Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do

Bài giảng Động lực học công trình - Chương 3: Dao động của hệ có vô số bậc tự do gồm có những nội dung cụ thể như sau: Phương trình vi phân tổng quát, dao động riêng không lực cản, dao động cưỡng bức khi hệ chịu lực kích thích tuần hoàn,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO 3.1 Phương trình vi phân tổng quát: Xét dao động thẳng có khối lượng phân bố m(z) dọc theo ciều dài Hệ có bậc tự vơ Khi chịu lực kích thích thay đổi theo thời gian có phương nghiêng so với trục Dao động ngang xác định phương trình y = y(z, t) hàm tọa độ z tiết diện ngang thời gian t biểu thị đường đàn hồi Từ liên hệ vi phân đường hồi y(z, t), mô men uốn M(z, t) cường độ tải trọng phân bố p(z, t):  y( z, t )  M ( z, t ) = - M ( z , t ); = p( z, t ) EI( z ) 2 z z CHƯƠNG 3: 2 z DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO   y( z, t )   EI( z )  = - p( z , t ) z   q(z,t) p(z,t) > có chiều hướng lên * Tải trọng kích thích bố với cường độ q(z,t) tác dụng vng góc với trục >0 có chiều hướng lên * Lực quán tính khối lượng phân bố m(z) hướng theo chiều chuyển động bằng:  y( z, t ) - m( z ) t  y ( z, t ) - m( z ) t y z r(z,t) * Lực cản r(z,t) ngược chiều với chiều chuyển động CHƯƠNG 3:  DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO  y( z, t ) + r ( z, t ) p ( z , t ) = q ( z , t ) + m( z ) t Thay p(z, t) vào phương trình đầu tiên, ta thu phương trình vi phân tổng qt mơ tả dao động ngang thanh: 2 z   y( z, t )   y ( z, t )  EI( z )   + m( z )  + r ( z , t ) = -q( z , t ) z t   Nếu có khối lượng m phân bố đều:  y( z, t )  y ( z, t ) + m( z ) + r ( z , t ) = - q( z , t ) EI( z ) z t CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO 3.2 Dao động riêng không lực cản: 3.2.1 Trường hợp tổng quát: Trong trường hợp r(z, t) = 0, q(z, t) = 0, phương trình vi phân dao động riêng có dạng: 2 z   y ( z, t )   y ( z, t )  EI( z )   + m( z )  = z t   Giải phương trình theo phương pháp tách biến số Fourier ta đặt nghiệm dạng chuỗi tổng nghiệm riêng:  y ( z , t ) =  yi ( z ) Fi (t ) i -1 Lấy đạo hàm thay vào phương trình trên:   2 && (t ) =   + [ EI ( z ) y ( z ) F ( t )] m ( z ) y ( z ) F   i i i i z i =1 i =1 Cho số hạng tổng phương trình khơng, với số hạng thứ i, ta thu được: 2 && (t ) = ( z ).F (t )] + m( z ) y ( z ) F [ EI ( z ) y i i i i z 2     && [ EI ( z ) y i ( z )] Fi (t ) z = m( z ) yi ( z ) Fi (t ) Vế phải phụ thuộc vào thời gian t, vế trái phụ thuộc vào z,  tỷ số = const Ký hiệu dại lượng wi2  có phương trình vi phân với biến số độc lâp: 1) &F& (t ) + w F (t ) = i i i Dạng giống phương trình vi phân dao động hệ bậc tự do, nghiệm phương trình là: Fi (t ) = Ai sin wi t + B cos wi t = sin(wi t + ji )  Tương ứng với nghiệm riêng yi(z, t)=yi(z).Fi(t), dao động riêng thay đổi điều hòa với tần số riêng wi 2) 2   w = [ EI ( z ) y ( z )] m ( z ) y ( z ) i i i z Giải phương trình ta tìm hàm yi(z) biểu thị dạng thứ i dao động riêng ứng với tần số wi CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO 3.2.1 Trường hợp EI = const : Phương trình vi phân dao động có dạng: m (z)  y ( z, t )  y( z, t ) + =0 EI z t Nghiệm phương trình tìm dạng chuỗi:  y ( z , t ) =  yi ( z ) Fi (t ) i -1 Fi (t ) = Ai sin wi t + B cos wi t = sin(wi t + ji ) 2   w = [ EI ( z ) y ( z )] m ( z ) y ( z ) i i i z w m i ki = y ( z ) ki yi ( z ) = 0; IV EI Giải phương trình đặc trưng: r4 – ki4 = phương trình ta thu nghiệm: r1 = ki ; r2 = -ki ; r3 = iki ; r4 = -iki ; i = -  Vì: yi ( z ) = a.e e ki z ki z + b.e - ki z + c cos ki z + d sin ki z = chki z + shki z , e - ki z = chki z - shki z  Ta thu phương trình sau: yi ( z ) = C1chki z + C shki z + C3 cos ki z + C sin ki z; yi( z ) = C1ki shki z + C ki chki z - C3 ki sin ki z + C4 ki cos ki z; Mi ( z)   yi ( z ) = C1ki2 chki z + C ki2 shki z - C3 ki2 cos ki z - C ki2 sin ki z; EI Qi ( z )    = yi ( z ) C1ki3 shki z + C2 ki3chki z + C3 ki3 sin ki z - C ki3 cos ki z EI Dạng yi(z) xem đường đàn hồi nên ta xác định số tích phân Ci theo điều kiện ban đầu Giả sử z = tương ứng với dạng thứ i dao động, ta có thơng số ban đầu: độ võng yi(0), góc xoay y’i(0); mơ men uốn Mi(0); lực cắt Qi(0) Thay giá trị vào phương trình ta thu được: yi (0) = (C1 + C3 ); yi (0) = (C2 + C4 )ki ; M i (0) = - EI(C1 - C3 )ki2 ; Qi (0) = - EI(C2 - C4 )ki3  M i (0) 1 yi(0) Qi (0) - ]; C1 = [ yi (0) - ]; C2 = [ ki EI ki ki EI M i (0) yi(0) Qi (0) + ] C3 = [ yi (0) + ]; C4 = [ ki EI ki K i EI Thay giá trị Ci vào phương trình đầu hệ gồm phương trình , ta có phương trình xác định chuyển vị tương ứng với dạng thứ i dao động riêng viết theo thông số ban đầu: ip yi ( z ) = Ci sin z; l yi(0) Ci = ki Dạng dao động riêng dầm đơn giản có hai đầu khớp dầm điều hòa theo quy luật hàm số sin với số nửa bước sóng số tần số dao động riêng tương ứng m = const EI = const l i = 1, y1 = C1 sin i = 3, y3 = C3 sin p l z 3p l z i = 2, y2 = C2 sin 2p l z Ví dụ 2: Xác định tần số dao động riêng dầm côngxôn mang khối lượng phân bố m có độ cứng khơng đổi EI hình vẽ z l y Giải: Tại z =  yi(0) = 0, y’i(0) = 0, Mi(0) = ?, Qi(0) = ? M i (0) Qi (0) yi ( z ) = - A3 (ki z ) - A4 (ki z )' ki EI ki EI Qi (0) A2 (ki z ), ki Qi ( z ) = M i (0 )ki A4 (ki z ) + Qi (0) A1 (ki z ) M i ( z ) = M i (0) A1 (ki z ) + Vì z = l Mi(l) = Qi(l) = nên: z l y Qi (0 ) A2 (ki l ) = ki Qi ( l ) = M i (0 )ki A4 (ki l ) + Qi (0) A1 (ki l ) = M i ( l ) = M i (0) A1 (ki l ) + Để ẩn số khác khơng có nghĩa để dao động tồn định thức hệ số hệ phương trình phải khơng: A1 ( k i l ) ki A4 (kil ) A2 (kil ) =0 ki A1 (ki l )  A12 ( k il ) - A2 ( ki l ) A4 (kil ) = Thay hàm Krưlơv vào ta thu phương trình siêu việt để xác định tần số: D = chki l cos ki l + = Để giải phương trình ta vận dụng cách thử dần Cho kil nhiều giá trị khác tính giá trị D tương ứng: k il D k il 0,2p = 0,628 1,97 1,2p = 3,770 - 16,56 0,4p = 1,257 1,59 1,4p = 4,399 - 11,63 0,6p = 1,885 - 0,04 1,6p = 5,027 24,67 0,8p = 2,514 - 4,39 p = 3,14 D - 10,57 Nghiệm k1l  0,6p = 1,885 (chính xác 1,8751) thỏa mãn k2l = 1,49p = 4,68 (chính xác 4,691) Thực tương tự với giá trị kil lớn ta thu được: k3l = 7,855; k4l = 10,996 Các tần số dao động riêng: w1 = 1,875 l2 ,855 w3 = l2 EI 4,6941 w = ; m l2 EI 10,996 ; w4 = m l2 EI ; m EI m Tương tự phần trước ta thu dạng dao động riêng hình vẽ: z l y y1 (w1) y3 (w3) y2 (w2) 0,5001l 0,7739l 0,8679l CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO 3.2 Dao động cưỡng hệ chịu lực kích thích tuần hồn q(z)sinqt: Khi khơng kể đến lực cản, phương trình viết:  y( z, t ) m  y( z, t ) q ( z ) sinq t + =2 z EI t EI Do có lực cản nên sau thời gian dao động riêng dao động cưỡng lực kích thích gây Nghiệm riêng có dạng: y ( z, t ) = y ( z ) sinq t Thay vào phương trình ta thu được: q m q( z ) = y ( z) k y( z) , k = EI EI IV k- hệ số đặc trưng dao động cưỡng Nghiệm yo(z) phương trình vi phân có dạng sau: yo ( z ) = C1 A1 ( kz) + C2 A2 ( kz) + C3 A3 ( kz) + C4 A4 (kz) Aj(kz) với j = 1, 2, 3, hàm Krưlôv Nghiệm riêng yr(z) phụ thuộc vào tải trọng q(z) Xét trường hợp q(z) = q: y ( z ) = C1 A1 ( kz) + C2 A2 ( kz) + C3 A3 ( kz) + C4 A4 (kz) + q k EI Tương tự phần trước, lấy đạo hàm sử dụng điều kiện ban đầu đầu thanh, biến đổi ta thu phương trình biên độ chuyển vị, góc xoay, mơ men uốn, lực cắt dao động: yo Mo Qo = + y ( z ) yo A1 (kz) A2 (kz) A3 (kz) A4 (kz) k k EI k EI q - [ A1 (kz) - 1] ; k EI M Q q y( z ) = yo kA4 (kz) + yo A1 (kz) - o A2 (kz) - o A3 (kz) - A4 (kz); kEI k EI k EI Q q M ( z ) = - EIyo k A3 (kz) + EIyo kA4 (kz) + M o A1 (kz) + o A2 (kz) + A3 (kz); k k q  = + + + + Q( z ) EIyo k A2 (kz) EIyo k A3 (kz) M o kA4 (kz) Qo A1 (kz) A2 (kz) k CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO 3.4 Dao động cưỡng hệ chịu tải trọng tập trung : yi(a) 3.4.1 Dao động riêng: Xét thẳng có khối lượng phân bố đều, tiết diện không đổi mang khối lượng tập trung mj đặt hồnh độ a hình vẽ a Zj(t) mj EI m l-a l Khi dao động với tần số wi, đường đàn hồi xác định theo phương trình yi(z) dạng thứ i Tại khối lượng mj phát sinh lực quán tính: = w Z j m j i yi (a ) Với : w m i ki = EI k i EI  wi = m EI  Zj = k m j yi (a ) m i Lực quán tính Zj(t) xem điều kiện gián đoạn tải trọng z = a dùng phương pháp thông số ban đầu xét phần trước Sau lập phương trình cho đoạn thanh, sử dụng điều kiện biên để thiết lập phương trình xác định thơng số k Từ suy tần số dao động riêng Với  z  a, phương trình chuyển vi, mơ men uốn động đoạn I: yi(0) Qi (0 ) y ( z) = A2 ( ki z ) - A4 (ki z ); ki ki EI I i Qi (0 )  = + M ( z) ki EIyi (0) A4 (ki z ) A2 (ki z ) ki I i Biên độ lực quán tính khối lượng mj: EI yi(0) Qi (0) Zj = k mj [ A2 (ki a) - A4 (ki a)] m ki ki EI i Xét đoạn II với a  z  l , cho z1 = z – a : Zj II I yi ( z ) = yi ( z ) + A4 (ki z1 ) ki EI mj yi(0) = [ A2 (ki z ) + ki A2 (ki a) A4 (ki z1 )] ki m mj Qi (0) - [ A4 (ki z ) + ki A4 (ki a) A4 (ki z1 )]; ki EI m Zj II I Mi ( z) = Mi ( z) A2 (ki z1 ) ki EI = - EIki yi (0 )[ A4 ( ki z ) + ki mj m A2 ( ki a ) A2 ( ki z1 )] + mj Qi (0 ) + [ A2 (ki z ) + ki A4 ( ki a ) A2 ( ki z1 )] ki m Khi z = l ta có điều kiện biên bên phải: y(l) = 0, M(l) = 0, vậy: mj yi (0 ) y (l ) = [ A2 (ki l ) + ki A2 ( ki a ) A4 ( ki b)] ki m II i mj Qi (0 ) - [ A4 (ki l ) + ki A4 ( ki a ) A4 (ki b)] = 0; ki EI m II i M ( z ) = - EIki yi(0 )[ A4 ( ki l ) + ki mj m A2 (ki a ) A2 (ki b) + mj Qi (0 ) + [ A2 ( ki l ) + ki A4 ( ki a ) A2 (ki b)] = ki m Với b = l – a; Tương tự phần trước ta xác định thơng số ki, sau tìm ddwwocj tần số dao động riêng tương ứng CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO 3.4 Dao động cưỡng hệ chịu tải trọng tập trung : 3.4.2 Dao cưỡng chịu lực kích động tuần hồn: Tương tự phần trước, khối lượng mj phát sinh lực quán tính: Zj(t) = Zjsinq t với biên độ Zj = mjq 2y(a) Biên độ lực quán tính Zj tải trọng Po xem điều kiện gián đoạn tải trọng z = a vị trí đặt lực P0sinqt áp dụng phương trình biết cho đoạn Q trình tính tốn đến hồn tất hoàn toàn tương tự ... với tần số wi CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ SỐ BẬC TỰ DO 3.2.1 Trường hợp EI = const : Phương trình vi phân dao động có dạng: m (z)  y ( z, t )  y( z, t ) + =0 EI z t Nghiệm phương trình. .. phần trước ta thu dạng dao động riêng hình vẽ: z l y y1 (w1) y3 (w3) y2 (w2) 0,5001l 0,7739l 0,8679l CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO 3.2 Dao động cưỡng hệ chịu lực kích thích tuần hồn... kA4 (kz) Qo A1 (kz) A2 (kz) k CHƯƠNG 3: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ VƠ SỐ BẬC TỰ DO 3.4 Dao động cưỡng hệ chịu tải trọng tập trung : yi(a) 3.4.1 Dao động riêng: Xét thẳng có khối lượng phân bố đều, tiết