Bài giảng động lực học
Trang 1CHƯƠNG 3 HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO
3.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG 3.1.1 Lựa chọn bậc tự do
Ý nghĩa: thực tế kết cấu thường là hệ phân bố,
có vô hạn bậc tự do Đưa về sơ đồ một bậc tự do chỉ thích hợp trong một số trường hợp đặc biệt, khi hệ hầu như chỉ dao động với một dạng nhất định Để thu được kết quả chính xác hơn, ta phải đưa hệ kết cấu về hệ rời rạc nhiều bậc tự do Số bậc tự do được chọn dựa vào bài toán cụ thể
Các cách chọn bậc tự do: có hai cách
- Chọn biên độ dao động tại một số điểm rời
rạc: bao gồm phương pháp dồn khối lượng và phần tử hữu hạn (FEM) để rời rạc hóa.
- Chọn tọa độ suy rộng, là biên độ của một số
kiểu (pattern) biến dạng của hệ.
3.1.2 Phương trình cân bằng động
Để đơn giản ta xét hệ liên tục như hình vẽ, với
các bậc tự do là chuyển vị tại các điểm 1, 2, 3, , N.
Trang 2Tại mỗi điểm (nút) có các lực tác dụng: tải
trọng p i (t), lực quán tính f Ii , lực cản f Di, và lực đàn
hồi f Si Phương trình cân bằng nút i:
f Ii + f Di + f Si = p i (t) , i = 1, 2, 3, , N
Dạng ma trận:
[f I ] + [f D ] + [f S ] = [p(t)] (3.1)trong đó:
f
f
f
2
f
f f
f
f f
) (
) (
2 1
t p
t p
t p
chiều dương chuyển vị
chiều dương của lực
Trang 3với k ij là lực tại nút i do chuyển vị v j = 1 gây ra.
Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy
trì đường đàn hồi (ngược chiều với lực nút)
N
N N
k k
k
k k
k
k k
2 22
21
1 12
(3.2)
[K] gọi là ma trận cứng ( Stiffness Matrix)
- Lực cản- kết quả tương tự như lực đàn hồi
f
f f
N
N N
c c
c
c c
c
c c
2 22
21
1 12
v v
Trang 4f f
N
N N
m m
m
m m
m
m m
2 22
21
1 12
trong đó: [M] là ma trận khối lượng ( Mass Matrix)
Hệ N phương trình vi phân chuyển động:
[M][ v ] + [C][ v ] + [K][ v ] = [p(t)] (3.8)
Phương trình trên là phương trình mang tính chất tổng quát của bài toán động lực học
Tùy thuộc vào [p(t)] mà ta có các trường hợp
phân tích động lực học của hệä:
Phân tích dao động tự do,
Phân tích phản ứng của hệ với tải trọng động như tải gió, động đất, sóng biển
3.1.3 Ảnh hưởng của lực dọc (nén)
Lực dọc làm tăng thêm chuyển vị nút, nên sẽ có vai trò như lực nút tác dụng theo chiều của
chuyển vị nút, ký hiệu bởi ma trận [f G] Khi này phương trình cân bằng nút (3.1) trở thành:
Trang 5[f I ] + [f D ] + [f S ] - [f G ] = [p(t)] (3.9)
Lực nút [f G] tương đương với vai trò của lực dọc, được biểu diễn bởi các hệ số cứng hình học (Geometric - Stiffness Coefficients) như sau:
f
f
f
2
GN
N G G
G
N G G
G
k k
k
k k
k
k k
2 22
21
1 12
với: [K ] = [K] – [K G] là ma trận độ cứng tổng hợp
Như vậy, lực dọc làm giảm độ cứng của kết cấu (làm cho kết cấu mềm đi)
Trang 63.2 XÁC ĐỊNH CÁC MA TRẬN TÍNH CHẤT
3.2.1 Tính chất đàn hồi
3.2.1.1 Độ mềm của kết cấu
Gọi: f ij là chuyển vị tại i do p j = 1 gây ra Tập
hợp các f ij (i = 1,N) tạo nên đường đàn hồi do p j = 1 gây ra (hình vẽ) Chiều dương của chuyển vị và lực theo chiều dương của trục tọa độ
Chuyển vị tại điểm i do các lực p j (j = 1,N)
theo nguyên lý cộng tác dụng:
Trang 7N N
f f
f
f f
f
f f
2 22
21
1 12
1
(3.15)
(3.16)trong đó:
[f] : Ma trận độ mềm của kết cấu ( Flexibility Matrix)
[p]: Ma trận tải trọng nút, có cùng chiều dương
với chuyển vị nút Lực đàn hồi cân bằng lực nút
Trang 83.2.1.2 Độ cứng của kết cấu
Hệ số cứng k ij (được minh họa trên hình vẽ) là
các lực nút do chuyển vị v j = 1 gây ra (các chuyển
vị khác v i = 0, với i ≠ j) k ij chính là phản lực tại nút nếu đặt thêm các liên kết
Thường ma trận độ cứng [K] được suy ra từ ma trận độ mềm [f] hoặc dùng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).
3.2.1.3 Các khái niệm cơ sở
- Thế năng biến dạng: (bằng công ngoại lực)
2
1 ] ][
[ 2
1 2
Vì U > 0 nên suy ra:
[v T ][K][v] > 0 và [p T ][f][p] > 0 (3.21)
[K] và [f] thỏa (3.21) với mọi [v], [p] ≠ 0 nên là
các ma trận xác định dương (Positive Definite),
không suy biến và nghịch đảo được
Trang 9Thiết lập quan hệ [K], [f], (3.3): [f s ] = [K].[v]
hay [K -1 ][f s ] = [v]
Mặt khác (3.17): [v] = [f].[f s]
suy ra: [f] = [K-1] hoặc [K] = [f-1] (3.22) Thường xác định ma trận cứng thông qua ma trận mềm theo (3.22)
- Định lý Betti:
“Công khả dĩ của lực ở trạng thái (a) trên chuyển
vị ở trạng thái (b) bằng công khả dĩ của lực ở
trạng thái (b) trên chuyển vị ở trạng thái (a)”
[p a T] [v b ] = [p b T][v a] (3.23)
hay [paT][f][pb] = {[pbT][f][pa]}T = [paT] [fT] [pb]
suy ra: [f] = [fT] Ma trận đối xứng (3.24) Một cách tương tự, ma trận cứng đối xứng:
1 2 3 Trạng thái (a)
Trạng thái (b)
Trang 103.2.1.4 Thiết lập ma trận độ cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)
Hệ được quan niệm gồm nhiều phần tử nối với nhau tại một số hữu hạn nút Tính chất của hệ được tìm bằng cách chồng chất các phần tử một cách thích hợp
Xét phần tử dầm thẳng có 2 nút như hình vẽ: Có hai bậc tự do mỗi nút: bao gồm chuyển vị thẳng và góc xoay
Hàm dạng ψi (x) chỉ chuyển vị v i = 1 gây ra, còn
các chuyển vị nút khác đều bằng 0 Hàm ψi (x)
phải thỏa mãn điều kiện biên, nhưng thường chọn
hàm chuyển vị trong dầm có độ cứng EI = const
do chuyển vị nút v i = 1 gây ra Đó là các hàm đa thức Hermit bậc ba như sau:
Trang 11Dùng bốn hàm nội suy này, chuyển vị của dầm xác định theo các chuyển vị nút:
v(x) = ψ1(x) v1+ ψ2(x) v2 + ψ4(x) v3 + ψ4(x) v4 (3.27) trong đó:
v v v
a
v v
Dùng nguyên lí công khả dĩ: W E = p aδv a = k 13δv 1
Momen do θa = 1 gây ra là: M(x) = EI(x) ''
Trang 12Cho W I =W E suy ra: k 13 = L EI(x) (x) 3''(x)dx
∫ : Độ cứng suy rộng (3.29)
vì k ij = k ji nên ma trận độ cứng đối xứng
Với dầm có độ cứng đều EI = const, ta có:
2 2
2 3
3
2 3
3
3 3
6 6
3 3
6 6
L L
L L
L L
L L
L L
L L
v v v
v
(3.30)
Nếu dầm có độ cứng EI(x) thay đổi thì (3.30)
là gần đúng Độ chính xác sẽ cao hơn, nếu chia dầm ra các phần tử nhỏ hơn
Hệ số độ cứng k ij của kết cấu bằng tổng các hệ số cứng tương ứng của các phần tử nối vào nút
Chẳng hạn, nếu các phần tử m, n, p cùng nối vào nút i thì hệ số cứng của kết cấu tại nút i là:
Trang 13v i = 1 và cộng lực nút ứng với các phần tử Ma
trận độ cứng kết cấu:
) 2 6 (
Trang 14) 6 (
2 )
2 (
2 ) 2 (
4
2 ) 2 (
3
2 3
2 3
22
L
EI L
x L
EI
x L
L
EI k
) 2 (
2 )
2
( ) 2
L
EI L
L
EI x
2 2
2 2
3 3
2 1
6 2
3
2 6
3
3 3
12 2
v v
v
L L
L
L L
L
L L
L
EI f
f f
S S S
Chú ý: Bài toán động lực học của hệ phân bố
thường đòi hỏi nhiều bậc tự do hơn so với bài toán tĩnh, do ảnh hưởng của lực quán tính Tuy nhiên, khi đã chọn các bậc tự do cho bài toán động rồi thì việc xây dựng ma trận cứng giống như trường hợp bài toán tĩnh
3.2.2 Tính chất khối lượng
3.2.2.1 Ma trận khối lượng thu gọn ( Lumped Mass Matrix )
Ta xem khối lượng phân bố của các phần tử được thu gọn về các nút theo nguyên tắc tĩnh học,
1
Trang 15ta có hệ gồm các khối lượng tập trung Ma trận khối lượng thu gọn là ma trận đường chéo:
0 0
0 0
0 0
2 1
trong đó: m ij = 0 với i ≠ j, vì gia tốc tại khối lượng
nào chỉ gây ra lực quán tính tại khối lượng đó
3.2.2.2 Ma trận khối lượng tương thích ( Consistent
Trang 16) ( )
(x v3 3 x
Lực quán tính: f I (x) = m(x)v (x) = m(x)v3ψ 3(x) (3.34)
Cho dầm chịu chuyển vị khả dĩ δv(x) = ψ1 (x)
δv 1 Cân bằng công khả dĩ của lực nút và lực quán tính, ta có: paδva = L f I (x) v(x)dx
vì m ij = m ji, nên ma trận tương thích đối xứng
- Nếu dầm có khối lượng phân bố đều thì ta có:
2 2
4 3
22 13
3 4
13 22
22 13
156 54
13 22
54 156
L L
L L
L L
L L
L L
L L
v v v v
Trang 17Thí dụ
Thành lập ma trận khối lượng cho kết cấu như hình vẽ theo hai phương pháp Quá trình tính các hệ số khối lượng được chỉ rõ trên các hình vẽ
Ma trận khối lượng thu gọn:
840 210
L m
v 1
3 1.5L
0.5L
0.5L 1.5L
m 11 = 4L
m 22 = m 33 = 0
Trang 18m 22 = m 33 = 0 vì giả thiết rằng khối lượng thu gọn
không có quán tính xoay, tức là các gia tốc góc tại nút không gây ra momen quán tính
Ma trận khối lượng tương thích:
768 210
2 5
1 ) 2 156
( 420
11
L m L
x m x
L m
L
L
m L
L
m m
210
) 22
( 420
31
2 2
2 33
210
) 2 (
4 420
2 5
1 4
L m L
L x m L
L m m
2 2
210
) 2 ( ) 3
( 420
2 5
x
L x
2 2
26 18
11
18 26
11
11 11
786
210
L L
L
L L
L
L
L L
m
Nhận xét
Bài toán động lực học ứng với ma trận khối lượng thu gọn đơn giản hơn vì:
- [M] thu gọn dạng đường chéo, trong khi [M]
tương thích có nhiều hệ số khác 0 ở ngoài đường
chéo Các hệ số của [M] thu gọn ứng với các
chuyển vị xoay cũng bằng 0, càng làm cho bài toán đơn giản hơn
Trang 19- Dùng [M] thu gọn có thể loại bỏ các chuyển
vị xoay, nhưng dùng [M] tương thích thì không thể
loại bỏ được
3.2.3 Tính chất cản
Hệ số cản của phần tử được xác định bởi FEM,
cho bởi công thức:
c ij = L c(x) i(x) j (x)dx
∫ Hệ số cản suy rộng (3.37)
trong đó: c(x) - tính chất cản phân bố của phần tử.
Ma trận cản kết cấu cũng được chồng chất từ
ma trận cản của phần tử, tương tự ma trận độ cứng hoặc ma trận khối lượng
Tuy nhiên, để xác định hàm c(x) trong thực tế
thì không làm được Thường tính cản của kết cấu xác định bởi thực nghiệm bằng tỉ số cản ξ
Trang 203.2.4.1 Tải trọng nút tương đương tĩnh học
Xem như tải trọng đặt trên dầm phụ có mắt truyền lực đặt tại nút Lực truyền vào nút sẽ thay thế cho tải trọng đặt trên phần tử Như vậy không truyền mô men tập trung vào nút
3.2.4.2 Tải trọng nút tương thích
p(x,t) q(x,t) F(t)
p i (t) p j (t) Lực nút tương đương
Trang 21Tải trọng nút được tính theo nguyên lí chuyển vị khả
dĩ, dùng các hàm nội suy ψi (x) Thí dụ:
p 1 (t) = L∫ p x t x dx
) ( ) ,
Tải trọng suy rộng p i (t) = L∫ p x t i x dx
0
) ( ) , ( ψ (3.38)
Nếu tải trọng có dạng phân ly (trường hợp này thường gặp trong thực tế)
Trang 22Chú ý rằng, với các hàm nội suy ψi (x) (i = 1,4)
ta có 2 lực nút và 2 mô men nút tại 2 đầu dầm
3.2.5 Độ cứng hình học
Độ cứng hình học
thể hiện khuynh hướng
làm tăng chuyển vị uốn
của lực nén N Hệ số
cứng hình học chính là
lực nút do N tạo ra Giả
thiết rằng lực nén N do
tải trọng tĩnh gây ra là chủ yếu; phần do lực động
gây ra có thể bỏ qua được Vì vậy, coi N không
đổi trong quá trình dao động
(Nếu N(t) thay đổi theo thời gian thì [K G] cũng thay đổi theo thời gian Bài toán trở nên phi tuyến)
Xấp xỉ tuyến tính: 1 BTD/nút
Giả sử lực dọc trong phần tử i là N i Coi phân
tử i thẳng thì lực nút f Gi và f Gj được xác định theo
lực nén N i trên hình vẽ Viết lại dạng ma trận:
Trang 23i Gj
Gi
v
v l
N f
f
1 1
−
− +
−
− +
n n
N
i
i i
i i
i i
L
N L
N L
N
l
N l
N l
N l
N
l
N l
N l
N l
N
l
N l
N l
1
1 1
1 1
1 1
1
2
2 2
2 1
1 1
1
1
1 1
1 0
0
2
1
0 0
0
0
0 0
(3.41)
có dạng 3 vệt chéo Viết dạng kí hiệu:
[ f G ] = [K G][v] (3.42)
+ Độ cứng hình học tương thích:
Dùng khái niệm phần tử hữu hạn, ta thu được công thức:
( ) ( ) ( )x x x dx N
Trang 24Nếu phần tử có lực dọc N(x) = N = const, dùng
các hàm nội suy trước đây, ta thu được ma trận cứng hình học phần tử:
2 2
2 2
3
4 3
3
3 3
36 36
3 3
36 36
30
v v v v
L L
L L
L L
L L
L L
L L
L
N f
2 2
4 3
3
4 3
3
3 3
36 36
3 3
36 36
30
] [
L L
L L
L L
L L
L L
L L
K ] là ma trận độ cứng của phần tử (đối xứng)
Ma trận [K G] của kết cấu suy ra từ [ e
G
K ] tương
tự như [K], [M].
3.2.6 Lựa chọn cách thiết lập ma trận tính chất
Có 2 cách tính gần đúng các ma trận khối lượng, độ cứng hình học, tải trọng:
- Phương pháp sơ cấp chỉ xét chuyển vị thẳng
- Phương pháp tương thích xét cả chuyển vị thẳng chuyển vị xoay
Trang 25Về nguyên tắc, phương pháp tương thích cho độ chính xác cao hơn, vì xét đầy đủ và hệ thống hơn các phần năng lượng liên quan đến sự làm việc động của kết cấu Tuy nhiên, trong thực tế thì độ chính xác của phương pháp tương thích không trội bao nhiêu so với phương pháp sơ cấp, nhưng khối lượng tính toán thì lớn hơn nhiều, vì bậc tự do xoay đóng vai trò kém quan trọng so với chuyển vị thẳng.
Phương pháp sơ cấp dễ dàng hơn, vì các ma trận xuất phát dễ tính hơn và số bậc tự do phải xét cũng ít hơn
Nếu phương pháp thu gọn khối lượng được
dùng với ma trận cứng thiết lập bằng FEM (tức là
kể đến bậc tự do chuyển vị xoay) thì có thể loại trừ các chuyển vị xoay này trong phương trình chuyển động Khi đó ma trận cứng cũng được rút
gọn lại, gọi là Static Condensation (kích thước ma
trận cứng thu nhỏ lại) Để minh họa, ta viết lại phương trình (3.2) trong đó đã sắp xếp lại các
chuyển vị thành 2 nhóm: vt là thành phần chuyển
vị thẳng và vo là thành phần chuyển vị xoay.
Trang 26Phương trình chuyển động được viết lại dạng
ma trận chia khối (ma trận con):
{ } { } = { } { } = { } { }
[ ] [
] [
]
S
St t
v K
K
K K
θ θ
θθ θ
θ
(3.45)
Trong đó { } { }f Sθ = 0 , tức là các moment nút đàn hồi bằng 0, nếu tác động trên hệ chỉ là lực chứ không có moment tập trung đặt ngay tại nút
Trong (3.45) có thể biểu diễn các chuyển vị xoay { }vθ theo chuyển vị thẳng { }v t :
{ }v [K ] 1 [K t ]{ }v t
θ θθ
θ
hay [K t ]{ } { }v t = f St (3.47)trong đó [ ] [[ ] [ ][ ] 1 [ ]]
t t
Như vậy, các chuyển vị xoay trong FEM có thể
loại trừ và số bậc tự do thực sự phải giải quyết
Trang 27giảm xuống Đó là ưu điểm lớn của phương pháp khối lượng thu gọn.
s s s
f f
2 2
6 2
3
2 6
3
3 3
12
L L
L
L L
L
L L
v v v
] [Kθθ = 2 3
2 2
6 2
2
6
L L
1 3
1 ] [Kθθ − = 32L EI −
− 3 1
Trang 288 3 8
3 3
3.3 DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN
3.3.1 Phân tích tần số dao động
Từ phương trình (3.8), phân tích dao động tự do
nên vectơ tải trọng ngoài p(t) = 0, ta có:
{ }( ) [ ]{ }( ) [ ]{ } { }( ) 0 ]
[M v t + C v t + K v t =
Bỏ qua thành phần lực cản [C]= [0]
{ }( ) [ ]{ } { }( ) 0 ]
[M v t + K v t = (3.49)
Do tính chất tuần hoàn nên chọn nghiệm có dạng:
{ } { }v(t) = vˆ sin( ωt + θ ) (3.50) trong đó: { }v (t) -thể hiện dạng dao động; { }vˆ - là biên độ dao động
{ }v(t) = − ω 2{ }vˆ sin( ωt + θ )
Thay vào (3.49) trên ta có:
{ }ˆ sin( ) [ ]{ }ˆ sin( ) { }0 ]
[
hay: [[K] − ω 2 [M ]]{ } { }vˆ = 0 (3.51)
Vì { }vˆ ≠ 0, nên định thức của ma trận vuông N x N
phải triệt tiêu:
Trang 29N Lý thuyết ma trận chứng
minh: ma trận vuông thực, đối xứng và xác định dương có các trị riêng thực và dương
Vectơ tần số riêng như sau:
2
Trang 30Các ma trận của khung:
5 , 1
0 0
,
1 ]
0
2 3
1
0 1
1 600 ]
Phương trình đặc trưng (3.52):
0 2
5 2
0
2 5
, 1 3 1
0 1
1 600
0 , 2 0
5 , 1
0 0
, 1
5 2
0
2 3
1
0 1
1 600 ]
[ ]
B M
Trang 311 , 31
5 , 14
3 2 1
ω ω
ω
(rad/s)
3.3.2 Phân tích hình dạng mode của dao động
Từ phương trình (3.51), ứng với mỗi tần số ωn
ta có một vectơ riêng { }vˆ n Nhưng vì định thức
(3.52) triệt tiêu, nên hạng của ma trận chỉ còn N-1,
do đó chỉ có N-1 thành phần của { }vˆ độc lập Thường chọn thành phần đầu tiên { }vˆ1n = 1, khi đó vectơ chuyển vị trở thành:
n
v
v v
v
v v
ˆ
ˆ 1
Trang 32ˆ
1 2
) ( )
( 2
) ( 1
) ( 2
) ( 22
) ( 21
) ( 1
) ( 22
) ( 11
n N
n N
n N
n n
n N
n n
v
v
e e
e
e e
e
e e
] [
]
[
) ( 00
) ( 01
) ( 10
) ( 11
n n
n n
E E
0
Tương đương với 2 phương trình:
{ }
0 ] ˆ ][
[
0 ]
ˆ ][
[ ]
[
0
) ( 10
) ( 11
0
) ( 00
) ( 01
= +
= +
n
n n
n
n n
v E
e
v E
n n
Dạng dao động (mode shape ) thứ n được định
nghĩa bởi vectơ (không thứ nguyên)
Nn
n n
n
v
v v
ˆ
ˆ
1 ˆ
1 ]
với vˆ kn là thành phần (chuyển vị) mốc để so sánh
Ma trận dạng dao động (Mode shape matric) là tập
hợp của N vectơ dạng dao động:
Trang 33N N
φ φ
φ
φ φ
φ
φ φ
2 22
21
1 12
11
(3.57)
Như vậy khi xác định được [φi] ta sẽ biết được hình
dạng dao động của mode thứ i
Thí dụ (E12-2)
Xét lại thí dụ trước, tìm các dạng chính của dao động Lấy chuyển vị trên cùng bằng 1 Hai chuyển vị tầng dưới của mode n tìm theo (3.55):
2
2 5
, 1