Động lực học kết cấu - Chương 3

Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của c

CHƯƠNG 3

HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO3.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG3.1.1 Lựa chọn bậc tự do

Ý nghĩa: thực tế kết cấu thường là hệ phân bố, có

vô hạn bậc tự do Đưa về sơ đồ một bậc tự do chỉ thích hợptrong một số trường hợp đặc biệt, khi hệ hầu như chỉ daođộng với một dạng nhất định Để thu được kết quả chínhxác hơn, ta phải đưa hệ kết cấu về hệ rời rạc nhiều bậc tựdo Số bậc tự do được chọn dựa vào bài toán cụ thể.

Các cách chọn bậc tự do: có hai cách

- Chọn biên độ dao động tại một số điểm rời rạc: bao

gồm phương pháp dồn khối lượng và phương pháp phần tử

hữu hạn (FEM) để rời rạc hóa.

- Chọn tọa độ suy rộng, là biên độ của một số kiểu

(pattern) biến dạng của hệ.

3.1.2 Phương trình cân bằng động

Để đơn giản ta xét hệ liên tục như hình vẽ, với các

bậc tự do là chuyển vị tại các điểm 1, 2, 3, , N.

Chương 3 HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO46

v1(t) v2(t) vi(t) vN (t)

chiều dương chuyển vị

chiều dương của lực

chuyển vị

pi(t)fSi

Tại mỗi điểm (nút) có các lực tác dụng: tải trọng pi(t),

lực quán tính fIi, lực cản fDi, và lực đàn hồi fSi Phương trình cân

bằng nút i:

fIi + fDi + fSi = pi(t) , i = 1, 2, 3, , N

Dạng ma trận:

[fI] + [fD] + [fS] = [p(t)] (3.1)trong đó:

[fI] = , [fD]= , [fS]= , [p(t)] =

- Lực đàn hồi

Dùng nguyên lí cộng tác dụng, ta có:

fSi = ki1v1 + ki2v2 + + kiNvN với i = với kij là lực tại nút i do chuyển vị vj = 1 gây ra.

Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì

đường đàn hồi (ngược chiều với lực nút).Dạng ma trận:

trong đó: [M] là ma trận khối lượng (Mass Matrix)

Thay (3.3), (3.5), (3.7) vào (3.1) ta thu được hệ N phương trình

vi phân chuyển động viết dưới dạng ma trận:

[M][ ] + [C][ ] + [K][ ] = [p(t)] (3.8) Phương trình trên là phương trình mang tính chất tổng quát

của bài toán động lực học Trong đó: [p(t)] là vectơ tải trọngngoài, tùy thuộc vào [p(t)] mà ta có các trường hợp phân

tích động lực học của hệä: phân tích dao động tự do, phân tíchphản ứng của hệ với tải trọng động như tải gió, động đất,sóng biển

3.1.3 Ảnh hưởng của lực dọc (nén)

Chương 3 HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO48

Lực dọc làm tăng thêm chuyển vị nút, nên sẽ có vaitrò như lực nút tác dụng theo chiều của chuyển vị nút, ký

hiệu bởi ma trận [fG] Khi này phương trình cân bằng nút (3.1)trở thành:

[fI] + [fD] + [fS] - [fG] = [p(t)] (3.9)

Lực nút [fG] tương đương với vai trò của lực dọc, được biểu

diễn bởi các hệ số cứng hình học (Geometric - Stiffness

3.2.1 Tính chất đàn hồi

3.2.1.1 Độ mềm của kết cấuf

Gọi: fij là chuyển vị tại i do pj = 1 gây ra Tập hợp các fij(i = 1,N) tạo nên đường đàn hồi do pj = 1 gây ra (hình vẽ).Chiều dương của chuyển vị và lực theo chiều dương của trụctọa độ.

Chuyển vị tại điểm i do các lực pj (j = 1,N) theo nguyên

lý cộng tác dụng:

[f] : Ma trận độ mềm của kết cấu (Flexibility Matrix)

[p]: Ma trận tải trọng nút, có cùng chiều dương với

3.2.1.2 Độ cứng của kết cấu

Chương 3 HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO50

k1j kij kjj kNj

v=1

Hệ số cứng kij (được minh họa trên hình vẽ)là các lực

nút do chuyển vị vj = 1 gây ra (các chuyển vị khác vi = 0, với

Thường ma trận độ cứng [K] được suy ra từ ma trận độmềm [f] hoặc dùng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM).

3.2.1.3 Các khái niệm cơ sở

- Thế năng biến dạng: (bằng công ngoại lực)

[paT][vb] = [pbT][va] (3.23)

hay [p T][f][p] = {[p T][f][p ]}T = [p T] [fT] [p ]

Một cách tương tự ta cũng có ma trận cứng đối xứng:

Xét phần tử dầm thẳng có 2 nút như hình vẽ: Có haibậc tự do mỗi nút: bao gồm chuyển vị thẳng và góc xoay.

Hàm dạng i(x) chỉ chuyển vị vi = 1 gây ra, còn các

chuyển vị nút khác đều bằng 0 Hàm i(x) phải thỏa mãn

điều kiện biên, nhưng thường chọn hàm chuyển vị trong dầm

có độ cứng EI = const do chuyển vị nút vi = 1 gây ra Đó là

các hàm đa thức Hermit bậc ba như sau:

   Trạng thái (a)

Trạng thái (b)

EI(x)L

v(x) = 1(x) v1 + 2(x) v2 + 4(x) v3 + 4(x) v4 (3.27) trong đó:

Dùng nguyên lí công khả dĩ: WE = pava = k13v1

Momen nội lực do a = 1 gây ra là: M(x) = EI(x) (x)

Công khả dĩ của nội lực: WI= v1

Cho WI = WE suy ra: k13 = (3.28)

Tổng quát hóa:

kij = : Độ cứng suy rộng (3.29)

vì kij = kji nên ma trận độ cứng đối xứng.

Với dầm có độ cứng đều EI = const, ta có:

 =v3 =11

 (x)

v =a v1

k13 = pa =pa

(chuyển vị khả dĩ)

Nếu dầm có độ cứng EI(x) thay đổi thì (3.30) là gần

đúng Độ chính xác sẽ cao hơn, nếu chia dầm ra các phần tửnhỏ hơn.

Hệ số độ cứng kij của kết cấu bằng tổng các hệ sốcứng tương ứng của các phần tử nối vào nút Chẳng hạn,

nếu các phần tử m, n, p cùng nối vào nút i thì hệ số cứngcủa kết cấu tại nút i là:

trong đó , , là hệ số cứng của phần tử đã biến đổisang hệ tọa độ chung(từ tọa địa phương).

Thí dụ:

Xét hệ như hình vẽ, gồm 3 phần tử nối tại 2 nút Bỏ

qua biến dạng dọc trục, hệ có 3 bậc tự do: v1, v2 và v3

Các hệ số độ cứng của hệ được xác định bằng cách

lần lượt cho các chuyển vị cưỡng bức đơn vị vi = 1 và cộng

lực nút ứng với các phần tử Ma trận độ cứng kết cấu:

Chương 3 HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO54

Chú ý: Bài toán động lực học của hệ phân bố

thường đòi hỏi nhiều bậc tự do hơn so với bài toán tĩnh, doảnh hưởng của lực quán tính Tuy nhiên, khi đã chọn cácbậc tự do cho bài toán động rồi thì việc xây dựng ma trậncứng giống như trường hợp bài toán tĩnh.

3.2.2 Tính chất khối lượng

3.2.2.1 Ma trận khối lượng thu gọn

Ta xem khối lượng phân bố của các phần tử được thugọn về các nút theo nguyên tắc tĩnh học, ta có hệ gồmcác khối lượng tập trung Ma trận khối lượng thu gọn là matrận đường chéo:

mm m

[M] = (3.32)

trong đó: mij = 0 với i  j, vì gia tốc tại khối lượng nào chỉ

gây ra lực quán tính tại khối lượng đó.

3.2.2.2 Ma trận khối lượng tương thích (Consistent - Mass Matrix)

Xét phần tử dầmcó hai bậc tự do mỗi nútnhư hình vẽ Dùng cáchàm nội suy i(x) như trong

ma trận cứng.

Giả sử dầm chịutác dụng của gia tốc gócbằng đơn vị tại nút a,

= = 1, gia tốc chuyểnđộng ngang của dầm sẽlà:

(3.33) Lực quán tính có trị số:

(3.34) Cho dầm chịu chuyển vị khả dĩ v(x) = 1(x) v1 Cânbằng công khả dĩ của lực nút và lực quán tính, ta có:

v =v =v =1a 

= (3.36) Ma trận khối lượng của kết cấu cũng được “chồng chất’’ từma trận của phần tử, tương tự như ma trận cứng.

Thí dụ

Thành lập ma trận khối lượng cho kết cấu như hình vẽtheo hai phương pháp Quá trình tính các hệ số khối lượngđược chỉ rõ trên các hình vẽ.

Ma trận khối lượng thu gọn:

m22 = m33

= 0

m22 = m33 = 0 vì giả thiết rằng khối lượng thu gọn không có

quán tính xoay, tức là các gia tốc góc tại nút không gây ramomen quán tính.

Ma trận khối lượng tương thích:

[M] =

Nhận xét

Bài toán động lực học ứng với ma trận khối lượng thugọn đơn giản hơn vì:

- [M] thu gọn dạng đường chéo, trong khi [M] tương thích có

nhiều hệ số khác 0 ở ngoài đường chéo Các hệ số của

[M] thu gọn ứng với các chuyển vị xoay cũng bằng 0, càng

làm cho bài toán đơn giản hơn.

- Dùng [M] thu gọn có thể loại bỏ các chuyển vị xoay,nhưng dùng [M] tương thích thì không thể loại bỏ được.

3.2.3 Tính chất cản

Hệ số cản của phần tử được xác định bởi FEM, cho

bởi công thức:

cij = Hệ số cản suy rộng (3.37)

trong đó: c(x) - tính chất cản phân bố của phần tử.

Ma trận cản kết cấu cũng được chồng chất từ ma trậncản của phần tử, tương tự ma trận độ cứng hoặc ma trậnkhối lượng.

Tuy nhiên, để xác định hàm c(x) trong thực tế thì không

làm được Thường tính cản của kết cấu xác định bởi thựcnghiệm bằng tỉ số cản .

Chương 3 HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO58

3.2.4 Tải trọng

Nếu tải trọng tác dụng trên phần tử thì phải thay thế

bằng tải trọng nút tương đương, dùng khái niệm lực suy rộng.

Có hai phương pháp:

3.2.4.1 Tải trọng nút tương đươngtĩnh học

Xem như tải trọng đặttrên dầm phụ có mắttruyền lực đặt tại nút Lựctruyền vào nút sẽ thaythế cho tải trọng đặt trênphần tử Như vậy

không truyền mô mentập trung vào nút.

3.2.4.2 Tải trọng nút tươngthích

Tải trọng nút được tínhtheo nguyên lí chuyển vịkhả dĩ, dùng các hàm nội

p1(t) =

Tổng quát:

pi(t) = Tải trọng suy rộng (3.38)

Nếu tải trọng có dạng phân ly (trường hợp này thường gặp

Tải trọng suy rộng

pi(t) = (t) (3.39) Chú ý rằng, với các hàm nội suy i(x) (i = 1,4) ta có 2

lực nút và 2 mô men nút tại 2 đầu dầm.

3.2.5 Độ cứng hình học

Độ cứng hình học thểhiện khuynh hướng làm tăng

chuyển vị uốn của lực nén N.

Hệ số cứng hình học chính là

lực nút do N tạo ra Giả thiếtrằng lực nén N do tải trọng

tĩnh gây ra là chủ yếu; phầndo lực động gây ra có thể bỏ

qua được Vì vậy, coi N không

đổi trong quá trình dao động.

(Nếu N(t) thay đổi theo thờigian thì [KG] cũng thay đổi theothời gian Bài toán trở nên phituyến).

Xấp xỉ tuyến tính: 1 BTD/nút

Giả sử lực dọc trong phần tử i là Ni Coi phân tử ithẳng thì lực nút fGi và fGj được xác định theo lực nén Ni trênhình vẽ Viết lại dạng ma trận:

(3.40) Ma trận cứng hình học của kết cấu dầm:

(3.41)có dạng 3 vệt chéo Viết dạng kí hiệu:

+ Độ cứng hình học tương thích:Dùng khái niệm

phần tử hữu hạn (FE),

ta thu được công thức:

a

Nếu phần tử có lực dọc N(x)= N = const, dùng các hàm

nội suy trước đây, ta thu được ma trận cứng hình học phân

tử:

(3.44)

[ ] là ma trận độ cứng của phần tử (đối xứng)

Ma trận [KG] của kết cấu suy ra từ [ ] tương tự như [K],[M].

3.2.6 Lựa chọn cách thiết lập ma trận tính chất kếtcấu

Có 2 cách tính gần đúng các ma trận khối lượng, độcứng hình học, tải trọng:

- Phương pháp sơ cấp chỉ xét đến chuyển vị thẳng.

- Phương pháp tương thích xét cả chuyển vị thẳng chuyểnvị xoay.

Về nguyên tắc, phương pháp tương thích cho độ chính xáccao hơn, vì xét đầy đủ và hệ thống hơn các phần nănglượng liên quan đến sự làm việc động của kết cấu Tuynhiên, trong thực tế thì độ chính xác của phương pháp tươngthích không trội bao nhiêu so với phương pháp sơ cấp, nhưngkhối lượng tính toán thì lớn hơn nhiều, vì bậc tự do xoay đóngvai trò kém quan trọng so với chuyển vị thẳng.

Phương pháp sơ cấp dễ dàng hơn, vì các ma trận xuấtphát dễ tính hơn và số bậc tự do phải xét cũng ít hơn.

Nếu phương pháp thu gọn khối lượng được dùng với ma

trận cứng thiết lập bằng FEM (tức là kể đến bậc tự do

chuyển vị xoay) thì có thể loại trừ các chuyển vị xoay nàytrong phương trình chuyển động Khi đó ma trận cứng cũng

được rút gọn lại, gọi là Static Condensation (kích thước ma trận

cứng thu nhỏ lại) Để minh họa, ta viết lại phương trình (3.2)

thành phần chuyển vị thẳng và vo là thành phần chuyển vịxoay.

Phương trình chuyển động được viết lại dạng ma trận chia

khối (ma trận con):

(3.45)Trong đó , tức là các momen nút đàn hồi bằng 0,nếu tác động trên hệ chỉ là lực chứ không có momen tậptrung đặt ngay tại nút.

Trong (3.45) có thể biểu diễn các chuyển vị xoay theochuyển vị thẳng :

(3.46)Phương trình thứ nhất của ma trận con suy ra từ (3.45):

trong đó

(3.48)là ma trận độ cứng tương ứng với chuyển vị thẳng (ma trậncứng rút gọn).

Như vậy, các chuyển vị xoay trong FEM có thể loại trừ

và số bậc tự do thực sự phải giải quyết giảm xuống Đó làưu điểm lớn của phương pháp khối lượng thu gọn.

Thí dụ: Trong thí dụ trên, ta có:

= Ta có:

Biểu diễn chuyển vị xoay theo chuyển vị thẳng (3.46):

-Ma trận cứng rút gọn theo (3.48):

Bài tập: 11 –8 page 175

3.3 DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN3.3.1 Phân tích tần số dao động

Từ phương trình (3.8), phân tích dao động tự do nên vectơ

tải trọng ngoài p(t) = 0, ta có:

Bỏ qua thành phần lực cản [C]= [0]

(3.49) Do tính chất tuần hoàn nên chọn nghiệm có dạng:

(3.50) trong đó: -thể hiện dạng dao động; - là biên độ daođộng.

Thay vào (3.49) trên ta có:hay:

(3.51)Vì , nên định thức của ma trận vuông N x N phải triệt

tiêu:

Đây là phương trình đại số bậc N, do đó có N nghiệm  ,

đối xứng và xác định dương có các trị riêng thực và dương Vectơ tần số riêng như sau:

v1 =1K = 60011K = - 60021

với

B3 – 5,5B2 + 7,5B – 2 = 0

Nghiệm là: B1 = 0,351B2 = 1,61 B3 = 3,54

Do đó: [] = (rad/s).

3.3.2 Phân tích hình dạng mode của dao động

Từ phương trình (3.51), ứng với mỗi tần số n ta có mộtvectơ riêng Nhưng vì định thức (3.52) triệt tiêu, nên hạng

của ma trận chỉ còn N-1, do đó chỉ có N-1 thành phần của

độc lập Thường chọn thành phần đầu tiên , khi đóvectơ chuyển vị trở thành:

Tương đương với 2 phương trình:

(a)Giải hệ phương trình (a) trên ta được:

(3.55)

Dạng dao động (mode shape) thứ n được định nghĩa bởi

vectơ (không thứ nguyên)

(3.56) với là thành phần (chuyển vị) mốc để so sánh.

Ma trận dạng dao động (Mode shape matric) là tập hợp của N

vectơ dạng dao động:

[]= [[1] [2] [N]] = (3.57) Như vậy khi xác định được [i] ta sẽ biết được hình dạng dao

động của mode thứ i

Thí dụ (E12-2)

Xét lại thí dụ trước, tìm các dạng chính của dao động.Lấy chuyển vị trên cùng bằng 1 Hai chuyển vị tầng dướicủa mode n được tìm theo (3.55):

với Bn =

Kết quả như hình vẽ.

Chương 3 HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO66

Mode 1Mode 2Mode 3

1 2 3

3.3.3 Phân tích tần số theo ma trận mềm

Nhiều bài toán dùng ma trận mềm [f] tiện hơn ma trậncứng [K] Khi đó cần xác định tần số riêng theo [f].

Phương trình (3.51) được viết lại và biến đổi như sau:

vì nên , ta có:

(3.58)do , nên ta có phương trình tần số:

Phương trình tần số:

Lực dọc làm cho kết cấu bị “mềm” hơn, nên các tần

số riêng cũng thấp hơn Kết cấu thường làm việc bất lợihơn dưới tác dụng của tải trọng động Tương ứng, các dạng

dao động chính (mode shapes) cũng bị thay đổi do lực dọc.

3.3.4.2 Tải trọng tới hạn (gây mất ổn định)

Khi lực dọc đạt giá trị tới hạn N thì kết cấu không dao

- Ma trận cứng hình học, ứng với lực dọc N0(x), với các

hệ số xác định bởi:

Mất ổn định với tải trọng điều hoà

Xét tải trọng tác dụng có dạng:

trong đó: là tần số của tải trọng tác dụng.Phương trình cân bằng dao động không cản:Phương trình này có nghiệm:

Thay các nghiệm này vào trên ta có:

Độ cứng động của hệ được định nghĩa bởi:

Thay vào biểu thức trên và biểu diễn độ cứng hình học làmột hàm của hệ số tải trọng , ta có:

Chương 3 HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO68

Nếu biên độ tác dụng của tải trọng tiến dần đến 0 thìphản ứng (chuyển vị) vẫn có thể khác 0 nếu định thứccủa ma trận vuông bằng 0 Vì vậy điều kiện mất ổn địnhđối với kết cấu chịu tải trọng điều hoà là:

Khi tải trọng thôi tác dụng, phương trình tác dụng có thểviết:

Ta thấy sự tổ hợp của tải trọng mất ổn định và tầnsố dao động sẽ thỏa mãn phương trình trị riêng Như vậykhi chịu tải trọng điều hoà ứng với một tần số nào đó thìhệ có thể mất ổn định ngay cả khi biên độ lực bằng 0.

3.3.5 Điều kiện trực giao (Orthogonality)

3.3.5.1 Các điều kiện cơ bản

Phương trình dao động (3.51) viết lại cho tần số và (giả thiết )

(3.68)Nhân trước cho (3.67):

Vì nên ta có điều kiện trực giao đầu tiên:

Thế (3.72) vào (3.71) suy ra điều kiện thứ 2:

(3.73)

(3.74)

Chú ý: Điều kiện trực giao chỉ dùng cho 2 mode có tần số

khác nhau:

3.3.5.2 Chuẩn hóa theo ma trận khối lượng

Vector biên độ được chuẩn hóa theo ma trận khốilượng thành thỏa mãn điều kiện:

3.4 PHÂN TÍCH PHẢN ỨNG ĐỘNG

Phương pháp dùng để phân tích phản ứng động của

công trình được dùng là phương pháp chồng chất mode Nội

dung chính của phương pháp này là biến hệ dao động có hệ

n phương trình vi phân thành dạng hệ động có n phương trình vi

phân tách rời Để dùng phương pháp trên ta phải tìm hiểutọa độ chuẩn, sau đó sẽ thiết lập phương trình chuyển độngtách rời của hệ không xét đến yếu tố cản và có xétđến cản.

3.4.1 Tọa độ chuẩn (Normal Coordinates)

Chương 3 HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO70