Ta hãy nghiên cứu dao động của một khối lượng tập trung M, đặt trên dầm AB. Dầm này được xem là vật thể đàn hồi không có khối lượng (khối lượng phân bố của dầm xem như không đáng kể và t
Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-1 Chương 2 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT SỐ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 2.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động Ta nghiên cứu dao động của dầm có n khối lượng tập trung (hình 2-1). Giả thiết không để ý đến kích thước của khối lượng và bỏ qua trọng lượng bản thân dầm. Như vậy hệ có n bậc tự do. Hệ này dao động dưới tác dụng của các lực sau: - Các lực kích thích q(t), P(t), M(t); - Các lực quán tính do các khối lượng mk dao động: )(. tymZkkK&&−=; hướng theo chiều chuyển động. - Các lực cản đặt tại khối lượng RK(t) hướng ngược chiều chuyển động. Theo nguyên lý Đalambe, ta viết được phương trình chuyển động của các khối lượng: [][ ] [ ])()()( .)()()()()(222111ttRtZtRtZtRtZtykPnnKnKKk∆+−++−+−=δδδ (2-1) (k = 1, 2, 3, ., n). Trong đó: Kiδ- chuyển vị của khối lượng mK do lực đơn vị đặt tại khối lượng mi theo phương của chuyển vị yi gây ra trong hệ; )(tKP∆- chuyển vị của khối lượng mK do các tải trọng q(t), P(t), M(t) gây ra với giả thiết mK = 0 (coi như bài toán tĩnh). Thay biểu thức của lực quán tính vào (2-1) và sau khi biến đổi, ta có: −−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−− .)()()()()(22221111tRtymtRtymtykkk&&&&δδ0)()()( =∆−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−− ttRtymkPnnnkn&&δ. hay: ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ .)()()()()(22221111tRtymtRtymtykkk&&&&δδ 0)()()( =∆−⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ ttRtymKPnnnKn&&δ (2-2) m1kmnm1y (t)y (t)ky (t)nyzP(t)q(t)M(t)Hình 2-1. Sơ đồ tính Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-2 (k = 1, 2, ., n) Đó là phương trình vi phân tổng quát của dao động hay còn gọi là phương trình chính tắc của hệ có n bậc tự do dùng để xác định các chuyển vị động y1(t), .,yn(t) của các khối lượng. Nếu không kể tới lực cản, hệ phương trình (2-2) có dạng: 0)()( .)()()(22211=∆−++++ ttymtymtymtykPnnknkkk&&&&&&δδδ, (2-3) (k = 1, 2, ., n) Khi xét dao động tự do, vì không có lực kích thích nên trong các phương trình vi phân (2-2) và (2-3) ta chỉ cần cho 0)( =∆ tkP. Ngoài ra, ta cũng có thể thiết lập phương trình vi phân của dao động đối với từng khối lượng riêng biệt, hoặc thay tác dụng của các lực quán tính và lực cản bằng phản lực của các liên kết đàn hồi đặt tại các vị trí có mang khối lượng, sau đó áp dụng các phương pháp tính toán tĩnh học đã quen biết để giải. 2.2 Dao động riêng của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2.2.1 Phương trình cơ bản của dao động riêng Khi không kể lực cản (RK = 0), từ phương trình (2-3) ta suy ra phương trình vi phân của dao động riêng đối với hệ có n bậc tự do như sau: 0)t(ym .)t(ym)t(ym)t(ynnkn222k111kk=δ++δ+δ+&&&&&& (2-4) (k = 1, 2, ., n). Giả sử nghiệm tổng quát của (2-4) có dạng: )()(1tytyniKiK∑== (2-5) Với các nghiệm riêng viết dưới dạng: )(.)( tFytyiKiKi= (2-6) (i = 1, 2, ., n), trong đó: yki - các hằng số chưa biết; Fi(t) - các hàm số theo thời gian t, chưa xác định. Ta xét một nghiệm riêng thứ i tương ứng với các khối lượng: ⎪⎭⎪⎬⎫===)(.)()(.)( )(.)(2211tFytytFytytFytyininiiiiiii (2-7) m1kmnm1iyykiyni(ω )iHình 2-2. Các chuyển vị Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-3 Từ (2-7) ta thấy tại mọi thời điểm, tỷ số giữa chuyển vị của các khối lượng là không đổi ( nghĩa là không phụ thuộc thời gian). Đường đàn hồi của dầm xác định bởi các đại lượng không đổi y1i, y2 i, ., yni gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng (hình 2-2). Thay (2-7) vào (2-4) ta có: []0)t(Fym .ym)t(F.yiniKnni11K1iKi=δ++δ+&& Hay: niKnni11K1Kiiiym .ymy)t(F)t(Fδ++δ−=&& (2-8) Vế trái của (2-8) phụ thuộc t còn vế phải phụ thuộc vị trí và trị số của các khối lượng. Như vậy mỗi vế của đẳng thức này là một đại lượng không đổi và được ký hiệu là 2ω±. Vì dao động riêng là dao động điều hoà nên ở đây phải đặt là 2ω−. Do đó từ (2-8) ta rút ra được hai phương trình: 1) 0)()(2=+ tFtFiiiω&& (2-9) 2) 0 .21211=−++KiniiKnniiKyymymωδωδ (2-10) Phương trình (2-9) có dạng như phương trình vi phân dao động của hệ có một bậc tự do (xem chương 1), nên có nghiệm: tBtAtFiiiiiωωcossin)(+= hay: )sin()(iiiitAtF λω+=∗ (2-11) trong đó: 22iiiBAA +=∗; iiiABtg = λ. Như vậy nghiệm riêng thứ i của phương trình vi phân (2-4) chính là một hàm tuần hoàn có tần số vòng thứ i của dao động riêng là iω và pha ban đầu của dao động lài λ. Từ phương trình (2-10) lần lượt cho k = 1, 2, ., n ta được hệ n phương trình chính tắc để xác định n các chuyển vị yki: ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=−+++=−+++=−+++0 .0 .0 .22222121122222222122111212212212111niniinnniiniininiinniiiiiniinniiiiyymymymyymymymyymymymωδωδωδωδωδωδωδωδωδ hay: Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-4 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=−+++=++−+=+++−0)1( .0 .)1(0 .)1(222221211222222212211212212212111niinnniiniinniinniiiiniinniiiiymymymymymymymymymωδωδωδωδωδωδωδωδωδ (2-12) Chia tất cả các phần tử trong hệ (1-12) cho 2iω và đặt 21iiuω= ta có: ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=−+++=++−+=+++−0)( .0 .)(0 .)(222111222221211121221111niinnnininninniiininniiiyumymymymyumymymymyumδδδδδδδδδ (2-13) Hệ phương trình (2-12) và (2-13) là hệ phương trình thuần nhất đối với các ẩn số là chuyển vị y1i, y2 i, ., yni. Đó là phương trình cơ bản của dao động riêng. Từ hệ này ta xác định được trị số của các tần số dao động riêng và phương trình dao động riêng, ta thấy nghiệm tầm thường với y1i= y2 i = . = yn i= 0 không thích hợp với bài toán. Vậy, điều kiện tồn tại nghiệm (tức là tồn tại dao động) là định thức của hệ số các ẩn số bằng không: ()()()0.1ωδm .ωδmωδm ωδm .1ωδmωδmωδm .ωδm1ωδmD2innn2in222in112i2nn2i2222i2112i1nn2i1222i111=−−−= (2-14) hay ()()()0.uδm .δmδm δm .uδmδmδm .δmuδmDinnnn22n112nni2222111nn122i111=−−−= (2-15) Điều kiện này dẫn đến phương trình bậc n đối với ui. Từ phương trình này ta xác định được n nghiệm thực u1, u2, ., un; tương ứng với các nghiệm đó ta suy ra một phổ của các tần số dao động riêng: 1ω, 2ω, ., nω. Xếp thứ tự cấc iωtừ trị số nhỏ đến trị số lớn và gọi 1ω là tần số thứ nhất hay tần số cơ bản. Phương trình (2-14) hay (2-15) gọi là phương trình tần số hay phương trình thế kỷ. Phương trình này tìm được đầu tiên trong thiên văn học, dùng để xác định chu kỳ chuyển động của các hành tinh đo bằng thế kỷ. Việc giải phương trình này khá phức tạp đặc biệt là khi số bậc càng lớn. Trong thức tế, thường chỉ cần tìm tần số thấp nhất, nên ta sẽ nghiên cứu cách tính gần đúng đơn giản để xác định 1ω (xem chương 4). Như vậy, đối với hệ có n bậc tự do, ta xác định được n trị số tần số dao động riêng, ứng với mỗi tần số dao động riêng iω, ta có một dạng chính của dao động. Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-5 Tiếp theo là xác định phương trình chuyển động tổng quát của các khối lượng. Theo (2-7) và (2-11), phương trình chuyển động của các khối lượng ứng với tần số iω có dạng: ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+=+=+=∗∗∗∗)sin(.)()sin(.)( .)sin(.)()sin(.)(12211iininiiiikikiiiiiiiiiiitAytytAytytAytytAyty λωλωλωλω. (2-16) Thay (2-16) vào nghiệm (2-5), ta được phương trình dao động tổng quát của khối lượng mk: ∑=∗+=niiikiktAyty11)sin(.)( λω (2-17) Đặt: ikikiyy1=µ (2-18) Trong đó: k = 1, 2, ., n chỉ thứ tự khối lượng (mk); i = 1, 2, ., n chỉ thứ tự tần số riêng (iω). Lúc này phương trình (2-17) có dạng : )sin()(11iiiniikiktAyty λωµ+=∗=∑ (2-19) hay: )sin()(1iiniikiktCty λωµ+=∑= (2-20) với : ∗=iiiAyC .1. Đó là phương trình tổng quát của dao động tự do tại khối lượng km; trong đó các đại lượngkiµ, iC, i λ xác định như sau: a) Xác định các tỷ số chuyển vị ikikiyy1=µ. Từ (2-12) sau khi chia tất cả các phần tử cho iy1ta được: ()0 .11211221222111=+++−iniinniiiiyymyymmωδωδωδ()0 .11221222222211=++−+iniinniiiiyymyymmωδωδωδ Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ()01 .1212222211=−+++iniinnniiininyymyymmωδωδωδ Nếu chú ý đến (2-18), ta có: ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=−+++=++−+=+++−0)1( .0 .)1(0 .)1(222222112222222221121221222111niinnniininniinniiiniinniiimmmmmmmmmµωδµωδωδµωδµωδωδµωδµωδωδ (2-21) Ta thấy ứng với mỗi giá trị iω, hệ n phương trình đại số tuyến tính (2-21) chỉ có (n -1) ẩn kiµ (vì đã biết 1111==iikyyµ). Do vậy, ta chỉ cần lấy (n -1) phương trình bất kỳ trong hệ phương trình (2-21) để xác định các ẩn số. Điều đó có nghĩa là một phương trình bất kỳ trong hệ trên phụ thuộc tuyến tính vào các phương trình còn lại. b) Xác định iC và i λ. Sau khi tính được các trị số kiµ, trong phương trình chuyển vị của khối lượng km (2-20) chỉ còn n trị số iC và n trị số i λ là chưa biết. Đó là các hằng số phụ thuộc các điều kiện ban đầu của dao động tự do. Ta có 2n điều kiện ban đầu: - Khi t = 0, thì ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==niiiikikniiikikCvCy11cos)0(sin)0( λωµλµ(k = 1, 2, ., n) (2-22) Từ hệ 2n phương trình trên ta xác định được 2n trị số iC và i λ. Trường hợp có kể lực cản, nếu quan niệm gần đúng là lực cản tỷ lệ với vận tốc: )()( tytRkkk&β=, thì theo (2-2), phương trình vi phân của dao động riêng có dạng: [][ ]0)t(y)t(ym .)t(y)t(ym)t(ynnnnkn11111kk=β+δ++β+δ=&&&&&& Cũng dùng nghiệm theo dạng (2-5); tương tự như trên, ta có phương trình viết cho nghiệm riêng thứ i: 0)()( .)()()(.11111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++niinniknniiikikiytFmtFmytFmtFmtFy&&&&&&βδβδ Giả sử αβ2== constmii Phương trình trên có thể viết dưới dạng tương tự (2-8): niknni11k1kiiiiym .ymy)t(F)t(F2)t(Fδ++δ−=α+&&& Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-7 Cũng lý luận tương tự như trên, sau khi cho đẳng thức này bằng 2iω−, ta rút ra được hai phương trình: 1. 0)()(2)(2=++tFtFtFiiiiωα&&& (a) 2. 0 .2121=−++kiniiknniikiyymymωδωδ (b) Phương trình (a) có dạng giống như phương trình dao động của hệ một bậc tự do có kể tới lực cản. Do đó nghiệm của phương trình này khi lực cản nhỏ, có dạng: )cossin()(.tBtAetFiiiiti∗∗−+=ωωα Trong đó: 22αωω−=∗ii Phương trình (b) có dạng giống như (2-10), nên các tần số riêng iω cũng có giá trị giống như trên và được xác định theo phương trình tần số (2-14). Phương trình chuyển động của khối lượng km, khi có kể tới lực cản, có dạng: [ ]∑∑==∗∗−+==niniiiiitkiikiktBtAeytFyty11.cossin.)(.)(ωωα hay: )sin( )(1.iiinitkiktCety λωµα+=∗=−∑ (2-23) trong đó các đại lượng kiµ, iC, i λ cũng được xác định như trên. 2.2.2 Cách sử dụng tính chất đối xứng của hệ. Tương tự như bài toán ổn định, trong bài toán dao động của hệ đối xứng, dạng chính của dao động riêng có hai loại: dao động có dạng đối xứng và dao động có dạng phản xứng. Khi hệ dao động với dạng đối xứng, các lực quán tính cũng đối xứng; còn khi hệ dao động với dạng phản xứng, các lực quán tính cũng phản xứng. Do đó, để đơn giản việc tính toán ta có thể tìm cách tách bài toán thành hai loại bài toán riêng biệt, và tìm các tần số dao động riêng ứng với từng loại. Cách tính theo một nửa hệ. Tương tự ứng với mỗi dạng dao động đối xứng hoặc phản xứng, thay thế hệ đã cho bằng một nửa hệ có sơ đồ phù hợp với biến dạng đối xứng hoặc phản xứng. Cách thay thế này đã được trình bày như phần I. Trên (hình 2-7) trình bày một vài thí dụ về cách biến đổi sơ đồ tương ứng với dạng dao động đối xứng và phản xứng. Sau đó ta lần lượt xác định các tần số dao động riêng cho từng nửa hệ riêng biệt. 2.3 Các dạnh chính của dao động riêng, khai triển tải trọng và chuyển vị theo các dạng chính 2.3.1 Các dạng chính của dao động riêng Tại một thời điểm bất kỳ, dạng dao động của kết cấu được xác định theo vị trí của khối lượng, tính theo công thức (2-20). Đối với hệ có n bậc tự do, khi dao động riêng, chuyển vị của từng khối lượng là tổng hợp của n dao động, ứng với các tần số riêng 1ω khác nhau. Dạng dao động ứng với Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-8 iω nào đó gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng. Như vậy, một hệ có n bậc tự do, cũng có n dạng dao động chính. Từ (2-6), ta thấy ứng với mỗi dạng chính của dao động riêng tỷ số giữa chuyển vị của các khối lượng )()()()(tytytytyjkjiki= là đại lượng không đổi. Do đó ta có thể xác định được dạng chính thứ i của dao động theo đường đàn hồi của dầm (hình 2-10a) gây ra bởi biên độ của các lực quán tính sau khi đã giảm đi S lần. Để tiện lợi cho việc tính toán ta có thể chọn S bằng trị số biên độ của một trong các lực quán tính. Thí dụ chọn iiiymZS1211ω==. Như vậy dạng chính thứ i của dao động riêng chỉ phụ thuộc vào tỷ số của chuyển vị ikikiyy1=µ (xem hình 2-10b). Nếu nhân cả hai vế của phương trình (2-9) với kiy, ta có: 0)()(.2=+tFytFyikiiikiω&& hay theo (2-6): 0)()(2=+ tytykiikiω&& (2-24) Ta thấy phương trình vi phân (2-24) có dạng tương tự như phương trình (1-3) trong chương 1. Do đó có thể khảo sát chuyển động của khối lượng bất kỳ mk trong dạng chính thứ i như khảo sát bài toán dao động của hệ một bậc tự do tượng trưng; trong đó theo (2-10) ta có : niknnikikkiymymymyδδδω+++= .22211121 (2-25) Ngược lại, nếu biết một dạng chính nào đó ta có thể tính được tần số riêng của hệ ứng với dạng dao dao động đó. Từ (2-31) ta có: kkkiMδω121= (2-26) trong đó: kinikkknnkkiikkkkiikkkkiyymmyymyymM 222111δδδδδδ+++++= (2-27) Hình 2-3. Dạng chính m1kmnm1iyykiynimnm1µniµmmkki11Z =mω y2i1i 1iZ =mω yki kii2Z =mω yni i ni2a,b, Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-9 Ta thấy (2-25) có dạng tương tự như công thức (1-2) trong chương 1 dùng để tính tần số dao động riêng của hệ có một bậc tự do, với khối lượng quy ước là Mki xác định theo(2-27) đặt tại vị trí mk. 2.3.2 Tính chất trực giao của các dạng chính Ta sẽ chứng minh rằng các dạng chính của dao động có tính chất trực giao nghĩa là công của ngoại lực (hay nội lực) của một dạng chính này trên chuyển vị (hay biến dạng) của một dạng chính khác bằng không. Xét hai dạng chính của dao động ứng với các tần số iω và jω. Để cho gọn ta có thể chọn sơ kiện sao cho các phương trình chuyển vị có dạng: - Đối với dạng chính thứ i (hình 2-11a) tytykiki 1sin)(ω=; do đó lực quán tính: )(sin)(2tymtZikiikkiωω= - Đối với dạng chính thứ j (hình 2-11b). tytyjkjkjωsin)(=; do đó lực quán tính )(sin)(2tymtZjkjjkkjωω=. Khi đó biểu thức công tương hỗ của các ngoại lực có dạng: ∑∑===nknkikijkjjkjkjikiiktytymtytym1122sin.sinsin.sinωωωωωω Như vậy, với bất kỳ thời điểm nào ta cũng có điều kiện: ()∑==−nkkjkikjiyym1220.ωω Vì jiωω≠, nên ta suy ra: m 1 kmnm1i y (t) Z (t)=m ω y sinω t1i1 1i 2 i iZ (t)kiZ (t)ni(t)kiy (t)niy Z (t)=m ω y sinω t1j 1j j 1 2 j(t)njy kj(t)y (t) 1j y Z (t)kjj(ω ) (ω) ia)b) Hình 2-4. Tính chất trực giao Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-10 ∑==nkkjkikyym10 (2-28) Biểu thức (2-28) biểu thị tính chất trực giao của các dạng dao động chính đối với hệ có một số hữu hạn bậc tự do. Kết quả này không phụ thuộc sơ kiện. Tính chất trực giao cũng có thể biểu thị dưới dạng công của ngoại lực như sau: ∑∫∑∑∫∫=++0.dsGFQQdsEFNNdsEJMMjijijiµ (2-29) 2.3.3 Khai triển tải trọng và chuyển vị theo các dạng chính vào các khối lượng. 2.3.3.1 Khai triển tải trọng : Giả sử có hệ tải trọng Pk(t) đặt tại vị trí của các khối lượng mk (hình 2-12). Ta sẽ phân tích các tải trọng này theo dạng chính tức là dưới dạng tổng của các thành phần tải trọng được biểu diễn theo dạng chính của các dao động riêng: ∑==nikiktPtP1)()( (2-30) trong đó: )()( tHymtPikikki= (2-31) i - chỉ số biểu thị tần số dao động riêng thứ i; k - chỉ số biểu thị khối lượng thứ k; Hi(t) - hàm chưa biết. Nhân hai vế của (2-30) với yki, sau đó lập tổng theo tất cả các khối lượng, ta có: ∑∑∑ ∑=== =+==nknknknkkkkiikikkikiktHymytHymyytP111 111)([)(.).( )]( .)()(22tHymtHymtHymnknkikikkk+++⋅⋅⋅++. Sử dụng tính chất trực giao (2-28), ta được: ∑∑===nknkkikikikymtHytP112)()( suy ra: ∑∑===nkkiknkkikiymytPtH121)()( (2-32) m1P (t)1P (t)kP (t)nkmnmHình 2-5.Khai triển tải trọng [...]... trình dao động tự do của hệ có hữu hạn bậc tự do: {} [ ] { } [ ] { } )()( )( t vo o kh t yo o kh KVKYtY += , (2.53) trong đó: [ ] o kh Y - là ma trận chuyển vị ban đầu khai triển (phân tích) theo các dạng dao động riêng, Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-1 Chương 2 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT SỐ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 2.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động ... trí của khối lượng, tính theo cơng thức ( 2-2 0). Đối với hệ có n bậc tự do, khi dao động riêng, chuyển vị của từng khối lượng là tổng hợp của n dao động, ứng với các tần số riêng 1 ω khác nhau. Dạng dao động ứng với Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-2 (k = 1, 2, , n) Đó là phương trình vi phân tổng qt của dao động hay cịn gọi là phương trình chính tắc của hệ có n bậc. .. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-9 Ta thấy ( 2-2 5) có dạng tương tự như cơng thức ( 1-2 ) trong chương 1 dùng để tính tần số dao động riêng của hệ có một bậc tự do, với khối lượng quy ước là M ki xác định theo( 2-2 7) đặt tại vị trí m k . 2.3.2 Tính chất trực giao của các dạng chính Ta sẽ chứng minh rằng các dạng chính của dao động có tính chất trực giao nghĩa là công của ngoại lực... tổng quát về dạng như của hệ có một bậc tự do. )()()( 2 tHtFtF iiii =+ ω && . Nghiệm của hệ 1 bậc tự do đã được nghiên cứu ở chương 1. Đây chính là ý nghĩa chủ yếu của việc khai triển tải trọng đã cho theo các dạng dao động chính. 5. Cuối cùng, ta tìm được chuyển vị động của khối lượng m k là y k (t) theo ( 2-4 4). 2.5 Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do dưới dạng ma trận 2.5.1... Hình 2-4 . Tính chất trực giao Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-7 Cũng lý luận tương tự như trên, sau khi cho đẳng thức này bằng 2 i ω − , ta rút ra được hai phương trình: 1. 0)()(2)( 2 =++ tFtFtF iiii ωα &&& (a) 2. 0 2 1 2 1 =−++ kiniiknniiki yymym ωδωδ (b) Phương trình (a) có dạng giống như phương trình dao động của hệ một bậc tự do có kể tới... dưới dạng ma trận 2.5.1 Phương trình vi phân dao động của hệ (tương tự phương trình 2.2): [] () { } [] ( ) { } [] (){} ( ){ } tPtYKtYCtYM =++ &&& , (2.46) trong đó: Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-1 3 ∑ = = n i ikikk tHymtP 1 )()( ( 2-3 9) Thay trị số của một thành phần tổng quát thứ i trong ( 2-3 8) và ( 2-3 9) vào ( 2-3 7) )( )()( )()( 11111 tHymtHymtFymtFymtFy ininkniikiiniknniikiki δδδδ ++=+++ &&&& ,... λωµ α += ∗ = − ∑ ( 2-2 3) trong đó các đại lượng ki µ , i C , i λ cũng được xác định như trên. 2.2.2 Cách sử dụng tính chất đối xứng của hệ. Tương tự như bài toán ổn định, trong bài toán dao động của hệ đối xứng, dạng chính của dao động riêng có hai loại: dao động có dạng đối xứng và dao động có dạng phản xứng. Khi hệ dao động với dạng đối xứng, các lực quán tính cũng đối xứng; còn khi hệ dao động với... Ta nghiên cứu dao động của dầm có n khối lượng tập trung (hình 2-1 ). Giả thiết khơng để ý đến kích thước của khối lượng và bỏ qua trọng lượng bản thân dầm. Như vậy hệ có n bậc tự do. Hệ này dao động dưới tác dụng của các lực sau: - Các lực kích thích q(t), P(t), M(t); - Các lực quán tính do các khối lượng m k dao động: )(. tymZ kkK && −= ; hướng theo chiều chuyển động. - Các lực cản... ta có: niknnik ki i i i i ymym y tF tH tF tF δδ ++ −=− )( )( )( )( 111 && ( 2-4 0) Cũng tương tự như ( 2-8 ) và ( 2-1 0), ta ký hiệu: 2 111 i niknnik ki ymym y ω δδ = ++ . ( 2-4 1) Lúc này phương trình ( 2-4 0) có dạng: )()()( 2 tHtFtF iiii =+ ω && . ( 2-4 2) Phương trình vi phân ( 2-4 2) có dạng tương tự như phương trình vi phân trong bài tốn dao động của hệ có một bậc tự do, nên ta có. .. ra, ta cũng có thể thiết lập phương trình vi phân của dao động đối với từng khối lượng riêng biệt, hoặc thay tác dụng của các lực quán tính và lực cản bằng phản lực của các liên kết đàn hồi đặt tại các vị trí có mang khối lượng, sau đó áp dụng các phương pháp tính tốn tĩnh học đã quen biết để giải. 2.2 Dao động riêng của hệ có một số hữu hạn bậ c tự do 2.2.1 Phương trình cơ bản của dao động riêng . 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-1 Chương 2 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT SỐ HỮU HẠN BẬC TỰ DO 2.1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động. Chương 2. Dao động của hệ có một số hữu hạn bậc tự do 2-8 iω nào đó gọi là dạng chính thứ i của dao động riêng. Như vậy, một hệ có n bậc tự do, cũng có n