Tính toán dao động của hệ có hữu hạn bậc tự do

Bài viết giới thiệu một phương pháp tính toán dao động riêng và dao động cưỡng bức của hệ có hữu hạn bậc tự do trên nền phương pháp chuyển vị của cơ học kết cấu và ngôn ngữ ma trận thông dụng cho lập trình tính toán bằng số.

KHOA HC & CôNG NGHê Tẩnh toắn dao ẵợng cễa hè cÍ hùu hÂn bâc tú TS PhÂm V×n Trung Tóm tắt Nội dung báo giới thiệu phương pháp tính tốn dao động riêng dao động cưỡng hệ có hữu hạn bậc tự phương pháp chuyển vị học kết cấu ngôn ngữ ma trận thông dụng cho lập trình tính tốn số Abstract Contents of the article introduces a method of calculating its own oscillations and forced oscillations of the system has finite degree of freedom based displacement method of textures mechanics and matrix popular language for programming calculations by number Dao động hệ có hữu hạn bậc tự Dao động hệ có hữu hạn bậc tự tốn có ý nghĩa nhiều thực tế thiết kế cơng trình cao tầng Khi phân tích động cơng trình cao tầng thường quy khối lượng vị trí tập trung định coi hệ có hữu hạn bậc tự Trong giáo trình ổn định động lực học cơng trình trình bầy kỹ vấn đề theo hướng phương pháp lực Bài báo giới thiệu phương pháp tính tốn dao động riêng dao động cưỡng hệ có hữu hạn bậc tự phương pháp chuyển vị học kết cấu ngơn ngữ ma trận thơng dụng cho lập trình tính toán số Xây dựng giải toán dao động hệ có hữu hạn bậc tự a Xây dựng hệ phương trình dao động mi ; (i=1, 2, 3, …,n) tương ứng với n chuyển vị độc lập cần xác định yi ( t ) Chịu n lực tập trung vào khối lượng Pi ( t ) tác dụng theo phương chuyển vị Và n lực yi tương ứng với chuyển vị yi(t ) hình Nếu thêm số qn tính − mi  Xét hệ có n bậc tự có n khối lượng tập trung chuyển vị góc xoay quanh điểm tương ứng với ta thay khối lượng mơmen qn tính khối lượng điểm Do ngoại lực điểm i là: = Ri Pi(t ) − mi  yi ; i=1, 2, 3, …,n (1) Biểu diễn dạng véc tơ ta có:    R= P − my; (2) TS Phạm Văn Trung BM Sức bền vật liệu - Cơ học kết cấu, Khoa Xây dựng ĐT: 0912 288 393 Trong đó:  R = { R1 R2 R3 Rn }  P = { P1 P2 P3 Pn }  m = {m1 m2 m3 mn }   y = {  y1  y2  y3  yn } (3) Phương trình cân nội lực ngoại lực theo có học có dạng:   AN + R = 0; (4) Trong đó: A = {ai , j } ; ma trận hệ số; i=1, 2, 3, …,n j=1, 2, 3,…, m m số lượng nội lực phần tử  N = { N1 N2 N N n } véc tơ nội lực (5) Quan hệ chuyển vị biến dạng     AT U + λ = 0; ⇒ λ = − AT U ; Trong đó:  U = { y1 18 y2 T„P CHŠ KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG y3 yn } véc tơ chuyển vị (6) p1 sinrt p2 sinrt pi sinrt m1 m2 mi y1 y2 pn sinrt EI mn yn yi Hình Mơ hình hệ có hữu hạn bậc tự  λ = {λ1 λ2 λ3 λn } AT ma trận chuyển vị véc tơ biến dạng A   N = C λ ; với C ma trận độ cứng (7) Quan hệ nội lực biến dạng: Thay (7) vào (6) vào (4) ta được:   ACAT U = R; (8) Chú ý thêm đến lực quán tính ta có:    ACAT U + my = R; Gọi:  ACAT = Ψ = {ξi , j } ; (9) i,j=1, 2, 3, …, n Khai triển (9) ta có: ξ11 y1 ξ y  21 ξ31 y1   ξ y  i1  ξ y  n1 +ξ12 y2 +ξ 22 y2 +ξ32 y2 +ξ13 y3 +ξ1 j y j +ξ 23 y3 +ξ j y j +ξ33 y3 +ξ3 j y j +ξ1n yn +ξ n yn +ξ3n yn + m1  y1 + m2  y2 + m3  y3 = P1 = P2 = P3 +ξi y2 +ξi y3 +ξij y j +ξin yn + mi  yi = Pi +ξ n y2 +ξ n y3 +ξ nj y j +ξ nn yn + mn  yn = Pn (10) Mặt khác ta thiết lập (10) theo trình tự phương pháp chuyển vị • Coi khối lượng tập trung nút có chuyển vị thẳng theo phương lực tác dụng đặt liên kết cản trở chuyển động ta có hệ phương pháp chuyển vị Nếu kể đến chuyển vị xoay ta tăng thêm ẩn số chuyển vị xoay nút • Hệ phương trình tắc với ẩn số chuyển vị ξ11 y1 ξ y  21 ξ31 y1   ξ y  i1  ξ y  n1 Cho yi(t ) có dạng +ξ12 y2 +ξ 22 y2 +ξ32 y2 +ξ13 y3 +ξ1 j y j +ξ 23 y3 +ξ j y j +ξ33 y3 +ξ3 j y j +ξ1n yn +ξ n yn +ξ3n yn = P1 = P2 = P3 − m1  y1 − m2  y2 − m3  y3 +ξi y2 +ξi y3 +ξij y j +ξin yn = Pi − +ξ n y2 +ξ n y3 +ξ nj y j +ξ nn yn = Pn − mn  yn yi(t ) = vẽ biểu đồ Mi ta xác định ξi , j hệ số ri , j mi  yi học kết cấu b Xác định tần số dạng dao động riêng Để xác định tần số dạng dao động riêng ta coi vế phải (10) không Đây hệ phương trình vi phân S¬ 19 - 2015 19 KHOA HC & CôNG NGHê p1 sinrt p2 sinrt m1 m2 l l EI l y1 y2 l l l Hình Sơ đồ phân tích động hệ cấp hai Tìm nghiệm tổng quát dạng: = yit Ai sin (ωt + ϕ )  yit = −ω Ai sin (ωt + ϕ ) Thay (11) vào (10) với ξ11 A1  ξ 21 A1 ξ31 A1   ξ A  i1   ξ n1 A1 (11) Pi = , sin (ωt + ϕi ) ≠ ta có: +ξ12 A2 +ξ 22 A2 +ξ13 A3 +ξ1 j Aj +ξ 23 A3 +ξ j Aj +ξ1n An +ξ n An − ω m1 A1 − ω m2 A2 = = +ξ32 A2 +ξ33 A3 +ξ3 j Aj +ξ3n An − ω m3 A3 = +ξi A2 +ξi A3 +ξij Aj +ξin An − ω mi Ai = +ξ n A2 +ξ n A3 +ξ nj Aj +ξ nn An − ω mn An = (12) Hoặc rút gọn nhóm ẩn số Ai ta có: (ξ11 − ω m1 ) A1   ξ 21 A1   ξ31 A1    ξi1 A1     ξ n1 A1  +ξ12 A2 +ξ13 A3 +ξ1 j Aj +ξ1n An = + (ξ 22 − ω m2 ) A2 +ξ 23 A3 +ξ j Aj +ξ n An = + (ξ33 − ω m3 ) A3 +ξ3 j Aj +ξ3n An = +ξin An = +ξ32 A2 +ξi A2 +ξi A3 + (ξij − ω mi ) Aj +ξ n A2 +ξ n A3 +ξ nj Aj + (ξ nn − ω mn ) An (13) = Điều kiện để tồn dao động là: (ξ 11 − ω m1 ) ξ 21 ξ31 D= (ξ 22 ξ12 ξ13 ξ1 j ξ1n − ω m2 ) ξ 23 ξ2 j ξ2n − ω m3 ) ξ3 j ξ3n ξ32 (ξ 33 ξi1 ξi ξi ξn2 ξn3 (ξ ij − ω mi ) ξ n1 ξ nj T„P CHŠ KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG (14) in ( nn Do ý nghĩa vật lý toán, phương trình tần số (14) có n nghiệm thực số nhỏ gọi tần số dao động hệ 20 − ω mn ) ω1 ω2 ω3 ωi ωn Tần 6EI 3EI l2 6EI l2 l2 y1=1 6EI 6EI l2 l2 3EI l2 y2=1 Hình Các biểu đồ mơ men đơn vị Mọi tổ hợp tần số dao động riêng hệ gọi phổ tần số hệ c Dao động cưỡng cộng hưởng với tải trọng điều hòa Giả sử tải trọng cưỡng có dạng điều hòa: Pi(t ) = Pi sinψ t ; (15) Thay (15) vào (3.10) tìm nghiệm dạng yit = Bi sinψ t ; →  yit = −ψ Bi sinψ t Thay (15) (16) vào (10) giản ước ta có hệ phương trình xác định ξ11 B1  ξ 21 B1 ξ31 B1   ξ B  i1   ξ n1 B1 Bi +ξ12 B2 +ξ 22 B2 +ξ13 B3 +ξ1 j B j +ξ 23 B3 +ξ j B j +ξ1n Bn +ξ n Bn + ψ m1 B1 + ψ m2 B2 = P1 = P2 +ξ32 B2 +ξ33 B3 +ξ3 j B j +ξ3n Bn + ψ m3 B3 = P3 +ξi B2 +ξi B3 +ξij B j +ξin Bn + ψ mi Bi = Pi +ξ n B2 +ξ n B3 +ξ nj B j +ξ nn Bn + ψ mn Bn = Pn Giải hệ phương trình ta tìm Ta nhận thấy ψ ≈ ωi (17) Bi nghiệm (12) D≈0 Sau giải phương trình tìm biên độ dao động theo (1) Ri = Pi(t ) − mi  yi(t ) = Pi sinψ t + mi ψ Bi sinψ t ; Biên độ lớn tải trọng tỉnh (16) biên độ tăng vô hạn xuất hiện tượng cộng hưởng Bi ta tính ngoại lực tác dụng lên khối lượng mi i=1, 2, 3, …,n sinψ t = ; từ kết ta vẽ biểu đồ mô men động hệ tốn d Ví dụ: Xác định tần số dạng dao động riêng hệ cho hình vẽ, vẽ biểu đồ mômen động cho hệ Cho biết: = E 2,1.104 3EI l3 -12EI l kN = I 8880cm cm -12EI l3 -12EI l3 12EI l3 kN = l 2m = P1 6kN cm P = 12kN = r 50 s 3EI 12 EI 15 EI + = ; l3 l l 12 EI 3EI 15 EI + = ξ 22 = ; l3 l l3 12 EI ξ12 = ξ 21 = − ; l ξ11 = ξ21 ξ11 m = m= 1, 02 2 ξ12 -3EI l3 ξ22 Phương trình tần số D ξ11 − mω ξ12 0; : → (ξ11 − mω ) × (ξ 22 − mω ) − ξ 21 × ξ12 = = ξ 21 ξ 22 − mω S¬ 19 - 2015 21 KHOA HC & CôNG NGHê m1 A1 A2 EI m2 Hình Dạng dao động thứ A2 m1 EI m2 A1 Hình Dạng dao động thứ hai r1=11,0388 r2=17,2938 26,2476 30,4176 Hình Biểu đồ mơ men động 3EI  mω12 =  12 EI   15 EI l   15 EI  12 EI 0; →   − mω  ×  − mω  − × = l l  l   l  mω = 27 EI  l3 Tần số dao động riêng:  3EI × 2,1×10−8 × 8880 ×108 ω1 = = 82,8 = ml 1, 02 × 23   3EI 27 × 2,1×10−8 × 8880 ×108  = ω = = 248,  ml 1, 02 × 23  Dạng dao động riêng: Dạng 1: ứng với 3EI ω1 = 82,8; m1ω = l Dạng 2: ứng với ω1 = 248, 4; m1ω22 = 2 15 EI 3EI − 3 l= l 1; 12 EI l3 15 EI 27 EI − 3 ξ11 − m1ω12 l l = = −1; A2 = 12 EI ξ12 l3 ξ11 − m1ω12 = : cho= A1=1; A2 ξ12 27EI l3 : cho A1=1; Vẽ biểu đồ mơmen động 15 EI 15 × 2,1×10−8 × 8880 ×108 15 EI 15 × 2,1×10−8 × 8880 ×108 = = 34965;= = 34965; ξ11 = ξ 22 = l3 23 l3 23 12 EI 12 × 2,1×10−8 × 8880 ×108 = 27972; mr =1, 02 × 502 = 2550; ξ12 =ξ 21 = = l (xem tiếp trang 56) 22 T„P CHŠ KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG ... sinrt EI mn yn yi Hình Mơ hình hệ có hữu hạn bậc tự  λ = {λ1 λ2 λ3 λn } AT ma trận chuyển vị véc tơ biến dạng A   N = C λ ; với C ma trận độ cứng (7) Quan hệ nội lực biến dạng: Thay (7) vào... biểu đồ mơ men đơn vị Mọi tổ hợp tần số dao động riêng hệ gọi phổ tần số hệ c Dao động cưỡng cộng hưởng với tải trọng điều hòa Giả sử tải trọng cưỡng có dạng điều hòa: Pi(t ) = Pi sinψ t ; (15)... đồ Mi ta xác định ξi , j hệ số ri , j mi  yi học kết cấu b Xác định tần số dạng dao động riêng Để xác định tần số dạng dao động riêng ta coi vế phải (10) không Đây hệ phương trình vi phân S¬