Bài giảng Động lực học công trình - Chương 2: Dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn

Chương 2 trang bị cho người học những kiến thức về dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn. Các nội dung chính trong chương này gồm: Phương trình vi phân tổng quát, dao động riêng khi không lực cản, dạng chính của dao động riêng,...và nhiều nội dung liên quan khác.

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát:

m 1

m 2

m i

m k m n M(t)

Xét dao động của khung không trọng lượng mang các

khối lượng tập trung (hình a) Chịu các lực kích thích

thay đổi theo thời gian Bỏ qua biến dạng dọc của khung,

ta có bài toán dao động có n bậc tự do.

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát:

m 1

m 2

m i

m k m n M(t)

+

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát:

+ +

+ +

+ + [ m y ( t ) R ( t )] [ m y ( t ) R ( t )]

) t

(

yk dk 1 1 &1 1 dk 2 2 &2 2

n , , 2 , 1 k

; 0 )

t ( )]

t ( R )

t ( y m

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khi không lực cản:

Không kể đến lực kích thích và lực cản Phương trình được viết lại như sau:

0 )

t ( y )

t ( y

m

) t ( y

m )

t ( y

m1 dk 1 &1 + 2 dk 2 &2 + + n dkn &n + k =

Nghiệm tổng quát thứ k của phương trình được

biểu thị dưới dạng tổng của các nghiệm riêng:

n

1 i

i ki ki

k( t ) y ( t ) y F ( t ) y

y ki : các hằng số chưa biết;

F i (t): hàm số phụ thuộc thời gian t, chưa xác định.

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khi không lực cản:

Với một nghiệm riêng thứ i, tại các khối lượng ta có:

).

t

(

F y

i i 2 i

2

i i 1 i

Điều này chứng tỏ tỷ lệ giữa chuyển vị của các

khối lượng không phụ thuộc vào thời gian t Đường cong tạo bởi các tung độ y 1i , y 2i , … là đường cong đàn hồi của dầm và là dạng chính thứ i của dao động

riêng.

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khi không lực cản:

0 )

u m

(

m m

) u m

( m

m

m )

u m

( D

i nn

n 2

n 2 1

n 1

n 2 n i

22 2

21 1

n 1 n 12

2 i

11 1

d

d d

d

d d

d

i i

1 u

Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương

trình cơ bản, ta thu được:

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3 Dạng chính của dao động riêng:

Đạo hàm nghiệm riêng thứ i và thay vào phương

trình cơ bản, ta thu được:

0 )

t ( F y

) t ( F ] y m

y m

y m

[ 1dk 1 1 i + 2dk 2 21 + + ndkn ni &i + ki i =

ni kn n

i 2 2 k 2 i

1 1 k 1

ki i

i

y m

y m

y m

y )

t ( F

) t (

F

d d

i 2

] y m

y m

y m

[ 1dk 1 1 i + 2dk 2 21 + + ndkn ni - ki =

0 )

t ( F )

t (

F & &i + i 2 i =

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3 Dạng chính của dao động riêng:

 Như vậy đối với hệ có n bậc tự do luôn luôn tìm được n giá trị tần số dao động riêng Ứng với mỗi tần số

dao động riêng i có một dạng chính của dao động xác

định bằng các chuyển vị y 1i , y 2i , …, y ni của các khối lượng.

Phương trình dao động của khối lượng thứ k với

tần số i có dạng:

)

t sin(

a y

i i

i ki

k( t ) y a sin( t )

Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m 1 = m 2 = m Tìm các

Phương trình tần số cho

bài toán 2 khối lượng:

0 )

u m

( m

m )

u m

(

2 22 1

21

2 12 1

-d d

d d

0 )

( m m )

m m

( u

u2 - 11 1 + 22 2 + 1 2 11 22 - 12 2 =

EI 486

l

7

; EI 243

l

21 12

3 22

EI 486

ml u

; EI 162

ml

5 u

3 2

3



Ví dụ 1: Cho dầm như hình vẽ với m 1 = m 2 = m Tìm các

Tần số dao động

riêng được xác định:

3 1

1

ml

EI 69

,

5 u

2

ml

EI 22

Ví dụ 2 : Tìm các tần số dao

động riêng và các dạng

dao động riêng chính của

dầm công xôn trên hình vẽ.

Cho biết EI = const.

EI m 1 =3m m 2 =m

Z 2 =1 2l

) M ( 2

Z 1 =1

l

) M ( 1

Giải:

Hệ có bậc tự do là 2, dao động không cản, phương trình tần số dao động có dạng:

0 )

u m

( m

m )

u m

(

2 22 1

21

2 12 1

-d d

d d

Vẽ các biểu đồ mô men uốn đơn vị Z 1 = 1, Z 2 = 2.

Xác định các chuyển vị d11 , d12 , d21 , d22.

0 )

( m m )

m m

( u

u2 - 11 1 + 22 2 + 1 2 11 22 - 12 2 =

Ví dụ 2 : Tìm các tần số dao

động riêng và các dạng

dao động riêng chính của

dầm công xôn trên hình vẽ.

Cho biết EI = const.

EI m 1 =3m m 2 =m

Z 2 =1 2l

) M ( 2

Z 1 =1

l

) M ( 1

EI 3

l 3

l 2 EI 2

l.

l )

M )(

M (

3 1

1

d

EI 3

l 8 3

l 2 2 EI 2

l 2 l

2 )

M )(

M (

3 2

2

d

EI 6

l

5 )

M )(

M (

3 2

1 21

d

s / 1

, ml

EI 5345

,

0 u

1

3 1

ml

EI 5

, 2

;

3

2 =



EI m 1 =3m m 2 =m

Z 2 =1 2l

) M ( 2

Z 1 =1

l

) M ( 1

u 1 m

của dao động riêng chuyển

vị tương ứng tại các khối

lượng.

u i m

( m

m )

u i m

(

2 22 1

21

2 12 1

-d d

d d

Vẽ các biểu đồ mô men

uốn đơn vị Z 1 = 1 và Z 2 = 1.

Z 1 =1 2,86

8,97

5,2 3,12

2,08 (M 1 ).1/13

Z 2 =1 3,90 6,24

2,34 0,78

9,68 (M 2 ).1/13

2EI 2EI EI

P = 1

o 2 (M ) 1

Áp dụng các nhân biểu đồ:

EI

356 ,

0 )

M )(

0 )

M )(

0 )

M )(

2EI 2EI EI

,

65 u

,

99 u



p

 p

Với 1 = 65,69, ta có:

u 1 )y 21 = 0 m

u 1 m

(d11 1 - d12

Cho y 11 = 1  y 21 = - 0,6587

2EI 2EI EI

dao động riêng và chuyển vị

tương ứng của các khối

a )

t (

y

) t

sin(

a y )

t (

y

1 1

11

1 1

1 11 11

-0,6587a )

t

(

) t

sin(

a y )

t (

y21 = 21 1 1 + 1

2EI 2EI EI

u 2 m

(d11 1 - d12

Cho y 12 = 1  y 22 = 3,037

Dạng chính thứ hai của

dao động riêng và chuyển vị

tương ứng của các khối

lượng như hình vẽ.

);

t 10 , 99 sin(

a )

t (

y

) t

sin(

a y )

t (

y

2 1

12

2 2

2 12 12

3,037a )

t

(

) t

sin(

a y )

Phương trình dao động tổng quát của các khối lượng:

) t.

1 , 99 sin(

a )

t.

69 , 65 sin(

a

) t

sin(

a y

) t

sin(

a y

) t (

y1

2 2

1 1

2 2

2 12 1

1 1

+

=

= +

+ +

=

) t.

1 , 99 sin(

a )

t.

69 , 65 sin(

a

) t

sin(

a y

) t

sin(

a y

) t (

y2

2 2

1 1

2 2

2 22 1

1 1

+ +

=

Các đại lượng a 1 , 1 , a 2 , 2, được xác định theo

điều kiện ban đầu của dao động ở thời điểm t = 0.

) 0 ( 2 2

2 2

1 1

1 1

v )

t ( y );

0 ( y )

t ( y

);

0 ( v )

t ( y );

0 ( y )

t ( y

Đối với những hệ đối xứng mang các khối lượng có giá trị và vị trí được bố trí đối xứng, hệ sẽ dao động tương ứng với hai loại dao động chính sau:

• Dạng dao động đối xứng tương ứng với các lực quán tính tác dụng đối xứng.

• Dạng dao động phản xứng tương ứng với các lực quán tính tác dụng phản xứng

* Cách sử dụng tính đối xứng của hệ trong dao động:

1) Biện pháp biến đổi hệ về sơ đồ nửa hệ tương đương:

Z n =1

) (Mn

Biểu thị chuyển vị tại

cặp khối lượng có vị trí

đối xứng theo chuyển vị

kép:

) 1 (

2 , 1 ),

( 2

Z n =1

) (Mn

Chuyển vị kép của khối lượng thứ k được viết dưới

dạng:

k k

k

t y m t

y m

t y m t

y m t

Y

d d

d d

) ( )

(

) ( )

( )

(

n n

) 1 (

n-1

1

2 2

2 1

1 1

-+ +

+ -

-=

-

-kn n

n n

k n

n

k k

k

t y

m t

y m

t y

m t

y

m t

Y

d d

d d

) ( 2

) (

2 2

) (

2 2

) (

2 2

) (

)

1

(

1 1

2

1

2

1 1

-

-=

-

-

0 )

( )

(

)

( 2

)

( 2

)

(

1 2

2

2 1

1 1

= +

+

+ +

+

-t Y t

y m

t Y

m t

Y

m t

Y m

k n

kn n

n n

k

n k

d



0 )

( )

(

)

( 2

)

( 2

)

(

1 2

2

2 1

1 1

= +

+

+ +

+

-t Y t

y m

t Y

m t

Y

m t

Y m

k n

kn n

n n

k

n k

d



Phương trình này giống như phương trình vi phân

dao động của hệ có n bậc tự do, phương trình này chỉ

khác là chuyển vị được thay thế bằng chuyển vị kép trừ

chuyển vị khối lượng thứ m n.

 Phương trình xác định tần số dao động riêng ứng với dạng dao động đối xứng:

) 2

( 2

2 2

2

) 2

(

2 2

) 2

( 2

2 2

2

) 2

(

) 1 (

1 2

2 1

1

) 1 ( )

1 )(

1 (

1 2

) 1 (

2 1

) 1 (

1

2 )

1 ( 2

1 22

2 21

1

1 )

1 ( 1

1 12

2 11

1

i nn

n n

n

n n

n

n n

n i

n n

n n

n

n

n n

n i

n

n n

n i

u

m m

m m

m u

m m

m

m

m u

m m

m m

m u

m

-

-

-

-

-

-

-

-d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

Giải phương trình này ta thu được n giá trị của phổ

tần số dao động riêng ứng với n dạng dao động riêng đối xứng.

Z 1 =1

Z 1 =1

) ( M1

Xét hệ mang khối

lượng tập trung bố trí

như bài toán đã xét,

khi hệ dao động theo

1

(

2 1

2 21

i n

n

n n

n

n

n i

n

n i

u

m m

m

m u

m m

m

m u

m

-

-

-

-

-

-d d

d

d d

d

d d

d

Giải phương trình này ta sẽ thu được n – 1 giá trị của thông số u i và từ đó suy ra n – 1 gía trị tần số dao động riêng ứng với n – 1 dạng dao động riêng phản

xứng.

Ví dụ 4: Xác định các tần số và các dạng dao động riêng tương ứng cho hệ được cho như hình vẽ Cho biết

2

/ 3

Z 2 = 1

) (M2

Ta có sơ đồ tương đương.

Hệ có 2 khối lượng tập

trung m 1 = m/2 và m 2 =m,

bậc tự do của hệ bằng 2:

u i ) = 0 m

u i m

Áp dụng phương pháp nhân biểu đồ để tính các chuyển vị dik:

,

3

8

) )(

( )

)(

(

3

1 1

1 1

11

EI

d N

N M

=

d

, 6

) )(

(

3 2

2 22

EI

d M

(

3 2

1

12

EI

d M

3 3

1

md

EI u

Xác định các dạng chính của dao động riêng

Tương ứng với 1 ta có u 1 Thay vào phương trình:

m 2 y 21 = 0 )y 11 +

u 1 m

Chọn y 11 = 1 ta suy ra y 21 = -0,1375 Chuyển vị khối

lượng k ứng với 1 như hình vẽ:

Xác định các dạng chính của dao động riêng

Tương ứng với 3 ta có u 3 Thay vào phương trình và

Chọn y 13 = 1 ta suy ra y 23 = 0,6375 Chuyển vị khối

lượng k ứng với 3 như hình vẽ:

Trên hệ có 2 khối lượng: m 1 = m/2 và m 2 = m khối

lượng m 1 đặt trên gối tựa nên không tham gia dao động Hệ có một bậc tự do Tần số dao động 2

được xác định theo công thức:

33 2

văng do Z 3 = 1 gây ra tại

khối lượng m 2 Nhân

biểu đồ ta thu được:

EI d

N N

M

8

) )(

( ) )(

(

3 33

3 3

3 3

Để xác định chuyển vị d 11 ta cần vẽ biểu đồ mô

men uốn do các cặp lực phản xứng Z 1 = 1 gây ra.

* Dạng phản xứng:

) (M1

M

24

) )(

(

3

1 1

với tần số riêng  1 được

minh họa như hình vẽ.

768

) )(

(

3

2 2

* Tính chất trực dao của các dạng chính của dao động riêng

Hai véc tơ được gọi

là trực giao khi tích vô

hướng của hai véc tơ

Xét dạng chính thứ i của dao động riêng Chọn các

điều kiện ban đâu sao cho phương trình chuyển động

tại khối lượng m k tương ứng với dạng chính thứ i là:

t y

t

yki( ) = ki sin i

Lực quán tính phát sinh tại khối lượng m k:

t y

m t

Zki( ) = ki2 ki sin i

m t

Zkj( ) = kj2 kj sin j

Định lý tương hổ về công khả dĩ của ngoại lực:

) sin

sin (

) sin

sin

(

1

2 1

2

t y

t y

m t

y t

kj i

ki n

Do vậy mới mọi thời điểm ta đều có:

0

.

)

(

1

2 2

k j

k y y m

Biểu thức này thể hiện tính chất trực giao của các dạng chính của dao động riêng Kết quả này không phụ thuôc vào điều kiện ban đầu

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN

2.4 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích

tuần hoàn P(t) = P.sinq t:

Trong thực tế khi tính dao động công trình ta thường đưa lực kích thích về dạng gần đúng là hàm điều hòa hoặc phân tích lực P(t) theo chuỗi Fourier rồi lấy một vài số hạng đầu Do vậy việc nghiên cứu dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn là một bài toán cơ bản trong động lực học công trình.

Lực kích thích có thể là mô men tập trung M(t), lực tập trung P(t), tải trọng phân bố q(t)… được ký hiệu chung là P(t) và được xem là có cùng tần số P(t)=P.sinq t.

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN

2.4 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích

tuần hoàn P(t) = P.sinq t:

Đối với hệ có bậc tự do bằng n, khi tần số q của lực kích thích bằng một trong những giá trị i nào đó của phổ tần số dao động riêng thì trong hệ sẽ phát sinh hiện tượng cộng hưởng Trong thực tế, tần số của lực kích thích thường nhỏ hơn tần số dao động riêng của công trình nên thường chỉ cần quan tâm đến tần số cơ bản 1

để kiểm tra khả năng xãy ra cộng hưởng.

• Kiểm tra xãy ra cộng hưởng

• Xác định nội lực và các chuyển vị động.

2.4.1 Biểu thức nội lực, chuyển vị:

Do có lực cản nên sau một khoảng thời gian dao động riêng của hệ sẽ biến mất, hệ sẽ dao động bình

ổn và dao động cùng với chu kỳ và tần số của lực kích thích.

Đại lượng Phương trình dao động

Lực kích thích thứ j

Chuyển vị tại k lượng m i

Lực quán tính tại m i

Nội lực tại tiết diện k

Chuyển vị tại tiết diện k

t P

t

Pj ( = ) oj sin q

t a

t

yi ( = ) i sin q

) ( sin

) ( )

(

2 2

t y m

t a

m

t y m t

Z

i i

i i

i i i

q q

= -

= &

t S

Ở mọi thời điểm, hệ chịu tác dụng của lực quán tính và lực kích thích đặt tại các khối lượng Theo

nguyên lý cộng tác dụng, nội lực tại tiết diện k bất kỳ:

) ( )

(

) ( )

( )

S

1

Sk - nội lực tại tiết diện thứ k do lực Z i = 1 tác

dụng tĩnh tại vị trí khối lượng m i ;

Z i – biên độ lực quán tính tại khối lượng m i;

S kP – nội lực tại tiết diện thứ k do biên độ lực kích thích P 0i tác dụng tĩnh trên hệ.

Tương tự, ta có biểu thức xác định biên độ chuyển

vị động tại tiết diện k:

kP n

kn k

k

đ k

đ

y = D = + + + + D

D d 1 1 d 2 2 d

dki – chuyển vị đơn vị tại tiết diện k do lực Z i = 1 tác

dụng tĩnh tại khối lượng m i;

DkP – chuyển vị tại tiết diện k do biên độ lực kích thích

P 0i tác dụng tĩnh trên hệ.

phải xác định được biên độ của các lực quán tính Z i

2.4.2 Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính:

Khi chịu lực kích thích P(t) =Psinqt, chuyển vị khối lượng m k ở thời kỳ bình ổn có dạng:

t a

) ( )

q

k

k k

m

t

Z t



2.4.2 Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính:

Không kể đến lực cản, phương trình chuyển

động của khối lượng m k có dạng:

) ( )

(

) (

) ( )

( )

0

)

1 (

2 2 1

k

kk k

d

Phương trình chuyển động của khối lượng thứ k:

Lần lượt cho k = 1, 2, …, n ta thu được hệ phương

trình:

2.4.2 Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính:

0 )

1 (

)

1 (

, 0

)

1 (

2 2

2 1

1

2 2

2 2

2

22 1

21

1 1

2 12 1

2 1 11

= D

+ -

+ +

+

= D

+ +

+ -

+

= D

+ +

+ +

-nP n

n

nn n

n

P n

n

P n

n

Z m

Z Z

Z

Z m

Z

Z Z

Z m

q

d d

d

d q

d d

d

d q

d

Đây là hệ phương trình chính tắc để xác định biên

độ của các lực quán tính Z i với i = 1, 2, …, n.

•Z i > 0, chiều lực quán tính hướng theo chiều giả định

• Z i <0, chiều lực quán tính ngược với chiều giả định

2.4.2 Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính:

Nếu chọn trước các giá trị m 0 , d0 và đặt:

,

1 ,

,

q

o o o

kP kP

o

ki ki

o

k k

u m

m

m m

d

q d

/ (

, 0

) /

(

, 0

) /

(

2 2 1

1

2 2

2 2

22 1

21

1 1

2 12 1

1 11

= D

+ -

+ +

+

= D

+ +

+ -

+

= D

+ +

+ +

-nP n

n

q

nn n

n

P n

n

q

P n

n

q

Z m

u Z

Z

Z Z

m u

Z

Z Z

Z m

u

d d

d

d d

d

d d

d

2.4.2 Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính:

Tiếp tục biến đổi ta thu được hệ phương trình với

các ẩn số là các chuyển vị y t:

0 )

(

, 0

) (

, 0

) (

2 2 2 1

1 1

2 2

2 2

22 1

1 21

1 1

2 2 12 1

1 11

= D

+ -

+ +

+

= D

+ +

+ -

+

= D

+ +

+ +

-nP n

n nn n

n

P n

n n

P n

n n

u y

u m

y m y

m

u y

m y

u m

y m

u y

m y

m y

u m

q q

q q

q q

d d

d

d d

d

d d

d

Nghiệm của hệ phương trình này là:

D D

2.4.2 Hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính:

) (

) (

2 2

1 1

2 22

2 21

1

1 12

2 11

1

q

q q

d d

d

d d

d

d d

d

u m

m m

m u

m m

m m

u m

D

nn n

n n

n n

n n

ngược lại.

) (

22 2

21 1

12 2

m

m u

m

d d

d d

P(t) = P o sinq t

m 1 = m m 2 = m l/3 l/3 l/3

Z 1 = 1 2l/9 l/9

) (M1

Z 2 = 1 l/9 2l/9 (M2 )

P o = 5kN

6,667 3,333

) (M P t

Các biểu đồ mô men

M

243

4 )

)(

(

3 1

1 22

11 = d = =

d

EI

l M

M

486

7 )

)(

(

3 2

1 21

12 = d = =

d

Chọn:

8 / 7

1

; 1

12

22 11

2 1

m

m

P(t) = P o sinq t

m 1 = m m 2 = m l/3 l/3 l/3

trình tần số ta thu được:

0 )

1 ( 8

/ 7

8 / 7 )

1

(

= -

-i

i

u u

125 ,

0

; 875 ,

m

EI u

m

s l

m

EI u

m

o o

o o

/ 1 4

,

202 4

125 ,

0

243 1

/ 1 35

,

52 4

875 ,

1

243 1

3 2

2

3 1

,

0

) /

(

2 2

2 22

1 21

1 2

12 1

1 11

= D

+ -

+

= D

+ +

u Z

Z Z

m u

d d

d d

5

4

243

243

4

3 11

l P

o

o o

P P

d

d d

4,375

4

243

243

7

3 21

l P

o

o o

P P

d

d d

2152 ,

5

4

243 1

1

3 2

=

l

EI m

Thay vào hệ phương trình trên ta thu được:

0 375

2 1

= +

+

-= +

+ -

Z Z

Z Z

kN Z

) (

) (

) ( MP đ = M1 Z1 + M2 Z2 + MP t

P(t) = P o sinq t

m 1 = m m 2 = m l/3 l/3 l/3

Z 2 =25,65 kN

58,41

54,85 (M P đ )

Hệ số động tại mỗi tiết

diện được xác định theo

công thức: K đ = M id / M iP

Hệ số này đạt giá trị

lớn nhất tại tiết diện đặt

khối lượng m 2 : K d,max =