Bài giảng động lực học - Chương 2

Bài giảng động lực học

CHƯƠNG 2 HỆ MỘT BẬC TỰ DO

2.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG 2.1.1 Mô hình hệ một bậc tự do

Single Degree of Freedom system – SDOFs

Chú ý: Hệ một bậc tự do có các đặc trưng phân bố

m, k, c, p(t) đều có thể đưa về mô hình có các đặc trưng vật lý tập trung (hệ một bậc tự do suy rộng)

2.1.2 Các phương pháp thiết lập

phương trình chuyển động

2.1.2.1 Nguyên lý D’Alembert

p(t) + f S + f I + f D =0

hay

)

(t p kv

v c v

m  +  + = (2.1)

2.1.2.2 Nguyên lý công khả dĩ

p(t) f

f f

v(t) p(t)

m

Mô hình SDOFs

Cho khối lượng chuyển vị khả dĩ δv Công khả dĩ:

δW = p(t)δv + f S δv + f I δv + f D δv = 0

hay [ − m v  − c v  − kv + p ( t )] δ v = 0

vì δv ≠ 0 nên thu được giống như (2.1)

2.1.2.3 Nguyên lý Hamilton

Động năng của hệ:

2

2

1

v m

T =  , biến phân

động năng δ T = m v  δ v 

Thế năng biến dạng

đàn hồi của lò xo: 2

Theo nguyên lý Hamilton: [ ( ) ] 0

2

1

= +

δ

0 ]

) ( [

2

1

= +

v

m δ  δ  δ δ (2.2)

f = kvsLực

Chuyển vị

tích phân từng phần số hạng thứ nhất:

∫

1

2 1 2

t

t

vdt v

m v

v m dt

v v

p kv v

c v

m   δ (2.4)

Nhận xét: Cả 3 phương pháp cho cùng kết qủa vì cùng dựa trên định luật quán tính của Newton Trong trường hợp cụ thể này nguyên lý

D’Alembert là đơn giản nhất

2.1.3 Ảnh hưởng của trọng lực

Phương trình chuyển động:

W )

t ( p kv

v c v

trong đó W là trọng lượng của khối cứng.

Chuyển vị v gồm tổng của chuyển vị tĩnh

(Static Displacement) ∆st gây bởi trọng lượng W

và chuyển vị động v

v

Thay biểu thức của lực đàn hồi

v k k

kv

vào phương trình chuyển động:

W t

p v

k k

v c v

Mặt khác W = k∆st nên phương trình cuối cùng:

)

(t p v

k v

c v

m  +  + =

Kết luận: Nếu lấy vị trí cân bằng tĩnh học do trọng lượng P =

mg gây ra làm mốc để tính chuyển vị thì phương trình vi

phân chuyển động vẫn có dạng (2.1) Như vậy, trọng lực

không ảnh hưởng đến phương trình vi phân chuyển động.

2.1.4 Ảnh hưởng của sự rung động gối tựa

c k

m

v(t) p(t)

v

(t)

Phương trình cân bằng lực: fI + fD + fS = 0

trong đó lực quán tính: f I = m vt với v t = v + v g

là tổng của v là chuyển vị uốn và v g là chuyển vị gối tựa (mặt đất)

0

= +

2.1.5 Hệ một bậc tự do suy rộng (Generalised

SDOF System)

Hệ có đặc trưng vật lý

phân bố (m, EI…), thực

chất có vô hạn bậc tự do

Nếu coi hệ chỉ dao động

thì hệ trở thành 1 bậc tự

do Tìm các đặc trưng tập

trung cho hệ 1 DOF

Giả sử hệ chịu rung động ngang v g (t) của gối

tựa (do động đất chẳng hạn) Dùng nguyên lý

Hamilton để thiết lập phương trình chuyển động

Đặt:

v(x,t) = ψ(x) Z(t) (2.6)

ψ(x) - Hàm dạng (Shape Function)

Z(t)- Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinate)

Động năng của hệ:

[v x t ] dx x

m

0

) , ( )

( 2

l x

chuyển vị

O

t

[v x t ] dx x

EI

0

) , (

"

) ( 2

e t l [v x t ]2dx

0

) , (

' 2

1 )

( = ∫ (2.9)

Thế năng lực dọc: V N Ne N l [v x t ]2dx

0

) , (

(

t

t

dt V T

δ (*), với V = V f + V N

Thế (2.7), (2.8) và (2.10) vào (*):

0 '

) , ( ' )

, (

"

) , (

"

) ( )

, ( )

) (t v =v +v g và δv (t)=δv

Thế (2.12) vào (2.11)

0 )'

(

"

) ( )

( ) ( )

(

2

2 2

nên đóng vai trò là các hằng số khi thực hiện tích

phân theo biến t Để làm xuất hiện các thừa số δZ

trong 2 số hạng đầu, tích phân từng phần:

Z Z Z

Z dt Z dt

d Z dt

dt

dZ Z dt

1

2

1

) ( )

( )

(

t

t g t

p Z k Z k Z

Vì δZ bất kỳ nên lượng trong ngoặc triệt tiêu,

thu được phương trình chuyển động hệ suy rộng:

m*Z (t) + k *Z(t) = p t* (t) (2.18) với * * *

G

k k

k = − : Độ cứng suy rộng kết hợp (2.19)

Khi lực dọc N đạt trị số tới hạn N = N cr thì

EI N

0 2 0

2

) ' (

Thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do suy rộng

Cho biết phương trình đường

đàn hồi (hàm dạng ) được

chọn như sau:

2

cos 1

)

Giải:

Aùp dụng (2.17), khối lượng

và độ cứng suy rộng:

L

x m

dx m

2 cos

1

0

2 0

2 0

2

*

32 2

cos 4

"

L

EI dx

L

x L

EI dx EI

0 2

cos 1 ) ( )

(

)

(

0 0

L

x t

v m dx m t v

) ( 364

0 )

( 32

) ( 228

.

4

t v L m t

Z L

EI t

Z L

L

x L

N dx N

*

8 2

sin 2

Độ cứng suy rộng kết hợp:k k k G EI L N L

8 32

2 3

chuyển vị

O

t

Vì vậy tải trọng tới hạn mất ổn định thu được khi cho độ cứng kết hợp bằng 0 là:

3

2 2

cr

N L

0 ) (

1 32

) ( 228

.

4

t v L m t

Z N

N L

EI t

Z L

2 2

L

EI dx

L EI

k G L

3

4 2

0

2 2

3 4

giá trị này lớn hơn 21% so với giá trị từ (h).

2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO

2.2.1 Nghiệm của phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do (kể cả suy rộng) có dạng:

)()

()

(t c v t kv p t v

Nếu không có lực kích thích p(t) = 0 thì:

m v  ( t ) + c v  ( t ) + kv = 0 (a)

Nghiệm có dạng: v(t) = Ge st

Thế vào (a) ta được:

(ms 2 + cs + k) Ge t = 0 (b) Đặt

(c) là phương trình đặc trưng,

nghiệm s của (c) tùy thuộc

vào hệ số cản c.

e = cos±iωt ωt ± isin ω t Công thức Euler:

2.2.2 Dao động tự do không cản c = 0

Khi đó (c) có nghiệm: s = ± iω do đó nghiệm của (a) là:

v

sinωt + v(0)cosωt (2.24) Có thể viết (2.24) dưới dạng khác:

v(t) = ρ cos(ωt - θ)

(2.24') Với biên độ

2

)]

0([







+

(2.26)

2.2.3 Dao động tự do có cản c ≠ 0

c

(2.27)

Dạng dao động phụ thuộc vào trị số của hệ số

cản c (vào biểu thức dưới dấu căn có dấu dương,

âm hay bằng không)

c cr = 2mω thì

02

t

v(0) v(0) v(t)

t

O

Phương trình chuyển động:

trong đó:

[ ]2

2

)0(

)0()

0

(

v

v v

)0()

0

(

v

v v

Đồ thị chuyển động với v(0) ≠ 0, v(0) = 0

Xác định tỉ số cản ξ:

Phương trình dao động tự do theo điều kiện đầu:

v(t)

ρ

t

π ω

2π ω

3π ω 4π ω

D

D

D D

0( +

=+

Độ giảm Loga:

2

ln

ξω

ωπξ

ω

ωπξ

πξ

!2

)2

(2

1

2 2

1

+

≈+

++

m n n

v m

v v

n e v

=+

- Cản nhiều ( Overdamping )

Khi ξ > 1 (c > c cr) thì không có dao động, tương tự

khi c = c cr

ξ càng lớn thì chuyển động về vị trí cân bằng càng chậm

2.3 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ

2.3.1 Hệ không cản

Lực kích thích: p(t) = p0 sinωt

Phương trình: m v(t) + kv(t) = p o sinωt (a)

Nghiệm thuần nhất: v h (t) = Asinωt + Bcosωt

Nghiệm riêng dạng (ổn định): v p (t) = Gsinωt

Thế vào (a) rút ra: 2

p t

B t

A

t v t

v t

v

o

p h

ωβ

ω

1

1cos

sin

)()

()

(

2

−

++

=+

=

(2.35)

A, B xác định từ điều kiện ban đầu Nếu

0)

0()

0

( = v =

v  , dễ dàng tìm được:

,1

1

1)

k

p t

(sin1

1)

()

()

k p

t

v v

t

v t

R

o st

ωβ

2 )

1)

v

t

v

2.3.2 Hệ có cản

Phương trình chuyển động:

m

p t

v t

v t

v( ) + 2ξω( ) +ω2 ( ) = o sinω (2.39) Nghiệm tổng quát: v t e t A D t B D t

h( ) = − ξω ( sinω + cosω

)Nghiệm riêng: v p(t) = G1 sinωt +G2 cosωt

Thế vào (2.39) và đồng nhất 2 vế, thu được:

2 2

2 2

2 2

2

2 1

)2

()

1(

2

)2

()

1(

1

ξββ

ξβ

ξββ

k

p G

o o

1 2 2

2

1

2

])2()

1

[(

β

ξβθ

ξωβ

ρ

−

=+

)(t = ρ ωt −θ

p

k

o

1 − β (1−β ) +(2ξβ)

- Hệ số động (Dynamic Magnification Factor):

2 2

1(

1

ξββ

2 3 4

D

β

2.3.3 Sự cộng hưởng (Resonance)

Khi = =1

ω

ω

β thì xảy ra cộng hưởng Lúc này

hệ số động theo (2.43) là:

Nếu hệ không cản, tức là ξ = 0 thì Dβ=1 → ∝

Đối với hệ có cản ξ khác 0, thì Dmax xảy ra khi:

2 max

2

12

1

210

ξξ

ξ

ββ

Như vậy: Dmax khác Dβ=1

Tuy nhiên, với hệ có tỉ số cản ξ bé thì có thể coi:

2.3.4 Sự cô lập dao động (Vibration Isolation)

Sự cô lập dao động cần thiết trong 2 trường hợp:

- Thiết bị máy móc truyền rung động có hại xuống kết cấu đỡ.

- Kết cấu đỡ (bị rung) truyền dao động có hại cho thiết bị ở trên

1 Xét motor quay, tạo ra lực kích động:

t p

)

( = D ωt −θ

k

p t

p(t) = p 0 sin t

f v

Phản lực nền

Vận tốc: ( ) = Dω cos(ωt −θ)

k

p t

Lực đàn hồi: f s = kv(t) = p o Dsin(ωt −θ)

Lực cản:

)cos(

2

)cos(

)(

θω

ξβ

θω

p

t k

D

cp t

v c f

2 max

2

1 2 2

2 max

−+

ξβ

D

D p

f TR

TR = D nếu ξ = 0 (không cản)

Đồ thị cho thấy các đường cong đều:

Đạt cực đại tại β =1

Cùng đi qua điểm có β = 2

Với β > 2 thì TR < 1

Tỷ số cản ξ làm giảm hiệu quả của việc cô lập dao động khi β > 2 ==> Không nên dùng damper

2 Xét khối lượng m, chịu kích động của gối tựa

v t

m

v g (t)=v g sin t

Tỷ số truyền dao động

Vibra Transmi Ratio

Chuyển động tương đối của m so với gối tựa

cho bởi phương trình:

)sin(

)(t = v β 2D ωt −θ

Chuyển động toàn bộ v t bằng tổng vector của

v g và v:

(2 ) sin( )1

)(t = v + ξβ 2D ωt −θ

Xe được mô hình một bậc tự do, chuyển động

v = 72.4km/h Độ cứng lò xo: 100lb gây chuyển vị 0.8 in, ξ=0.4 Coi kích động đứng là điều hoà và cầu rất nhiều nhịp

cm

kG in

lb

203

0

4

4508

.0

081

.94.223

18162

g k

2

12

s v

1,2in=3,05cm

mặt cầu

Tyû soâ chu kyø: = = 00..606572 = 0.994

009

5

944

04.02944

.01

944

04.2

105

.3

21

21

2 1

2 2

2

2 1

2 2

2

2 max

cm

TR v v

βξ

Neâu xe khođng coù damper (ξ = 0) thì:

)(

69

27944

.01

05

31

1

2 2

Baøi taôp 4-3, page-77, [1]

Xeùt lái baøi toaùn tređn, nhöng nhòp L = 36 ft = 10.97 m Xaùc ñònh:

a. Toẫc ñoô gađy coông höôûng cho xe: T p = T = 0.572 s

v = L/T p = 10.97/0.572 = 19.18 m/s = 69km/h.

b. Biên độ toàn phần vmaxt của xe khi cộng hưởng:

4.02

105.3

2

2

12

21

21

21

1

2

2 2

1 2

2

2 1

2 2

2

2 max

cm

TR

T T

v v

v v

v

go go

go go

ξ

βξβ

ξβ

ω

ϖβ

c Biên độ toàn phần khi tốc độ v = 45mph = 72.4km/h =20.1m/s

0 2 1

2 1

2 1

) ( 048

1 546

0

572

0

) ( 546

0 1

20

97 10

2 1

2 2

2

2 1

2 2

2

2 2

−

×

× +

βξ

β

TR

s T

T

s v

L T

p p

)(

72.4546

.105

3

v vgo

2.4 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG CHU KỲ

2.4.1 Khai triển tải trọng thành chuỗi Fourier

Tải trọng p(t) có chu kỳ T p được khai triển chuỗi

Fourier:

p

n n p

n n o

T

n b

t T

n a

a t

sin

2cos)

n t

p T

b

dt

t T

n t

p T

a

dt t

p T

a

p p p

T

p p

n

T

p p

n

T

p o

)

2sin(

)(2

)

2cos(

)(2

)(1

0 0 0

2.4.2 Phản ứng với tải trọng chu kỳ

Khi một tải trọng chu kỳ được phân tích ra

chuỗi Fourier (2.50) thì phản ứng của hệ được xác

định theo nguyên lý chồng chất Bỏ qua nghiệm quá độ, trong trường hợp hệ không cản, phản ứng như sau:

- Với số hạng tải trọng b T n t dt

p

n sin(2π )

thì phản ứng của hệ theo (2.37) là:

)

sin(

1

1)

k

b t

ω1 = 2 : tần số vòng cơ

bản của tải trọng

- Số hạng a T n t

p n

π

2cos , phản ứng được xác định tương tự:

t

n k

a t

β

−

=

- Số hạng a o - tải trọng hằng số, gây chuyển vị tĩnh:

nx e

nx i

nx

sincos

,sin

Suy ra:

2cos

inx inx e

e nx

−+

inx inx

2sin

2

(

sincos

)(

e

e a a

t b

t n a

a t

p

inx inx

n n

inx inx

n o

++

=+

inx n

n inx

o

ib

a e

ib

a e

a t

p

n n

n

dt e

t

p T

dt t t

n t

p T

ib

a c

0

1

)(

1

sincos

)(

12

ω

ωω

o T

p o

T

t in p

n n

n n

a dt

t

p T

c n

dt e

t

p T

ib

a c

1

:

0

)(

12

1

ω

Có thể viết (*) lại:

t in n

t in

n n

t in

n n o

e c t

p hay

e c e

c c

t p

1

1 1

)(

)

(

1 1

ω

ω ω

(2.54)là phổ rời rạc của hệ số

cũng là hai số phức liên hợp, và

có tổng là thực (Real).

Dạng phức của nghiệm:

Khi phân tích tải trọng ra chuỗi Fourier phức

(2.53), phương trình chuyển động ứng với một số hạng - hàm lực phức đơn vị (Unit complex forcing function) dưới dạng:

t in

e t

kv t

v c t

v

m ( ) + ( ) + ( ) = ω1

(2.55)Nghiệm ổn định có dạng:

t in

ξββ

++

−

1

2 1 2

12

1)

(

in n

H t

Chú ý:

- H(nω1)và H(−nω1) là số phức liên hợp

- H(nω1) gọi là hàm truyền - Complex frequency response function hay là Transfer function.

2.5 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG XUNG

2.5.1 Khái niệm tải trọng xung (Impulsive Loads)

- Là tải trọng tác

dụng trong thời gian

tương đối ngắn, đột

ngột

- Phản ứng (chuyển vị

chẳng hạn ) lớn nhất

của hệ đạt được trong

O

p(t)

- Lực cản có vai trò nhỏ, hấp thụ ít năng lượng của kết cấu Vì vậy chỉ xét hệ không có cản để đơn giản hóa.

2.5.2 Xung hình sin

Xét tải trọng nửa

sóng hình sin Phản ứng

của hệ được chia ra 2

pha: Cưỡng bức và tự do

+ Phase I: 0 ≤ t ≤ t1

Kết cấu chịu tác dụng

của tải trọng điều hòa

Điều kiện ban đầu: v(0) = v(0) = 0 (trạng thái

nghỉ) Phản ứng gồm 2 số hạng (quá độ và ổn định) cho bởi (2.37) :

)sin

(sin1

1)

k

p t

ϖτ1= π

Điều kiện ban đầu: v(t = 0) = v(t1)

)()

0(t v t1

v = = Theo (2.24):

t t

v t

t

v t

)

()

Tùy thuộc vào tỷ số t 1 / T mà phản ứng cực đại

thuộc vào Phase I hoặc Phase II

- Nếu v max thuộc Phase I :

coscos

(1

1)

t dv

ωω

ω

ωβ

Hay cosωt = cosωt

ωt = 2πn ±ωt ≤ π,n = 0,±1,±2, (a)

Thế (a) vào (2.59) tìm được v max

Đặc biệt: khi ω = ω, trong (a) lấy dấu (-) và

n=1 ta có :

ωω

t

- Nếu v max thuộc Phase II: khi ω > ω (ω càng

2 1

2

1

)(

)(

βω

p t

πβ

β

2

cos1

Tải trọng đặt đột ngột

và giữ nguyên không đổi

trong phase I Nghiệm

riêng cho tải trọng bậc

thang (Step loads) là chuyển vị tĩnh:

v( ) = o 1− cosω (2.62)

+ Phase II: t = t − t1 ≥ 0

Dao động tự do theo (2.60)

t t

v t

t

v t

)

()

- v max thuộc Phase I : t ≤ t1

2

,,

0sin

0

)

t t

t dt

t dv

ωω

Nếu t ≤ t1 tức là ≥ ⇒

2

1

T t

hệ số động D = 2, với

- v max thuộc Phase II: t = t − t1 ≥ 0

Biên độ dao động:

[ ]2 1

2 1

vì v(t 1) = 1 1

2sin

T k

p t

2 1

cos1

=

T

t k

p t

T k

2cos1

V D

(

t

t k

P t

t k

p t

1 1

1 1

1

1sin

cos)

(

cos

sin)

(

t

t t

t k

p t

v

t t

t k

p t

v

o o

ω

ωω

ωω

ωω

ω



(2.66)

Dao động tự do của Phase II thu được bằng

cách thế (2.66) vào (2.60) v max tìm từ điều kiện v

(t) = 0 Với 1 ≤ 0 4

T

t

thì v max thuộc Phase I

Hệ số động D cho ở bảng:

T

D 0.66 1.05 1.2 1.42 1.55 1.69 1.76

2.5.5 Phổ phản ứng (Response Spectra)

Khái niệm: Phổ phản ứng là đồ thị của hệ số động

D theo tỷ số chiều dài xung T t /1 , 

Ý nghĩa: Dùng tính chuyển vị của kết cấu chiụ tác

dụng của xung lực

Chú ý:

Nếu kết cấu chịu chuyển động của gối đỡ v g (t), thì tương đương với chịu lực xung p t (t) = -mv g (t), với trị số lớn nhất p o = - m v

g0 Khi này hệ số động được định nghĩa :

k v

m

v D

Vì vg0 đo được nên sẽ tính được gia tốc cực đại

của kết cấu vmaxt

2.5.6 Tính toán gần đúng phản ứng do lực xung

Giả xử p(t) là lực xung

trong thời gian t 1 rất bé Hệ có

chuyển vị v(t), cân bằng lực:

kv t

p dt

v

d m v

m  =  = ( ) −

[ p kv]dt v

0()

()

(

1 t

t v v

t v dt

t

p m

)(

t

s kip dt

Chu kỳ dao động của hệ: T = 2 = 2s

)14.3(000,

2

)386(

10)

2.6 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG TỔNG QUÁT

2.6.1 Tích phân Duhamel cho hệ không cản

Xét tải trọng bất kỳ p(t) Xét thời điểm t =τ , theo (2.67) ta có :

)(

sin

)

()

với t >τ t = t −τ

Đây là dao động tự do của hệ sau khi chịu xung lực p )(τ dτ ; dv(t) không phải là độ thay đổi của chuyển vị v trong thời gian dτ

Toàn bộ lịch sử tải trọng có thể xem như bao gồm sự nối tiếp của các xung lực ngắn, mỗi xung lực tạo ra một phản ứng vi phân theo (2.68) Phản

Phản ứng dv(t) sau khi chịu xung p( τ)dτ

ứng toàn bộ là do chồng chất của các xung lực tạo

sin)(

1)

)()

( τ τ τ - (2.71)

Hàm h(t −τ) được coi như phản ứng với xung lực đơn vị

Nếu ở thời điểm t = 0 (lực bắt đầu tác dụng),

kết cấu có điều kiện ban đầu khác không:

0)

0(,0)

τω

ω

ωω

d t

p m

t o

v t

o

v t

v

t

++

=

0

)(

sin)(

1

cos)

(sin

)

()

( 

(2.72)

2.6.2 Tích phân bằng phương pháp số cho

Duhamel Integral

Dùng công thức lượng giác:

ωτω

ωτω

t

d

p m

t t

v

0

0

sin)(

1cos

cos)

(

1sin

)(

τωτ

τω

ω

τωτ

τω

t n

t

p m

t

A

0 0

) (

)(

1cos

)(

1)

ω

τωτ

τ

ω τ τ ττ τ τ ττ

Phương pháp Simpson

Chia t ra n phần (n chẵn)

24

2

43

)

2.6.3 Phản ứng của hệ có cản

Trong (2.31) dùng điều kiện ban đầu do xung lực p )(τ dτ tạo ra :v(o) = 0, v(0) =

ωω

D

t ( ) sin ( ) ,)

D

d t

e

p m

1)

ω

τ ξω

(2.75)Tương tự hệ không cản, ta có:

)(

sin

1)

B t

t A t

v( ) = ( )sinωD − ( )cosωD (2.77)