Chương 4 trang bị cho người học những kiến thức về phương pháp tính gần đúng. Các nội dung chính trong chương này gồm có: Phương pháp năng lượng Rayleigh, phương pháp năng lượng Lagrange - Ritz, phương pháp Bupvôv – Galoockin,... Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.
CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.1 Phương pháp lượng Rayleigh: Tổng U động K thời điểm số (bỏ qua tổn thất lượng): U + K = const Khi hệ dao động điều hòa, thời điểm xa vị trí cân đạt Umax, động K = 0, vị trí cân động đạt Kmax, U = 0: Umax + = + Kmax Xét hệ mang khối lượng phân bố m(z) khối lượng tập trung m1, m2, m3,… hình vẽ, dao động theo phương trình: m(z)dz m1 z z1 m(z) mj mn dz yi ( z, t ) = yi ( z ) sin(i t + i ) Biểu thức hệ kể đến ảnh hưởng biến dạng uốn có dạng: M ( z) U = dz EI y ( z, t ) M ( z) =, Do z EI EI y ( z, t ) EI = = + U [ ] d [ y ( z ) sin( t )] dz z i i i z 2 U max = EI[ yi( z )] dz Động hệ: z j j mv m( z )v K = dz + 2 Từ phương trình dao động ta có: y ( z, t ) = yi ( z )i cos(i t + i ) vz = t Vzmax = yi(z)i , y ( zj , t ) = yi ( zj )i cos(i t + i ) vj = t K max = Vjmax = yi(zj )i , i2 2 + [ m( z ) y ( z )dz mj yi ( z j )] i j Thay vào phương trình Rayleigh: i2 = EI [ y ( z )] dz i + m( z ) y ( z)dz mj yi ( z j ) i j Để xác định i ta cần biết trước dạng dao động thứ i hệ Nếu yi(z) đường đàn hồi trọng lượng khối lượng đặt hệ gây Umax hệ xác định công ngoại lực Tmax: m j yi ( z j ) m( z ) yi ( z ) U max = Tmax = g dz + g 2 j g.m( z ) y ( z )dz + g.m y ( z ) i i2 = j i j j m( z ) y i ( z ) dz + m j y ( z j ) i j Ví dụ1: Tìm tần số dao động riêng dầm đơn giản có nhịp l, mang khối lượng phân bố m khối lượng tập trung m1 = 18ml/35 đặt nhịp EI m1 l/2 m l /2 Giải: Chọn dao động dầm đường đàn hồi lực P đặt nhịp gây ra: 3 Pl 3l z z 3l z z = y( z) = f , 3 48 EI l l Với giá trị: z l/2, f độ võng dầm 24 z y( z ) = f (- ) l Áp dụng công thức vừa thành lập: l/2 24 2 EI[ f (- )] dz l 48 EI = l/2 = ml 3l z z 18 + m[ f ] dz mlf l 35 ,9282 = l EI m 1/ s Nếu sử dụng công thức thứ 2, đường đàn hồi dầm chọn trên, song f phải độ võng dầm nhịp trọng lượng dầm trọng lượng khối lượng tập trung m1 gây ra: 4 Pl ql 319 mgl + = f = 48 EI 384 EI 13440 EI Sau thay vào biểu thức ta tìm được: ,9282 = l2 EI m 1/ s * Nếu dầm không mang khối lượng tập trung m1 = Chọn dạng dao động: i z yi ( z ) = f sin l l i 2 i z EI[- i2 = l f sin l ]2 dz l i z m[ f sin l ] dz i = 1 = 2 l 2 i = 2 = l EI 9,8696 = m l i 4 EI = ml EI m EI 39,4786 = m l2 / s, EI m / s, Nếu tính theo cơng thức thứ hai, đường đàn hồi chọn f độ võng dầm: l f= mg 384 EI Với i = ta có: i = g 2.(1 - cos i ) f i. g 9,8886 1 = = f l Sai số 0,19% EI m * Nội dung phương pháp: Xét dầm mang khối lượng phân bố m(z) khối lượng tập trung mj hình vẽ Nếu dạng thứ k dao động xác định phương trình y(z) lực quán tính khối lượng hệ là: = q( z ) m( z ) k yk ( z ), k z j = m j yk ( z j ) m(z) m1 mj q(z) = m(z)2k yk(zj) yk(z) zj = mj(z)2k yk(zj) mn Nếu giảm lực quán tính tác dụng hệ xuống 2k lần: q z ( 1) ( 1) j m(z) m1 mj mn = m( z ) yk ( z ), q(z) = m(z)2k yk(zj) = m j yk ( z j ) Do phương trình đường đàn hồi hệ y(1)k(z) lực quán tính gây giảm xuống 2k lần so với ban đầu k = yk ( z ) ( 1) yk ( z ) yk(z) zj = mj(z)2k yk(zj) q(1)(z) = m(z) yk(zj) y(1)k (z) Z(1)j(z) = mj yk(zj) k = yk ( z ) ( 1) yk ( z ) Vì hàm yk(z) chưa biết nên lần tính gần thứ cần giả thiết dạng dao động hàm k(z) xác định giá trị gần thứ tần số dao động riêng theo công thức: ( 1) k k ( z) = ( 1) k ( z) đó: (1)k(z) – đường đàn hồi hệ lực quán tính Lại chọn đường đàn hồi thứ hai có dạng (2)k(z) : ( 1) k (2) k ( z) = ( z) k Qúa trình tính gần tiếp tục trị số k(i+1) xấp xỉ k(i) lần tính thứ i dừng lại Lúc k(i+1) ứng với điểm khác hệ có giá trị Ví dụ 8: Xác định tần số dao động riêng dầm có khối lượng phân bố hình vẽ * Chia dầm thành sáu khoảng thay khối lượng phân bố khối lượng tập trung hình vẽ m1 = m2 = m3 = m4 = m5 = ml/6 m EI l m1 m2 m3 m4 m5 * Chọn dạng dao động đường đàn hồi 1(z) trọng lượng khối lượng mi tập trung gây Do tính đối xứng dầm ta có: 1 ( z1 ) = 1 ( z5 ), 1 ( z ) = 1 ( z4 ), 1 ( z3 ) = 1max m EI l m1 m2 m3 m4 m5 Pi = ij z zi l - zi * Xác định chuyển vị ta sử dụng phương trình ảnh hưởng chuyển vị: l - zi z j ij = [l - (l - z j ) - zi2 ]; zi z j EI l ij chuyển vị tiết diện đặt khối lượng mi Pj = đặt vị trí khối lượng mj gây Tọa độ tìm chuyển vị Tọa độ đặt lực P = z1 = l/6 z1 50 76 78 62 34 300 z2 z3 76 78 108 138 138 162 112 138 62 78 496 594 z2=2l/6 z3=3l/6 z4=4l/6 z5=5l/6 ij Tọa độ tìm chuyển vị z1 z2 z3 Tọa độ đặt lực P = z1 = l/6 z2=2l/6 z3=3l/6 z4=4l/6 z5=5l/6 50 76 78 76 108 138 78 138 162 62 112 138 34 62 78 ij 300 496 594 l mgl mgl 1 ( z1 ) = 1 ( z5 ) = 300 = 50 , EI 6 l mgl mgl 1 ( z ) = 1 ( z4 ) = 496 = 82,6666 , EI 6 l mgl mgl 1 ( z3 ) = 594 = 99 EI 6 Tìm tải trọng gây đường đàn hồi (1)1(z): ( 1) Z Z2(1) Z3(1) ml mgl m gl = 50 50 , 6 EI EI ml mgl m gl = Z4(1) = m21 ( z2 ) = = 82,6666 82,666 , 6 EI EI ml mgl m gl = m31 ( z3 ) = = 99 99 6 EI EI = Z5(1) = m11 ( z1 ) = Độ võng lớn dầm : 1(1) ( z3 ) = 2 31Z1(1) + 2 32 Z2(1) + 33 Z3(1) = l m2 gl = [(78 50 2) + (138 82,6666 2) + (162 99)] EI 6 EI m gl = 7775,666 10 ( EI) 1(1) 10 1 ( z ) mgl ( EI) 9,95 EI = = = 99 (1) 1 ( z3 ) EI 7775,666 m gl l m So với kết tính xác sai số 0,81% Tiếp tục thực ta thu kết xác Bây ta chọn đường đàn hồi dầm khối lượng tập trung đặt dầm gây ra: M = ml/2 ml l ml ( z1 ) = = 48 EI 96 EI Tải trọng tập trung vị trí đặt vị trí có độ võng max ( 1) Z ml ml ml = M1 ( z1 ) = = 96 EI 192 EI ( 1) ml l ml = = 192 EI 48 EI 192 48 ( EI) 1(1) 1 ( z ) ml 192 48 ( EI) = = = ( 1) 1 96 EI ml 9,8 = l EI m 1/ s Tiếp tục thực nhiều lần tìm giá trị xác CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.7 Phương pháp sai phân: Chuyển phương trình vi phan thành phương trình sai phân hữu hạn Trường hợp dao động tự khơng có lực cản, phương trình vi phân cho có khối lượng phân bố m, EI = const: IV 4 = y k y 0; k = Đặt z = lx dz = ldx, m *k4 d y * = k y dx EI = ml42/EI Chia dầm thành n đoạn có độ dài: l z = = l x x = n n Khi chuyển sang sai phân ta thay vi phân d sai phân và: y = y i - y i -1 2y = y (i +1) - y (i ) = yi +1 - yi + yi -1 3y = yi +1 - yi + yi -1 + yi - 4y = yi + - yi +1 + y1 - yi -1 + yi - Thay vào ta thu phương trình sai phân: k yi -2 - yi -1 + - y1 - yi +1 + yi + = n Mỗi điểm chia ta phương trình Cộng điều kiện biên ta giải tìm k suy ... Sai số 3% CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.2 Phương pháp lượng Lagrange - Ritz: Khi hệ trạng thái cân toàn phần U hệ đạt cực tiểu - tổng nội lực U* ngoại lực T (chiều ngoại lực hướng... bố bao gồm lực quán tính khối lượng tập trung khối lượng phân bố gây hệ dao động CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.2.1 Dao động riêng: Xét hệ có khối lượng phân bố m(z) dao động theo... C11C22 - C = CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG 4.2.2 Dao động cưỡng bức: Biểu thức toàn phần hệ là: l l 1 2 = U EI( z )[ y ( z )] dz m( z ) y ( z )dz 20 20 l n - q( z ) y( z )dz -