Dao động của hệ có một bậc tự do

Phương trình vi phân tổng quát của dao động Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng p

Chương 1

DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO

1.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động

Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và tạm thời chưa xét tới) Giả sử hệ chịu tác động của lực kích thích thay đổi theo thời gian là P(t) (hình 1-1a)

Vị trí của khối lượng M khi dao động được xác định bởi hàm số y(t) Giả thiết chuyển vị đứng y(t) hướng xuống dưới là dương và vị trí xuất phát của khối lượng M là vị cân bằng ban đầu tương ứng với khi y = 0

Dưới tác dụng của lực kích thích P(t), khối lượng M dao động và trên dầm chịu tác dụng của những lực sau đây :

1 Lực tác dụng P(t)

2 Lực quán tính của khối lượng Z=−M.y&& Lực này đặt tại khối lượng M và có chiều hướng theo chiều của chuyển động tức là hướng xuống dưới, vì chiều của gia tốc y&&của khối lượng M luôn luôn hướng về vị trí cân bằng

3 Lực cản R Lực này phụ thuộc môi trường chuyển động (chất khí, chất lỏng ), ma sát của các liên kết tựa, hiện tượng ma sát trong của vật liệu, độ chuyển dời của khối lượng, và vận tốc của chuyển động Đa số các trường hợp trong thực tế có thể xem lực cản R tỷ lệ bậc nhất với vận tốc chuyển động:R =β&y, R có chiều ngược với chiều chuyển động tức là hướng lên trên Trong đó :

y& - vận tốc của khối lượng M ;

β - hệ số tỷ lệ đặc trưng cho sự cản, có đơn vị là scmKN

δ11 - chuyển vị theo phương chuyển động tại điểm đặt khối lượng M do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại M (hình 1-1c) gây ra

Nếu coi chuyển vị của hệ là nhỏ thì ta có thể áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng Lúc này chuyển vị y(t) của khối lượng M là tổng các chuyển vị do lực quán tính Z, lực kích thích P(t) và lực cản R cùng tác dụng gây ra Do đó ta có phương trình sau:

y(t)= 1P + 11 − 11hay:

δ .P(t).My&& . &

Chia cả hai vế cho Mδ11 và sau khi biến đổi ta được:

y&&+ y&+ω2 =ω2δ1P (1-1) trong đó

Như vậy phương trình dao động có dạng :

2ωπ ωπ 2ω2π

T/4 T/4 T/4 T/4v /ω0

ε/ω T/4 T/4 T/4t m

y + ( )vω0 2

Hình 1-3 Các dao động thành phần

v /ω0y

Hình 1-4 Véc tơ quay

ωω +

Ta thấy trong trường hợp này, dao động của hệ gồm hai thành phần: dao động tỷ lệ với hàm coswt, phụ thuộc vào chuyển vị ban đầu y0 của khối lượng (hình 1-3a); dao động tỷ lệ với hàm sinwt phụ thuộc vào vận tốc ban đầu v0 (hình 1-3b) Chuyển vị của khối lượng M ở mỗi thời điểm bằng tổng các tung độ của hai đường cong ở thời điểm tương ứng Đường biểu diễn của chuyển động của khối lượng M theo thời gian t có dạng như trên (hình 1-3c)

Người ta còn dùng véc tơ quay để biểu diễn dao động Xét véc tơ OA(hình1-4) có độ lớn bằng y0, quay quanh điểm cố định 0 với vận tốc góc ω không đổi, véc tơ OB có độ lớn là

vuông góc với véc tơ OA Hình chiếu của véc tơ OA và OB lên trục y cho ta các số hạng của biểu thức (1-6)

Cũng được kết quả như vậy, nếu thay cho hai véc tơ OA và OB, ta khảo sát véc tơ OC

là tổng hình học của chúng và lấy hình chiếu của OC trên trục y Theo hình (1-4) véc tơ

OC có độ lớn là a bằng : 202

và hợp với trục y một góc bằng : (ωt−ε), trong đó :

varctg

cos[ω − π −λ

hay ).sin(ω +λ

Trong đó:

λ= (1-10)

Các đại lượng a và l xác định theo biểu thức (1-7) và (1-10) là các hằng số phụ thuộc điều kiện ban đầu của chuyển động

Ta cần xác định chu kỳ và tần số của dao động :

+ Chu kỳ dao động là thời gian cần thiết để khối lượng M thực hiện một dao động toàn phần và được ký hiệu là T và bằng:T 2 (s)

Do đó suy ra : ω =2π f là số lần dao động trong 2π giây vàω còn được gọi là tần số vòng của dao động riêng Trong thực tế ta hay dùng tần số vòng nên thường gọi tắtω là tần số dao động riêng

Từ biểu thức (1-2) ta dễ dàng xác định được các đại lượng trên như sau : 1 Tần số vòng của dao động riêng được xác định như sau:

Trong đó : g - gia tốc trọng trường;

yt - chuyển vị của khối lượng M do lực P = M.g tác dụng tĩnh tại vị trí đặt khối lượng M, theo phương dao động gây ra (hình 1-5a, b)

Đối với hệ trên (hình 1-5b), nếu kể đến hiện tượng uốn dọc ta có :

'3−=

2 Tần số dao động riêng :

3 Chu kỳ dao động :

22 =

Từ biểu thức (1-9) ta có thể xác định giá trị tuyệt đối lớn nhất của chuyển vị, vận tốc và gia tốc của khối lượng M

).sin(ω +λ

y&&=− ω2 ω +λ ; do đó 2maxa.

Ngoài ra ta còn có thể tìm được giá trị tm xác định toạ độ thời gian đầu tiên xảy ra chuyển vị lớn nhất của khối lượng M (hình 1-3c) Theo (1-9):

ymax = sin(ω m +λ)=do đó :

y&&+ α&+ω2 = (1-17) Trong đó :

βα =

y= −αt1 α2−ω2t + 2 −α2−ω2t (1-18)

Ta thấy nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc quan hệ tỷ lệ giữa α và ω Nếu a < ω (lực cản nhỏ) thì nghiệm của phương trình đặc trưng có số ảo, nếu a >ω (lực cản lớn) thì nghiệm là số thực

Ta lần lượt khảo sát các trường hợp sau : a) Trường hợp lực cản nhỏ (a <ω):

Các nghiệm của phương trình đặc trưng có dạng: 2

2 αω

−

Nếu gọi 22

ω = − thì phương trình (1-18) có dạng : )

v= & =−α −α.t ω1 + ω1 + −α.t − ω1 + ω1hay:

v=−α.y+e−αt.ω1(−Asinω1t+Bcosω1t)

Từ các điều kiện ban đầu ta xác định được : A= y0 và

ωα yv

hay:

Tương tự, ở đây ta cũng có thể dùng véc tơ quay để biểu thị chuyển động của dao động tắt dần Xét véc tơ OA (hình 1-6) biểu thị đại lượng thay đổi .t

y −α quay quanh tâm 0 với vận tốc ω1 không đổi Nếu tính góc quay từ trục y theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

ω t1Α

Hình 1-6 Biểu diễn bằng véc tơ quay

thì hình chiếu OA1 của véc tơ đó lên trục y bằngy=y0e−α.tcosω1t và biểu diễn số hạng thứ nhất của (1-20)

Cũng tương tự, xét véc tơ OB biểu thị đại lượng thay đổi bằng e(v.y)1

vuông góc với véc tơ OA; hình chiếu OB1 của véc tơ này lên trục y là số hạng thứ hai của nghiệm (1-20) Biểu thức chung sẽ là hình chiếu trên trục y của véc tơ OC tức là véc tơ tổng của hai véc tơ OA và OB

Độ lớn của véc tơ OC đó bằng C :

Do đó biểu thức (1-20) có thể viết dưới dạng :

ωα−

Qua biểu thức (1-21) ta thấy dao động có lực cản ở đây là dao

yy

Chu kỳ của dao động này là : 2 2 ()221

ωα yv

= Vậy dao động tắt dần theo quy luật số mũ âm

Ta cũng có thể dùng đường cong hình sóng vẽ trên hình 1-8 biểu diễn phương trình 21) Đường cong này tiếp xúc với đường cong y=−Ce−α.t tại các điểm m′1, m′2

(1-Để nghiên cứu độ tắt dần, ta xét tỷ số giữa hai tung độ chuyển vị của khối lượng cách nhau một chu kỳ T1 :

Sau đây là một số kết quả thí nghiệm đoχ =α.T1

1 Đối với các kết cấu thép : α.T1 =(0,016÷0,08)2π ≈0,1÷0,52 Đối với các kết cấu gỗ : α.T1 =(0,005÷0,022)2π ≈0,03÷0,15

3 Đối với kết cấu bê tông cốt thép : α.T1 =(0,016÷0,032)2π ≈0,08÷0,204 Đối với cầu thép : α.T1 =(0,01÷0,15) trung bình 0,08

5 Đối với cầu bê tông cốt thép : α.T1 =0,31

6 Đối với dầm bê tông cốt thép : α.T1 =(0,17÷0,39) trung bình 0,287 Đối với khung bê tông cốt thép : α.T1 =(0,08÷0,16) trung bình 0,12

Tần số góc ω1 thường xấp xỉ bằng tần sốω Giả sử cứ sau mỗi chu kỳ, biên độ sau nhỏ hơn biên độ trước một nửa; có nghĩa là hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh Lúc này ta có :

. ==eαT

η , nên : α.T1 =ln0,5=0,693

Ta thấy trường hợp hiện tượng tắt dần xảy ra rất nhanh, tần số ω1 giảm không đáng kể Vì vậy trong thực tế tính toán người ta thường chọn ω =ω1

Bây giờ ta nghiên cứu ảnh hưởng của lực cản đến chu kỳ dao động Chu kỳ dao động tự do :

ωπ20 =

Chu kỳ dao động khi có lực cản :

b) Trường hợp lực cản lớn (α>ω):

Theo (1.18) nghiệm của phương trình (1-17) có dạng : )(

0v = 0

Hình 1-8 Các dạng dao động tự do có lực cản lớn tuỳ thuộc điều kiện ban đầu

+ Khối lượng bắt đầu dao động từ y0 với vận tốc v0 hướng ra ngoài vị trí cân bằng (hình 1-8a) Do lực cản lớn khối lượng chuyển động đến M1 rồi quay trở lại và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng ban đầu;

+ Khối lượng bắt đầu dao động từ y0 với vận tốc v0 hướng về vị trí cân bằng Khối lượng M chuyển động qua vị trí cân bằng tới M1 thì quay lại và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-8b);

+ Khối lượng được thả từ y0 không có vận tốc ban đầu, lúc này chuyển động sẽ giảm nhanh và tiệm cận dần tới vị trí cân bằng (hình 1-8c)

c) Trường hợp α =ω:

Phương trình đặc trưng có nghiệm kép s1 =s2 =−α

Vậy nghiệm của bài toán có dạng : )

. CtCe

Chuyển động cũng không tuần hoàn, ta cũng có thể gặp một trong ba dạng chuyển động như trên

1.4 Dao động cưỡng bức trong trường hợp tổng quát

Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp dao động có lực cản, chịu lực kích thích bất kỳ P(t) Theo (1-1) phương trình vi phân thiết lập cho trường hợp tổng quát có dạng:

y&&+ α&+ω2 =ω2δ1P

Trước tiên ta nghiên cứu trường hợp lực cản yếu (α<β)- là trường hợp hay gặp trong thực tế Tương tự như ở Đ3, nghiệm của phương trình vi phân trên, nhưng không có vế phải có dạng (xem 1.20) :

Sau đây ta đi tìm số gia của vận tốc dv

Theo giáo trình Cơ lý thuyết, ta đã biết: xung lượng của lực tác động trong thời gian dt bằng độ biến thiên động lượng tại thời điểm đó:

( ddMvP

S= τ τ = (1-28)

Cần chú ý rằng ở đây P(t) là lực tác dụng trực tiếp tại khối lượng M Trong trường hợp tổng quát, nếu P(t) tác động tại điểm bất kỳ trên hệ thì ta có thể tìm được lực tương đương

P đặt tại M Lực này có trị số để sao cho chuyển vị tại M do nó gây ra bằng chuyển vị tại M do lực P(t) đặt bất kỳ gây ra Ở đây có thể xem như các lực P tác dụng tĩnh, vì nếu ở trạng thái động, chuyển vị của hai hệ hơn nhau µ lần, thì ở trạng thái tĩnh cũng hơn nhau µ lần

Điều kiện này chỉ đúng với giả thiết là hệ áp dụng được nguyên lý cộng tác dụng ở trạng thái tĩnh cũng như ở trạng thái động

Đối với dầm vẽ trên (hình 1-9a), ta có:

Thay dv vào biểu thức (1-27), biến đổi ta được dy, rồi tích phân từ 0 đến t ta có:

Hình 1-9 Sơ đồ tính dv

ωα yv

Phương trình (1-31) thích hợp với trường hợp lực cản nhỏ (α<ω) Đối với trường hợp lực cản lớn căn cứ vào các công thức (1-23) và (1-25) ta có thể thiết lập được các phương trình chuyển động như sau :

+ Khi α >ω (lực cản lớn)

Ta cũng có thể tìm nghiệm (1-30) bằng cách giải khác có tính chất toán học thuần tuý là dùng phương pháp biến thiên hằng số của Lagrăngiơ Nghiệm của phương trình vi phân (1-1) có thể viết dưới dạng :

)(.. ute

y= −αt , (1-34) u(t) là hàm số phụ thuộc thời gian Sau đây ta sẽ đi tìm hàm u(t)

Sau khi đạo hàm (1-34) và thay vào (1-1) ta có :

u=cosω1 +sinω1 (1-36)

Ta thấy biểu thức (1-36) có dạng tương tự như nghiệm (1-4) là nghiệm của trường hợp dao động tự do không có lực cản Nhưng ở đây dao động là cưỡng bức, có lực cản; phương trình vi phân có vế phải, nên ta biến đổi các hằng số A và B thành các hàm số phụ thuộc thời gian Theo Lagrăngiơ, hàm u phải thoả mãn điều kiện sao cho đạo hàm của nó cũng có dạng như khi A ,Blà các hằng số :

Khi A và B là các hằng số :

u&=− ω1 ω1 + ω1 ω1 (1-37)’ So sánh (1-37) và (1-37)’ta thấy:

cos 1 + 1t=

A

u&&=− ω12 ω1 − ω1 ω1 − ω12 ω1 + ω1 ω1hay

u&&=−ω12 − ω1 ω1 + ω1 ω1 (1-39) Thay biểu thức (1-39) vào (1-35) ta có :

Ptω δω

1 ω δ ( )cosωω = α

Thay t=τ và lấy tích phân với cận từ τ =0 đến τ =t là thời gian đang xét dao động:

(1-41)

Tương tự nhân hai vế của phương trình (1-38) với w1cosw1t và của phương trình 40) với sinw1t rồi trừ hai kết quả này với nhau ta có :

1 ω δ ( )sinωω =− α

Suy ra :

+= −

hay

Số hạng đầu của phương trình (1-43) chính là phần ảnh hưởng của dao động tự do có từ trước lúc đặt lực kích thích Số hạng sau là phần ảnh hưởng của lực kích thích P(τ) Dựa vào điều kiện ban đầu, ta có thể tìm được trị số của A và B như trong phần dao động tự do ta có :

ωα yv

= (1-44)

Thay các trị số của A và B vào (1-43) ta lại tìm được kết quả hoàn toàn giống như

1.5 Dao động cưỡng bức không có lực cản chịu lực kích thích P(t) = Psinrt

1.5.1 Phương trình dao động

Theo (1-1) phương trình vi phân dao động có dạng :

Trong mục 4 ta đã thiết lập công thức tổng quát của phương trình dao động chịu lực kích thích bất kỳ Khi lực kích thích thay đổi tuần hoàn P(t) = Psinrt và không có lực cản, trong (1-43) thay P(t) = Psinrt và cho α =0 đồng thời chú ý là ω1 =ω ta sẽ được phương trình dao động là nghiệm của phương trình vi phân (1-45) :

Tính tích phân của biểu thức trên, thay kết quả này vào phương trình trên và theo 44) ta được :

Tần số trong ba số hạng đầu của công thức (1-46) chính là tần số dao động tự do của hệ Theo điều kiện ban đầu khi chuyển vị y0 = 0 và vận tốc ban đầu v0 = 0 thì hai số hạng đầu sẽ không tồn tại Số hạng thứ ba luôn xuất hiện cùng với dao động cưỡng bức, và gọi là dao động tự do bán sinh Còn số hạng cuối cùng có tần số là tần số của lực kích thích nên gọi là dao động thuần cưỡng bức

Nếu tại thời điểm t = 0; y0 = 0; v0 = 0, ta có : )

1 Pyt

Pδ = (hình 1-10) là chuyển vị tại khối lượng M do biên độ P của lực kích thích tác dụng tĩnh gây ra, nên

Hình 1-10 Sơ đồ xác định *

ty

Ta thấy phương trình dao động (1-48) gồm hai phần: một phần dao động với tần số của lực kích thích r và một phần với tần số của dao động tự do

Khi có lực cản thì dao động tự do mất dần, lúc đó là chuyển sang thời kỳ bình ổn, hệ sẽ dao động theo chu kỳ và tần số hoàn toàn như chu kỳ và tần số của lực kích thích :

r ta có:

Ta thấy hệ số động sẽ tăng lên vô hạn theo thời gian; đường biểu diễn của hàm số này vẽ trên (hình 1-12) Qua đồ thị ta thấy ngay trong trường hợp không kể đến lực cản, khả năng tăng biên độ lên vô hạn không xảy ra tức thời mà đòi hỏi phải có thời gian nhất định

Như vậy, đối với máy được thiết kế để làm việc trên miền cộng hưởng sẽ không gặp trở ngại gì khi cho máy tăng tốc qua miền cộng hưởng nếu thời gian vượt qua đủ nhanh để sao cho hiện tượng rung động lớn do cộng hưởng chưa kịp xảy ra theo (1-49), biên độ lớn nhất của chuyển vị động xuất hiện khi: sinrt =1; do đó:

trong trường hợp này hệ số động sẽ là :

Khi r≈ω ta thấy hệ số Kd biến đổi rất nhạy Sở dĩ có hiện tượng đó vì ta chưa xét đến tác dụng rất quan trọng của lực cản, mà lực cản lại làm cho Kdgiảm đi rất nhiều, đặc biệt là lúc gần cộng hưởng và cộng hưởng Để tránh hiện tượng cộng hưởng ta phải thiết kế công trình để sao cho các tần số ω và r sai khác nhau tối thiểu là 25%

1.6 Dao động cưỡng bức có lực cản chịu lực kích thích P(t) = Psinrt

Trong trường hợp này hệ dao động với α ≠0, nên có thể

quát

y&&+2α.&+ω2 =ω2δ1P .sin (1-54) Nghiệm toàn phần :

21 yy

y=+ (1-55)

Trong đó y1 là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất và cũng là nghiệm của phương trình vi phân trong trường hợp dao động tự do có lực cản Khi có lực cản nhỏ, nghiệm này có dạng :

y2 =cos+sin (1-57) Sau khi lấy đạo hàm và thay kết quả vào phương trình (1-54), so sánh hai vế ta suy

ra

22222 1

Như vậy nghiệm chung của phương trình (1-54) có dạng

Số hạng thứ nhất của vế phải chứa nhân tử e−α.t, biểu diễn dao động tự do tắt dần, đã được khảo sát ở trên Hai số hạng còn lại có cùng tần số với lực kích thích, biểu diễn dao động cưỡng bức

Cũng như trên có thể dùng véc tơ quay đề biểu diễn dao động (hình 1-11) Tổng đại số hai hình chiếu của hai véc tơ OD và OB có thể thay bằng hình chiếu của véc tơ tổng OC

lên trục y Từ tam giác ODC ta tìm được độ lớn của véc tơ đó và ký hiệu là a:

π/2-r tλ

Hình 1-11 Véc tơ quay