Bài giảng động lực học - Chương 2

Bài giảng động lực học

CHƯƠNG 2 HỆ MỘT BẬC TỰ DO

2.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG2.1.1 Mô hình hệ một bậc tự do

Single Degree of Freedom system – SDOFs Concentrated Properties

Chú ý: Hệ một bậc tự do có các đặc trưng phân bố

m, k, c, p(t) đều có thể đưa về mô hình có các đặc trưng vật lý tập trung (hệ một bậc tự do suy rộng).

2.1.2 Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động

2.1.2.1 Nguyên lý D’Alembert

p(t) + fS + fI + fD =0

hay

m++= (2.1)

2.1.2.2 Nguyên lý công khả dĩ

Mô hình SDOFs

Cho khối lượng chuyển vị khả dĩ δv Công khả dĩ:

δW = p(t)δv + fS δv + fI δv + fD δv = 0

hay [−mv−cv−kv+p(t)]δv=0

vì δv ≠ 0 nên thu được giống như (2.1).

2.1.2.3 Nguyên lý Hamilton

Động năng của hệ: 2

Theo nguyên lý Hamilton: [()]0

mδδδδ (2.2)

f = kvsLực

Chuyển vị

tích phân từng phần số hạng thứ nhất:

 (2.3) thế (2.3), (2.2): 2[()]0

m δ (2.4)

Nhận xét: Cả 3 phương pháp cho cùng kết qủa vì cùng dựa trên định luật quán tính của Newton Trong trường hợp cụ thể này nguyên lý

D’Alembert là đơn giản nhất

2.1.3 Ảnh hưởng của trọng lực

Phương trình chuyển động:

trong đó W là trọng lượng của khối cứng.

Chuyển vị v gồm tổng của chuyển vị tĩnh

(Static Displacement) ∆st gây bởi trọng lượng W

và chuyển vị động v

v

Thay biểu thức của lực đàn hồi

vào phương trình chuyển động:

Mặt khác W = k∆st nên phương trình cuối cùng:)

m  +  + =

Kết luận: Nếu lấy vị trí cân bằng tĩnh học do trọng lượng P =

mg gây ra làm mốc để tính chuyển vị thì phương trình vi

phân chuyển động vẫn có dạng (2.1) Như vậy, trọng lực

không ảnh hưởng đến phương trình vi phân chuyển động.

2.1.4 Ảnh hưởng của sự rung động gối tựa

(t)

Phương trình cân bằng lực: fI +fD +fS =0

trong đó lực quán tính: fI = mvt với vt = v + vg

là tổng của v là chuyển vị uốn và vg là chuyển vị gối tựa (mặt đất)

fC0.5fS0.5fS

2.1.5 Hệ một bậc tự do suy rộng (Generalised

SDOF System)

Hệ có đặc trưng vật lý

phân bố (m, EI…), thực

chất có vô hạn bậc tự do Nếu coi hệ chỉ dao động

thì hệ trở thành 1 bậc tự do Tìm các đặc trưng tập trung cho hệ 1 DOF.

Giả sử hệ chịu rung động ngang vg(t) của gối

tựa (do động đất chẳng hạn) Dùng nguyên lý

Hamilton để thiết lập phương trình chuyển động

v(x,t) = ψ(x) Z(t) (2.6)

ψ(x) - Hàm dạng (Shape Function)

Z(t)- Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinate)

Động năng của hệ:

[vxt ] dxx

v (x,t)e(t)z(t)

chuyển vị

t

[vxt ] dxx

etl [vxt ]2dx

( = ∫ (2.9) Thế năng lực dọc: VNNeNl [vxt ]2dx

),('2 ∫

hay VN =−N∫lvxtvdx

δ (2.10) Vì hệ không có lực không bảo toàn (lực cản, lực kích thích) nên:

δ (*), với V = Vf + VN

Thế (2.7), (2.8) và (2.10) vào (*):

δ vv

Thế (2.12) vào (2.11)

∫ZZ∫mxdx+ Zvt ∫mxdx−ZZ∫EIxdx+ NZZ∫ dxdt

( không phụ thuộc t,

nên đóng vai trò là các hằng số khi thực hiện tích

phân theo biến t Để làm xuất hiện các thừa số δZ

trong 2 số hạng đầu, tích phân từng phần:

Zδ  δ  δ δ δ  δ  (2.14)

= lmxdxm

Vì δZ bất kỳ nên lượng trong ngoặc triệt tiêu,

thu được phương trình chuyển động hệ suy rộng: m*Z(t)+ k *Z(t)= pt*(t) (2.18) với ***

k =− : Độ cứng suy rộng kết hợp (2.19)

Khi lực dọc N đạt trị số tới hạn N = Ncr thì

*()(,)ψ() (2.21)

∫= l

Thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do suy rộng

Cho biết phương trình đường đàn hồi (hàm dạng ) được chọn như sau:

 −=

∫ =

Tải trọng tương đương suy rộng (bỏ qua dấu trừ):

P g ∫L g ∫L  =g

 −=

(d)Bỏ qua lực dọc trục, phương trình cân bằng:

Độ cứng suy rộng kết hợp:kkkGEILNL

v (x,t)e(t)z(t)

chuyển vị

t

Vì vậy tải trọng tới hạn mất ổn định thu được khi cho độ cứng kết hợp bằng 0 là:

(j)Do đó, bất kỳ hình dạng nào thỏa mãn điều kiện biên hình học đều được rút ra từ hàm dạng ψ (x)

Nếu hàm này được cho bởi dạng parabolic 22

Lxx =

Khi này độ cứng đàn hồi suy rộng trở thành:

= ∫

Tải trọng tới hạn được rút ra từ **

k = là:

LEI

giá trị này lớn hơn 21% so với giá trị từ (h).

2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO

2.2.1 Nghiệm của phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do (kể cả suy rộng) có dạng:

Nếu không có lực kích thích p(t) = 0 thì:

mv(t)+cv(t)+kv=0 (a)

Nghiệm có dạng: v(t) = Gest

Thế vào (a) ta được:

(ms2 + cs + k) Get = 0 (b) Đặt

ω thì (b) dẫn tới: s2 +

+ ω2 = 0 (c) (c) là phương trình đặc trưng,

nghiệm s của (c) tùy thuộc vào hệ số cản c.

1 Reale

e = cos±iωt ωt ± isin ωtCông thức Euler:

2.2.2 Dao động tự do không cản c = 0

Khi đó (c) có nghiệm: s = ± iω do đó nghiệm của (a) là:

sinωt + v(0)cosωt (2.24) Có thể viết (2.24) dưới dạng khác:

v(t) = ρ cos(ωt - θ)

(2.24') Với biên độ

(2.26)

2.2.3 Dao động tự do có cản c ≠ 0

Nghiệm của (c): s = 22

(2.27) Dạng dao động phụ thuộc vào trị số của hệ số

cản c (vào biểu thức dưới dấu căn có dấu dương,

âm hay bằng không)

ccr = 2mω thì

s = − = −ω

O

Phương trình chuyển động:

=

ωωD

trong đó:

Đồ thị chuyển động với v(0) ≠ 0, v(0) = 0.

Xác định tỉ số cản ξ:

Phương trình dao động tự do theo điều kiện đầu:

v2

v(t)= e-ξωt(

0( +

2Thế vào (2.29):

Độ giảm Loga:

= 1 2

− ≈ 2 πξ, với ξ nhỏ.

Do đó: ξ =

2 +

Chính xác hơn: ξ =

) (2.33) Công thức (2.32) và (2.33) dùng xác định tỉ số cản

ξ bằng thực nghiệm.

Hệ số cản: c = 2mωξ (2.34)

- Cản nhiều (Overdamping)

Khi ξ > 1 (c > ccr) thì không có dao động, tương tự

khi c = ccr

ξ càng lớn thì chuyển động về vị trí cân bằng càng chậm.

2.3 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ

2.3.1 Hệ không cản

với:

Vậy nghiệm tổng quát:

sin

A, B xác định từ điều kiện ban đầu Nếu

( = v =

v  , dễ dàng tìm được:

(2.36) thế vào (2.35) ta được:

Trong thực tế, lực cản làm cho số hạng sau biến mất sau một khoảng thời gian ngắn Khi đó hệ số động (Manification Factor) sẽ là:

2.3.2 Hệ có cản

Phương trình chuyển động:

v( ) + 2ξω( ) +ω2 ( ) = o sinω (2.39) Nghiệm tổng quát: vtetADtBDt

h( ) = −ξω ( sinω + cosω

)Nghiệm riêng: vp(t) = G1 sinωt +G2 cosωt

Thế vào (2.39) và đồng nhất 2 vế, thu được:

(2.40)Vì nghiệm quá độ tắt rất nhanh, nên hệ chỉ dao động theo nghiệm riêng Dùng vector quay trên

giản đồ Argrand, ta tìm được:

12

(2.41)và phương trình dao động ổn định:

1 − β(1−β ) +(2ξβ)

kp o

- Hệ số động (Dynamic Magnification Factor):

ξ = 0.5ξ = 1

β

2.3.3 Sự cộng hưởng (Resonance)

Khi = =1

β thì xảy ra cộng hưởng Lúc này

hệ số động theo (2.43) là:

Nếu hệ không cản, tức là ξ = 0 thì Dβ=1 → ∝

Đối với hệ có cản ξ khác 0, thì Dmax xảy ra khi:

Như vậy: Dmax khác Dβ=1

Tuy nhiên, với hệ có tỉ số cản ξ bé thì có thể coi:

2.3.4 Sự cô lập dao động (Vibration Isolation)

Sự cô lập dao động cần thiết trong 2 trường hợp:

- Thiết bị máy móc truyền rung động có hại xuống kết cấu đỡ.

- Kết cấu đỡ (bị rung) truyền dao động có hại cho thiết bị ở trên.

1 Xét motor quay, tạo ra lực kích động:t

p( ) = o sinω

Chuyển động ổn định

(Steady-State Displacement):

( = D ωt −θ

p(t) = p0 sint

Phản lực nền

Vận tốc: ( ) = Dω cos(ωt −θ)

Lực đàn hồi: fs = kv(t) = poDsin(ωt −θ)Lực cản:

2

oD 

Vì fS(t) và fD(t) lệch pha 90o, nên biên độ phản lực nền là:

[ 2 ]12max

TR = D nếu ξ = 0 (không cản) Đồ thị cho thấy các đường cong đều:

Đạt cực đại tại β =1

Cùng đi qua điểm có β = 2

Với β > 2 thì TR < 1

Tỷ số cản ξ làm giảm hiệu quả của việc cô lập dao động khi β > 2 ==> Không nên dùng damper

2 Xét khối lượng m, chịu kích động của gối tựa

ξ = 0.25

TR

Chuyển động tương đối của m so với gối tựa

cho bởi phương trình:

(2.48)Tỷ số truyền dao động giống nhau cho cả 2 trường hợp.

Chú ý: Nếu không có damper thì:

Xe được mô hình một bậc tự do, chuyển động

v = 72.4km/h Độ cứng lò xo: 100lb gây chuyển vị 0.8 in, ξ=0.4 Coi kích động đứng là điều hoà và cầu rất nhiều nhịp.

Chu kỳ dao động tự nhiên của xe:

Chu kỳ kích động bằng thời gian đi hết một nhịp cầu: 0.606( )

L = 40fl = 12,2mvt

mặt cầu

Tyû soâ chu kyø: = = 00..606572 = 0.994

5

05.3

cmTR vv

Neâu xe khođng coù damper (ξ = 0) thì:

lôùn gaâp 5.5 laăn khi coù damper Ñieău ñoù noùi leđn söï caăn thieât cụa damper ñeơ hán cheâ söï dao ñoông ñöùng cụa ođtođ khi cháy tređn maịt ñöôøng löôïn soùng.

Baøi taôp 4-3, page-77, [1]

Xeùt lái baøi toaùn tređn, nhöng nhòp L = 36 ft = 10.97 m Xaùc ñònh:

a. Toẫc ñoô gađy coông höôûng cho xe: Tp = T = 0.572 sv = L/Tp = 10.97/0.572 = 19.18 m/s = 69km/h.

b. Biên độ toàn phần vmaxt của xe khi cộng hưởng:

05.3

 +=

c Biên độ toàn phần khi tốc độ v = 45mph = 72.4km/h =20.1m/s

v vgo

2.4 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG CHU KỲ

2.4.1 Khai triển tải trọng thành chuỗi Fourier

Tải trọng p(t) có chu kỳ Tp được khai triển chuỗi

ππ

2.4.2 Phản ứng với tải trọng chu kỳ

Khi một tải trọng chu kỳ được phân tích ra

chuỗi Fourier (2.50) thì phản ứng của hệ được xác

định theo nguyên lý chồng chất Bỏ qua nghiệm quá độ, trong trường hợp hệ không cản, phản ứng như sau:

- Với số hạng tải trọng bTntdt

pn sin(2π )

thì phản ứng của hệ theo (2.37) là:

n = = = ;

ω1 = 2 : tần số vòng cơ

bản của tải trọng.

- Số hạng aTnt

−=

- Số hạng ao - tải trọng hằng số, gây chuyển vị tĩnh:

Suy ra:

Tải trọng:

 ++

 −+

at

Duøng (2.51):

:

)( )(

)(

và intnec −ω1

cũng là hai số phức liên hợp, và

có tổng là thực (Real).Dạng phức của nghiệm:

Khi phân tích tải trọng ra chuỗi Fourier phức

(2.53), phương trình chuyển động ứng với một số hạng - hàm lực phức đơn vị (Unit complex forcing function) dưới dạng:

m ( ) + ( ) + ( ) = ω1

(2.55)Nghiệm ổn định có dạng:

v ( ) = ( ω1) ω1 (2.56)

Thế vào (2.56), (2.55) ta được:

Dùng nguyên lý chồng chất tác dụng:

Chú ý:

- H(nω1)và H(−nω1) là số phức liên hợp

- H(nω1) gọi là hàm truyền - Complex frequency response function hay là Transfer function.

2.5 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG XUNG

2.5.1 Khái niệm tải trọng xung (Impulsive Loads)

- Là tải trọng tác dụng trong thời gian tương đối ngắn, đột ngột.

- Phản ứng (chuyển vị chẳng hạn ) lớn nhất của hệ đạt được trong

p(t)

- Lực cản có vai trò nhỏ, hấp thụ ít năng lượng của kết cấu Vì vậy chỉ xét hệ không có cản để đơn giản hóa.

2.5.2 Xung hình sin

Xét tải trọng nửa sóng hình sin Phản ứng của hệ được chia ra 2 pha: Cưỡng bức và tự do.+ Phase I: 0 ≤ t ≤ t1

Kết cấu chịu tác dụng của tải trọng điều hòa.

Điều kiện ban đầu: v(0) = v(0) = 0 (trạng thái

nghỉ) Phản ứng gồm 2 số hạng (quá độ và ổn định) cho bởi (2.37) :

(2.59) + Phase II: t = t − t1 ≥ 0

tp(t)=p sint

t1tPhase IPhase II

ϖτ1= π

Điều kiện ban đầu: v(t = 0) = v(t1))()

(tvt1v = = Theo (2.24):

Tùy thuộc vào tỷ số t1/ T mà phản ứng cực đại

thuộc vào Phase I hoặc Phase II.

- Nếu vmax thuộc Phase I :

=≤ t1

t (2.59) 0

Hay cosωt = cosωt

ωt = 2πn ±ωt ≤ π,n = 0,±1,±2, (a)

Thế (a) vào (2.59) tìm được vmax

Đặc biệt: khi ω = ω, trong (a) lấy dấu (-) và

n=1 ta có :

t

- Nếu vmax thuộc Phase II: khi ω > ω (ω càng

lớn thì

 +−

thang (Step loads) là chuyển vị tĩnh:

v( ) = o 1− cosω (2.62)

+ Phase II: t = t − t1 ≥ 0

Dao động tự do theo (2.60)

- vmax thuộc Phase I : t ≤ t1

Nếu t ≤ t1 tức là ≥ ⇒

hệ số động D = 2, với

Tt- vmax thuộc Phase II: t = t − t1 ≥ 0Biên độ dao động:

v =   +=

ω

vì v(t1) = 11

 −

 −

Hệ số động: Tt

Pt

(2.65) + Phase II: t ≥ 0

Điều kiện ban đầu tại t = 0, hay t = t1 từ (2.65)

(2.66)Dao động tự do của Phase II thu được bằng

cách thế (2.66) vào (2.60) vmax tìm từ điều kiện v

(t) = 0 Với 1≤0.4

thì vmax thuộc Phase I.

Hệ số động D cho ở bảng:T

D 0.66 1.05 1.2 1.42 1.55 1.69 1.76

2.5.5 Phổ phản ứng (Response Spectra)

Khái niệm: Phổ phản ứng là đồ thị của hệ số động D theo tỷ số chiều dài xung Tt /1 , 

TtD

Ý nghĩa: Dùng tính chuyển vị của kết cấu chiụ tác

dụng của xung lực.

Chú ý:

Nếu kết cấu chịu chuyển động của gối đỡ vg(t), thì tương đương với chịu lực xung pt(t) = -mvg(t), với trị số lớn nhất po = - mv

g0 Khi này hệ số động được định nghĩa :

= hoặc

0.81.21.62.02.4

Vì vg0 đo được nên sẽ tính được gia tốc cực đại

của kết cấu vmaxt

2.5.6 Tính toán gần đúng phản ứng do lực xung

Giả xử p(t) là lực xung trong thời gian t1 rất bé Hệ có chuyển vị v(t), cân bằng lực:

m  =  = ( ) −

[ pkv]dtv

(1 t

O

ptdttm

skipdt

Chu kỳ dao động của hệ: T = 2 = 2s

Vì tải trọng tác dụng trong thời gian ngắn (15

), nên dùng (2.67) phản ứng xấp xỉ:

( =

trong đó gia tốc trọng trường cho bởi 2

/386insg =

Phản ứng đạt cực đại khi sinωt =1, nghĩa là:

vmax = 0.614 in.

Lực đàn hồi cực đại:

kipskv

2.6 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG TỔNG QUÁT

2.6.1 Tích phân Duhamel cho hệ không cản

Xét tải trọng bất kỳ p(t) Xét thời điểm t =τ , theo (2.67) ta có :

Toàn bộ lịch sử tải trọng có thể xem như bao gồm sự nối tiếp của các xung lực ngắn, mỗi xung lực tạo ra một phản ứng vi phân theo (2.68) Phản

Phản ứng dv(t) sau khi chịu xung p( τ)dτ

ứng toàn bộ là do chồng chất của các xung lực tạo ra, nên:

- Duhamel Integral = ∫tpt − dm

( τ τ τ - (2.71)

Hàm h(t −τ) được coi như phản ứng với xung lực đơn vị.

Nếu ở thời điểm t = 0 (lực bắt đầu tác dụng),

kết cấu có điều kiện ban đầu khác không: 0

( 

(2.72)

2.6.2 Tích phân bằng phương pháp số cho

Duhamel Integral

Dùng công thức lượng giác:

cos

t

ω τ τ ττ τ τ ττ

Phương pháp Simpson

Chia t ra n phần (n chẵn)n

2.6.3 Phản ứng của hệ có cản

Trong (2.31) dùng điều kiện ban đầu do xung lực p )(τ dτ tạo ra :v(o) = 0, v(0) =

mdp(τ ) τ

, ta có:

t ( ) sin ( ) ,)

(2.75)Tương tự hệ không cản, ta có:

(2.76)

v( ) = ( )sinωD − ( )cosωD (2.77)

- Ý nghĩa: Phân tích phản ứng trong miền tần số có

ưu điểm hơn trong miền thời gian khi đầu vào là bất kỳ, không tuần hoàn (chu kỳ mở rộng ra ∞)

Đặc biệt là với đầu vào (input) ngẫu nhiên.

- Công thức: Để tiện theo dõi, viết lại (2.53) và

(b)

Đặt: πωπ

Thế (d) vào (a): ∑∞

khi Tp → ∞ thì ∆ω → dω (theo (c)), do đó (a’) viết lại: ∞∫

Thế (d) vào (b): ∫

Fourier (Fourier Transform Pair)

Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier:

− p )(tdt = Q < ∞

Tương tự như (2.58) phản ứng của hệ biểu diễn bởi phương trình:

Hàm truyền:

với

β = (2.82)

2.7 PHÂN TÍCH PHẢN ỨNG CỦA KẾT CẤU PHI TUYẾN

2.7.1 Khái niệm

Kết cấu phi tuyến: Phương trình chuyển động là

phương trình vi phân phi tuyến Yếu tố phi tuyến

có thể nằm trong quan hệ giữa lực - chuyển vị, trong hệ số cản, do chuyển vị lớn hoặc thay đổi sơ đồ tính trong quá trình chuyển vị Chẳng hạn, phản ứng của một tòa nhà (building) do động đất mạnh

gây ra hư hỏng nghiêm trọng Sơ đồ tính thay đổi trong quá trình bị hư hỏng Không dùng được nghiệm của phương trình tuyến tính.

Các cách giải quyết - có hai cách:

- Phương pháp giải tích: Tìm nghiệm giải tích của phương trình vi phân phi tuyến Do khó khăn về toán học, nên chỉ giải được những

phương trình gần tuyến tính (á tuyến ), ứng với

các bài toán vật lý tương đối đơn giản Theo

Chopra [2] thì kết quả của phương pháp giải

tích không thõa mãn.

- Phương pháp số: Tìm nghiệm dưới dạng số (nghiệm rời rạc) có thể xét đến mọi yếu tố phi tuyến, với quy luật phức tạp vốn có của bài

toán Phương pháp tích phân từng bước by-Step Integration) được coi là phương pháp mạnh (powerful), tương đối đơn giản, đòi hỏi ít

(Step-khối lượng tính toán, nhưng cho kết quả tốt.

2.7.2 Phương trình số gia của cân bằng

(Incremental Equation of Equilibrium)

Xét hệ SDOF như hình vẽ các đặc trưng m, k, c và p(t) có thể là các đại lượng suy rộng Giả thiết k(v)

và c (v) là các hàm phi tuyến.