Nghiên cứu tính toán kết cấu dây cứng chịu tác dụng tĩnh theo phương pháp nguyên lý cực trị gauss

Bài viết trình bày việc ứng dụng Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp lập trình tính toán trong Matlab. Với cách xây dựng và thuật toán giải rõ ràng, chặt chẽ, đã nhận được kết quả chính xác cho bài toán dây cứng chịu tải trọng tĩnh và dao động riêng của dây cứng với hữu hạn bậc tự do.

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC nNgày nhận bài: 16/4/2021 nNgày sửa bài: 12/5/2021 nNgày chấp nhận đăng: 08/6/2021 Nghiên cứu tính toán kết cấu dây cứng chịu tác dụng tĩnh theo phương pháp nguyên lý cực trị gauss Study on calculation of possible structure by gauss positive principle method > TS PHẠM VĂN TRUNG Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội TÓM TẮT Kết cấu dây cứng hệ kết cấu dây có độ cứng kháng uốn định Khi chịu tác dụng nguyên nhân bên ngoài, dây phát sinh thành phần mô men uốn đủ lớn không phép bỏ qua Các lý thuyết tính tốn dây cứng tính tương tự dầm, q trình tính tốn dẫn đến thuật tốn truy hồi Trong báo cáo này, tác giả trình bày việc ứng dụng Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss kết hợp lập trình tính tốn Matlab Với cách xây dựng thuật toán giải rõ ràng, chặt chẽ, nhận kết xác cho tốn dây cứng chịu tải trọng tĩnh dao động riêng dây cứng với hữu hạn bậc tự Các kết nghiên cứu so sánh, kiểm nghiệm với lý thuyết tính xác học kết cấu phần mềm tính tốn cho thấy độ tin cậy phương pháp đề xuất Từ khóa: Dây cứng, phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, chuyển vị nhỏ ABSTRACT: Rigid wire structure is a wire structure system with a certain flexural resistance When subjected to external causes, the bending moment component that is large enough in the wire must not be ignored The current hard wire calculation theories are similar to beams, the calculation process leads to retrieval algorithms In this report, the author presents the application of Extreme Principle Gauss method combined with computational programming in Matlab With a clear and tight construction and solving algorithm, accurate results have been obtained for the problem of hard strings subjected to static loads and specific vibrations of rigid wires with finite degrees of freedom The research results are compared and tested with the theory of accuracy of structural mechanics and calculation software showing the reliability of the proposed method Keywords: Hard wire, Gauss positive principle method, small displacement 72 06.2021 ISSN 2734-9888 Mở đầu Kết cấu dây cứng hệ kết cấu dây có độ cứng kháng uốn định [6] Trong thực tế, chịu tác dụng tải trọng, dây phát sinh thành phần mô men uốn đủ lớn không phép bỏ qua Hệ kết cấu dây cứng chế tạo từ vật liệu thép định hình tiết diện chữ I thép tổ hợp lại với [2 - 6] Xét tỷ số ứng suất mô men uốn gây tiết diện lớn 5% ứng suất lực căng gây ra, dây quan niệm dây cứng [4] Dây cứng chia thành hai loại dây cứng dạng dàn võng dây cứng dạng cong võng [6] Các lý thuyết tính tốn dây cứng tính tương tự dầm, q trình tính tốn dẫn đến thuật toán truy hồi Phần lớn lý thuyết tính tốn đề cập đến tải trọng thẳng đứng cân không cân Trong báo cáo này, tác giả trình bày phương pháp tính tốn dây cứng chịu tải trọng tĩnh, vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi chấp nhận giả thuyết chuyển vị nhỏ theo “Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss” GS TSKH Hà Huy Cương kết hợp lập trình tính tốn phần mềm Matlab Xây dựng toán Xét dây cứng dạng cong võng hai khớp, gối tựa ngang mức vượt nhịp L, độ võng chế tạo f Phương trình trục dây xét trường hợp cung tròn parabol (bậc 2) Dây cứng chịu tác dụng: trọng lượng thân dây, trọng lượng kết cấu, qui đổi thành lực tập trung có cường độ P đặt điểm chia dây với tọa độ ban đầu (x0,i, z0,i) tọa độ biến dạng (xi, zi) (hình 1) Khi số lượng điểm chia đủ lớn, quan niệm đoạn dây thẳng, lực căng đoạn dây số, mô men phân bố theo quy luật bậc Trong nghiên cứu tác giả chưa xét đên ảnh hưởng lực cắt ảnh hưởng tương đối nhỏ so với lực căng, mô men VA HA VB f (m) x 00 01 14 02 03 04 05 06 07 08 L (m) 09 10 11 12 15 HB 13 Hình Sơ đồ tính tốn dây cứng chịu tải Giả thiết chuyển vị nhỏ: Giả thiết biến dạng chuyển vị hệ nhỏ Nghĩa tác dụng ngun nhân bên ngồi hình dáng cơng trình thay đổi ít, cho phép ta sử dụng liên hệ gần đại lượng hình học Gọi  góc xoay tiết diện cơng trình q trình biến dạng theo giả thiết viết: sin  0; tg  0; cos   (1) Xét đoạn dây cứng hai nút i k Gọi tọa độ nút (i-1) i (i-1, i =1,2,…n) đoạn dây cứng trước chịu tải i-1(x0,i-1; y0,i-1) i(x0,i y0,i) (hình 2.4) y  x i x y i y ,i ; ,i ;  ik k i'  ik k' yk x ,i x i o x 0,k ui Trong biểu thức (2.9) (2.10): i – gối có điều kiện biên vk y ,i y 0,k yi xi – chuyển vị cưỡng gối i theo phương x x xk  yi – chuyển vị cưỡng gối i theo phương z uk Hình Sơ đồ chuyển vị dây cứng chịu tải Theo điều kiện hình học sơ đồ chuyển vị phần tử dây cứng, chuyển vị nút thứ i theo phương ngang, phương đứng xác định sau: ui = xi – x0,i; vi = yi – y0,i; (2) Chiều dài đoạn dây trước biến dạng S0,i cosin phương:  x0,k  x0,i    y0,k  y0,i  Sik  ; yk  yi  ; cos(i ) 2  xk  xi    yk  yi  sin(i ) xk  x i  xk  xi    y k  y i  2 ; (3) Tính nội lực Ti, Qi Mi-1 y VA HA 01 Px01 01 02 Px02 Py02 x Py 02 Px x0,i Pxi Pyi i y0,i Py01 A 00 Mi-1 Qi Ti Hình Mơ hình xác định nội lực dây cứng chịu tải i1     Ti  HA  cos( i )   VA   Pyk   sin( i ) k     i1  Mi1  VA  x 0,i  HA  y 0,i   Pyk   x ,i  x 0,k  (4) k 1  i1    Qi HA  sin(i )   VA   Pyk   cos( i ) k 1    Thành phần mô men đoạn Si biến thiên theo quy luật bậc đầu (i-1) Mi-1 đầu i Mi Mô men tiết diện cách đầu (i1) đoạn s xác định sau: Mi(s) Mi1  Mi  Mi1 s; Si  s  Si (5) Áp dụng phương pháp Nguyên lý cực trị Gauss cho toán với tải trọng tập trung nút bỏ qua lực cắt, ta có:  Z n si n si i i 1 i i   EA  T  ds    Mi  ds  2 Pyi   zi  z ,i   (6) EIi Thay Mi (5) vào (6) lưu ý Ti Qi phần tử số, rút gọn biểu thức ta được: Phiếm hàm lượng cưỡng toán theo phương pháp Nguyên lý cực trị Gauss: s n i n1 Si 1 M M   Ti    Mi1  i i1 s ds 2Pyi  yi  y0,i  min (7)  EAi Si  i EIi  i1 i   Z  n (8) - Đối với tốn có xét chuyển vị cưỡng gối tựa, ta gán giá trị gối tựa giá trị ban đầu cộng với chuyển vị (9) cưỡng bức: xi x ,i   xi ; yi y ,i   yi ; vi i Trong đó: n - số đoạn chia dây cứng Pyi - tải trọng theo phương y tác dụng lên nút thứ i Điều kiện biên điều kiện liên kết - Đối với tốn khơng xét chuyển vị cưỡng gối tựa (biến dạng neo), ta gán giá trị gối tựa giá trị ban đầu: - Đối với toán dây hai khớp, ta cho giá trị mô men hai  M 0; M  M 0; gối không: M (10) A 00 B 15 Giải toán Z  0; Hi (11) Hệ phương trình (11) hệ phương trình tuyến tính Giải hệ phương trình (11) xác định lực xơ ngang H tọa độ điểm nút Chương trình tính tốn lập trình Matlab Ví dụ minh họa 4.1 Ví dụ – Ví dụ tính tốn dây có dạng cung trịn Xét dây cứng dạng cong võng hai khớp sơ đồ tính hình 2.6 Dây chế tạo dạng cung trịn bán kính R, nhịp dây L=60m, độ võng chế tạo f= 6m Độ cứng chịu kéo (nén) EA=6.106 kN; độ cứng chịu uốn EI=1.106 kNm2 Dây chịu tải thẳng đứng q=20kN/m Khi tính tốn bỏ qua ảnh hưởng lực cắt u cầu: Xác định phản lực liên kết, nội lực hệ dây cứng trường hợp chấp nhận giả thiết chuyển vị nhỏ A Bài giải theo phương pháp Nguyên lý cực trị Gauss Chia dây thành 15 đoạn có chiều dài Tải trọng phân bố dây quy tập trung điểm nút với cường độ P=80 kN Trong đoạn dây ta quan niệm thẳng Đánh số nút số hình Từ phương trình dây chế tạo cung trịn qua điểm ta tính tọa độ điểm nút Áp dụng công thức (3) ta tính chiều dài đoạn dây cosin phương Tĩnh lực căng đoạn dây mô men điểm nút theo (4) Thay vào phiếm hàm (7) áp điều kiện biên ta được: Lực căng ngang: y  diff(z,H)   H 1462,033667393   kN Và nội lực đoạn dây: Bảng Nội lực dây cứng dạng cung tròn chịu tải giả thiết chuyển vị nhỏ Mô men điểm nút (kN.m) Lực căng dây (kN) T01 1565.606854218 M01 -17.233986652 T02 1538.810537878 M02 -8.454760366 T03 1515.753335237 M03 15.578678306 T04 1496.625612421 M04 45.808367404 T05 1481.584332675 M05 74.927383958 T06 1470.752333515 M06 97.420095355 T07 1464.217761580 M07 109.592494743 T08 1462.033667393 M08 109.592494743 T09 1464.217761580 M09 97.420095355 T10 1470.752333515 M10 74.927383958 T11 1481.584332675 M11 45.808367404 T12 1496.625612421 M12 15.578678306 T13 1515.753335237 M13 -8.454760366 T14 1538.810537878 M14 -17.233986652 T15 1565.606854218 M15 0.000000000 ISSN 2734-9888 06.2021 73 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC B Bài giải kiểm tra theo phương pháp lực Cơ học kết cấu Bước 1: Xác định bậc siêu tĩnh (Số ẩn số): ẩn; Chọn ẩn số lực căng ngang H Bước 2: Chọn hệ bản: Loại bỏ liên kết ngang gối B thay lực căng ngang H Bước 3: Hệ phương trình tắc: 11 H  1P 0 Xác định nội lực đoạn dây tải trọng H=1 gây hệ Xác định hệ số số tự phương trình tắc, giải phương trình ta được: H=1462,033667393kN Từ ta xác định nội lực đoạn dây Bước 4: Xác định hệ số giải hệ phương trình Bảng Nội lực dây cứng dạng cung tròn chịu tải giả thiết chuyển vị nhỏ tính theo phương pháp lực Nút PT Nội lực H Lực dọc N(kN) Nội lực P Mô men M(kN.m) Lực dọc N(kN) Mô men M(kN.m) Lực dọc N(kN) Mô men M(kN.m) 1363.900 -2161.921 201.706 2144.687 1565.606854 -17.233987 1389.719 -4026.243 149.092 4017.788 1538.810538 -8.454760 1411.687 -5587.802 104.066 5603.381 1515.753335 15.578678 1429.745 -6842.272 66.881 6888.081 1496.625612 45.808367 1443.842 -7786.178 37.743 7861.106 1481.584333 74.927384 1453.939 -8416.905 16.813 8514.325 1470.752334 97.420095 1460.009 -8732.706 4.209 8842.299 1464.217762 109.592495 1462.034 -8732.706 0.000 8842.299 1462.033667 109.592495 1460.009 -8416.905 4.209 8514.325 1464.217762 97.420095 10 1453.939 -7786.178 16.813 7861.106 1470.752334 74.927384 11 1443.842 -6842.272 37.743 6888.081 1481.584333 45.808367 12 1429.745 -5587.802 66.881 5603.381 1496.625612 15.578678 13 1411.687 -4026.243 104.066 4017.788 1515.753335 -8.454760 14 1389.719 -2161.921 149.092 2144.687 1538.810538 -17.233987 15 1363.900 0.000 201.706 0.000 1565.606854 0.000000 C So sánh kết tính tốn theo phương pháp đề xuất phương pháp lực So sánh lực căng ngang H: 1462.033337393  1462.033667393 100%  0.00002% 1462.033337393 Sai lệch phương pháp đề xuất phương pháp nhỏ (2-5%) 4.2 Ví dụ – Ví dụ tính tốn dây cứng dạng parabol Xét lại ví dụ với dạng dây cứng chế tạo ban đầu parabol Các giải tương tự ví dụ A Bài giải theo phương pháp Nguyên lý cực trị Gauss Chia dây thành 15 đoạn có chiều dài Tải trọng phân bố dây quy tập trung điểm nút với cường độ P=80 kN Trong đoạn dây ta quan niệm thẳng Đánh số nút số hình Từ phương trình dây chế tạo cung tròn qua điểm ta tính tọa độ điểm nút Áp dụng cơng thức (3) ta tính chiều dài đoạn dây cosin phương Tĩnh lực căng đoạn dây mô men điểm nút theo (4) Thay vào phiếm hàm (7) áp điều kiện biên ta được: Lực căng ngang: y  diff(z,H)   H 1486,804248753kN Và nội lực đoạn dây: 74 Nội lực cuối 06.2021 ISSN 2734-9888 Bảng Nội lực dây cứng dạng parabol chịu tải giả thiết chuyển vị nhỏ Mô men điểm nút Lực căng dây (kN) (kN.m) T01 1588.762277184 M01 19.705655691 T02 1562.360617681 M02 36.596217287 T03 1539.667273717 M03 50.671684788 T04 1520.848215412 M04 61.932059681 T05 1506.048647191 M05 70.377340479 T06 1495.387881190 M06 76.007527182 T07 1488.954794551 M07 78.822621277 T08 1486.804248753 M08 78.822621277 T09 1488.954794551 M09 76.007527182 T10 1495.387881190 M10 70.377340479 T11 1506.048647191 M11 61.932059681 T12 1520.848215412 M12 50.671684788 T13 1539.667273717 M13 36.596217287 T14 1562.360617681 M14 19.705655691 T15 1588.762277184 M15 0.000000000 B Bài giải kiểm tra theo phương pháp lực Cơ học kết cấu Bước 1: Xác định bậc siêu tĩnh (Số ẩn số): ẩn; Chọn ẩn số lực căng ngang H Bước 2: Chọn hệ bản: Loại bỏ liên kết ngang gối B thay lực căng ngang H Bước 3: Hệ phương trình tắc: 11H  1P 0 Xác định nội lực đoạn dây tải trọng H=1 gây hệ Xác định hệ số số tự phương trình tắc, giải phương trình ta được: H=1486,804248753kN Từ ta xác định nội lực đoạn dây Bước 4: Xác định hệ số giải hệ phương trình Bảng Nội lực dây cứng dạng cung tròn chịu tải giả thiết chuyển vị nhỏ tính theo phương pháp lực Nút Nội lực H Nội lực P Nội lực cuối PT Lực căng T (kN) Mô men M (kN.m) Lực căng T (kN) Mô men M (kN.m) 10 11 12 13 14 15 1392.900 1416.068 1436.602 1454.084 1468.131 1478.417 1484.694 1486.804 1484.694 1478.417 1468.131 1454.084 1436.602 1416.068 1392.900 -2220.294 -4123.404 -5709.328 -6978.068 -7929.623 -8563.992 -8881.177 -8881.177 -8563.992 -7929.623 -6978.068 -5709.328 -4123.404 -2220.294 0.000 195.862 146.292 103.065 66.764 37.918 16.970 4.261 0.000 4.261 16.970 37.918 66.764 103.065 146.292 195.862 2240.000 4160.000 5760.000 7040.000 8000.000 8640.000 8960.000 8960.000 8640.000 8000.000 7040.000 5760.000 4160.000 2240.000 0.000 C So sánh kết tính tốn theo phương pháp đề xuất phương pháp lực So sánh lực căng ngang H: 1462.033337393  1462.033667393 100%  0.00002% 1462.033337393 Sai lệch phương pháp đề xuất phương pháp nhỏ( 2*10-5%) Kết tính tốn theo phương pháp ngun lý cực trị Gauss so sánh với kết phương pháp xác phương pháp lực cho thấy kết gần trùng khớp, sai số nhỏ khoảng 10111013% - Sai số không đáng kể - Mặt khác sai số trình nhân biểu đồ phương pháp lực có lấy gần với 12 chữ số phần thập phân Khi so sánh kết tính tốn hai dạng dây ta nhận thấy: - Lực căng dây dạng parapol lớn lực căng dây dạng cung tròn khoảng 1,479%1,689% - Lực dọc dây dạng parapol thay đổi (6,86%) dây dạng cung trịn (7,08%) - Mơ men lớn dây cứng dạng cung tròn lớn nhiều mô men lớn dây cứng dạng parapol (28,077%) cịn xuất mơ men âm tiết diện gần gối tựa Kết luận Áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, tác giả xây dựng thành cơng phương pháp tính tốn kết cấu dây cứng chấp nhận giả thiết chuyển vị nhỏ theo thuật tốn thống nhất, khơng trùng lặp với cách truyền thống Lực căng T (kN) Mô men M (kN.m) 1588.762277 1562.360618 1539.667274 1520.848215 1506.048647 1495.387881 1488.954795 1486.804249 1488.954795 1495.387881 1506.048647 1520.848215 1539.667274 1562.360618 1588.762277 19.705656 36.596217 50.671685 61.932060 70.377340 76.007527 78.822621 78.822621 76.007527 70.377340 61.932060 50.671685 36.596217 19.705656 0.000000 Phương pháp trình bày giải hầu hết toán như: Dây cứng dạng cung tròn dạng parabol chịu tác dụng tải trọng Tác giả so sánh kết nghiên cứu với phương pháp tính xác học kết cấu (Phương pháp lực) đạt độ xác tuyệt đối (sai số không đáng kể, nhỏ thua 2*10-5 %) Theo nhận xét ta nhận thấy: - Bài tốn nghiên cứu tính tốn kết cấu dây cứng tác giả có tính xác - Khi chịu tác dụng tải trọng thẳng đứng dây cứng dạng parapol làm việc hợp lý dây cứng dạng cung trịn Lực căng mơ men nhở phân bố đặn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hà Huy Cương (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, trang 112 - 118 [2] Phạm Văn Hội (2006), Kết cấu thép cơng trình dân dụng cơng nghiệp - Tập 2, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội, trang 119 - 126 [3] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp tính tốn hệ kết cấu dây mái treo, Luận án tiến sĩ kỹ thuật, Trường Đại học Kiến Trúc Hà Nội, Hà Nội [4] Lều Thọ Trình (2003), Cách tính hệ treo theo sơ đồ biến dạng, NXB Xây Dựng, Hà Nội, trang 32 - 45 [5] Ха Зуй Кыонг (1984), Применение экстремьлного принципа Гаусса к задачам расчета жестких покрытий аэродромов и автомобильных дорог, Дисс, на соиск, учен, степени докт, техн наук, МАДИ, М [6] H С Моcкалев (1980), Конструкции висячих покрытий, Moсква Стройиздат, 62-100 ISSN 2734-9888 06.2021 75 ... tiết diện gần gối tựa Kết luận Áp dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, tác giả xây dựng thành cơng phương pháp tính toán kết cấu dây cứng chấp nhận giả thiết chuyển vị nhỏ theo thuật tốn thống... 0.000000 Phương pháp trình bày giải hầu hết toán như: Dây cứng dạng cung tròn dạng parabol chịu tác dụng tải trọng Tác giả so sánh kết nghiên cứu với phương pháp tính xác học kết cấu (Phương pháp. .. 2*10-5 %) Theo nhận xét ta nhận thấy: - Bài tốn nghiên cứu tính tốn kết cấu dây cứng tác giả có tính xác - Khi chịu tác dụng tải trọng thẳng đứng dây cứng dạng parapol làm việc hợp lý dây cứng dạng