D07 bài toán liên quan giữa đường thẳng mặt phẳng mặt cầu muc do 4

Gọi phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là Khi đó ta có hệ điều kiện sau:.. Điểm luôn thuộc mặt cầu có phương trìnhA. Điểm luôn thuộc mặt cầu có phươ

Câu 48 [2H3-3.7-4] (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Trong không gian ,

bán kính bằng ; và là hai mặt cầu có tâm lần lượt là , và bán kính bằng Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu , ,

Lời giải Chọn B.

Gọi phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là

Khi đó ta có hệ điều kiện sau:

Khi đó ta có:

Với thì ta có

Do đó có 3 mặt phẳng thỏa bài toán

Với thì ta có

Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán

Vậy có mặt phẳng thỏa mãn bài toán

Câu 47 [2H3-3.7-4] (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Trong không gian , cho mặt cầu

và đường thẳng Hai mặt phẳng , chứa và tiếp xúc với tại và Tìm tọa độ trung điểm của

Lời giải Chọn A

có tâm mặt cầu , bán kính Gọi Ta có nên là hình chiếu vuông góc của trên Ta có

Câu 44 [2H3-3.7-4] (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Trong không gian với hệ

tọa độ cho mặt phẳng Trong lấy điểm và xác định điểm thuộc đường thẳng sao cho Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Điểm luôn thuộc mặt cầu có phương trình

B Điểm luôn thuộc mặt cầu có phương trình

C Điểm luôn thuộc mặt phẳng có phương trình

D Điểm luôn thuộc mặt phẳng có phương trình

Lời giải Chọn B

Câu 50 [2H3-3.7-4] (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 – 2018)Trong không

thẳng Gọi là hai điểm tùy ý thuộc , và thuộc đường thẳng Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

Lời giải Chọn B

Mặt cầu có tâm , bán kính

Mặt cầu có tâm , bán kính

Đường thẳng đi qua điểm và có véc tơ chỉ phương

Gọi là mặt cầu đối xứng của qua ; , lần lượt là điểm đối xứng của và qua Thì là tâm của và

-HẾT -Câu 46: [2H3-3.7-4] (Sở GD & ĐT Cần Thơ - Mã đề 323 - Năm 2017 - 2018) Trong không gian

Gọi là đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng , là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng , là điểm thuộc đường thẳng sao cho diện tích tam giác nhỏ nhất Tọa độ điểm là

A B C D

Hướng dẫn giải Chọn D.

Phương trình đường thẳng là:

Tọa độ điểm ứng với là nghiệm phương trình:

Như vậy

Gọi là hình chiếu của trên thì

Do đó, diện tích tam giác nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài nhỏ nhất

Đường thẳng có véc-tơ chỉ phương

Như vậy, nhỏ nhất là bằng khi và chỉ khi

Câu 38: [2H3-3.7-4] (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐÔNG NAI-LẦN 2-2018) Trong không gian

với hệ toạ độ , gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm , sao cho khoảng cách từ điểm đến đạt giá trị lớn nhất Biết có một véctơ pháp tuyến là , khi đó giá trị của tổng là

Hướng dẫn giải Chọn B.

Do có một véctơ pháp tuyến và qua nên

Với , ta có

Bảng biến thiên

Như vậy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi đạt giá trị lớn nhất

Cách khác: Gọi , lần lượt là hình chiếu của trên và đường thẳng

Dấu bằng xảy ra khi , khi đó , mặt phẳng nhận

làm vectơ pháp tuyến

Câu 27 [2H3-3.7-4] (SỞ GD-ĐT TRÀ VINH-2018) Trong không gian , cho mặt cầu

và đường thẳng Tọa độ điểm trên đường thẳng sao cho từ kẻ được 3 tiếp tuyến , , đến mặt cầu (

với Tổng bằng:

Lời giải Chọn C.

J A

C B M

I

Mặt cầu có tâm và có bán kính

Vì , và là các tiếp tuyến của nên nên là trục của tam giác

giác vuông tại

Gọi là trung điểm ta có là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và

Phương trình tham số của

Câu 48 [2H3-3.7-4] (CÔNG TY GD-TÂN HÔNG PHONG-2018) Trong không gian với hệ tọa độ

cách đều điểm , , , ,

Lời giải Chọn C.

K

I F H

Q

P

E N

M

C

B A

D

Ta có , suy ra là hình bình hành

là hình chóp Có mặt phẳng cách đều điểm , , , , , các mặt phẳng đó đi qua trung điểm các cạnh của hình chóp Đó là các mặt phẳng , , ,

Câu 47: [2H3-3.7-4] (CHUYÊN NGỮ HÀ NỘI -LẦN 1-2018) Trong không gian

, Gọi là điểm thuộc mặt cầu sao cho đạt giá trị lớn nhất Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu tại

Lời giải Chọn D.

Mặt cầu có tâm và bán kính

Gọi là trung điểm của và nằm ngoài mặt cầu

Bởi vậy đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi và lớn nhất.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng với mặt cầu ứng với là nghiệm phương trình:

tiếp diện của mặt cầu tại có phương trình:

Câu 44: [2H3-3.7-4] (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU-2018)Trong không gian với hệ tọa độ , cho

, chứa và tiếp xúc với Gọi và là tiếp điểm Độ dài đoạn thẳng bằng?

Lời giải Chọn B.

Đường thẳng có một VTCP là

Ta có

Câu 8: [2H3-3.7-4] (CHUYÊN THÁI BÌNH-2018) Trong không gian với hệ tọa độ

cắt mặt cầu tại hai điểm sao cho Gọi , là hai điểm lần lượt thuộc mặt phẳng sao cho , cùng song song với Giá trị lớn nhất của biểu thức là

Lời giải Chọn B.

Mặt cầu có tâm và bán kính

Gọi là trung điểm của thì và nên thuộc mặt cầu tâm bán kính

Gọi là trung điểm của thì , nằm trên mặt phẳng

Mặt khác ta có nên cắt mặt cầu và

Gọi là hình chiếu của lên thì Vậy để lớn nhất thì lớn nhất

Câu 45: [2H3-3.7-4] (CHUYÊN KHTN -LẦN 1-2018) Trong không gian với hệ

tọa độ , cho tam giác vuông tại , , đường thẳng có phương trình , đường thẳng nằm trên mặt phẳng Biết là điểm có hoành độ dương, gọi là tọa

độ điểm , giá trị của bằng

Lời giải Chọn B.

Ta có là giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng Tọa độ điểm

Điểm nằm trên đường thẳng nên điểm có tọa độ

Vậy ta có hệ

Câu 47: [2H3-3.7-4] (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ-LẦN 5-2018) Trong không gian , cho mặt cầu

và đường thẳng Hai mặt phẳng , chứa và tiếp xúc với tại và Tìm tọa độ trung điểm của

Hướng dẫn giải Chọn A.

có tâm mặt cầu , bán kính Gọi Ta có nên là hình chiếu vuông góc của trên Ta có

Câu 48 [2H3-3.7-4] (Đề Chính Thức 2018 - Mã 103) Trong không gian , cho mặt cầu có

tâm và đi qua điểm Xét các điểm thuộc sao cho

đôi một vuông góc với nhau Thể tích của khối tứ diện có giá trị lớn nhất bằng

Lời giải

Chọn C.

I N

M

C B

Bán kính mặt cầu là

Do đôi một vuông góc với nhau nên

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có:

Câu 49 [2H3-3.7-4] (Đề Chính Thức 2018 - Mã 104) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

và điểm Xét các điểm M thuộc sao cho

đường thẳng AM tiếp xúc với M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là

Lời giải Chọn A.

có tâm bán kính

, tính được

Mặt phẳng cố định đi qua điểm H là hình chiếu của M xuống IA và nhận làm vectơ pháp tuyến

Do hai tam giác MHI và AMI đồng dạng nên tính được , từ đó tính được tìm được

Mặt phẳng cần tìm có phương trình là:

và điểm Xét các điểm thuộc sao cho đường thẳng tiếp xúc với , thuộc mặt phẳng có phương trình là?

Lời giải

Chọn A

H A

I M

Mặt cầu có tâm và bán kính

Khi đó ta có thuộc mặt phẳng đi qua và nhận véctơ làm véc tơ pháp

Hướng 2

Tính được M thuộc mặt cầu tâm A bán kính AM và M thuộc (S) Tọa

độ M là nghiệm hệ phương trình: hay điểm M thuộc mặt phẳng