14 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chuyên THPT chuyên quảng bình năm 2015 2016 (có lời giải chi tiết)

SỞ GD & ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016 Mơn : Tốn (CHUN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức  x 8x   x −  P =  − :  + ÷ ÷ với x > 0, x ≠ 1, x ≠ ÷ x÷  2− x 4− x  x+2 x  a) Rút gọn P b) Tìm x để P = –1 Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình x + x − x + + = b) Trong hệ tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2mx + (m tham số) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt A B cho SOAB = Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 11 Tìm GTNN 5a + 5b + 2c P= 12(a + 11) + 12(b + 11) + c + 11 Câu (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2015, với S(n) tổng chữ số n Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), ba đường cao AD, BE, CF cắt H cắt (O) M,N, P a) Chứng minh M đối xứng H qua BC b) Chứng minh (AHB) = (BHC) = (CHA) ((AHB) đường tròn qua ba điểm A,H,B) AM BN CP + + c) Tính T = AD BE CF Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHUYÊN QUẢNG BÌNH NĂM 2015 – 2016 Câu a) Ta có:  x 8x   x −  P =  − :  + ÷ ÷ ÷ x÷  2− x 4− x  x+2 x  = x (2 + x ) − x x − + ( x + 2) : (2 − x )(2 + x ) x ( x + 2) = −4 x + x x −2 : (2 − x )(2 + x ) x ( x + 2) x x ( x + 2) 2+ x x −2 2x = x −1 2x Vậy P = x −1 b) ĐKXĐ P x > 0, x ≠ 1, x ≠ 2x P = −1 ⇔ = −1 ⇔ x = − x ⇔ x + x − = x −1 1 ⇔ ( x + 1)(2 x − 1) = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy P = –1 ⇔ x = Câu a) x + x − x + + = (1) ĐK: x + ≥ ⇔ x ≥ − (1) ⇔ ( x − x + 1) + x + − 3x + + = = ( ⇔ ( x − 1) + ( 3x + − ) ) =0  x − = ⇔ ⇔ x =1  x + − = (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình {1} b) Phương trình hoành độ giao điểm (P) d: x2 – 2mx – = (1) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Có ∆’ = m2 + > ∀ m nên (1) ln có hai nghiệm phân biệt ⇒ (P) cắt d hai điểm phân biệt A(x1; y1) B(x2;y2) với x1, x2 nghiệm (1) Theo định lí Vi–ét: x1 + x2 = 2m; x1x2 = –2 Do A, B ∈ d nên y1 = 2mx1 + 2; y2 = 2mx2 + Tính SOAB: Ta có AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )2 = ( x1 − x2 )2 + (2mx1 − 2mx2 ) = (1 + 4m )( x1 − x2 ) = (1 + 4m ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = (1 + 4m )(4m + 8) ⇒ AB = (4m + 1)(m + 2) d (O; AB ) = d (O; d ) = |0−0+2| (2m) + 12 = 4m + ⇒ S ABO = ⇔ m + = ⇔ m = ⇔ m = ±2 Vậy m = ±2 giá trị cần tìm Câu Thay 11 = ab + bc + ca vào P, ta có: 5a + 5b + 2c P= 12(a + 11) + 12(b + 11) + c + 11 = 5a + 5b + 5c 12( a + ab + bc + ca ) + 12(b + ab + bc + ca ) + c + ab + bc + ca 5a + 5b + 5c (*) 3(a + b)(a + c) + 3(b + a)(b + c) + (c + a )(c + b) Áp dụng BĐT Cơ–si cho hai số khơng âm, ta có: 3(a + b)(a + c) ≤ 3( a + b) + (a + c ) = 4a + 3b + c (1) Tương tự: 3(b + a )(b + c ) ≤ 4b + 3a + c (2) (c + a )(c + b) ≤ (a + b + 2c) (3) Cộng vế (1), (2) (3) ta có 15 15 3(a + b)(a + c) + 3(b + a )(b + c) + (c + a )(c + b) ≤ a + b + 3c (**) 2 Từ (*) (**) ta có 5a + 5b + 2c P≥ = 15 15 a + b + 3c 2 3(a + b) = a + c c  3(b + a ) = b + c a = b =  a = b = ⇔ ⇔ Dấu xảy ⇔  c + a = c + b ab + bc + ca = 11 c =  ab + bc + ca = 11 Vậy GTNN P ,đạt a = b = 1, c = Câu = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Vì n + S(n) = 2015 nên n ≤ 2015 ⇒ n có nhiều chữ số ⇒ S(n) ≤ + + + = 36 ⇒ n = 2015 – S(n) ≥ 2015 – 36 = 1979 Xét TH: • TH1: 1979 ≤ n ≤ 1999 Đặt n = 19ab (0 ≤ a,b ≤ 9) n + S(n) = 2015 ⇔ 19ab + + + a + b = 2015 ⇔ 11a + 2b = 105 ⇔ 11a = 105 – 2b Ta có 105 – 2b lẻ 105 – 2b ≥ 105 – 2.9 = 87 ⇒ a lẻ 11a ≥ 87 ⇒ a = ⇒ b = ⇒ n = 1993 • TH2: 2001 ≤ n ≤ 2015 Đặt n = 20cd (0 ≤ c,d ≤ 9) n + S(n) = 2015 ⇔ 20cd + + + c + d = 2015 ⇔ 11c + 2d = 13 Vì 11c ≤ 13 11c = 13 – 2d lẻ nên c = ⇒ d = ⇒ n = 2011 Vậy tất giá trị n cần tìm n = 1993 n = 2011 Câu a) Vì tam giác BEC ADC vuông nên HBD = DAC (cùng phụ với góc C) (1) Vì ABMC tứ giác nội tiếp nên DAC = MBD (hai góc nội tiếp chắn cung MC) (2) Từ (1) (2) suy HBD = MBD Suy BD phân giác góc HBM Tam giác HBM có BD vừa đường cao vừa phân giác, nên tam giác cân B ⇒ D trung điểm HM Mà HM ⊥ BC nên M đối xứng với H qua BC b) Vì M đối xứng với H qua BC nên HB = MB; HC = MC ⇒ ∆ HBC = ∆ MBC ⇒ (HBC) = (MBC) = (O) Tương tự ta có: (HAB) = (HAC) = (O) Vậy (AHB) = (BHC) = (CHA) = (O) c) Ta có: Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt AM AD + DM DM HD = = 1+ = 1+ AD AD AD AD Mặt khác: S HBC BC.HD HD = = S ABC BC AD AD S AM = + HBC Suy (3) AD S ABC Tương tự ta có: S BN = + HAC (4) BE S ABC CP S = + HAB (5) CF S ABC Cộng vế (3), (4) (5) ta có S + S HCA + S HAB S AM BN CP T= + + = + HBC = + ABC = AD BE CF S ABC S ABC Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ... 1, c = Câu = Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Vì n + S(n) = 2015 nên n ≤ 2015 ⇒ n có nhiều chữ... điểm (P) d: x2 – 2mx – = (1) Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Có ∆’ = m2 + > ∀ m nên (1) ln có... (BHC) = (CHA) = (O) c) Ta có: Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt AM AD + DM DM HD = = 1+ = 1+ AD