Bài giảng động lực học - Chương 4

Bài giảng động lực học

Chương 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO4.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG4.1.1 Dao động uốn của dầmXét dầm thẳng như hình H.4.1. Tách phân tố xét cân bằng:∑=0Y 0)( =−∂∂+−+ dxfdxxQQpdxQi(4.1)với lực quán tính phân bốLxdxxv(x,t)p(x,t)EI(x), m(x)fIp(x,t)QMdxxQQ∂∂+dxxMM∂∂+OH.4.1. Dao động uốn dầmdx tvmdxdxfi∂∂=2(4.2)Thế (4.2) vào (4.1) ta được:22tvmpxQ∂∂−=∂∂(4.3)0=∑OMbỏ qua vô cùng bé bậc cao của p và fi:0)( =∂∂+−+ dxxMMQdxM(4.4)hay QxM=∂∂ (4.5)Đạo hàm riêng 2 vế với x dẫn tới:ptvmxM=∂∂+∂∂2222(4.6)hay ptvmxvEIx=∂∂+∂∂∂∂222222)( (4.7)trong đó các đại lượng EI và m thay đổi theo x.Nếu uốn dầm xét đến ảnh hưởng lực dọc:ptvmxvNxvEIx=∂∂+∂∂+∂∂∂∂22222222)((4.8)4.1.2 Dao động dọc của thanh Thanh có các đặc trưng thay đổi, chòu lực kích động q(x,t). Xét cân bằng lực của phân tố:0),(),(),(),()(),(22=−∂∂+−∂∂+dxtxqdxxtxNtxNdxttxuxmtxN (4.9)Ta có:)(),()(),()(),(),( xEAxtxuxEAtxxAtxtxN∂∂===εσ(4.10)Thế vào (4.9) ta được:),(),()(),()(22txqxtxuxEAxttxuxm =∂∂∂∂−∂∂(4.11)4.2 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DOH.4.2. Dao động dọc thanhLxdxxu(x,t)N(0,t)EA(x), m(x)N(L,t)q(x,t)N(x,t)dxxNN∂∂+dxdxt)t,x(u)x(m22∂∂ 4.2.1 Dao động uốn tự do của dầmXét các đại lượng EI, m = const, p(x,t) = 0. Phương trình (4.7) trở thành: 0),(),(2244=∂∂+∂∂ttxvmxtxvEI(4.12)hay:0),(),( =+ txvEImtxvIV (4.13)Nghiệm chọn dạng phân ly biến số như sau:)()(),( tYxtxvφ=(4.14)với )(xφ - hàm dạng, )(tY- biên độ.Thế (4.14) vào (4.13) ta được:0)()()()( =+ tYxEImtYxIVφφ(4.15)Chia hai vế bởi )()( tYxφ, (4.15) trở thành: 0)()()()(=+tYtYEImxxIVφφ(4.16)hay )()()()(tYtYEImxxIV−=φφ (4.17)Phương trình (4.17) chứng tỏ 2 vế không phụ thuộc vào x và t, tức là bằng một hằng số:4)()()()(atYtYEImxxIV=−=φφ(4.18)Từ đây dẫn tới 2 phương trình vi phân thường: 0)()(2=+ tYtYω(4.19a)0)()(4=− xaxIVφφ(4.19b)với mEIa42=ω (4.20)Phương trình (4.19a) có nghiệm:tBtAtYωωsincos)(+=(4.21)hay biểu diễn theo điều kiện ban đầu )0(Y và )0(Y thìtYtYtYωωωsin)0(cos)0()(+=(4.22)Phương trình (4.19b) được giải bằng cách chọn nghiệm dạng:sxGex =)(φ(4.23)Thế vào (4.19b) dẫn tới: 0)(44=−sxGeas(4.24)Từ đó ta tìm được:asias ±=±=4,32,1 ,(4.25)Nghiệm tổng quát của (4.19b) có dạng:axaxiaxiaxeGeGeGeGx4321)( +++=−φ(4.26)với G1, G2, G3, G4 là các hằng số phức.Phương trình (4.26) có thể viết lại dạng thực cho các số hạng:)sinh()cosh()sin()cos()(4321axAaxAaxAaxAx+++=φ (4.27) các hằng số Ai được tìm từ điều kiện biên của dầm.Thí dụ: E18.1, p 379-381.4.2.2 Dao động dọc tự do của thanhXét thanh có đặc trưng EA, m hằng số. Khi q(x,t) = 0 thì phương trình (4.11) có dạng: 0),(),(2222=∂∂−∂∂xtxuEAttxum(4.28)Tách biến:)()(),( tYxtxuφ=(4.29)Phương trình (4.28) viết lại dưới dạng:2)()()()(ctYtYEAmxxII−==φφ(4.30)Từ đó dẫn tới hai phương trình:0)()(2=+ tYtYω(4.31a)0)()(2=+ xcxIIφφ(4.31b)với mEAc22=ω (4.32)Phương trình (4.31a) có nghiệm giống (4.21). Phương trình (4.31b) có nghiệm như sau:)sin()cos()(21cxCcxCx +=φ(4.33) Thí dụ: E 18.5, p 392-393.Chú ý: Các mode dao động )(xmφ và )(xnφ có tính trực giao, tức là thoả mãn điều kiện:0)()()(0=∫dxxmxxLnmφφ(4.34)4.3 PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC HỌC (the Dynamic direct Stiffness Method - DSM)4.3.1 Ý nghóaTrong chương 3 đã dùng hàm đa thức Hecmit để xấp xỉ đường đàn hồi và dẫn tới phương pháp độ cứng tónh học (Static dirrect Stiffness Method). Phương pháp này kém chính xác vì hàm dạng không kể đến lực quán tính.Trên cơ sở hàm dạng (4.27) là nghiệm chính xác của dầm khi dao động, có thể dùng để làm hàm dạng, từ đó dẫn tới phương pháp độ cứng động lực học, được coi là chính xác. Đặc điểm của phương pháp này là các hệ số cứng phụ thuộc vào tần số, phương pháp này hiện nay được dùng trong bài toán ngược chẩn đoán công trình. 4.3.2 Ma trận độ cứng uốn động lựcXét dầm tiết diện đều, không chòu lực tác dụng, phương trình chuyển động của nó cho bởi (4.13):0),(),( =+ txvEImtxvIV(a)Chuyển vò cưỡng bức có dạng:tvviiωsin0=(4.35)với 0iv là biên độ chuyển vò biên vi . Chuyển vò tại một điểm bất kỳ của dầm có dạng: txtxvωφsin)(),(=(4.36)Phương trình (a) được viết: 0)()(4=− xaxIVφφ(4.37)trong đó: EIma24ω= (4.38)Nghiệm của phương trình (4.37) có dạng:)cosh()sinh()cos()sin()(4321xaAxaAxaAxaAx+++=φ(4.39)a phụ thuộc vào tần số cưỡng bức ω, khác với a phụ thuộc vào tần số tự nhiên ω theo (4.20). Để cho tiện về sau, ta kí hiệu đơn giản: EIma24ω= hoặc EIm2ω tuỳ theo dạng dao động cưỡng bức hoặc tự do được xét tới.Từ (4.27) ta rút ra phương trình ma trận:−−−−=′′′′′′432132sinhcoshsincoscoshsinhcossinsinhcoshsincoscoshsinhcossinAAAAaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaaaφφφφ(4.40)Biểu diễn chuyển vò thẳng và xoay hai đầu thanh, ta có:−−−−−=′−′−=====43210000101011AAAAaSaCasacaaLCLSLcLsLLLLLvLvLxxLxxjijiθθφφθθ(4.41) trong đó:aLCaLcaLSaLscosh cossinh sin≡≡≡≡Phương trình ma trận (4.41) có thể viết dưới dạng kí hiệu ngắn gọn:ηWv =(4.42)Chuyển vò và nội lực hai đầu thanh được minh họa trên H.4.3Mặt khác, nội lực và đường đàn hồi đầu thanh có quan hệ:−−−−−−−=′′−′′′′′−′′′=====4321200101000AAAACScsaSLaCLasLacLaLaLEIaLLEIMMLVLVLxxLxxjijiφφφφ(4.43)vjviijθiθjViVjMiMjLxH.4.3 chuyển vò và lực nút [...]... tYx φ , (4. 15) trở thành: 0 )( )( )( )( =+ tY tY EI m x x IV  φ φ (4. 16) hay )( )( )( )( tY tY EI m x x IV  −= φ φ (4. 17) Phương trình (4. 17) chứng tỏ 2 vế không phụ thuộc vào x và t, tức là bằng một hằng số: 4 )( )( )( )( a tY tY EI m x x IV =−=  φ φ (4. 18) Từ đây dẫn tới 2 phương trình vi phân thường: hay: η US = (4. 44) Từ (4. 42) ta có: vW 1 − = η (4. 45) Thế (4. 45) vào (4. 44) nhận được: vUWS 1− = (4. 46) Ma... có:                             −−− −− =                 ′ − ′ − =                 = = = = 4 3 2 1 0 0 00 1 0 1 0 1 1 A A A A aSaCasac aa L C L S L c L s LL L L L v L v Lx x Lx x j i j i θ θ φ φ θ θ (4. 41) 4. 2.1 Dao động uốn tự do của dầm Xét các đại lượng EI, m = const, p(x,t) = 0. Phương trình (4. 7) trở thành: 0 ),(),( 2 2 4 4 = ∂ ∂ + ∂ ∂ t txv m x txv EI (4. 12) hay: 0),(),( =+ txv EI m txv IV  (4. 13) Nghiệm chọn dạng phân ly biến số như sau: )()(),( tYxtxv φ = (4. 14) với )(x φ - hàm dạng, )(tY - biên độ. Thế (4. 14) vào (4. 13) ta được: 0)()()()( =+ tYx EI m tYx IV  φφ (4. 15) Chia... xác định bởi phương trình (4. 49) thông qua tần số của lực kích thích. λα d cSsC − = trong đó )( 42 4 EI mL aL a ω = Cho từng phần tử a, b, c ta xác định được: 2 .4) ( ;5.3)( 2.8;)( === cba aLaLaL L EI, m O L 1.5L a b c 16EI/25 25m/16 EI, m M(t) Chương 4. HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO 4. 1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG 4. 1.1 Dao động uốn của dầm Xét dầm thẳng như hình H .4. 1. Tách phân tố xét cân... xax IV φφ (4. 37) trong đó: EI m a 2 4 ω = (4. 38) Nghiệm của phương trình (4. 37) có dạng: )cosh()sinh()cos()sin()( 43 21 xaAxaAxaAxaAx +++= φ (4. 39) a phụ thuộc vào tần số cưỡng bức ω , khác với a phụ thuộc vào tần số tự nhiên ω theo (4. 20). xoay tại nút). Dùng phương pháp độ cứng động lực học xác định chuyển vị xoay tại nút của hệ. )sin()( 0 tMtM ω = ; 4 42 )8.2( mL EI = ω Độ cứng động của hệ: cbacba L EI L EI L EI kkkk ααα 25 16 5.1 ++=++= với... được:                             − − − −−− =             j i j i j i j i L v L v L EI M M LV LV θ θ ααββ ααββ ββγγ ββγγ (4. 48) trong đó: aLcCd d sS d cSsC d cC d sS d sS d cSsC =−= − = + = − == − = − = λ λγλγ λβλβ λαλα 1 33 22 (4. 49) Từ H .4. 4 suy ra được 90.2 ;00.2 8;33.3 −=== cba ααα (Có thể áp dụng công thức (4. 49) để tính) Thay vào phương trình trên, xác định được độ cứng động của hệ: L EI k 68.2= Chuyển vị tại nút sẽ là: t EI LM tMkv ω sin 68.2 )( 0 1 == − Chú ý: Nếu 4 42 )89.2( mL EI = ω (tần số lực. .. (4. 42) ta có: vW 1 − = η (4. 45) Thế (4. 45) vào (4. 44) nhận được: vUWS 1− = (4. 46) Ma trận độ cứng động lực của đoạn dầm đóng vai trò trung gian giữa lực nút và chuyển vị nút, vì vậy theo (4. 46) ta có: 1 )( − = UWaK (4. 47) Độ cứng là hàm của tham số tần số a vì cả U và W đều phụ thuộc vào a. Thực hiện phép tính theo (4. 47) ta thu được:                             − − − −−− =             j i j i j i j i L v L v L EI M M LV LV θ θ ααββ ααββ ββγγ ββγγ (4. 48) trong... dạng: 2 )( )( )( )( c tY tY EA m x x II −==  φ φ (4. 30) Từ đó dẫn tới hai phương trình: 0)()( 2 =+ tYtY ω  (4. 31a) 0)()( 2 =+ xcx II φφ (4. 31b) với m EAc 2 2 = ω (4. 32) Phương trình (4. 31a) có nghiệm giống (4. 21). Phương trình (4. 31b) có nghiệm như sau: )sin()cos()( 21 cxCcxCx += φ (4. 33) Để cho tiện về sau, ta kí hiệu đơn giản: EI m a 2 4 ω = hoặc EI m 2 ω tuỳ theo dạng dao động cưỡng bức hoặc tự do được xét tới. Từ (4. 27) ta.. .4. 3.2 Ma trận độ cứng uốn động lực Xét dầm tiết diện đều, không chịu lực tác dụng, phương trình chuyển động của nó cho bởi (4. 13): 0),(),( =+ txv EI m txv IV  (a) Chuyển vị cưỡng bức có dạng: tvv ii ω sin 0 = (4. 35) với 0i v là biên độ chuyển vị biên v i . Chuyển vị tại một điểm bất kỳ của dầm có dạng: txtxv ωφ sin)(),( = (4. 36) Phương trình (a) được viết: 0)()( 4 =− xax IV φφ (4. 37) trong... L 0)()0( = ′ = LAEN φ Lực dọc bằng không x L EA, m = const O Mode 1 Mode 2 Mode 3 các hằng số A i được tìm từ điều kiện biên của dầm. Thí dụ: E18.1, p 37 9-3 81. 4. 2.2 Dao động dọc tự do của thanh Xét thanh có đặc trưng EA, m hằng số. Khi q(x,t) = 0 thì phương trình (4. 11) có dạng: 0 ),(),( 2 2 2 2 = ∂ ∂ − ∂ ∂ x txu EA t txu m (4. 28) Tách biến: )()(),( tYxtxu φ = (4. 29) Phương trình (4. 28) viết lại... phân tố xét cân bằng: ∑ = 0Y 0)( =− ∂ ∂ +−+ dxfdx x Q QpdxQ i (4. 1) với lực quán tính phân bố L x dx x v(x,t) p(x,t) EI(x), m(x) f I p(x,t) Q M dx x Q Q ∂ ∂ + dx x M M ∂ ∂ + O H .4. 1. Dao động uốn dầm dx Thí dụ: Phân tích dao động dọc tự nhiên của dầm công son khối lượng và độ cứng phân bố đều như hình vẽ. Nghiệm của bài toán dao động dọc trục thanh: )sin()cos()( 21 cxCcxCx += φ Hai điều kiện biên . 2 0-1 , p 35 0-3 53. H .4. 4. Hệ số độ cứng động lực1 09876 543 21 0-1 - 2-3 - 4- 5 - 6-7 - 8-9 -1 0αβαβλ1 2 356201816 141 2108 642 0-2 - 4- 6 - 8-1 0-1 2-1 4- 1 6-1 8-2 0γβββλ1 2 3 5 6 Thí. (4. 44) Từ (4. 42) ta có:vW1−=η (4. 45)Thế (4. 45) vào (4. 44) nhận được:vUWS1−= (4. 46)Ma trận độ cứng động lực của đoạn dầm đóng vai trò trung gian giữa lực nút