Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt b.. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được1 4 công việc.. Hỏi mỗi người làm cô
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC: 2015 – 2016 Môn thi: TOÁN
Thời gian thi: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Dành cho tất cả các thí sinh thi vào THPT Chuyên)
Câu 1 (2,0 điểm)
P
a Rút gọn biểu thức P
b Tìm a để 1
6
P
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình: x2– 2(m – 1)x + m + 1 = 0
a Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 = 3x2
Câu 3 (1,5 điểm)
Hai người thợ làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được1
4 công việc Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình trong mấy giờ thì xong
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn (O;R), đường kính AB, C là điểm chính giữa cung AB Điểm M thuộc cung AC (M
≠ A, M ≠ C) Qua M kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn, gọi H là giao điểm của BM với OC Từ H kẻ một đường thẳng song song với AB, đường thẳng đó cắt tiếp tuyến d ở E
a Chứng minh OHME là tứ giác nội tiếp
b Chứng minh EH = R
c Kẻ MK vuông góc với OC tại K Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆ OBC đi qua tâm đường tròn nội tiếp ∆ OMK
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất của A x1 y 2 , biết x + y = 4
Trang 2ĐÁP ÁN – LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
a Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
:
3
2
3
P
a
a
b Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
Vậy a > 16 là điều kiện cần tìm
Câu 2
a Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ = (m – 1)2 – (m + 1) > 0
⇔ m2 – 3m > 0 ⇔ m(m – 3) > 0 ⇔ m > 3 hoặc m < 0
b Với m > 3 hoặc m < 0, phương trình có 2 nghiệm x1, x2 Theo Viét ta có
x1 + x2 = 2m – 2; x1x2 = m + 1 ⇒ x1 = 2m – 2 – x2
Ta có x1 = 3x2 ⇔ 2m – 2 – x2 = 3x2 ⇔ 4x2 = 2m – 2 2 1
2
1 2
1 3( 1)
3
3
m (thỏa mãn)
3
m là giá trị cần tìm
Câu 3
Gọi số giờ để mỗi người làm một mình hết công việc đó lần lượt là x và y (h) (x,y > 0)
Mỗi giờ, người thứ nhất và người thứ hai làm được1
x và
1
y (công việc)
Hai người làm hết công việc đó trong 16h nên16 1 1 1 1 1 1
16
Người thứ nhất làm trong 3h và người thứ 2 làm trong 6h thì được1
4 công việc nên
3 6
4
x y (2)
Từ (1) và (2) có hệ:
24
3 6
48 4
x
y y
(thỏa mãn) Vậy thời gian để mỗi người làm một mình xong công việc là 24h và 48h
Trang 3Câu 4
a Vì C là điểm chính giữa cung AB nên OC ⊥ AB ME là tiếp tuyến của (O) ⇒ ME ⊥ MO
=> OHE = OME = 90o => OHME là tứ giác nội tiếp (1)
b Có góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AMB = 90o => AMH + AOH = 180o
Từ (1) và (2) ⇒ 5 điểm O, H, M, E, A cùng thuộc 1 đường tròn ⇒ OMEA là tứ giác nội tiếp
=> EAO = 180o – EMO = 90o
Tứ giác OHEA có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ⇒ EH = OA = R
c Gọi I là trung điểm BC ⇒ đường tròn (I), đường kính BC là đường tròn ngoại tiếp ∆ OBC Gọi J là giao của (I) và BH
Vì OM = OB nên ∆ OMB cân tại O => OMB = OBM
Vì MK ⊥ OC ⇒ MK // AB ⇒ OBM = KMB
Suy ra OMB = KMB ⇒ MJ là phân giác của góc OMK (3)
Vì OJCB là tứ giác nội tiếp nên JOC = JBC (4)
Có MOC = 2.MBC (góc ở tâm và góc nội tiếp) (5)
Từ (4) và (5) ⇒ MOC = 2.JOC => MOJ = JOC => OJ là phân giác góc MOC (6)
Từ (3) và (6) ⇒ J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MKO
Vậy đường tròn (I) đi qua tâm đường tròn nội tiếp ∆ MKO
Câu 5
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1;1) và x1; y 2 ta có
A x y x y x y A
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
y
x y
y
x y
Vậy GTLN của A là 2