Bài giảng động lực học kết cấu

Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng ( nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, giat ốc …) trong kết cấu khi chịu tác dụng của các nguyên nhân động.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG HCM KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG BỘ MÔN SỨC BỀN KẾT CẤU PGS.TS. ĐỖ KIẾN QUỐC BÀI GIẢNG MÔN HỌC ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU “DYNAMICS OF STRUCTURES” Tài liệu tham khảo 1. Clough R. W., Penzien J., Dynamics of Structures, McGraw-Hill, 1993 (1975). 2. Chopra A. K., Dynamics of Structures, Prentice-Hall, 2001, (1995). 3. Buchhold H., Structural Dynamics for Engineer, Thomas Telford, 1997. 4. Geradin M., Mechnical vibrations and Structural dynamics, Belgian, 1993. 5. Rao S. S., Mechnical Vibrations, Addison-Wesley Publishing Company, 1990. CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 1.1 NHIỆM VỤ MÔN HỌC Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của các nguyên nhân động. 1.2 TẢI TRỌNG ĐỘNG Khái niệm: Tải trọng động là tải trọng thay đổi theo thời gian về trị số, phương, vị trí, gây ra ứng suất, chuyển vị… cũng thay đổi theo thời gian. Phân loại: - Tải trọng tiền định (Deterministic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật biến đổi theo thời gian P = P(t). Thí dụ: Tải trọng điều hòa, chu kỳ, không chu kỳ, xung…được mô tả theo qui luật cho trước. - Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật xác suất và các đặc trưng xác suất như giá trị trung bình, độ lệch chuẩn… Thí dụ: tải trọng gió, sóng biển, lực động đất…. Bài toán ĐLHKC chịu tải trọng ngẫu nhiên được giải quyết bằng lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory). Các thông tin cần tìm bao gồm ứng suất, chuyển vị, cũng mang tính ngẫu nhiên với các đặc trưng xác suất giá trị trung bình, độ lệch chuẩn… Nói chung, các tải trọng trong thực tế đều mang tính chất ngẫu nhiên ở mức độ khác nhau, và được xác định bằng phương pháp thống kê toán học. Các quan điểm phân tích động lực học: Phân tích tiền định, phân tích ngẫu nhiên và phân tích mờ (Fuzzy Analysis). 1.3 ĐẶC THÙ CỦA BÀI TOÁN ĐỘNG Bài toán tĩnh: nội lực được xác định từ sự cân bằng với ngoại lực, không cần dùng đường đàn hồi nên mang tính chất đơn giản. Ứng suất và chuyển vị không phụ thuộc thời gian. Tĩnh Động q(t)= r y(t) P(t) P Bài toán động: ngoại lực bao gồm lực quán tính phụ thuộc vào đường đàn hồi y = y(x,t). Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân, phức tạp về toán học, khối lượng tính lớn, phải bắt đầu từ việc xác định y(x,t). Nhận xét: Bài toán tĩnh (bao gồm cả bài toán ổn định) là trường hợp đặc biệt của bài toán động khi lực quán tính được bỏ qua. 1.4 BẬC TỰ DO CỦA KẾT CẤU Bậc tự do động lực học (Number of dynamics degrees of freedom) của kết cấu là số thành phần chuyển vị phải xét để thể hiện được ảnh hưởng của tất cả các lực quán tính. Bậc tự do được định nghĩa trong sự liên quan đến lực quán tính và do đó liên quan đến khối lượng. Số khối lượng càng nhiều thì càng chính xác nhưng cũng càng phức tạp. Chú ý: Bậc tự do động lực học khác với bậc tự do trong bài toán tĩnh (số chuyển vị nút của kết cấu). Thí dụ: cho kết cấu như hình bên, nếu P là tải trọng tĩnh thì số bậc tự do là 3, nếu P là tải trọng động thì số bậc tự do là vô cùng. Trong thực tế, các kết cấu đều có khối lượng phân bố nên có vô hạn bậc tự do, việc giải bài toán rất phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ. 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP RỜI RẠC HÓA 1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass) Thay thế hệ có khối lượng phân bố (a) thành các khối lượng tập trung (b) theo nguyên tắc tương đương tĩnh học. Đây là phương pháp thường được dùng trong hệ kết cấu phức tạp. Khối lượng thường được thu gọn về điểm nút (thí dụ như hệ dàn). P(t) m(z) P(t) mm m 12 3 (a) (b) P Số bậc tự do của hệ tùy thuộc vào giả thiết về tính chất chuyển vị của hệ và tính chất quán tính của các khối lượng m i . Chẳng hạn, xét hệ (b) là hệ phẳng: Nếu biến dạng dọc trục và m i có quán tính xoay: 9 BTD (3BTD/mass). Nếu coi m i là một điểm (không có quán tính xoay): 6 BTD (2 chuyển vị thẳng/mass). Bỏ qua biến dạng dọc trục nên chỉ có chuyển vị đứng: 3 BTD (1 chuyển vị đứng/mass). Chú ý: Độ phức tạp của bài toán động lực học phụ thuộc vào số bậc tự do. 1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Giả sử đường đàn hồi là tổ hợp tuyến tính của các hàm xác định ψ i (x) có biên độ Z i như sau: ∑ ∞ = = 1 )()(),( i ii xtZtxy ψ (*) trong đó: ψ i (x) : Hàm dạng (Shape Functions) Z i (t) : Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates) Hàm dạng ψ i (x) được tìm từ việc giải phương trình L Z 2 Z 3 y(x,t) ψ 1 (x) Z 1 ψ 3 (x) ψ 2 (x) ( ) sin 1, 2, ., i ix x in L π ψ == vi phân đạo hàm riêng, hoặc do giả thiết phù hợp với điều kiện biên. Khi tính toán thường giữ lại một số số hạng đầu tiên của chuỗi (*) và hệ trở thành hữu hạn bậc tự do (Z i đóng vai trò bậc tự do). 1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn (Finite Element Method - FEM) Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp tọa độ suy rộng, trong đó: - Z i là các chuyển vị nút (Tọa độ suy rộng). - ψ i (x) là các hàm nội suy (Interpolation Functions) các phần tử - Hàm dạng. Thường các hàm nội suy ψ i (x) được chọn giống nhau cho các phần tử (ứng với cùng một bậc tự do) và là hàm đa thức nên việc tính toán được đơn giản. Đặc biệt, do tính chất cục bộ của các hàm nội suy nên các 32 1 4 5 v 3 =1 ψ 3v (c) ψ 3v (b) a b c d θ 3 =1 ψ 3 θ (c) ψ 3 θ (b) phương trình ít liên kết (uncoupled) với nhau làm giảm nhiều khối lượng tính toán. 1.6 CÁC PHƯƠNG PHÁP THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG 1.6.1 Nguyên lý D’Alembert Xét khối lượng m i (i=1,n) chịu tác động của lực P i (t) có chuyển vị v i (t) và gia tốc )(tv i  . Nếu đặt thêm lực quán tính thì khối lượng m i sẽ cân bằng: 0)()( =− tvmtP iii G  G (1.1) Nếu hệ có n bậc tự do thì sẽ có n phương trình vi phân chuyển động. 1.6.2 Nguyên lý công khả dĩ Cho khối lượng m i (i=1,n) một chuyển vị khả dĩ δ v i , công khã dĩ δ W của các lực tác dụng lên m i (cân bằng) trên chuyển vị δ v i phải triệt tiêu: ∑ =− 0)]()([ iiii vtvmtP G G  G δ (1.2) Nguyên lí công khả dĩ thích hợp cho hệ phức tạp gồm các khối lượng điểm và khối lượng có quán tính xoay. Các số hạng trong phương trình là các vô hướng (scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector. Nếu cho hệ các chuyển vị khả dĩ i v δ lần lượt theo các bậc tự do sẽ thu được n phương trình vi phân của chuyển động. Ký hiệu công khả dĩ của ngoại lực P i (t) là δ W, từ (1.2) ta có biến phân công khả dĩ: ∑∑ == iiii vtvmvtPW δδδ )]()(  (1.3) 1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1]) Xét hệ gồm các khối lượng m i (i=1, n) có các chuyển vị v i (t) ở hai thời điểm t 1 và t 2 , chuyển vị có các trị số v i (t 1 ) và v i (t 2 ) tương ứng với hai đường biến dạng (b) và (c). Đường biến dạng (d) ứng với t = t 1 + ∆ t < t 2 . Đường biến dạng thật tuân theo định luật II Newton. Đường lệch trùng với đường thật tại hai thời điểm t 1 và t 2 : δ v 1 (t 1 ) = δ v 1 (t 2 ) =0 (1.4) Động năng của hệ tại thời điểm t: )( 2 1 1 2 i n i ii vTvmT  == ∑ = Biến phân của động năng δ T tương ứng với biến phân của chuyển vị δ v i : δ T= 11 nn i iiii ii ii i ii i i i dv Td vmvv mv mv v Vdtdt δ δδ δ == ∂ == ∂ ∑∑ ∑ ∑    (1.5) Mặt khác, ta có đồng nhất thức: () ii ii i i dd vv vv v v dt dt δ δδ =+  Nhân cả hai vế với m i và lấy tổng cho toàn hệ: ∑ + ∑ = ∑ i iii i iii i ii v d t d vmvvmvvm d t d δδδ  )( WTvvm d t d i iii δδδ += ∑ )(  (1.6) Nhân hai vế với dt và lấy tích phân từ t 1 đến t 2 : ∫ += ∑ 2 1 2 1 )( t t t t iii dtWTvvm δδδ Theo trên vì δ v i (t 1 ) = δ v i (t 2 ) = 0 với mọi i nên vế trái triệt tiêu: 0)( 2 1 = ∫ + t t dtWT δδ (1.7) Nếu ngoại lực tác dụng trên hệ gồm lực bảo toàn (lực thế) và lực không bảo toàn (thí dụ lực m 1 m 2 m 3 m 4 v v v 1 2 3 v 4 v (t ) 1 1 v (t ) 1 2 t= t 1 t= t 2 t=t + ∆ t < t 1 2 v(t + D t) 1 1 d v 1 2 d v 3 d v 4 d v thật (a) (b) (c) (d) 1 1 t t 2 t + ∆ t 1 1 1 v(t + ∆ t) v (t ) 1 21 v (t ) 1 v (t) 1 t d v (t + ∆ t) 1 1 Đường lệch v(t)+ d v 1 1 Đường Newton (thật)