Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do

Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do gồm có những nội dung cụ thể như sau: Phương trình vi phân tổng quát, dao động riêng không lực cản, dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.1 Phương trình vi phân tổng quát:

Xét dao động của thẳng có khối lượng phân bố m(z)

dọc theo ciều dài thanh Hệ có bậc tự do bằng vô cùng Khi chịu lực kích thích bất kỳ thay đổi theo thời gian và

có phương nghiêng so với trục thanh Dao động ngang

của thanh được xác định bằng phương trình y = y(z, t) là hàm của tọa độ z của tiết diện ngang và thời gian t biểu

thị đường đàn hồi của thanh.

Từ các liên hệ vi phân giữa đường hồi y(z, t), mô men uốn M(z, t) và cường độ tải trọng phân bố p(z, t):

) , (

) ,

( );

, (

) ,

( )

p z

t z

M t

z

M z

t z

y z



 -

=





CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO

).

, (

) ,

( )

2 2

2

t z

p z

t z

y z

vuông góc với trục thanh >0

khi có chiều hướng lên trên.

* Lực quán tính của khối

lượng phân bố m(z) hướng

theo chiều chuyển động và

bằng:

2

2 ( , ) )

(

t

t z

y z

m



 -

(

t

t z y z

m



 -

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO

) , (

) ,

( )

( )

, ( )

,

2

t z

r t

t z

y z

m t

z q t

z



 +

=



Thay p(z, t) vào phương trình đầu tiên, ta thu được

phương trình vi phân tổng quát mô tả dao động ngang của thanh:

) , ( )

, (

) ,

( )

(

) ,

( )

2 2

2 2

2

t z q t

z

r t

t z

y z

m z

t z

y z

EI

-

+

, (

) ,

( )

(

) ,

( )

2 4

4

t z q t

z

r t

t z

y z

m z

t z

y z

-

+





CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2 Dao động riêng không lực cản:

Trong trường hợp này r(z, t) = 0, q(z, t) = 0, phương

trình vi phân của dao động riêng có dạng:

) ,

( )

(

) ,

( )

2 2

2 2

2

0 t

t z

y z

m z

t z

y z

EI



+

) ( )

( )

t z y

Lấy đạo hàm và thay vào phương trình trên:

3.2.1 Trường hợp tổng quát:

Cho từng số hạng của tổng phương trình trên

bằng không, với số hạng thứ i, ta thu được:

0 )

( )

( )

( )]

( ).

( )







i i

i

y z

EI z

&

&



0 )

( )

( )

( )]

( ).

( )

(

[

1 2

i

y z

EI z

( )

( ).

(

)]

( ).

(

[

2 2

t F

t F z

y z

m

z y

z

EI z

i

i i

0 )

( )

cos sin

)

 Tương ứng với mỗi nghiệm riêng y i (z, t)=y i (z).F i (t),

dao động riêng của thanh thay đổi điều hòa với tần số riêng wi.

2) 2 [ ( ) ( )] ( ). 2 ( ) 0

2

= -







z y

z m z

y z

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO

3.2.1 Trường hợp EI = const :

Phương trình vi phân dao động có dạng:

) , ( )

( )

,

(

2

2 4

4

0 t

t z y z

m z

t z y

=



+

( )

z y

) sin(

cos sin

(

).

( )]

( ).







z y

z m z

y z

EI

; 0 )

( )

(

2 4

4

EI

m k

z y

k z

=

= -

Giải phương trình đặc trưng: r 4 – k i 4 = 0 của

phương trình trên ta thu được các nghiệm:

1

cos

.

)

cos

sin

)

( )

(

; sin

cos

)

( )

(

; cos

sin )

(

; sin

cos )

(

3 4

3 3

3 2

3 1

2 4

2 3

2 2

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1

z k k

C z

k k

C z

chk k

C z

shk k

C EI

z

Q z

y

z k k

C z

k k

C z

shk k

C z

chk k

C EI

z

M z

y

z k k

C z

k k

C z

chk k

C z

shk k

C z

y

z k C

z k C

z shk C

z chk C

z

y

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i

i i

i i

i

+

-+-

=



-

-+-

=



+-

+

=



++

+

=

Dạng chính y i (z) được xem như đường đàn hồi của thanh nên ta có thể xác định các hằng số tích phân C i

theo điều kiện ban đầu.

Giả sử z = 0 tương ứng với dạng chính thứ i của dao động, ta có các thông số ban đầu: độ võng y i (0), góc xoay y ’

i (0); mô men uốn M i (0); lực cắt Q i (0) Thay

các giá trị này vào phương trình trên ta thu được:

) (

) 0 (

; )

( )

0 (

; ) (

) 0 ( );

( )

0

(

3 4

2

2 3

1

4 2

3 1

i i

i i

i i

i

k C

C EI Q

k C

C EI M

k C

C y

C C

y

-

-= -

-=

+

= +

=



].

) 0 ( )

0

( [

2

1 ];

) 0

( )

0 (

[ 2 1

];

) 0 ( )

0

( [

2

1 ];

) 0

( )

0 (

[ 2 1

3 4

2 3

3 2

2 1

EI K

Q k

y C

EI k

M y

C

EI k

Q k

y C

EI k

M y

C

i

i i

i i

i i

i

i i

i i

i i

+



= +

=

-

= -

=

Thay các giá trị của C i vào phương trình đầu của

hệ gồm 4 phương trình , ta có được phương trình xác định chuyển vị tương ứng với dạng chính thứ i của

dao động riêng viết theo thông số ban đầu:

), (

) 0

( )

(

) 0

( )

(

) 0

( )

( ) 0 ( )

EI k

Q z

k

A EI k

M z

k

A k

y z

k A y

z

i

i i

i

i i

i

i i

i

-trong đó:

); sin

( 2

1 )

( );

cos

( 2

1 )

(

); sin

( 2

1 )

( );

cos

( 2

1 )

(

4 3

2 1

z k z

shk z

k A z

k z

chk z

k A

z k z

shk z

k A z

k z

chk z

k A

i i

i i

i i

i i

i i

i i

-= -

=

+

= +

=

Các hàm A j (k i z) với j = 1, 2, 3, 4 do viện sỹ người Nga

A N Krưlôv đề xuất nên được gọi là các hàm Krưlôv Giá trị được tra theo bảng Các hàm Krưlôv có các tính

chất sau:

).

( )

(

).

( )

(

).

( )

(

1 2

2 3

3 4

4 1

z k A k z

k

A

z k A

k z

k

A

z k A

k z

k

A

z k A

k z

k

A

i i

i

i i

i

i i

i

i i

), (

) 0

( )

(

) 0

( )

(

) 0

( )

( ) 0 ( )

EI k

Q z

k

A EI k

M z

k

A k

y z

k A y

z

i

i i

i

i i

i

i i

) 0 ( )

( )

0 (

0 (

) 0 ( )

( )

0 ( )

( )

(

); (

) 0

( )

( ) 0 (

) (

) 0 ( )

( )

0 ( )

( )

(

); (

) 0

( )

(

) 0

( )

( ) 0 ( )

( )

0 ( )

(

1 4

3

2 2

3

2 1

4 3

2

3 2

2 1

4

z k A Q

z k A k M

z k A k y

EI z

k A k EIy

z y EI z

Q

z k

A k

Q z

k A M

z k A k y

EI z

k A k EIy

z y EI z

M

z k

A EI k

Q z

k

A EI k

M z

k A y

z k A k y

z

y

i i

i i

i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i

i i

i i

i i

i i

i i

i i

i

i i

i i

i i

i

+ +

+

 -

+

 -

- +

2

=

w

) 0

( )

(

) 0

( )

'

z k

A EI k

Q z

k

A k

y z

i

i i

i

i

-) (

) 0

( )

( )

0 ( )

k

Q z

k A k y

EI z

i

i i

i i

)

0

( )

'

l k

A EI k

Q l

k

A k

y l

i

i i

( )

0

( )

k

Q l

k A k y

EI l

i

i i

i i

Đây là hệ phương trình thuần nhất Để các ẩn số khác không nghĩa là dao động của hệ tồn tại thì định thức các hệ số của hệ phương trình phải bằng không:

1 )

(

) (

1 )

( 1

2 4

4 3

2

=-

-l k

A k

l k EIA

k

l k

A EI k

l k

A

k

i i

i i

i i

i i

0

)]

( )

sin (

) sin

EI l

i m

i m

EI l

i

m

EI l

i m

EI l

i

2

2 4

2

2 3

2

2 2

2

2 1

5664 ,

12 4

,

4248 ,

9 3

*

,

2832 ,

6 2

,

1416 ,

3 1

w w

(

)

0

( )

'

l k

A EI k

Q l

k

A k

y l

i

i i

i

i

-) (

)

( )

( )

(

l k A

l k

A EI k

0 y 0

Q

i 4

i 2 2

i i



0 y 0

Qi( ) = i ( ) i 2



), (

) 0

( )

(

) 0

( )

'

z k

A EI k

Q z

k

A k

y z

i

i i

i

i

-Thay giá trị vừa tìm được vào phương trình sau:

Ta tìm được phương trình của dạng chính thứ i

của dao động riêng:

z

k k

0

y z

k A

z k

A k

0

y z

i

i i

4 i

2 i

i

= -



=

i i

i i

k

0

y C

z l

i C

z y

) (

; sin

) (



=

Dạng chính của dao

động riêng trong dầm đơn

giản có hai đầu khớp là

dầm điều hòa theo quy luật

hàm số sin với số nửa

C y

1

i 1 1 p

sin , =

=

z l

C y

3

i 3 3 3p

sin , =

=

z l

C y

2

i 2 2 2p

sin , =

=

Ví dụ 2: Xác định tần số

dao động riêng của dầm

côngxôn mang khối

lượng phân bố đều m và

( )

( )

(

), (

)

( )

( ) ( )

(

)' (

)

( )

(

)

( )

(

z k A 0 Q z

k A k 0 M z

Q

z k

A k

0

Q z

k A 0 M z

M

z k

A EI k

0

Q z

k

A EI k

0

M z

y

i 1 i

i 4 i i

i

i 2 i

i i

1 i

i

i 4 3

i

i i

3 2

i

i i

-=

( )

( )

( ) ( )

(

l k A 0 Q l

k A k 0 M l

Q

l k

A k

0

Q l

k A 0 M l

M

i 1 i

i 4 i i

i

i 2 i

i i

1 i

0 l

k A l k A l

k A

0 l

k A l

k A k

l k

A k

1 l

k A

i 4 i

2 i

2 1

i 1 i

4 i

i 2 i

i 1

= -



=

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

Thay các hàm Krưlôv vào ta thu được phương

trình siêu việt để xác định các tần số:

0 1

l k l

chk

D = i . cos i + =

Để giải phương trình này ta vận dụng cách thử dần.

Cho k i l nhiều giá trị khác nhau và tính các giá trị D

tương ứng:

0 2 p = 3,14 - 10,57 0,2p = 0,628 1,97 1,2p = 3,770 - 16,56

Thực hiện tương tự với những giá trị k i l lớn hơn

;

,

; ,

m

EI l

996 10

m

EI l

855 7

m

EI l

6941 4

m

EI l

875 1

2

2 4

2

2 3

2

2 2

2

2 1

w w

Tương tự như phần trước ta cũng thu được các dạng dao động riêng như hình vẽ:

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần

hoàn q(z)sinqt:

Khi không kể đến lực cản, phương trình được viết:

EI

t z

q t

t z y EI

m z

t z

y

2 2

y t

z

y ( , ) = ( ). sin q

Thay vào phương trình trên ta thu được:

,

)

( )

( )

(

EI

m k

EI

z

q z

y k z

y

2 4

4

= -

= -

k- hệ số đặc trưng của thanh khi dao động cưỡng bức.

Nghiệm thuần nhất y o (z) của phương trình vi phân

trên có dạng như sau:

) (

) (

) (

) (

) ( z C A kz C A kz C A kz C A kz

A j (kz) với j = 1, 2, 3, 4 là các hàm Krưlôv

Nghiệm riêng y r (z) phụ thuộc vào tải trọng q(z) Xét trường hợp q(z) = q:

EI k

q kz

A C kz

A C kz

A C kz

A C z

y ( ) = 1 1( ) + 2 2( ) + 3 3( ) + 4 4 ( ) + 4

Tương tự như phần trước, lần lượt lấy đạo hàm

và sử dụng các điều kiện ban đầu ở đầu thanh, biến đổi ta thu được các phương trình biên độ chuyển vị, góc xoay, mô men uốn, lực cắt khi thanh dao động:

) ( )

( )

( )

( )

( )

(

); (

) ( )

( )

( )

( )

(

); (

) ( )

( )

( )

( )

(

; ] )

( [

) ( )

( )

( )

( )

(

kz

A k

q kz

A Q kz

kA M

kz A k y EI kz

A k EIy z

Q

kz

A k

q kz

A k

Q kz

A M kz

kA y

EI kz

A k EIy z

M

kz

A EI k

q kz

A EI k

Q kz

A kEI

M kz

A y kz

kA y

z

y

1 kz

A EI k q

kz

A EI k

Q kz

A EI k

M kz

A k

y kz

A y

z

y

2 1

o 4

o 3

2 o 2

3 o

3 2 2

o 1

o 4

o 3

2 o

4 3

3 2

o 2

o 1

o 4

o

1 4

4 3

o 3

2

o 2

o 1

o

+ +

+

 +

-=

+ +

+

 +

-=

-

- +

=



-

-

- +

=

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.4 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu tải trọng tập trung : 3.4.1 Dao động riêng:

Xét thanh thẳng có khối

lượng phân bố đều, tiết diện

không đổi và mang khối

lượng tập trung m j đặt tại

hoành độ a như trên hình vẽ.

Khi thanh dao động với tần số wi, đường đàn hồi

của thanh xác định theo phương trình y i (z) của dạng chính thứ i Tại khối lượng m j phát sinh lực quán tính:

).

(a

y m

Z j = jwi 2 i

Với :

m

EI k

EI

m k

4 i 2

i

2 i 4

).

( y a

m m

EI k

k Từ đó suy ra tần số dao động riêng.

Với 0  z  a, các phương trình chuyển vi, mô men uốn động trong đoạn I:

).

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

(

z k

A k

0

Q z

k A 0 y EI k

z M

z k

A EI k

0

Q z

k

A k

0

y z

y

i 2 i

i i

4 i

i

I i

i 4 3

i

i i

2 i

i I

i

+

 -

0

Q a

k

A k

0

y m

m

EI k

i

i i

2 i

i j

4 i

-Xét đoạn II với a  z  l , cho z 1 = z – a :

)];

( )

( )

( [

) (

)]

( )

( )

( [

) (

) (

) ( )

(

1 i 4 i

4

j i i

4 3

i i

1 i 4 i

2

j i i

2 i

i

1 i 4 3

i

j I

i

II

i

z k A a k

A m

m k z

k

A EI k

0 Q

z k A a k

A m

m k z

k

A k

0 y

z k

A EI k

Z z

y z

y

+-

+

( )

( [

) (

)] (

) (

) (

)[

(

) (

) ( )

(

1 i 2 i

4

j i

i 2 i

i

1 i 2 i

2

j i

i 4 i

i

1 i 2 i

j I

i

II

i

z k A a k

A m

m k z

k

A k

0 Q

z k A a k

A m

m k z

k A 0

y EIk

z k

A EI k

Z z

M z

M

+ +

+ +

 -

=

-=

Khi z = l ta có các điều kiện biên bên phải: y(l) = 0, M(l) = 0, do vậy:

)]

( )

( )

( [

) (

) (

) (

) (

)[

( )

(

; )]

( )

( )

( [

) (

)]

( )

( )

( [

)

( )

(

0 b

k A a k

A m

m k

l k

A k

0 Q

b k A a k

A m

m k

l k A 0

y EIk z

M

0 b

k A a k

A m

m k

l k

A EI

k

0 Q

b k A a k

A m

m k

l k

A k

0

y l

y

i 2 i

4

j i

i 2 i

i

i 2 i

2

j i

i 4 i

i

II i

i 4 i

4

j i

i 4 3

i i

i 4 i

2

j i

i 2 i

i II

i

= +

+

+ +

 -

=

= +

+

-

=

Với b = l – a; Tương tự như phần trước ta xác định

các thông số k i , sau đó tìm ddwwocj tần số dao động riêng tương ứng.

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.4 Dao động cưỡng bức khi hệ chịu tải trọng tập trung : 3.4.2 Dao cưỡng bức chịu lực kích động tuần hoàn:

Tương tự như phần trước, tại khối lượng m j phát sinh lực quán tính: Z j (t) = Z j sinq t với biên độ

Z j = m jq 2 y(a).

Biên độ của lực quán tính Z j và của tải trọng P o được xem điều kiện gián đoạn về tải trọng tại z = a và

vị trí đặt lực P 0 sinqt khi áp dụng các phương trình đã

biết cho từng đoạn thanh Quá trình tính toán đến khi hoàn tất hoàn toàn tương tự.