Bài giảng ổn định công trình chương 3 ổn định của dầm chịu uốn ngang phẳng

Chương ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG ỔN ĐỊNH CỦA DẦM CHỊU UỐN NGANG PHẲNG Các giả thiết: Vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi ổn định tiết diện dầm không thay đổi hình dạng (bản bụng dầm không bị vênh) Dầm có tiết diện hẹp, chịu uốn mặt phẳng yOz , có độ cứng EJx EJy chênh lệch nhiều  ổn định dầm bị uốn hai mặt phẳng xOz yOz đồng thời bị xoắn mặt phẳng xOy 3.1 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn túy 3.1.1 Dầm có hai đầu đặt tự hai gối tựa m a) u My1 M M c) z y m L θ y1 Mx1 v M x1 y d) u b) Mx1 Mz1 x My1 γ M z1 z1 My1 Mz1 x1 y1 Hình 3.1 • Giả thiết dầm đặt tự hai gối tựa tiết diện gối có liên kết cản trở không cho tiết diện xoay mặt phẳng xOy • Qui ước chọn chiều dương moment uốn xoắn H 3.1d • Khi M < Mth  dầm bị uốn mặt phẳng yOz • Khi M = Mth  dầm bị ổn định bị cong khỏi mặt phẳng uốn ban đầu yOz  uốn mặt phẳng xOz tượng xoắn mặt phẳng xOy 3.1 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn túy 3.1.1 Dầm có hai đầu đặt tự hai gối tựa Các phương trình vi phân uốn xoắn tương ứng có dạng: M x1 d 2v =− EJ x dz M y1 d 2u =− EJ y dz dθ M z = dz GJ z (3.1) (3.2) (3.3) Trong đó: EJx, EJy - độ cứng uốn dầm trục x y GJz – độ cứng xoắn dầm Jz = bh b (1 − 0.63 ) h 3.1 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn túy 3.1.1 Dầm có hai đầu đặt tự hai gối tựa Với dầm có tiết diện chữ nhật hẹp: bh b Jz = (1 − 0.63 ) h Xác định moment Mx1, My1, Mz1  chiếu vectơ momen M lên trục x1, y1, z1 • Từ Hình 3.1b 3.1c ta được: Mx1 = M cosθ ≈ M My1 = M sinθ ≈ Mθ Mz1 = M sinγ ≈ M Thay giá trị vào Pt (3.1), (3.2), (3.3) ta được: d 2v M = − EJ x dz (3.4) d 2u Mθ = − dz EJ y (3.5) dθ M du = dz GJ z dz (3.6) du dz d 2u dx 3.1 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn túy 3.1.1 Dầm có hai đầu đặt tự hai gối tựa Hai phương trình (3.5) (3.6) phương trình xuất ổn định Lấy đạo hàm Pt (3.6) thay giá trị d2u/dx2 từ Pt (3.5) ta phương trình vi phân theo chuyển vị θ sau: d 2θ + kθ = dz Nghiệm Pt (3.7) có dạng: θ = Asinkz +Bcoskz Trong đó: k=M EJ y GJ z (3.7) (3.8) Điều kiện biên: z = z = L, θ = 0,  B = Asinkz = • • Nếu A = θ = 0, lúc dầm không bị ổn định Dầm ổn định A ≠  sin(kL)=  kL = π, π, π … 3.1 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn túy 3.1.1 Dầm có hai đầu đặt tự hai gối tựa  Momen uốn tới hạn nhỏ tương ứng với k = π π M th = EJ y GJ z L (3.9) • Công thức cho thấy Mth không phụ thuộc độ cứng EJx • Kết luận với giả thiết độ võng v nhỏ giả thiết thích hợp trường hợp tiết diện hẹp, tức tỉ số b/h nhỏ • Nếu tỉ số b/h lớn ảnh hưởng uốn mặt phẳng yOz đáng kể bỏ qua 3.1 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn túy 3.1.1 Dầm có hai đầu ngàm • Đường biến dạng mặt phẳng xOz Hình 3.2 z x L/2 L Hình 3.2 • Khỏang hai điểm uốn với chiều dài L/2 dầm làm việc giống trường hợp dầm tựa đơn có chiều dài L/2  Momen tới hạn cho bởi: 2π M th = L EJ y GJ z (3.10) 3.2 Ổn định dầm có tiết diện hình chữ nhật hẹp chịu nén lệch tâm 3.1.2 Dầm có hai đầu tựa đơn v m  xuất hiện tượng uốn mặt phẳng xOz tượng xoắn quanh trục P P m • Khi P = Pth  bị ổn định e • Momen uốn xoắn: L y Mx1 = P(e+v) ≈ Pe = M u Mz1 x Mx1 M Hình 3.3 z γ z1 My1 = Mθ + Pu M z1 = M du dz (3.11) (3.12) (3.13) • Thay giá trị vào Pt (3.2) (3.3)  hai phương trình vi phân để xác định lực tới hạn 3.2 Ổn định dầm có tiết diện hình chữ nhật hẹp chịu nén lệch tâm • Phương trình vi phân để xác định lực tới hạn d 2u Mθ + Pu = − EJ y dz (3.14) dθ M du = dz GJ z dz (3.15) Tích phân phương trình (3.15) ta có: θ= M u + C1 GJ z • Điều kiện biên: z = 0, θ= u = Từ suy C1 = θ= M u GJ z (3.16) 3.3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng 3.3.2 Dầm có đầu ngàm, đầu tự  Trường hợp dầm chịu tải trọng phân bố q tòan chiều dài (ql ) th = 12.85 EJ y GJ z L Tải phân bố theo qui luật tam giác q = qo (3.41) z L 52.8 qth = EJ y GJ z L (3.42) 3.3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng 3.3.2 Dầm có đầu ngàm, đầu tự  Trường hợp chiều cao dầm thay đổi theo luật : • Khi tải trọng phân bố : z h = ho   L n (ql ) th = m L3 EJ y GJ z (3.43) Pth = m L3 EJ y GJ z (3.44) • Khi tải trọng tập trung đặt đầu tự do: Trong hệ số m phụ thuộc dạng tải trọng trị số n Trị số m tìm theo Bảng 3.4 Bảng 3.4 n m 1/4 1/2 3/4 Tải trọng phân bố 12.85 12.05 11.24 10.43 9.62 Tải trọng tập trung đặt đầu tự 4.013 3.614 3.214 2.811 2.405 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I Xoắn tự a) d) u Mz Mz Q m x z b) y m Q Mz Mz z x h Q y1 θ x1 y Xoắn kiềm chế L xoắn kiềm chế, biến dạng xoắn có gây biến dạng uốn phụ kèm theo 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I  Phương trình vi phân liên hệ momen xoắn ngọai lực góc xoắn • Khi dầm chữ I bị xoắn kiềm chế momen xoắn ngọai lực cân với hai momen: Mz1 = M1 + M2 (3.45) • Momen M1 ứng suất tiếp phát sinh có biến dạng xoắn : M = GJ z dθ dz (3.46) Trong Jz momen quán tính xoắn tiết diện Jz = 3 bt + ht b 3 b t - bề rộng bề dày đế H tb – chiều cao bề dày bụng • Momen M2 lực cắt đế Lực cắt phát sinh đế bị uốn J *y = tb ≅ Jy 12 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I • Chuyển vị u theo phương x đế phía tiết diện cắt m – m Hình 3.7d u = hθ (3.47) * • Moment quán tính trục y đế : J y tb J = ≅ Jy 12 * y d 3u * h d θ Q = − EJ = − EJ y dz dz * y • Quan hệ vi phân lực cắt chuyển vị • Hai lực tạo thành ngẫu lực M2 h d 3θ M = Qh = − EJ dz * y (3.48) Thay giá trị M1 M2 Pt.(3.46) Pt (3.48) vào Pt (3.45) M z1 dθ * h d θ = GJ z − EJ y dz dz (3.49) 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3.4.1 Dầm chữ I chịu uốn túy: • Momen uốn momen xoắn dầm chịu uốn túy bằng: Mx1 = M, My1 = Mθ, M z1 = M du dz Thay đại lượng vào Pt (3.2) (3.48) d 2u EJ y = − Mθ dz dθ h d θ du * GJ z − EJ y =M dz dz dz Đạo hàm Pt (3.50) theo z khử u hai phương trình ta phương trình vi phân cấp 4: (3.50) (3.51) 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3.4.1 Dầm chữ I chịu uốn túy: d 4θ d 2θ − − θ =0 dz a dz t Trong đó: a= t4 = h EJ *y (3.53) 2GJ z EJ y EJ *y h 2M (3.52) th (3.54) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (3.59) có dạng: θ = C1sin mz + C2cosmz + C3 e nz +C4 e -nz, Trong đó: m= − n= 1 + + 2a 4a t 1 + + 2a 4a t (3.55) (3.56) (3.57) 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3.4.1 Dầm chữ I chịu uốn túy: • Nếu giả thiết đầu dầm xoay tự quanh trục x, y không xoay quanh trục z Bốn điều kiện biên để xác định bốn số tích phân Khi z = θ = momen uốn đế không u” = 0,  theo Pt.(3.47) ta có u” = ½ h θ” = d 2θ =0 dz Khi z = L, θ = d 2θ =0 dz Từ hai điều kiện đầu ta xác định C2 = 0, C3 = - C4, Nghiệm Pt (3.55) viết dạng: 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3.4.1 Dầm chữ I chịu uốn túy: θ = C1 sin mz + 2C3 shnz, Từ hai điều kiện cuối ta thiết lập hai phương trình nhất: C1 sin mL + 2C3 sh nL = - C1 m2sinmL + 2C3 n2shnL = Dầm ổn định khi: sinmL 2shnL -m2sinmL 2n22shnL sin mL(n +m2) shnL = 0, =0 Điều kiện thỏa với sin mL = 0, nghiệm nhỏ mL = π Từ Pt (3.56) ta được: π2 1 = − + + L2 2a 4a t (3.58) 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3.4.1 Dầm chữ I chịu uốn túy: Thay giá trị a t từ Pt (3.60) (3.61) vào phương trình ta công thức xác định momen tới hạn π a M th = EJ y GJ z + π L L Thừa số kể đến ảnh hưởng tượng uốn phụ đế K M th = L Trong đó: EJ y GJ z a2 K = π 1+ π L 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3.4.1 Dầm chữ I chịu uốn túy: Giá trị K phụ thuộc tỉ số L/a tìm theo bảng 3.5 Bảng 3.5 L2/a2 0.1 1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 K 31.40 10.36 7.66 5.85 5.11 4.70 4.43 4.24 L2/a2 16 20 24 28 32 36 40 100 K 4.00 3.83 3.73 3.66 3.59 3.55 3.51 3.29 L2 Khi L /a  K   π  a 2 >100  dùng công thức (3.9) 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3.4.2 Dầm chữ I chịu uốn ngang phẳng a) Dầm đặt tự hai gối tựa chịu lực tập trung đặt nhịp • Momen uốn xoắn tiết diện m – m có giá trị: M x1 P = z M y1 P = zθ M z1 = p du P z + (δ − u ) dz Thay giá trị vào Pt (3.2) (3.49) ta hai phương trình vi phân: d 2u P EJ y = − zθ dz h d 3θ P du P GJ z − EJ = z + (δ − u ) dz dz * y Khử u khỏi hai phương trình  phương trình vi phân cấp bốn  K Pth = L EJ y GJ z hệ số K phụ thuộc vào tỉ số a/L, a xác định theo công thức (3.53) 3.4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3.4.2 Dầm chữ I chịu uốn ngang phẳng b) Dầm đặt tự hai gối tựa chịu tải trọng phân bố tòan nhịp K (qL) th = L EJ y GJ z Trị số K cho sẵn Bảng (3.7), a xác định theo công thức (3.53) c) Dầm có đầu ngàm, đầu tự chịu tải trọng tập trung đặt trọng tâm tiết diện K Pth = L EJ y GJ z Trị số K cho sẵn Bảng (3.8), a xác định theo công thức (3.53) [...]... 21.01 24.10 29.11 37 .88 56.01 111.6 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng Dầm chịu tải trọng phân bố đều với cường độ là q trên tòan chiều dài nhịp • Công thức xác định lực tới hạn có dạng: 28 .3 (qL) th = 2 EJ y GJ z L (3. 35) 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng 3. 3.2 Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do  Lực tập trung P đặt tại trọng tâm của tiết diện... hẹp chịu uốn ngang phẳng 3. 3.2 Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do Nghiệm nhỏ nhất ứng với a = 1 .34 2  lực tới hạn Pth = 4.0 13 EJ y GJ z 2 L (3. 38)  Trường hợp lực P đặt cách trọng tâm một khỏang là d: Pth = K L2 EJ y GJ z (3. 39) Trong đó K là hệ số phụ thuộc vị trí của điểm đặt lực và có trị số cho trong Bảng 3. 3 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng 3. 3.2 Dầm có một đầu ngàm,... 3. 3.2 Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do • Phương trình vi phân để xác định tải trọng tới hạn d 2u EJ y 2 = Pzθ dx GJ x dθ du = − Pz − P (δ − u ) dz dz • Phương trình vi phân để xác định tải trọng tới hạn: Trong đó: d 2θ 2 + kz θ =0 dz 2 (3. 36) Pth2 k = EJ y GJ z (3. 37) 2 Nghiệm của phương trình này cũng có dạng tương tự như Pt (3. 29) 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng 3. 3.2... đại lượng trên vào Pt. (3. 2) và (3. 3)  các phương trình vi phân để xác định lực tới hạn 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng Dầm đặt trên hai gối tựa chịu lực tập trung P đặt tại trọng tâm tiết diện ở giữa nhịp • Phương trình vi phân để xác định lực tới hạn d 2u P EJ y 2 = − zθ 2 dz GJ z dθ P du P = z + (δ − u ) dz 2 dz 2 (3. 22) (3. 23) Lấy đạo hàm Pt. (3. 23) theo z ta được d 2θ... 0 d EJ y L GJ z K 4.0 13 0.0 031 0.0887 0.164 0. 238 0 .32 2 0.425 0.568 0.791 1.224 2.485 4.0 3. 6 3. 2 2.8 2.4 2.0 1.6 1.2 0.8 0.4 Điểm đặt lực ở phía dưới trọng tâm d EJ y L GJ z K 0 0.114 0 .32 0 0.9 23 ∞ 4.0 13 4.4 4.8 5.2 5.562 • Khi tỉ số d/L nhỏ  a EJ y  4.0 13  Pth = 2 EJ y GJ z 1 −  L GJ z  L   (3. 40) 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng 3. 3.2 Dầm có một đầu ngàm, một... Q = − EJ = − EJ y 3 2 dz 3 dz * y • Quan hệ vi phân giữa lực cắt và chuyển vị • Hai lực này tạo thành ngẫu lực M2 h 2 d 3 M 2 = Qh = − EJ 2 dz 3 * y (3. 48) Thay giá trị M1 và M2 trong Pt. (3. 46) và Pt (3. 48) vào Pt (3. 45) M z1 2 3 dθ * h d θ = GJ z − EJ y dz 2 dz 3 (3. 49) 3. 4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3. 4.1 Dầm chữ I chịu uốn thuần túy: • Momen uốn và momen xoắn trong dầm chịu uốn thuần túy bằng:... 3. 3.2 Dầm có một đầu ngàm, một đầu tự do • Các điều kiện biên: • Khi z = 0; u = δ, nên theo Pt. (3. 37) dθ =0 dz  c1 = 0 • Khi z = L; θ = 0  k 2 L4  k 4 L8 k 6 L12 co 1 − + − +  = 0 3. 4 3. 4.7.8 3. 4.7.8.11.12   • Điều kiện để cho hệ mất ổn định là co≠ 0 1− a + Trong đó: 3 2 3 3 a − a + = 0 14 154 Pth2 L4 k 2 L4 a= = 12 12 EJ y GJ z (3. 38) 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang. .. (3. 24) từ Pt. (3. 24) vào Pt. (3. 22)  phương trình vi phân theo θ d 2θ 2 2 + k z θ =0 2 dz (3. 25) P2 k = 4 EJ y GJ z (3. 26) 2 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng Dầm đặt trên hai gối tựa chịu lực tập trung P đặt tại trọng tâm tiết diện ở giữa nhịp • Viết nghiệm của Pt. (3. 25) dưới dạng chuỗi vô hạn: ∞ θ = ∑ ci z i (3. 27) i =0 Thay biểu thức (3. 26) và giá trị đạo hàm bậc hai của. .. Pt (3. 2) và (3. 48) d 2u EJ y 2 = − Mθ dz 2 3 dθ h d θ du * GJ z − EJ y =M 3 dz 2 dz dz Đạo hàm Pt (3. 50) theo z rồi khử u trong hai phương trình trên ta được phương trình vi phân cấp 4: (3. 50) (3. 51) 3. 4 Ổn định dầm có tiết diện chữ I 3. 4.1 Dầm chữ I chịu uốn thuần túy: d 4θ 1 d 2θ 1 − − θ =0 dz 4 a 2 dz 2 t 4 Trong đó: a= t4 = h 2 EJ *y (3. 53) 2GJ z EJ y EJ *y h 2 2M (3. 52) 2 th (3. 54) Nghiệm tổng... 0.271 0 .39 6 0.526 0.815 1 .30 2.78 19.2 22.4 25.6 28.8 32 35 .2 38 .4 41.6 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng Trường hợp lực P đặt tại tiết diện cách gối tựa một khỏang là Z Tương tự ta có kết quả: Pth = K L2 (3. 34) EJ y GJ z Hệ số K trong công thức này phụ thuộc vào vị trí Z/L của lực P và tìm được theo bảng 3. 2 Bảng 3. 2 Z/L 0.50 0.45 0.40 0 .35 0 .30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 ... 12.0 K 31 .40 10 .36 7.66 5.85 5.11 4.70 4. 43 4.24 L2/a2 16 20 24 28 32 36 40 100 K 4.00 3. 83 3. 73 3.66 3. 59 3. 55 3. 51 3. 29 L2 Khi L /a  K   π  a 2 >100  dùng công thức (3. 9) 3. 4 Ổn định dầm. .. EJ y GJ z (3. 38) 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng 3. 3.2 Dầm có đầu ngàm, đầu tự Nghiệm nhỏ ứng với a = 1 .34 2  lực tới hạn Pth = 4.0 13 EJ y GJ z L (3. 38)  Trường... dầm ổn định c1 ≠  1- a + a2 / 10 – a3 / 270 + … = Với: Pth L4 k L4 a= = 64 256GJ x EJ y (3. 30) (3. 31) 3. 3 Ổn định dầm có tiết diện chữ nhật hẹp chịu uốn ngang phẳng Dầm đặt hai gối tựa chịu