015 (có lời giải chi tiết)

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2014 Mơn thi: TỐN (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán chuyên Tin) Thời gian làm :150 phút -a b c x y z Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z số thực khác thỏa mãn + + = + + = Chứng x y z a b c 2 x y z minh + + = a b c Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất số thực x, y, z thỏa mãn BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI x − y + y − z + z − x3 = Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số nguyên n ≥ số: 2.6.10 (4n − 2) an = + số phương (n + 5)(n + 6) (2n) Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c số thực dương abc=1 Chứng minh 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + Câu (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O Gọi M trung điểm AB điểm N, P thuộc BC, CD cho MN//AP.Chứng minh 1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP góc NOP=450 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC 3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy Câu 6.(1 điểm) Có tập hợp A tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có y2 ∈A phần tử x ∈ A, y ∈ A, x > y , : x− y Ghi : Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh .số báo danh……………… Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Hướng dẫn giải đề thi chuyên Toán sư phạm Hà Nội vòng -2014 Ngày thi 6/6/2014 Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z số thực khác thỏa mãn a b c x y z + + = + + = Chứng x y z a b c x2 y z minh + + = a b c Hướng dẫn x y z x2 y2 z x y z  xy yz xz  + + = ⇔  + + ÷ = ⇔ + + +  + + ÷= a b c a b c a b c  ab bc ac  2 x y z  cxy + ayz + bxz  + + + 2 ÷ = 1(*) a b c abc   a b c ayz + bxz + cxy = ⇔ ayz + bxz + cxy = thay vào (*) ta có Từ + + = ⇔ x y z xyz x2 y z + + =1 a b2 c Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất số thực x, y, z thỏa mãn x − y + y − z + z − x3 = Hướng dẫn ĐKXĐ : | x |≤ 3;| y |≤ 1;| z |≤ A2 + B ta có với A,B x + − y y + − z z + − x3 x − y2 + y − z + z − x2 ≤ + + =3 2 Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy x = 1− y2  x2 + y =   2  y = − z y + z = ⇔   z = − x2 z + x =   2 2 2  x − y + y − z + z − x =  x − y + y − z + z − x =  x2 = x =   y = ⇔ ⇔ y = z =   x − y + y − z + z − x2 =  z =  Áp dụng Bất đẳng thức AB ≤ Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số nguyên n ≥ số: 2.6.10 (4n − 2) an = + số phương (n + 5)(n + 6) (2n) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Hướng dẫn 2n.(1.3.5 (2n − 1).(n − 4)! n.( n + 4)! n 1.2.3 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)! an = + 1+ = 1+ (2n)! 2.4.6 2n n.1.2.3.4 n = + (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) an = (n + 5n + 5) Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c số thực dương abc=1 Chứng minh 1 + + ≤ ab + a + bc + b + ca + c + Hướng dẫn x y z Đặt a = , b = ; c = y z x 1 yz zx xy P= + + = + + ab + a + bc + b + ca + c + xy + xz + yz xy + yz + xz xz + yz + xy Thì yz zx xy − P = 1− +1− +1− xy + xz + yz xy + yz + xz xz + yz + xy   1 − P = ( xy + yz + xz )  + + ÷  xy + xz + yz xy + yz + xz xz + yz + xy  1 Áp dụng Bất đẳng thức + + ≥ A B C A+ B +C ( Do ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương: A + B + C ≥ 3 ABC ; 1 1 + + ≥ 33 A B C ABC Nhân theo vế bất đẳng thức trên, ta được: 1 1 1 ( A + B + C )  + + ÷≥ ⇒ + + ≥ A B C A+ B+C A B C 9 = ⇔ P ≤ 3− = Khi Ta có − P ≥ ( xy + yz + xz ) xy + yz + xz 4  xy + yz + xz = xy + yz + xz = xy + yz + xz ⇔ x = y = z =1 Dấu “=” xảy   xyz = Câu (3điểm) Cho hình vng ABCD với tâm O Gọi M trung điểm AB điểm N, P thuộc BC, CD cho MN//AP.Chứng minh Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt 1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP góc NOP=450 Đăt AB = a ta có AC = a Chứng minh Tam giác ADP đồng dạng tam giác NBM (g.g) suy BM BN a2 a2 mà OB.OD = = ⇒ BN DP = DP AD 2 tam giác DOP đồng dạng BNO (c.g.c) từ tính ∠NOP = 45o 2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC OB ON OD = = Theo a ta có góc PON = góc ODP=450 DP OP DP tam giác DOP đồng dạng ONP (c.g.c) suy góc DOP= góc ONP nên DO tiếp tuyến đường tròn ngoại tiêp tam giác OPN 3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy Đặt giao điểm cua MN BC Qvà AP K áp dung tính chát phân giác cho tam giác MBN; APD QM BM KP DP QM KP QM QN = ; = ⇔ = ⇒ = (1) ta có Giả sử MP cắt AN I K I cắt MN H Áp QN BN KA AD QN KA KP KA HM HN = (2) dụng định lí ta lét PK KA HM QM = Từ (1) (2) Suy Q trùng H, BD, PM, AN đồng quy HN QN Câu 6.(1 điểm) Có tập hợp A tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có y2 ∈A phần tử x ∈ A, y ∈ A, x > y , : x− y Hướng dẫn Với tập A tập S = {1;2;3; ;2014} thỏa mãn đề bài, gọi a b phần tử nhỏ lớn A (a, b ∈ S, a < b) Ta chứng minh b ≤ 2a, thật vậy, giả sử b > 2a a2 a2 a2 Theo giả thiết c = ∈ A Mà b > 2a => b – a > a > => c = < = a , mâu thuẫn với a phần tử nhỏ b−a b−a a A Vậy b ≤ 2a Gọi d phần tử lớn tập B = A\{b} Ta chứng minh b ≥ 2d Thật giả sử b < 2d, theo giả thiết Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt d2 d2 ∈ A, mà b < 2d => < b – d < d => e > =d b−d d d2 Suy e ∈ A e ∉ B ⇒ e = b ⇒ = b => d = b − bd => 5d = 4b − 4bd + d = (2b − d ) b−d (mâu thuẫn VP số phương, VT khơng số phương) Vậy b ≥ 2d ⇒ 2d ≤ b ≤ 2a ⇒ d ≤ a Mà a ≤ d (a d phần tử nhỏ lớn B) nên a = d ⇒ b = 2a Vậy A = {a;2a} Kiểm tra lại ta thấy A thỏa mãn đề Vì a ∈ S 2a ∈ S nên ≤ 2a ≤ 2014 ⇒ ≤ a ≤ 1007 Vậy số tập A thỏa mãn đề 1007 tập d < b => e = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... ta thấy A thỏa mãn đề Vì a ∈ S 2a ∈ S nên ≤ 2a ≤ 2014 ⇒ ≤ a ≤ 100 7 Vậy số tập A thỏa mãn đề 100 7 tập d < b => e = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365... Thật giả sử b < 2d, theo giả thi t Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt d2 d2 ∈ A, mà b < 2d =>... Bất đẳng thức AB ≤ Câu (1,5 điểm) Chứng minh với số nguyên n ≥ số: 2.6 .10 (4n − 2) an = + số phương (n + 5)(n + 6) (2n) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com