Bài giảng động lực học - Chương 2

Bài giảng động lực học

CHƯƠNG 2. HỆ MỘT BẬC TỰ DO 2.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG2.1.1 Mô hình hệ một bậc tự doSingle Degree of Freedom system – SDOFs Concentrated PropertiesKhối lượng: mĐộ cứng: kHệ số cản: cLực kích động: p(t)Chú ý: Hệ một bậc tự do có các đặc trưng phân bố m, k, c, p(t) đều có thể đưa về mô hình có các đặc trưng vật lý tập trung (hệ một bậc tự do suy rộng).2.1.2 Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động 2.1.2.1 Nguyên lý D’Alembertp(t) + fS + fI + fD =0hay )(tpkvvcvm =++ (2.1) 2.1.2.2 Nguyên lý công khả dóp(t)fffDSILực tác dụngckv(t)p(t)mMô hình SDOFs Cho khối lượng chuyển vò khả dó δv. Công khả dó: δW = p(t)δv + fS δv + fI δv + fD δv = 0hay 0)]([=+−−−vtpkvvcvmδvì δv ≠ 0 nên thu được giống như (2.1).2.1.2.3 Nguyên lý HamiltonĐộng năng của hệ: 221vmT=, biến phân động năng vvmTδδ=Thế năng biến dạng đàn hồi của lò xo: 221kvV=, biến phân vkvVδδ=Biến phân công của lực không bảo toàn p(t) và fD (tức là công khả dó của hai lực này trên chuyển vò khả dó δv): vvcvtpWncδδδ−= )(Theo nguyên lý Hamilton: 0])([21=+−∫ttncdtWVTδδ0])([21=+−−∫ttdtvtpvvcvkvvvmδδδδ (2.2) Ovf = kvsLựcChuyển vò tích phân từng phần số hạng thứ nhất:∫∫−=2121210ttttttvdtvmvvmdtvvmδδδ (2.3) thế (2.3), (2.2): 0)]([21=∫+−−−ttvdttpkvvcvmδ (2.4) Nhận xét: Cả 3 phương pháp cho cùng kết qủa vì cùng dựa trên đònh luật quán tính của Newton. Trong trường hợp cụ thể này nguyên lý D’Alembert là đơn giản nhất. 2.1.3 Ảnh hưởng của trọng lực Phương trình chuyển động:W)t(pkvvcvm+=++trong đó W là trọng lượng của khối cứng.Chuyển vò v gồm tổng của chuyển vò tónh (Static Displacement) st∆ gây bởi trọng lượng W và chuyển vò động vvvst+∆= Thay biểu thức của lực đàn hồivkkkvfsts+∆==vào phương trình chuyển động:Wtpvkkvcvmst+=+∆++ )(Mặt khác stkW∆=nên phương trình cuối cùng:)(tpvkvcvm=++Kết luận: Nếu lấy vò trí cân bằng tónh học do trọng lượng P = mg gây ra làm mốc để tính chuyển vò thì phương trình vi phân chuyển động vẫn có dạng (2.1). Như vậy, trọng lực không ảnh hưởng đến phương trình vi phân chuyển động.2.1.4 Ảnh hưởng của sự rung động gối tựa ckmv(t)p(t)(W)SffDp(t)fI∆stnh hưởng của trọng lựcfSfDfIp(t)WWv(t)v(t)v(t) Phương trình cân bằng lực: 0=++SDIffftrong đó lực quán tính:tIvmf= với gtvvv+= là tổng của v là chuyển vò uốn và vg là chuyển vò gối tựa (mặt đất). 0=+++kvvcvmvmghay: )(tPvmkvvcvmeffg≡−=++ (2.5)Kết luận: geffvmtP−=)( là tải trọng do rung động gối tựa. Như vậy sự rung động của mặt đất tương đương như lực kích động effPtác dụng tại vật nặng.vg(t)vvtfIfC0.5fS0.5fS 2.1.5 Hệ một bậc tự do suy rộng (Generalised SDOF System)Hệ có đặc trưng vật lý phân bố (m, EI…), thực chất có vô hạn bậc tự do. Nếu coi hệ chỉ dao động với một hàm dạng nào đó thì hệ trở thành 1 bậc tự do. Tìm các đặc trưng tập trung cho hệ 1 DOF.Giả sử hệ chòu rung động ngang vg(t) của gối tựa (do động đất chẳng hạn). Dùng nguyên lý Hamilton để thiết lập phương trình chuyển động. Đặt: v(x,t) = ψ(x) Z(t) (2.6) ψ(x) - Hàm dạng (Shape Function)Z(t)- Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinate) Động năng của hệ:[ ]dxtxvxmTtl20),()(21∫= dxvtxvxmTttlδδ),()(0∫= Thế năng uốn:lxxNvg(t)v (x,t) e(t)z(t)m(x)EI(x)v(x,t)chuyển vòOt [ ]dxtxvxEIVlf20),(")(21∫= dxvtxvxEIVlf"),(")(0δδ∫= (2.8) Độ co ngắn của thanh: [ ]dxtxvtel20),('21)(∫= (2.9) Thế năng lực dọc: [ ]dxtxvNNeVlN20),('2∫−=−=hay dxvtxvNVlN∫−=0'),('δδ (2.10) Vì hệ không có lực không bảo toàn (lực cản, lực kích thích) nên:∫=−210)(ttdtVTδ (*), với V = Vf + VNThế (2.7), (2.8) và (2.10) vào (*):0'),('),("),(")(),()(210 0 0=∫∫ ∫ ∫+−dtdxvtxvNdxtxvtxvxEIdxvtxvxmttl l lttδδδ(2.11) Dùng các liên hệ:)(tv=v +gv và )(tvδ=vδ"v =z"ψ và Zvδψδ""=v’ = ψ’Z và Zvδψδ''=Zvψ= và vδ=ψZδ (2.12) zδzvtOvgδvv Thế (2.12) vào (2.11) 0)'(")()()()(210 0 0 0222=∫∫ ∫ ∫ ∫+−+dtdxZNZdxxEIZZdxxmtvZdxxmZZttl l l lgψδψδψδψδ (2.13) Chú ý rằng tích phân ∫ldxxf0)( không phụ thuộc t, nên đóng vai trò là các hằng số khi thực hiện tích phân theo biến t. Để làm xuất hiện các thừa số δZ trong 2 số hạng đầu, tích phân từng phần:∫∫∫ ∫∫−=−===212121212121)(ttttttttttttdtZZdtZZZZdtZdtdZdtdtdZZdtZZδδδδδδ(2.14) ∫∫−=212121)()()(ttgttttggZdttvZtvdtZtvδδδ(2.15) Thế (2.14) và (2.15), phương trình (2.13) trở thành:[ ]∫=−−+210)(****tttGZdttpZkZkZmδ(2.16) ∫=ldxxmm02*)(ψ : Khối lượng suy rộng∫=ldxxEIk02*)")((ψ : Độ cứng suy rộng∫=lGdxNk02*)'(ψ : Độ cứng hình học suy rộng ∫−=lgtdxxmtvtp0*)()()(ψ : Tải trọng suy rộng Vì δZ bất kỳ nên lượng trong ngoặc triệt tiêu, thu được phương trình chuyển động hệ suy rộng: )()()(***tptZktZmt=+ (2.18) với ***Gkkk−= : Độ cứng suy rộng kết hợp (2.19) Khi lực dọc N đạt trò số tới hạn N = Ncr thì 0*=k. Từ đó, suy ra công thức tính lực Ncr là: ∫∫=llcrdxdxxEIN0202)'()")((ψψ(2.20)Đây là công thức của phương pháp Rayleigh.Chú ý:Nếu thanh chòu lực kích thích phân bố p(x,t) và lực dọc N(x) thì công thức tính lực kích thích suy rộng (lực tập trung) p*(t) và độ cứng hình học k*G lần lượt là: ∫=ldxxtxptp0*)(),()(ψ (2.21) ∫=lGdxxxNk02*)](')[(ψ (2.22) ∫=ldxxxcC02*)]()[(ψ(2.23) Thí dụ: Example E8.3, page 144, [1]p(x,t)c(x) Thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do suy rộng. Cho biết phương trình đường đàn hồi (hàm dạng ) được chọn như sau: Lxx2cos1)(πψ−=(a)Giải:p dụng (2.17), khối lượng và độ cứng suy rộng:( )LmdxLxmdxmmLL228.02cos10202*=∫−=∫=πψ(b)( )34022202*322cos4"LEIdxLxLEIdxEIkLLπππψ=∫=∫=(c)Tải trọng tương đương suy rộng (bỏ qua dấu trừ):)(364.02cos1)()()(00*tvLmdxLxtvmdxmtvtPgLgLg∫∫=−==πψ(d)Bỏ qua lực dọc trục, phương trình cân bằng:)(364.0)(32)(228.034tvLmtZLEItZLmg=+π(e)Nếu xét lực dọc N thì độ cứng hình học suy rộng:( )∫ ∫===L LGLNdxLxLNdxNk02022*82sin2'πππψ(f)Độ cứng suy rộng kết hợp:LNLEIkkkG832234***ππ−=−=LxxNvg(t)v (x,t) e(t)z(t)mEIv(x,t)chuyển vòOt [...]... vào (2. 39) và đồng nhất 2 vế, thu được: 22 2 2 222 2 1 )2( )1( 2 )2( )1( 1 ξββ ξβ ξββ β +− − = +− − = k p G k p G o o (2. 40) Vì nghiệm quá độ tắt rất nhanh, nên hệ chỉ dao động theo nghiệm riêng. Dùng vector quay trên giản đồ Argrand, ta tìm được: 2 1 2 1 22 2 1 2 ] )2( )1[( β ξβ θξωβρ − =+−= − − tg k p o (2. 41) và phương trình dao động ổn định: )sin()( θωρ −= ttv (2. 42) Imaginary Real ϖ t ϖ t ρ θ 2 β (1−β... Loga: 2 1 1 22 ln ξω ω πξ ω ω πξδ − === + Dn n v v = 2 1 2 ξ πξ − ≈ 2 πξ , với ξ nhỏ. πξ πξ πξ πξδ 21 !2 )2( 21 2 2 1 +≈+++=== + ee v v n n Do đó: ξ = 1 1 2 + + − n nn v vv π (2. 32) Chính xác hơn: ξ = mn mnn vm vv + + − π 2 (từ mt mn n e v v ξω = + ) (2. 33) Công thức (2. 32) và (2. 33) dùng xác định tỉ số cản ξ bằng thực nghiệm. Hệ số cản: c = 2mωξ (2. 34) giá trị này lớn hơn 21 % so với giá trị từ (h). 2. 6 .2 Tích phân bằng... ttv (2. 42) Imaginary Real ϖ t ϖ t ρ θ 2 β (1−β ) + (2 β) 2 2 p k o 1 − β (1−β ) + (2 β) k p o 2 2 2 2 2 Biểu diễn dao động bằng vectơ quay trong đó: [ ] 2 2 )0( )0()0( v vv D +       + = ω ξω ρ  θ = tan -1 )0( )0()0( v vv D ω ξω +  (2. 30) Đồ thị chuyển động với v(0) ≠ 0, )0(v  = 0. Xác định tỉ số cản ξ : Phương trình dao động tự do theo điều kiện đầu: v(t) ρ t π ω 2 ω 3π ω 4π ω D D D D v 0 O - ξω t e v 1 v 2 2. 4 PHẢN ỨNG... của (c): s = 2 2 22 ω −       ±− m c m c (2. 27) Dạng dao động phụ thuộc vào trị số của hệ số cản c (vào biểu thức dưới dấu căn có dấu dương, âm hay bằng không) - Cản tới hạn (Critical damping) c = c cr c cr = 2m ω thì 0 2 2 2 =−       ω m c cr s = ω −=− m c cr 2 v(t) v(0) ρ T = ω v(0) θ 2 ω t v(0) v(0) v(t) t O - Hệ số động (Dynamic Magnification Factor): 22 2 )2( )1( 1 ξββ ρ +− == k p D o ...Tỷ số chu kỳ: 994.0 606.0 5 72. 0 === p T T β Biên độ dao động đứng của ôtô là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(009.5 944.04. 029 44.01 944.04 .21 05.3 21 21 2 1 22 2 2 1 2 2 2 2 max cm TR vvv gogo t =       ××+− ××+ × =       +− + == ξββ βξ Nếu xe không có damper ( ξ = 0) thì: )(69 .27 944.01 05.3 1 1 22 max cm vv go t = − = − = β lớn gấp 5.5 lần khi có damper.... ) t k p tv o ω cos1)( −= (2. 62) + Phase II: 0 1 ≥−= ttt Dao động tự do theo (2. 60) ttvt tv tv ωω ω cos)(sin )( )( 1 1 +=  (2. 63) - v max thuoäc Phase I : 1 tt ≤ 2 ,,0sin0 )( T ttt dt tdv ====⇒= ω π πωω Nếu 1 tt ≤ tức là ⇒≥ 2 1 T t hệ số động D = 2, với 2 1 1 ≥ T t - v max thuộc Phase II: 0 1 ≥−= ttt Biên độ dao động: [ ] 2 1 2 1 max )( )( tv tv v +       == ω ρ  2. 2.3 Dao động tự do có... dạng: tin etkvtvctvm 1 )()()( ω =++  (2. 55) Nghiệm ổn định có dạng: tin n enHtv 1 )()( 1 ω ω = (2. 56) Thế vào (2. 56), (2. 55) ta được: ( ) ω ω β ξββ ω = ++− = 1 1 2 1 2 1 ; 12 1 )( innk nH (2. 57) Dùng nguyên lý chồng chất tác dụng: v(t)= e - ξω t ( D vv ω ξω )0()0( +  sin ω D t+v(0)cos ω D t) (2. 31) Chu kỳ dao động có cản: T = D ω π 2 Thế vào (2. 29): )2exp()exp( 1 Dn n T v v ω ω πξξω == + Độ giảm Loga: 2 1 1 22 ln ξω ω πξ ω ω πξδ − === +... wave Triangular Hệ số động (Dynamic manificati on factor), D Ratio t 1 T = Impulse duration Period - Nếu v max thuộc Phase II: khi ωω > ( ω càng lớn thì ω π 2 1 =t càng nhỏ) Dùng điều kiện ban đầu v(t 1 ) và v  (t 1 ), ta có biên độ dao động tự do (2. 25) [ ] 2 1 2 2 1 2 1 cos 22 1 )( )(       + − =+       = β π β βω ρ k p tv tv o  Hệ số động: )cos1 (2 1 2 0 β π β βρ + − == p k D hay... một bậc tự do suy rộng). 2. 1 .2 Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động 2. 1 .2. 1 Nguyên lý D’Alembert p(t) + f S + f I + f D =0 hay )(tpkvvcvm =++  (2. 1) 2. 1 .2. 2 Nguyên lý công khả dó p(t) f f f D S I Lực tác dụng c k v(t) p(t) m Mô hình SDOFs Điều kiện ban đầu: )()0( 1 tvtv == )()0( 1 tvtv  == Theo (2. 24): ttvt tv tv ωω ω cos)(sin )( )( 1 1 +=  (2. 60) Tùy thuộc vào tỷ số... tDvtv go Chuyển động toàn bộ v t bằng tổng vector của v g và v: ( ) )sin (21 )( 2 θωξβ −+= tDvtv got Tỷ số truyền: ( ) 2 max 21 ξβ +== DTR v v go t (2. 48) Tỷ số truyền dao động giống nhau cho cả 2 trường hợp. Chú ý: Nếu không có damper thì: 1 1 2 − = β TR (2. 49) Thí dụ: Xe được mô hình một bậc tự do, chuyển động v = 72. 4km/h. Độ cứng lò xo: 100lb gây chuyển vị 0.8 in, ξ =0.4. Coi kích động đứng là . )0()0(vvω (2. 25) chu kỳ: T = f 12= ωπ (2. 26) 2. 2.3 Dao động tự do có cản c ≠ 0Nghiệm của (c): s = 22 22 −±−mcmc (2. 27) Dạng dao động phụ thuộc. nhỏ.πξπξπξπξ 21 ...... !2) 2 (21 221 +≈+++===+eevvnnDo đó: ξ =1 12+ +−nnnvvvπ (2. 32) Chính xác hơn: ξ =mnmnnvmvv++− 2 (từ mtmnnevvξω=+) (2. 33) Công thức (2. 32) và (2. 33)