Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết trình bày nghiên cứu tính toán dao động riêng hệ kết cấu dây cứng theo Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss của GS.TSKH Hà Huy Cương và kết hợp lập trình tính toán trên nền Matlab. Lý thuyết tính toán được xây dựng rõ ràng, chương trình thuật toán giải chặt chẽ đã đạt được kết quả chính xác cho bài toán dao động riêng của hệ kết cấu dây cứng.
Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng Sông Cửu Long SCD2021 NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỐN DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA HỆ KẾT CẤU DÂY CỨNG THEO PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS A RESEARCH ON CALCULATION METHODS OF NATURAL VIBRATIONS OF RIGID CABLE STRUCTURE SYSTEM BASED ON THE GAUSSIAN EXTREME PRINCIPLE METHOD Phạm Hồng Hạnh, Phạm Văn Trung ABSTRACT: Rigid cable structure is a cable structure system that takes into account a flexural stiffness When the rigid cable oscillates, unlike the cable, it is necessary to consider the bending moment component in the cable The current theories of calculating oscillations for rigid cable is limited At present, the theory of rigid cable calculation based on the beam-like method In the report, the author prsented a research on calculating the natural vibrations of rigid cable structure system based on the Gaussian Extreme Principle method of Pro.Dr Ha Huy Cuong and combines with computational programming on the basis of Matlab The calculation theory is clearly built, the rigorous solution algorithm program has achieved accurate results for the mathematical problem of natural vibrations of rigid cable structure system KEY WORDS: Rigid cable structure; the Gaussian Extreme Principle method; natural vibrations TÓM TẮT: Kết cấu dây cứng hệ kết cấu dây có xét đến độ cứng kháng uốn Khi dây dao động, khác với dây mềm ta cần xem xét thành phần mô men uốn dây Các lý thuyết tính tốn dao động cho dây cứng hạn chế Hiện nay, lý thuyết tính tốn theo phương pháp tương tự dầm Trong báo cáo, tác giả trình bày nghiên cứu tính tốn dao động riêng hệ kết cấu dây cứng theo Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss GS.TSKH Hà Huy Cương kết hợp lập trình tính tốn Matlab Lý thuyết tính tốn xây dựng rõ ràng, chương trình thuật tốn giải chặt chẽ đạt kết xác cho tốn dao động riêng hệ kết cấu dây cứng TỪ KHÓA: Kết cấu dây cứng; phương pháp nguyên lý cực trị Gauss; dao động riêng Pham Hong Hanh Department of Mechanics, Faculty of Civil Engineering, Mien Tay Construction University 20B, Pho Co Dieu Street, Ward 3, Vinh Long City, Vinh Long Province Email: phamhonghanh@mtu.edu.vn Tel: 0919.578.078 Pham Van Trung Department of Mechanics of Materials- Structural Analysis, Faculty of Civil Engineering, Hanoi Architectural University Email: trungpv@hau.edu.vn Tel: 0912288393 59 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta Kết cấu dây cứng hệ kết cấu dây có độ cứng kháng uốn định [6] Trong thực tế, chịu tác dụng tải trọng, dây phát sinh thành phần mô men uốn đủ lớn không phép bỏ qua Hệ kết cấu dây cứng chế tạo từ vật liệu thép định hình tiết diện chữ I thép tổ hợp lại với [2 - 6] Khi xét tỉ số ứng suất mô men uốn gây tiết diện lớn 5% ứng suất lực căng gây ra, dây quan niệm dây cứng [4] Khi tính tốn dây cứng, ngồi việc nghiên cứu tác dụng tĩnh ta cần phải nghiên cứu tác dụng tải trọng động, vấn đề nghiên cứu dao động riêng phần bỏ qua Các lý thuyết tính tốn dao động riêng dây cứng chưa đề cập nhiều Một số lý thuyết nghiên cứu tính tốn dựa lý thuyết tương tự dầm Trong báo cáo này, nhóm tác giả trình bày phương pháp tính tốn dao động riêng kết cấu dây cứng chuyển vị lớn, chịu tác dụng hữu hạn bậc tự sơ đồ biến dạng, theo “Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss” GS TSKH Hà Huy Cương Các ví dụ tính tốn kết hợp lý thuyết xây dựng lập trình phần mềm Matlab, nhận kết xác cho tốn tính tần số dao động riêng bản, véctơ riêng dạng dao động riêng tương ứng dây cứng có dạng chế tạo ban đầu cung trịn dây cứng dạng parabol TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA DÂY CỨNG 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN Xét dây cứng dạng cong võng, căng qua hai gối tựa A, B, nhịp dây L, độ võng chế tạo dây f Dây cứng chịu tác dụng khối lượng tập trung: Khối lượng kết cấu bên quy tập trung nút phía có cường độ Gi Dây cứng chế tạo từ thép tổ hợp có tiết diện mặt cắt ngang Aik Vật liệu làm dây có môđun đàn hồi chịu kéo (nén) E 60 Yêu cầu: Xác định tần số dao động riêng bản, véc tơ riêng dạng dao động riêng tương ứng 00 f(m) ĐẶT VẤN ĐỀ y0,i SCD2021 x n 01 02 x0,i i L(m) Hình Sơ đồ động lực học dây cứng dạng cong võng 2.2 Xây dựng tốn tìm dao động Việc xây dựng giải toán xác định tần số dao động riêng bản, véc tơ riêng dạng dao động riêng tương ứng theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss xây dựng tương tự xây dựng giải toán hệ kết cấu chịu tác dụng tải trọng tĩnh Khác biệt trình lấy đạo hàm phiếm hàm Z theo biến, quan niệm lực quán tính độc lập với chuyển vị Sau lấy đạo hàm, thay lực quán tính tính theo đạo hàm chuyển vị vào hệ phương trình tổng quát Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ O gối A, trục Ox theo phương ngang trùng với phương AB, trục Oy theo phương đứng Dây cứng chịu tác dụng khối lượng tập trung nút dây Dưới tác dụng kích thích đó, dây dao động Các điểm nút lệch khỏi vị trí cân làm cho phần tử dây bị co giãn phát sinh thành phần nội lực Tập hợp lực tác dụng lên khối lượng Mi Pi Giả sử khối lượng nút k Gk Khi hệ dây cứng dao động Khối lượng Gk có phương trình dao động theo phương thẳng đứng là: y k (t) v k eit (1) Lực quán tính tác dụng lên khối lượng Gk f mk G k y m t G k 2 v k eit (2) Xét phần tử dây cứng ik hai nút i, k Gọi tọa độ nút i, k (i, k =1,2,3,…n) phần tử dây cứng trước chịu tải i(x0,i, y0,i) k(x0,k, y0,k) Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng Sông Cửu Long Khi dây cứng chịu tác dụng nguyên nhân bên ngoài, nút i, k di chuyển đến vị trí i’, k’ có tọa độ i’(xi, yi), k’(xk, yk) (Hình 2) k y vk i k' VA vi y 0,i yk yi i' Py01 A o x 0,i x 0,k xi ui xk HA x uk 01 00 Px01 Hình Sơ đồ chuyển vị đoạn dây cứng u i x i x 0,i (3) v y y i 0,i i Chiều dài đoạn dây trước biến dạng S0,i sau biến dạng Si xác định theo sơ đồ hình học là: Si x 0,k x 0,i y0,k y0,i x k xi y k yi (4) Nội lực tiết diện thứ i xác định phương pháp mặt cắt bên phải tiết diện (i-1) sơ đồ biến dạng, ta được: i 1 i 1 Ti H A Pxk cos(i ) VA Pyk sin(i ) k 1 k 1 i 1 i 1 Mi 1 VA x i H A yi Pyk x i x k Pxk yi y k (5) k 1 k 1 i i Qi H A Pxk sin(i ) VA Pyk cos(i ) k 1 k 1 Trong đó: i - Là góc nghiêng đoạn thứ i với phương ngang cos(i ) y k yi x k x i y k yi x k xi x k x i y k yi Px02 (6) x Py Pyi 02 Px i Pxi Mi-1 Qi Ti Hình Sơ đồ tính tốn nội lực dây cứng chịu tải Các tải trọng tập trung đặt điểm nút chia đoạn đoạn dây hai nút quan niệm thẳng, nên thành phần nội lực Ti Qi đoạn Si số Thành phần mô men đoạn Si biến thiên theo quy luật bậc đầu (i-1) Mi-1 đầu i Mi Mô men tiết diện cách đầu (i-1) đoạn s xác định sau: M M i 1 (7) M i(s) M i 1 i s; s Si Si Áp dụng phương pháp Nguyên lý cực trị Gauss cho toán với tải trọng tập trung nút theo hai phương, ta có: n si Tính nội lực Ti, Qi Mi-1 sin(i ) 02 x0,i Dựa sơ đồ chuyển vị đoạn dây cứng, chuyển vị nút thứ i theo phương ngang theo phương đứng xác định sau: S0,i 01 Py02 y0,i y y 0,k HA, VA HB, VB: phản lực gối A, B xác định phương trình cân hệ dây cứng tĩnh định Trong trường hợp hệ dây cứng siêu tĩnh ta quan niệm đại lượng ẩn số si n 1 Ti 2 ds Qi 2 ds i 1 EA i i 1 GA i Z n si Mi 2 ds 2 f mk vk Min i 1 EIi (8) Thay Mi công thức (7) vào (8) Lưu ý Ti Qi phần tử số, rút gọn biểu thức ta phiếm hàm lượng cưỡng toán theo phương pháp Nguyên lý cực trị Gauss: n n S S 2 Z i Ti i Qi i 1 EA i i 1 GA i n si n 1 M Mi 1 s ds 2 f mk v k Mi1 i Si i 1 EIi i 1 (9) Min 61 SCD2021 SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta Trong đó: n - số nút, số phần tử dây cứng Để kích cho hệ dao động ta cho trước độ lệch đó, ví dụ nút k cho độ lệch vk0 g vk vk (10) Vậy toán dao động riêng hệ kết cấu dây cứng tìm cực trị phiếm hàm Z (9) với điều kiện ràng buộc g (10) 2.3 Giải toán dao động 2.3.1 Điều kiện biên điều kiện liên kết Gán giá trị gối tựa giá trị ban đầu: x k x 0,k ; y k y0,k (11) 2.3.2 Phương pháp giải toán Áp dụng phương pháp thừa số Lagrange, giải tốn tìm cực trị phiếm hàm Z (9) với điều kiện ràng buộc g (10) Hàm mở rộng F với thừa số Lagrange sau: F Z .g Min (12) Điều kiện cực trị (12) lấy theo biến phân kiểu Gauss: F F F 0; 0; 0 (13) x i yi Khi lấy đạo hàm theo độ lệch nút phương trình (13), ta quan niệm lực qn tính độc lập với độ lệch, không phụ thuộc vào độ lệch Sau lấy đạo hàm, thay lực quán tính tính theo đạo hàm chuyển vị vào hệ phương trình tổng quát Giải hệ phương trình (13), xác định toạ độ điểm đặt lực trạng thái biến dạng Chuyển vị điểm đặt lực xác định theo (3) Hệ phương trình (13) hệ phương trình phi tuyến nên việc tìm nghiệm phức tạp Áp dụng phần mềm Matlab lập trình tính tốn, áp dụng hàm fsolve với cú pháp: options=optimset('Display','iter');% Option to display output [x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options) Theo yêu cầu hàm fsolve Matlab thuật tốn lặp, chương trình tính lặp từ nghiệm x0 Ta lấy x0 tọa độ ban đầu 62 Mặt khác hàm fsover cần có hàm đươc đặt tên cố định myfun.m hàm chứa hệ phương trình cần giải định nghĩa Sau xác định tọa độ điểm nút sơ đồ biến dạng, tiến hành xác định đại lượng nghiên cứu 2.3.3 Thuật tốn tính tốn Đầu vào: x0,i; y0,i - giá trị tọa độ điểm nút sơ đồ ban đầu biết; EAi - giá trị độ cứng mặt cắt ngang phần tử dây biết; Mi – khối lượng tập trung nút i Đầu ra: xi; yi - giá trị tọa độ điểm nút sơ đồ biến dạng cần tìm; i - tần số dao động riêng; ui; vi - giá trị véc tơ riêng điểm nút sơ đồ biến dạng cần tìm Bước Chuẩn bị số liệu đầu vào toán: Tọa độ (x0,i, y0,i) điểm nút trạng thái ban đầu; Diện tích tiết diện phần tử A; mơ đun đàn hồi E; mơ men qn tính I phần tử; Khối lượng tập trung nút Gi Bước Thiết lập cơng thức tính chiều dài phần tử: Cơng thức tính chiều dài ban đầu S0,i, chiều dài sau biến dạng phần tử (4) Si theo tọa độ ban đầu Bước Thiết lập cơng thức tính nội lực phần tử chuyển vị nút: Cơng thức tính nội lực phần tử (5); Cơng thức tính chuyển vị nút uk; vk theo tọa độ nút (3) Bước Lập phiếm hàm Z tính đạo hàm riêng: Lập phiếm hàm Z theo công thức (9) phương pháp nguyên lý cực trị Gauss; Tính đạo hàm riêng theo (13) lập nên hệ phương trình F = diff, quan niệm lực quán tính lực ngồi; Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng Sơng Cửu Long Gán lại lực quán tính vào hàm F Bước Thiết lập hàm myfun: Dùng lệnh function: Định nghĩa biến theo cú pháp hàm myfun; Gán đại lượng: tọa độ ban đầu; tải trọng tác dụng; độ cứng mặt cắt phần tử Bước Giải hệ phương trình: Nhập số liệu bắt đầu, chọn giá trị tọa độ ban đầu x0; Dùng lệnh fsolve - Giải phương trình f(x) = khu vực gần x0; Cú pháp: options=optimset('Display','iter');% Option to display output x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options) Bước Định dạng số liệu đầu ra: KHẢO SÁT VÍ DỤ TÍNH TỐN DAO ĐỘNG RIÊNG 3.1 Dây có dạng chế tạo ban đầu cung tròn Xét dây cứng dạng cong võng hai khớp sơ đồ tính Hình Dây chế tạo dạng cung trịn bán kính R, nhịp dây L = 60 m, độ võng chế tạo f = m Độ cứng chịu kéo (nén) EA = 6.106 kN; độ cứng chịu uốn EI = 1.106 kNm2 Dây cứng chịu tác dụng khối lượng tập trung: Khối lượng kết cấu bên quy tập trung nút phía có cường độ G = 120 kNm/s2 Yêu cầu: Xác định tần số dao động riêng bản, véc tơ riêng dạng dao động riêng tương ứng Sắp xếp đại lượng cần tìm theo yêu cầu đầu ra; Bảng véc tơ riêng Tần số dao động riêng Bước Đồ họa sơ đồ ban đầu dạng dao động riêng: Sắp xếp tọa độ liên tiếp tạo thành đường nối điểm nút mảng số liệu Dùng lệnh plot vẽ sơ đồ kết cấu ban đầu sơ đồ biến dạng Bước In kết sơ đồ kết cấu 2.3.4 Sơ đồ khối chương trình tính Hình Sơ đồ động lực học dây cứng dạng cung tròn Bảng Tọa độ ban đầu điểm chia dây cứng dạng cung tròn Nút 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Hình Sơ đồ khối chương trình tính dao động riêng dây cứng SCD2021 Tọa độ theo phương ngang (m) 0.0000 5.7725 11.6961 17.7336 23.8476 30.0000 36.1523 42.2663 48.3039 54.2274 60.0000 Tọa độ theo phương đứng (m) 0.0000 -2.1419 -3.8219 -5.0294 -5.7569 -6.0000 -5.7569 -5.0294 -3.8219 -2.1419 0.0000 Khối lượng tập trung nút k (i = 01, 02, 03, , 09): kNs G i 120 m 63 SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta Phương trình chuyển động lực quán tính tác dụng khối lượng Gk y k v k eit y k v k e i t t Sau lấy đạo hàm xong ta thay Pk G k 2 v k eit vào phương trình đạo hàm riêng yk 2 v k eit t Cho = ta hệ phương trình bao gồm 19 phương trình chứa 19 ẩn số: f km G k y m G k 2 v k eit t + ẩn tần số dao động riêng ; + ẩn tọa độ dao đông theo phương x (x01; x02; x03; … ; x09); Lực dọc tính theo độ dãn dài dây + ẩn tọa độ dao đông theo phương y (y01; y02; y03; … ; y09) S Tk EA k S0,k 2 x k x i y k yi EA 1 2 x 0,k x 0,i y0,k y0,i Mô men nút tính theo cân phần bên trái nút k Lưu ý hai gối tựa dây khớp nên có mơ men không i 1 M k VA x k H A y k f km x i x k M10 S Z k Tk k 1 EA k k 1 S0,k Đây hệ phương trình siêu việt nên có vơ số nghiệm, ta cho trước nghiệm tính nghiệm cịn lại Ta kết quả: Dạng dao động thứ 1: Omega1 = 0.050801225631783 Dạng dao động riêng Phiếm hàm lượng cưỡng bức: Giải hệ phương trình ta tần số dao động riêng tọa độ điểm nút tương ứng với dạng dao động Tần số dao động riêng k 1 M 00 0; độ lệch, ta thay lực quán tính: f km G k 2 v k eit Pk số M k M k 1 s ds M k 1 EIk Sk 2 f mk vk Min k 1 Để kích cho hệ dao động, ta cho trước độ lệch bất kỳ, ví dụ nút 03 cho độ lệch v3,0 = 0,5m g v03 v3,0 Hình Dạng dao động riêng thứ dây cứng dạng cung tròn Dạng dao động thứ 2: Phiếm hàm mở rộng toán: F Z .g Min Tần số dao động riêng Điều kiện cực trị toán Dạng dao động riêng 9 S F k Tk k 1 EA k k 1 S0,k Omega2 = 1.556084872136605 M k M k 1 s ds M k 1 EIk Sk 2 f mk vk v03 v3,0 Min k 1 Khi lấy đạo hàm trên, ta quan niệm lực quán tính độc lập với độ lệch, không phụ thuộc vào 64 Hình Dạng dao động riêng thứ hai dây cứng dạng cung tròn Hội thảo Khoa học Quốc tế Phát triển Xây dựng bền vững điều kiện Biến đổi khí hậu khu vực đồng Sơng Cửu Long Dạng dao động thứ 3: 04 05 06 07 08 09 10 Tần số dao động riêng Omega3 = 1.670969759304091 Dạng dao động riêng DANG DAO DONG THU -1 24.000 30.000 36.000 42.000 48.000 54.000 60.000 -5.760 -6.000 -5.760 -5.040 -3.840 -2.160 0.000 DO VONG - BIEN DO(m) Áp dụng thuật tốn trình bày phần lập trình Ta kết quả: DANG BAN DAU DANG DAO DONG BIEN DO DD 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 NHIP DAY(m) Hình Dạng dao động riêng thứ ba dây cứng dạng cung tròn 3.2 Dây có dạng chế tạo ban đầu đường bậc (Parabol) Xét dây cứng dạng cong võng hai khớp sơ đồ tính Hình Dây chế tạo dạng parabol bán kính R, nhịp dây L = 60 m, độ võng chế tạo f = m Độ cứng chịu kéo (nén) EA= 6.106 kN; độ cứng chịu uốn EI = 1.106 kNm2 Dạng dao động thứ 1: Tần số dao động riêng Omega1 = 0.069477559467128 Dạng dao động riêng Hình 10 Dạng dao động riêng thứ dây cứng dạng parabol Dây cứng chịu tác dụng khối lượng tập trung: Khối lượng kết cấu bên quy tập trung nút phía có cường độ G = 120 kNm/s2 Dạng dao động thứ 2: Yêu cầu: Xác định tần số dao động riêng bản, véc tơ riêng dạng dao động riêng tương ứng Dạng dao động riêng Tần số dao động riêng Omega2 = 1.853873721248913 Hình 11 Dạng dao động riêng thứ hai dây cứng dạng parabol Hình Sơ đồ động lực học dây cứng dạng parabol Dạng dao động thứ 3: Tần số dao động riêng Bảng Tọa độ ban đầu điểm chia dây cứng dạng parabol Omega3 = 2.383226038272038 Dạng dao động riêng Nút 00 01 02 03 Tọa độ theo phương ngang (m) 0.000 6.000 12.000 18.000 Tọa độ theo phương đứng (m) 0.000 -2.160 -3.840 -5.040 Hình 12 Dạng dao động riêng thứ ba dây cứng dạng parabol 65 SCD2021 SCD2021 International Conference on sustainable construction development in the context of climate change in the Mekong Delta KẾT LUẬN Bằng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, nhóm nghiên cứu xây dựng thành cơng phương pháp tính tốn dao động riêng hệ kết cấu dây cứng có xét đến chuyển vị lớn theo thuật tốn thống nhất, khơng trùng lặp với cách truyền thống Phương pháp trình bày báo cáo giải triệt để toán dao động hệ kết cấu dây cứng Nhóm nghiên cứu xây dựng thuật tốn tính tốn lập trình tính tốn thành cơng tốn dao động riêng hệ kết cấu dây cứng phần mềm Matlab ứng dụng phần tính tốn ví dụ báo cáo Phầm mềm tính tốn cho phép xác định tần số dao động riêng véctơ riêng dạng dao động riêng tương ứng cách xác hợp lý Hướng nghiên cứu, phát triển: Nghiên cứu dao động cưỡng hệ kết cấu dây cứng Nghiên 66 cứu khảo sát nội lực, chuyển vị dao động dây cứng phương pháp thực nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Huy Cương, Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2005, trang 112 - 118 [2] Phạm Văn Hội, Kết cấu thép cơng trình dân dụng công nghiệp - Tập 2, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội, 2006, trang 119 - 126 [3] Phạm Văn Trung, Phương pháp tính tốn hệ kết cấu dây mái treo, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến Trúc Hà Nội, Hà Nội, 2006 [4] Lều Thọ Trình, Cách tính hệ treo theo sơ đồ biến dạng, NXB Xây dựng, Hà Nội, 2003, trang 32 - 45 [5] Ха Зуй Кыонг, Применение экстремьлного принципа Гаусса к задачам расчета жестких покрытий аэродромов и автомобильных дорог, Дисс, на соиск, учен, степени докт, техн наук, МАДИ, М, 1984 [6] H С Моcкалев, Конструкции висячих покрытий, Moсква Стройиздат, 1980, 62-100 ... thống Phương pháp trình bày báo cáo giải triệt để toán dao động hệ kết cấu dây cứng Nhóm nghiên cứu xây dựng thuật tốn tính tốn lập trình tính tốn thành cơng tốn dao động riêng hệ kết cấu dây cứng. .. Delta KẾT LUẬN Bằng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, nhóm nghiên cứu xây dựng thành cơng phương pháp tính tốn dao động riêng hệ kết cấu dây cứng có xét đến chuyển vị lớn theo thuật tốn thống... nhận kết xác cho tốn tính tần số dao động riêng bản, véctơ riêng dạng dao động riêng tương ứng dây cứng có dạng chế tạo ban đầu cung tròn dây cứng dạng parabol TÍNH TỐN DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA DÂY CỨNG
