Bài giảng Thủy văn công trình - Chương 3

Bài giảng Thủy văn công trình - Chương 3: Thống kê xác suất ứng dụng trong tính toán thủy văn, trình bày các nội dung: khái niệm xác suất và tần suất, đại lượng ngẫu nhiên và luật phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên, khái niệm về mẫu và tổng thể, phương pháp chọn mẫu, hàm tần suất lũy tích và hàm mật độ tần suất,... Đây là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Xây dựng

Trang 1

Chương 3: Thống kê xác suất ứng dụng

trong tính toán thủy văn

THUỶ VĂN CÔNG TRÌNH

Khoa Thuỷ văn – Tài nguyên nước

Bộ môn Thuỷ văn – Tài nguyên nước

1

Trang 2

3.1 Khái niệm về xác suất và tần suất

1 Các khái niệm cơ bản

 Phép thử: Thực hiện một thử nghiệm và quan sát kết quả thực hiện đối với một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó trong cùng

một điều kiện nhất định

 Kết quả của một phép thử ngẫu nhiên gọi là biến cố ngẫu nhiên, hoặc nói ngắn gọn là biến cố / biến cố cơ bản Tập hợp các biến cố có thể xẩy ra trong một phép thử gọi là không gian biến cố

2

Trang 3

Phân loại biến cố

 Biến cố chắc chắn: là biến cố nhất định phải xuất hiện trong một phép thử

 Biến cố không thể có: là biến cố không thể xuất hiện trong một phép thử

 Biến cố độc lập: là biến cố mà sự xuất hiện của nó không phụ thuộc vào sự xuất hiện của các biến cố khác

 Biến cố phụ thuộc: là biến cố mà sự xuất hiện của nó phụ

thuộc vào sự xuất hiện của biến cố khác

3

Trang 4

Phân loại biến cố

 Biến cố tổng: biến cố C được gọi là biến cố tổng của hai biến cố A

và B nếu hoặc A xuất hiện, hoặc B xuất hiện, hoặc cả A và B cùng xuất hiện đều dẫn đến sự xuất hiện của C

 Biến cố tích: Biến cố C được gọi là biến cố tích của hai biến cố A

và B khi và chỉ khi cả 2 biến cố A và B đồng thời xuất hiện tạo nên

Trang 5

Xác suất

 Định nghĩa cổ điển: Xác suất xuất hiện của một biến cố

A nào đó bằng tỷ số giữa số biến cố cơ bản thuận lợi cho A xuất hiện trên tổng các biến cố cơ bản của không gian biến cố

Công thức tính xác suất của biến cố A theo định nghĩa cổ điển:

n là tổng số các biến cố cơ bản của không gian biến cố đang xét;

m là số biến cố cơ bản thuận lợi cho biến cố A xuất hiện

5

n

m A

P ( ) 

Trang 6

 Định nghĩa theo thống kê: Xác suất xuất hiện của một biến cố A nào đó là tần số xuất hiện của biến cố đó khi

số lần thực hiện phép thử tăng lên vô hạn

Công thức tính xác suất theo định nghĩa thông kê:

n là số lần thực hiện phép thử

m là số lần xuất hiện biến cố A

6

n

m A

P

n

lim

)(







Trang 7

3.2 Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên

nó nhận một giá trị có thể trong tập giá trị hay trong một khoảng trên trục

số với xác suất tương ứng của nó

Ký hiệu X = {x1, x2, x3, …, xn}

Phân loại:

khoảng xác định của nó

xác định của nó

7

Trang 8

2 Luật phân bố xác suất của ĐLNN và Hàm phân bố xác suất

8



Giá trị có thể của ĐLNN X 1 X 2 X 3 X… Xn Xác suất (P) P1 P2 P3 P… Pn

x

x x

X x

P x

Trang 9

2 Luật phân bố xác suất của ĐLNN và Hàm phân bố xác suất

f ( )

Trang 10

2

exp 2

1 )

f

m x

x



Trang 11

x1) Đồ thị luân đi lên

2 F(x) là hàm nghịch biến không tăng trên toàn trục số x2≥ x1 thì F(x2) ≤ F(

x1) Đồ thị luân đi xuống

3 F(x) = P(X≤ x) liên tục trái tại mỗi

o o

x

x 

o o

x

x  

Trang 12

4 Các đặc trưng biểu thị của đại lựng ngẫu nhiên (ĐLNN)

12

1: Kỳ vọng toán của ĐNN là mô men gốc bậc nhất của hàm

i

i p x x

1

) (

n

1

Trang 13

13

3 Hệ số thiên lệch

Đồ thị hàm mật độ có thể đối xứng(như phân bố chuẩn) hoặc không đối xứng quanh trục tung có gốc là kỳ vọng tính đối xứng được đánh giá momen bậc ba:

+ Đối với ĐLNN liên tục

+Đối với ĐLNN rời rạc

Hệ số thiên lệch ký hiệu Cs

dx x f m

x s

C







Trang 14

+ Đối với ĐLNN rời rạc

- Khoảng lệch quân phương

- Hệ số phân tán: là đặc trưng không thứ nguyên biểu thị độ phân tán của

ĐLNN so với kỳ vọng ký hiệu Cv

dx x

f m

1

i c

m

Trang 15

4 Các đặc trưng biểu thị của đại lựơng ngẫu nhiên (ĐLNN)

15

3 Hệ số thiên lệch

Đồ thị hàm mật độ có thể đối xứng(như phân bố chuẩn) hoặc không đối xứng quanh trục tung có gốc là kỳ vọng tính đối xứng được đánh giá momen bậc ba:

+ Đối với ĐLNN liên tục

+Đối với ĐLNN rời rạc

Hệ số thiên lệch ký hiệu Cs

Trang 16

3.3 Khái niệm về mẫu và tổng thể,

phương pháp chọn mẫu

thể nhận được là lớn vô cùng Tập hợp tất cả các giá trị mà ĐLNN X có thể nhận được gọi là tổng thể Ký hiệu: N

cả các giá trị của tổng thể mà chỉ NC trên một tập giá trị với số lượng rất nhỏ Tập hợp hữu hạn các

số liệu thu thập được của tổng thể gọi là mẫu

Ký hiệu: n

16

Trang 17

3.3 Khái niệm về mẫu và tổng thể,

phương pháp chọn mẫu

o Tính đại biểu : mẫu được chọn có những tính chất của tổng thể Muốn vậy, dung lượng mẫu phải đủ lớn đảm bảo sai số lấy mẫu; mẫu phải bao gồm các giá trị số đặc trưng lớn, nhỏ và trung bình

o Tính độc lập: các số liệu của mẫu không phụ thuộc lẫn nhau

o Tính đồng nhất: cùng loại, cùng nguyên nhân hình thành hoặc cùng điều kiện xuất hiện

17

Trang 18

3.4 Hàm tần suất luỹ tích và hàm mật độ tần suất

Trong thống kê toán thường chỉ thu được hữu hạn các gía

trị của ĐLNN (mẫu có dung lượng n) tức là thu được các giá trị rời rạc từ tổng thể mặc dù ĐLNN có thể là liên tục

Do vậy có thể dùng các công thức định nghĩa của ĐLNN

rời rạc để tính toán Các hiện tượng thủy văn là ĐLNN liên tục, các giá trị thu được rời rạc vì vậy trong thủy văn qui

ước cách gọi riêng: Xác suất gọi là Tần suất và theo đó có Hàm mật độ xác suất-Hàm mật độ tần suất; Hàm PPXS-

Hàm tần suất tích lũy

18

Trang 19

19

dùng trong Thủy văn

Hàm phân bố xác suất F(x) là xác suất để cho đại lượng ngẫu nhiên X nhận các giá trị lớn hơn hoặc bằng một giá trị x, trong đó x là biến số nhận các giá trị có thể trên miền xác định của nó

F(x) = P(X  x)

Trang 20

Trang 21

F x

x







Trang 22

X x

P x

f

Hàm mật độ xác suất

Trang 23

f(x)

Đồ thị hàm mật độ xác suất dạng quả chuông

Trang 24

Đặc điểm của đồ thị hàm mật độ xác suất

Hoàn toàn nằm trên trục hoành

Hình dạng đồ thị hàm mật độ tần suất có dạng hình quả

chuông

Hàm mật độ xác suất nhận trục 0x làm tiệm cận ngang

Có một giá trị cực đại

24

Trang 25

Trong thống kê toán học, thường chỉ thu được mẫu có dung lượng n (rời rạc)

Mẫu n đó được coi là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

F(xi) = P(X  xi) Được gọi là hàm tần suất luỹ tích

Đồ thị của nó thường được gọi là “đường tần suất”

25

Trang 26

Trang 27

Hàm phân phối xác suất Hàm tần suất luỹ tích

Trang 28

Sự khác nhau giữa tần suất và xác suất?

28

Trang 29

3.5 Ước lượng các tham số thống kê

29

1 Tham số biểu thị xu thế tập trung

- Số đông (Xđ): là trị số có xác suất xuất hiện lớn nhất(tương ứng với giá trị cực đại của hàm mật độ tần suất)

-Trị số trung bình: là ước lượng không chệch của kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên(n là dung lượng mẫu)

x

1

Trang 30

30

2 Tham số biểu thị xu hướng phân tán

- Khoảng lệch quân phương x:

1



x

x k

k n

Trang 31

C n

k

C x n

x x

3 (

) 1 (

) )(

3 (

) (

3 1

3

3 1

3

Trang 32

X0 của trạm A???

Trang 33

33

n

x x



n

C v x

1

6

v v

1 6 100

s

n C

Trang 34

3.6 Tần suất kinh nghiệm và đường TSKN

34

lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng x được ước lượng từ mẫu (chuỗi số liệu thực đo)

n

m x

X

P (  i ) 

Trang 35

35

Các công thức kinh nghiệm tính tần xuất thường dùng trong thuỷ văn:

Dạng tổng quát:

Công thức Hazen (a=0,5):

Công thức Chegôđaép (a=0,3):

Công thức Weibull (a=0):

a n

a

m x

X

2 1

5 ,

0 )

(

n

m x

, 0

3 ,

0 )

X

%

100 1

X

Trang 36

36

của biến ngẫu nhiên

- Đường tần suất kinh nghiệm: là băng điểm điểm biểu diễn tần suất

xuất hiện của đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị X ≥ xi , Tần xuất được tính theo các công thức kinh nghiệm

- Đường tần suất lý luận:Đường cong trơn phù hợp với đường tần

xuất kinh nghiệm gọi là đường tần suất lý luận Đường tần suất lý

luận là đồ thị hàm phân phối xác suất.

Trang 37

37

Cách vẽ đường tần suất kinh nghiệm:

1 Sắp xếp chuỗi số liệu từ lớn đến nhỏ (đánh số thứ tự)

2 Tính tần suất theo 1 trong 3 công thức kinh nghiệm với

m là số thứ tự, n là số số liệu thống kê

3 Chấm các điểm P ~ xi (điểm kinh nghiệm)

Trang 38

Trang 39

39

Cách vẽ đường tần suất kinh nghiệm:

1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400

Trang 40

40

Giấy tần suất (Giấy Hazen):

FFC 2008 © Nghiem Tien Lam

Trang 41

3.7 Đường Tần suất lý luận

41

Đường tần suất kinh nghiệm chỉ phản ánh được quy luật phân bố xác suất của hiện tượng thuỷ văn trong phạm vi các giá trị thực nghiệm

Đường tần suất lý luận là đồ thị một hàm phân bố xác suất toán học mô tả phân bố xác suất của đại lượng ngẫu nhiên nhằm ngoại suy các giá trị nằm ngoài các giá trị thực nghiệm

Trang 42

a

e a

x y

C e

)(

)1(

Trang 43

43

• d: bán kính lệch (khoảng cách giữa trị số bình quân và

số đông)

• a: khoảng cách từ vị trí số đông đến giá trị nhỏ nhất

•Đồ thị của hàm phân phối Pearson III được gọi là đường

tần suất lý luận Pearson III (P-III)

d

x C

C a

s

v  

Trang 44

•d>0: lệch dương (đỉnh của hàm mật độ nằm bên trái trị số bình quân)

•d<0: lệch âm (đỉnh của hàm mật độ nằm bên phải trị số bình quân)

•d=0: đỉnh của hàm mật độ trùng với vị trí số bình quân

0

k - 1

2Cv Cs

C x

Trang 45

45

Hàm phân bố xác suất Pearson III

Hàm PPXS Pearson III F(X≥ x) được xác định bằng cách lấy tích

phân hàm mật độ Việc tích phân trực tiếp hàm mật độ rất khó

Trong thực hành tiến hành lập bảng tính (Xp ῀ P) theo công thức

Với p tra bảng Fôxtơ – Rưpkin (phụ lục 1) phụ thuộc Cs và P.

x C

Trang 46

Trang 47

Bảng tính đường tần suất lý luận

Trang 48

48

Luật phân bố xác suất Kritxki - Menken

Điều kiện xây dựng:

Lấy dạng hàm P-III với Cs = 2Cv làm cơ sở, xây dựng hàm mật độ Với a, b: hằng số

b a

x

e x

) (

1 x

Trang 49

49

Luật phân bố xác suất Kritxki - Menken

Điều kiện xây dựng:

Lấy dạng hàm P-III với Cs = 2Cv làm cơ sở, xây dựng hàm mật độ Với a, b: hằng số

b a

x

e x

) (

1 x

p

Trang 50

Phân biệt P-III với K-M?

50

 2 hàm phân bố đều có dạng hình quả chuông có một số

đông và đều dùng 3 đặc trưng thống kê: Xtb, Cv, Cs

 Khi Cs = 2Cv đường tần suất trùng nhau

 2 hàm đều có tiệm cận với trục hoành khi x  +, đầu

kia bị chặn tại x0 Với P-III, x0 có thể âm hoặc dương Với K-M, x0 = 0

Trang 51

3.7 Ảnh hưởng của tham số thống kê

51

1 Hệ số trung bình Xtb

Trang 52

52

2 Hệ số phân tán Cv

Trang 53

53

3 Hệ số thiên lệch Cs

Trang 54

3.9 Phương pháp vẽ đường tần suất lý luận

54

1 Phương pháp đường thích hợp

Trang 55

3.9 Phương pháp vẽ đường tần suất lý luận

55

2 Phương pháp 3 điểm

2 3

1

3 1

2 3

x x

x S

3 1

Trang 56

3.10 Phân tích tương quan tuyến tính

56

1 Khái niệm chung Khi NC các hiện tương thủy văn thường gặp trường hợp tài liệu có được quá ngắn Phân tích các đặc

trưng Thủy văn thấy chúng có mối quan hệ:

1) Quan hệ hàm số: Hai chuỗi X, Y có quan hệ hàm số Y = f(X) Mỗi một giá trị X, xác định được giá trị Y

0 5 10 15 20 25

0 1 2 3 4 5 6 7 8

X Y

Trang 57

57

0 2 4 6 8 10 12 14 16

9400 9450 9500 9550 9600 9650 9700 9750 9800

Qb (m3/s) Q(m3/s)

2) Không có quan hệ: Không tìm

được mối liên hệ nào giữa X và Y

3) Quan hệ tương quan: Tập hợp

nhiều số liệu thì quan hệ giữa X

và Y có tính quy luật và tạo thành

một xu thế nào đó

Trang 58

58

Đường hồi quy:

Giả sử có hai đại lượng X và Y có quan hệ thống kê với nhau, trong đó

Y là biến phụ thuộc còn X là biến độc lập Giả sử tiến hành n lần thí nghiệm hoặc quan trắc, sẽ nhận được n cặp số liệu như sau:

(x1, y1); (x2, y2); ; (xi, yi); ; (xn yn)

Yêu cầu thiết lập quan hệ tương quan tuyến tính giữa biến phụ thuộc Y theo biến độc lập X theo dạng tương quan thẳng (tương quan tuyến

tính)

Trang 59

59

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Trang 60

60

a Xác định phương trình hồi quy tuyến tính bằng giải tích

yi - y = yi – (b0+b1xi) Theo phương pháp bình phương tối thiểu, muốn cho đường thẳng phối hợp tốt nhất thì tổng bình phương của khoảng lệch phải nhỏ nhất, nghĩa là:

1

i y ) (y  y i b b x i

Trang 61

61

Giải hệ trên ta có nghiệm:

(

0

)) (

(

1

2 1

0 0

2 1

0

b

x b b

y

b

x b b

y

i i

i i

) x (x

)]

x (x

) y [(y

1

b

x )

x (x

)] x )(x

y [(y

y b

2 i

i i

Trang 62

62

 Thay b0, b1 vào được pt hồi quy tuyến tính Y theo X

 Phương trình hồi quy tuyến tính X theo Y

Trang 63

63

Hệ số tương quan r biểu thị mức độ tương quan chặt chẽ giữa hai

biến X và Y

r được tính theo công thức sau:

Hoặc

Giá trị 0 ≤ r ≤ 1 Đối với hiện tượng thuỷ văn, hai đại lượng X và Y

được coi là có quan hệ chặt chẽ với nhau khi

i i

) x (x

)]

x )(x

y

[(y r

y

y k

x

x k

k

i yi

i xi

i y

1

1 1

2 2

i x

i x i

y

) (k

)]

)(k [(k

r

Trang 64

64

Phương trình hồi quy viết gọn theo hệ số tương quan:

Với:

1 n

) x (x

σ

n

1 i

2 i

) y (y

σ

n

1 i

2 i

Trang 65

65

b Xác định phương trình hồi quy tuyến tính bằng đồ giải

1 Chấm điểm quan hệ thực nghiệm giữa hai đại lượng X và Y

2 Qua trung tâm nhóm điểm quan hệ kẻ đường thẳng sao cho phù

hợp nhất với các điểm kinh nghiệm và coi đường đó là đường

Trang 66

66

b Xác định phương trình hồi quy tuyến tính bằng đồ giải

Đường hồi quy xác định bằng phương pháp giải tích

Trang 67

67

Bài tập thực hành:

Lưu vực A tiến hành đo đạc Q từ (1990 – 2000) Lưu vực B tương tự liền kề tiến hành đo đạc Q từ (1990 – 2003) Kéo dài dòng chảy năm lưu vực A từ số liệu lưu vực B theo phương pháp tương quan

Trang 68

Câu hỏi thảo luận chương 3

68

1 Phân biệt khái niệm xác suất và tần suất

2 Khái niệm về đại lượng ngẫu nhiên, mẫu, tổng thể, nguyên tắc chọn

mẫu

3 Khái niệm phân bố tần suất đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, mật độ tần

suất (liên tục), đường tần suất kinh nghiệm, lý luận, các hàm phân bố PIII và K-M

4 Các công thức tính tần suất kinh nghiệm

5 Các tham số thống kê và ảnh hưởng của tham số thống kê đến đường

tần suất, ứng dụng

6 Các phương pháp vẽ đường tần suất

7 Khái niệm về tương quan thống kê, đường hồi quy, cách xác định, hệ số

tương quan

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	8,74 MB