Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và t
Chương 5. Dao động của vòm và dàn 5-1 Chương 5 DAO ĐỘNG CỦA VÒM VÀ DÀN 5.1 Dao động của vòm 5.1.1 Khái niệm về cách tính dao động của vòm Vòm là một thanh cong có tiết diện không đổi hoặc thay đổi và có trọng lượng bản thân khá lớn. Khối lượng bản thân của vòm phân bố trên toàn chiều dài, nên vòm là hệ có vô số bậc tự do. Cách tính chính xác bài toán dao động của vòm rất phức tạp. Để đơn giản ta có thể dùng phương pháp tính gần đúng bằng cách thay thế khối lượng phân bố bằng các khối lượng tập trung hữu hạn như ta đã nói trong chương 4. Muốn vậy, ta chia vòm thành một số đoạn như trên hình 5-1a, sau đó thay thế các khối lượng phân bố bằng các khối lượng tập trung bố trí ở trọng tâm mỗi phần khối lượng phân bố bị thay thế (hình 5-1b), hoặc bằng các khối lượng tập trung bố trí ở ranh giới các đoạn chia theo nguyên tắc cánh tay đòn (hình 5-1c). Ngoài ra để cho quá trình tính toán được đơn giản hơn nữa, ta còn có thể thay trục cong của vòm bằng một đường gãy khúc (hình 5-2). Đường gãy khúc này bao gồm các đoạn thẳng cắt nhau tại ranh giới các đoạn đã chia (hình 5-2a,b) hoặc cắt nhau tại vị trí các khối lượng tập trung, khi đó bố trí các khối lượng tập trung này ở trọng tâm các phần khối lượng bị thay thế (hình 5-2c). Như vậy, khi ta tính chuyển vị ta có thể dùng phép nhân biểu đồ Vêrêxaghin mà không phải tính tích phân theo công thức Mor. Qua những thí dụ trên ta thấy số bậc tự do của kết cấu phụ thuộc sơ đồ khối lượng và dạng trục đã chọn. Sau khi thay đổi sơ đồ tính như trên, ta có thể tính dao động của vòm theo bài toán dao động hệ có một số hữu hạn bậc tự do (số bậc tự do hữu hạn ) như đã trình bày trong chương 2. 5.1.2 Dao động riêng của vòm . Đối với hệ thay thế có n bậc tự do, ta sẽ xác định được n tần số dao động riêng. Trong thực tế ta chỉ cần tìm tần số cơ bản w1, nên có thể chọn sơ đồ thay thế sao cho đơn giản mà vẫn đạt được yêu cầu chính xác đối với kết quả w1. a, b, c, n = ∞ n = 8 n = 6 Hình 5-1. Vòm có trục thay thế dạng đường cong. b,a,c,n = 2n = 6n = 3 Hình 5-2. Vòm có trục thay thế dạng đường gãy khúc. Chương 5. Dao động của vòm và dàn 5-2 Như ta đã biết, vị trí của khối lượng có ảnh hưởng lớn đến độ chính xác của kết quả, do đó cần căn cứ vào dạng dao động tương ứng với tần số cơ bản để chọn vị trí của các khối lượng tập trung thay thế. Thí dụ đối với dầm đơn giản, khi chỉ cần tìm tần số cơ bản w1 thì sơ đồ đơn giản nhất là sơ đồ dầm có khối lượng tập trung ở giữa nhịp như trên hình 5-3. Đối với vòm không khớp và vòm hai khớp, dạng dao động chính thứ nhất tương ứng với tần số cơ bản w1 là dạng có điểm uốn ở đỉnh vòm. Do đó sơ đồ thích hợp là sơ đồ có các khối lượng tập trung tại vị trí một phần tư nhịp hoặc một phần tư cung vòm (hình 5-4). Các khối lượng tập trung ở chân vòm không có ảnh hưởng đến dao động của vòm. Sau khi chọn được sơ đồ thay thế ta có thể áp dụng phương trình tần số đã thiết lập ở chương 2 để xác định các tần số dao động. Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng các phương pháp gần đúng đã trình bày trong chương 4, để xác định tần số cơ bản w1. Chẳng hạn nếu dùng công thức gần đúng của Dunkerley ta có: ()∑=+=n1ingiidiii21δδm1ω. (5-1) Trong đó: siiđ, siing - là các chuyển vị đơn vị theo phương đứng và phương ngang của khối lượng mi đặt trên vòm do lực thẳng đứng pd = 1 và lực nằm ngang png =1 tác dụng tại điểm i gây ra; n - số lượng khối lượng tập trung trên vòm. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một thí dụ áp dụng. Trong trường hợp vòm thoải, khi tính tần số dao động riêng thứ nhất w1, ta có thể coi phương chuyển vị của các khối lượng trên vòm vuông góc với trục vòm. 5.1.3 Dao động cưỡng bức. Hình 5-3. Dầm đơn giản mllm211ml41ml4l/2 l/2Hình 5-4. Sơ đồ tính ms4sm4sm4sm8sm8l/2 l/2 Chương 5. Dao động của vòm và dàn 5-3 Khi tính dao động cưỡng bức của vòm, ta cũng dùng sơ đồ khối lượng thay thế như khi tính dao động riêng. Nhiệm vụ cơ bản ở đây là xác định các lực quán tính do lực động gây ra. Như đã trình bày trong chương 2, hệ phương trình chính tắc để xác định biên độ các lực quán tính khi vòm chịu các lực động biến đổi dạng hàm Psinrt cũng có dạng như hệ phương trình (2-57). ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=++++=++++=++++0Z .ZZ .0Z .ZZ0Z .ZZnpn2n21n12pn2n21211pn1n2121∆δδδ∆δδδ∆δδδ*nn*22*11 (5-2) trong đó 2iiirm1−= δδ*ii (5-3) Hệ phương trình này có thể áp dụng cho kết cấu bất kỳ, nhưng cần chú ý rằng số ẩn số không nhất thiết phải bằng số bậc tự do, mà bằng số lực quán tính (cũng tương tự như phương trình tần số đã gặp trong thí dụ 5-2). Nội lực động cực đại trong vòm được xác định theo biểu thức sau: kpnkn2k21k1kSZS .ZS.ZSS ++++= (5-4) 5.2 Dao động của vòm khi có kể đến ảnh hưởng của trọng lượng mặt cầu Trong cầu vòm, đặc biệt là cầu vòm bê tông cốt thép, trọng lượng của bộ phận mặt cầu có khi lớn hơn trọng lượng bản thân của vòm. Đối với những trường hợp này khi tính dao động của vòm ta không thể bỏ qua ảnh hưởng của trọng lượng mặt cầu. Giả sử xét vòm cho trên hình 5-13a. Sơ đồ tính của vòm có dạng như trên hình 5-13b. A BCA BCa) P=2sinrt(kN)EJ=constm434m 4m 4m 4mm m1 190 0 5m 2sinrt90o22m mm4,12mb) Hình 5-5. Sơ đồ tính Chng 5. Dao ng ca vũm v dn 5-4 Nu k thờm cỏc khi lng m1 ca b phn mt cu thỡ bi toỏn tr nờn phc tp hn nhiu, vỡ vy, ta cú th chuyn chỳng lờn trờn nhp vo cỏc khi lng tp trung trờn mt cu, vỡ khi lng m2, m3, m4 ca vũm nh so vi khi lng ca c kt cu nhp. Cỏch lm ny phự hp vi gi thit l b qua cỏc thnh phn ngang ca lc quỏn tớnh t cỏc khi lng thuc phn vũm. Trong thc t, vũm thng l thoi nờn gi thit trờn cú th chp nhn c vi mt sai s tng i nh. 5.3 Dao ng ca dn 5.3.1 Khỏi nim v cỏch tớnh dao ng ca dn Khi gii quyt chớnh xỏc dao ng dn ta phi k n s phõn b khi lng trờn cỏc thanh (s bc t do bng vụ cựng) v nh hng cng ca cỏc mt. Song nh vy thỡ bi toỏn s rt phc tp. õy ta nghiờn cu cỏch tớnh c gi l chớnh xỏc vi gi thit s kt cu ó c n gin hoỏ nh sau: khi lng phõn b ca cỏc thanh c chia u v c tp trung v cỏc mt dn; cỏc mt dn c coi l khp lý tng (hỡnh 5-20). Cỏch tớnh nh vy phự hp vi gi thit b qua hin tng dao ng ca tng thanh quanh trc ca nú. Sau khi bin i s tớnh ca dn theo gi thit trờn, s bc t do ca dn s gim xung v tr thnh hu hn. Xỏc nh bc t do ca dn ta gi thit dn cú M mt, tc l cú m khi lng tp trung v cú Co liờn kt loi mt ni vi t. Mi mt dn cú hai thnh phn chuyn v (ngang v ng) tc l cú hai bc t do nờn s bc t do ca ton b dn c xỏc nh theo cụng thc sau: n = 2M - Co (5-5) Hình 5-14. Sơ đồ tính dàn Hỡnh 5-13. Cu vũm a)mb)IIm1II II1m1m1m1m4m3m2m3m4m Chương 5. Dao động của vòm và dàn 5-5 Thí dụ đối với dàn cho trên hình 5-23 ta có: n = 2.7 - 3 = 11. 5.3.2 Dao động riêng của dàn Ta có thể xem dàn như hệ có số bậc tự do hữu hạn, và áp dụng phương trình tần số đã thiết lập trong chương 2 để xác định tần số riêng. Khi thiết lập phương trình tần số ta phải xác định các chuyển vị đơn vị dik. Trong bài toán về dàn khối lượng tính toán các chuyển vị này đòi hỏi mất khá nhiều công sức. Dưới đây ta hãy thiết lập hệ phương trình chính tắc của chuyển vị các khối lượng một cách khác dưới dạng khai triển. Cách tính này không cần phải xác định các chuyển vị đơn vị. Khảo sát sự cân bằng động của mắt bất kỳ thứ i của dàn. Giả sử tại mắt i có u thanh ik quy tụ (hình 5-21) và có các lực quán tính tác dụng theo phương thẳng đứng()iiym&&−; theo phương ngang()iixm&&−. Gọi Nik là các nội lực động trong các thanh quy tụ tại mắt i. Theo nguyên lý Đalămbe ta viết được phương trình cân bằng của mắt i (khi tách mắt i ). ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+−==+−=∑∑∑∑=0sin0cos1ikikiiukikikiiNymYNxmXαα&&&& (5-6) Mối quan hệ giữa các nội lực Nik với chuyển vị của các thanh đó (hình 5-22). Theo định luật Húc, ta có: ikikikikllEFN ∆= (5-7) trong đó : Dlik = li’k - li; (5-8) li’k cosai’k = lik cosaik + xk - xi; i m x i N ik m y i i i m i α ik yxxyiikkikl' 'ikik 'αikα ikxy0 Hình 5-15. Mắt i Hình 5-16. Thanh i-k Chương 5. Dao động của vòm và dàn 5-6 li’k sinai’k = lik sinaik + yk - yi. Sau khi biến đổi, ta có: (li’k)2 = lik2 + 2lik [(xk – xi) cosaik + (yk -yi) sinaik] +(xk -xi)2 + (yk -yi)2 (5-9) Từ (5-9) và (5-8), ta có : lik2 + 2likDlik +Dlik2 = lik2 +2lik [(xk – xi) cosaik + (yk -yi) sinaik]+(xk -xi)2 + (yk -yi)2. Nếu bỏ qua các đại lượng Dlik2 , (xk -xi)2 , (yk -yi)2 so với các đại lượng khác ta có: Dlik = (xk – xi) cosaik + (yk -yi) sinaik (5-10) Thay (5-10) vào (5-7) ta có : []ikikikikikikikyyxxlEFNααsin)(cos)( −+−= (5-11) Tiếp đó, thay (5-11) vào các phương trình cân bằng (5-6) ta được: [][]⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=−+−+−=−+−+−∑∑==0sinsin)(cos)(0cossin)(cos)(11ukikikikikikikikiiukikikikikikikikiiyyxxlEFymyyxxlEFxmαααααα&&&& (5-12) Để biến đổi các phương trình vi phân thành phương trình đại số, ta đặt nghiệm dưới dạng: )sin()()sin()(jjiijjiitbtytatxλωλω+=+= Do đó: ijjjijijjjijytbtyxtatx2222)sin()()sin()(ωλωωωλωω−=+−=−=+−=&&&& Thay những kết quả này vào (5-12) ta được : [][]⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=−+−+−=−+−+−∑∑==0sinsin)(cos)(0cossin)(cos)(1212ukikikikikikikikijiukikikikikikikikijiyyxxlEFymyyxxlEFxmαααωαααω (5-13) Đây là các phương trình chính tắc của dao động riêng của dàn. Đối với dàn có số bậc tự do n = 2M - Co, ta thiết lập được n phương trình chính tắc như trên. Hệ phương trình này là thuần nhất và tuyến tính, để tồn tại các nghiệm chuyển vị xi , yi, ta có định thức các hệ số của hệ phải bằng không: D(wj) = 0 (5-14) Biểu thức (5-14) chính là phương trình tần số dao động riêng của dàn. Giải phương trình tần số ta sẽ xác định được tần số riêng wj (j = 1,2, .,n). Đối với dàn có số mắt lớn hơn 3, việc giải định thức (5-14) sẽ rất phức tạp. Trong thực tế thường dàn có Chương 5. Dao động của vòm và dàn 5-7 khá nhiều mắt nên phương pháp này cũng ít được áp dụng. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp gần đúng. 5.3.3 Dao động cưỡng bức của dàn Trong trường hợp tổng quát hệ phương trình chính tắc trong dao động cưỡng bức của dàn chịu lực động Psinrt có dạng (xem chương 2): ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆++++=∆++++=∆++++0 0 .0 .*2211222*22121112121*11npnnnnnpnnpnnZZZZZZZZZδδδδδδδδδ (5-15) Sau khi xác định các hệ số và giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được biên độ các lực quán tính Z1, Z2, . Zn. Tiếp đó có thể xác định được nội lực động trong các thanh dàn theo biểu thức sau: ipniniiiNZNZNZNN++++= .2211 (5-16) trong đó: ijN- lực dọc trong thanh bất kỳ thứ i của dàn do lực Zj =1 gây ra; Nip- lực dọc trong thanh thứ i do biên độ của các lực kích thích tác dụng tĩnh gây ra. Ngoài ra, ta cũng có thể viết hệ phương trình chính tắc dưới dạng khai triển tương tự như biểu thức (5-13). Sau khi tách mắt i như trên hình 5-23, ta có thể thiết lập các phương trình cân bằng động cho mắt đó như sau: thực hiện các biện pháp biến đổi như trên ta được các phương trình chính tắc viết cho mắt thứ i của dàn như sau: [][]⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=−+−++−=−+−++−∑∑==0sinsin)(cos)(sin0cossin)(cos)(sin1212ukikikikikikikikiyiiukikikikikikikikixiiyyxxlEFrtPyrmyyxxlEFrtPxrmαααααα(5-17) Hình 5-17. Mắt i im xi Nikm y iiimiαikP sinrtixP sinrtiy Chng 5. Dao ng ca vũm v dn 5-8 Gii h phng trỡnh ny ta s xỏc nh c ni lc ng ca thanh trong dn. Cn chỳ ý rng trong thc t, i vi cỏc dn n gin, ta cú th tớnh gn ỳng bng cỏch b qua chuyn v ngang ca cỏc mt dn. 5.4 Cỏch tớnh gn ỳng dao ng riờng ca dn Khi tớnh gn ỳng dao ng ca dn cú nhiu phng phỏp nh: phng phỏp nng lng, phng phỏp dm tng ng, phng phỏp thay th khi lng v.v. song trong phn ny ta ch trỡnh by 2 phng phỏp sau: 5.4.1 Phng phỏp dm tng ng Ni dung phng phỏp: thay dn bng dm v coi gn ỳng l khi hai h ny cú vừng tng ng thỡ tn s dao ng ca chỳng cng tng ng. Theo phng phỏp ny mun tỡm tn s c bn ca dn, trc tiờn ta cn xỏc nh cng EJ ca dm tng ng cú tit din khụng i, trờn c s so sỏnh vừng ca dm v ca dn ti mt im c trng no ú. Gi s dn chu trng lng bn thõn phõn b u q nh trờn hỡnh 5-28a, nu ly im k gia dn l im c trng (im dựng so sỏnh vừng ) ta cú vừng ti k ca dn c xỏc ng theo cụng thc: l.EFNNpkkp= (5-18) Mt khỏc, chuyn v ti tit din gia nhp dm tng ng do ti trng phõn b u q (hỡnh 5-28b) gõy ra l; EJql.3845f4= (5-19) i chiu (5-18) vi (5-19) ta s xỏc nh c cng tng ng: a) q=const kpkl/2 l/2b) fqDầm tơng đơng Hỡnh 5-18. PP dm tng ng Chương 5. Dao động của vòm và dàn 5-9 ∑=lEFNNql.3845EJp_4 (5-20) Sau khi tìm được độ cứng EJ của dầm tương đương, ta có thể xác định dao động cơ bản ω1 theo công thức đã quen biết của dầm như sau: mEJl221πω = (5-21) Thay (5-20) vào (5-21) ta có: kp21384δ5gπω =, hay :∑=lEFNNg1,13ωp_1 (5-22) Phương pháp này cho kết quả khá chính xác đối với những dàn dầm đơn giản có biên song song. So với phương pháp năng lượng cách tính cũng đơn giản hơn nhiều, vì không phải tìm chuyển vị tại tất cả các mắt của dàn . 5.4.2 Phương pháp thay thế khối lượng Ngay từ khi chọn sơ đồ để tính theo phương pháp được coi là “chính xác” ở trên, ta đã vận dụng tính chất thay thế khối lượng. Để nhằm mục đích làm đơn giản cách tính hơn nữa ta có thể thay thế các khối lượng với số lượng ít hơn số mắt của dàn. Thường nên chuyển khối lượng của dàn về đường biên có mặt đường xe chạy, vì khối lượng của biên này lớn hơn. . theo bài toán dao động hệ có một số hữu hạn bậc tự do (số bậc tự do hữu hạn ) như đã trình bày trong chương 2. 5.1.2 Dao động riêng của vòm .. Chương 5. Dao động của vòm và dàn 5-1 Chương 5 DAO ĐỘNG CỦA VÒM VÀ DÀN 5.1 Dao động của vòm 5.1.1 Khái niệm về cách tính dao động của vòm Vòm là một thanh