Cao học - Bài tập/Bài giải động lực học công trình

Tổng quan tính dao động của khung phẳng - Phương pháp năng lượng RayLeigh - Phương pháp Sigalov - Phương pháp phần tử hữu hạn - Phương pháp sai phân hữu hạn - Phương pháp thay thế khối lượng

Trờng đại học xây dựng Khoa xây dựng dân dụng & c«ng nghiƯp o0o BàI TậP động lực học công trình Gvhd: Ts.nguyễn văn phợng HọC VIÊN: NGUYễN ĐìNH TRUNG LớP : CH08XD Hà Nội, năm 2009 động lực học công trình Phần Lý THUYếT Đề tài :Tổng quan tính dao động hệ khung phẳng Có nhiều phơng pháp tính dao động hệ kết cấu chịu tác dụng tải trọng động nhằm thực đợc nhiệm vụ toán dao động: ã Xác định quy luật chuyển động khối lợng hệ kết cấu để kiểm tra điều kiện bền ã Xác định chuyển vị động hệ để kiểm tra điều kiện cứng ã Xác định tần số dao động riêng để kiểm tra khả xảy tợng cộng hởng Vậy nên việc giải toán dao động quan trọng có ý nghĩa thực tiễn Các phơng pháp tính phân thành hai loại phơng pháp: ã Phơng pháp tĩnh ã Phơng pháp lợng Phơng pháp tĩnh đợc xây dựng theo nguyên tắc cân tĩnh học cần bổ sung lực quán tính đặt khối lợng hệ đợc xác định sở nguyên lý D.Alembert Phơng pháp lợng đợc xây dựng sở nguyên lý bảo toàn lợng: Trong trình dao động, tổng động K khối lợng hệ U hệ đại lợng không đổi Trong vận dụng phơng pháp lợng thờng đợc xây dựng tên sở nguyên lý công Khung phẳng đợc xem nh hệ có cấu tạo từ hai loại phần tử dầm (phần tử ngang cột (phần tử đứng) Phần tử dầm chịu uốn chính, cột chịu nén Nguyễn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình nén uốn (khi có tải ngang), liên kết dầm cột thờng dạng nút cứng Trớc ta đT nghiên cứu phơng pháp xác tính tần số dao động riêng phân tử Phơng pháp xác: Khi xem khối lợng phân bố theo chiều dài dao dộng hệ khung đợc tính toán nh dao động hệ có bậc tự vô cùng, đồng thời trình tính toán đợc thực theo sơ đồ biến dạng hệ có kể đến dạng lực quán tính Việc áp dụng trực tiếp nghiên cứu để tính hệ khung phức tạp thực tế không áp dụng hệ khung nhiều tầng công trình thực tế Vì ta nghiên cứu phơng pháp đơn giản để xác định tần số khung, kể khung phức tạp Ta xuất phát từ phơng pháp tính khung chịu tải trọng tĩnh CHHKC: phơng pháp lực & phơng pháp chuyển vị Khi hệ có số bậc tự lớn toán tính dao động phơng pháp tính xác theo phơng trình vi phân dao động trở nên công kềnh, phức tạp Do với toán có số bậc tự lớn ta sử dụng phơng pháp gần mà kết không sai khác nhiều so với phơng pháp tính xác Trong phạm vi thu hoạch em xin trình bày số phơng pháp gần tính dao dộng cho hệ sau: Phơng pháp lợng RayLeigh Phơng pháp Sigalov Phơng pháp phần tử hữu hạn Phơng pháp sai phân hữu hạn Phơng pháp thay khối lợng Các phơng pháp cho kết tơng đối xác tần số i Xét dao động hệ khung chịu lực kích thích thay đổi theo thời gian P(t) Nguyễn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình Do có khối lợng phân bố theo chiều dài nên toán dao ®éng cđa hƯ khung cã sè bËc tù vô Dùng phơng pháp thay khối lợng để đa toán tính dao động hệ khung có số bậc tự hữu hạn Phơng pháp thay khối lợng: Thay khối lợng phân bố số khối lợng tập trung Chia thành nhiều đoạn thay khối lợng phân bố đoạn khối lợng tập trung theo hai cách sau: ã Tập trung khối lợng trọng tâm khoảng chia ã Tập trung khối lợng thành khối lợng tập trung đặt đầu đoạn chia.( Hay dùng theo cách số khối lợng đợc đặt vào vị trí đặc biệt không tham gia dao động làm giảm số bậc tự hệ.) Việc sử dụng phơng pháp thay khối lợng cho kết sai khác với cách tính xác 1%-2% xác định (Tần số dao động bản) sai số tăng nhanh xác định tần số riêng bậc cao Khi tính dao động cỡng theo sơ đồ khối lợng thay có tÇn sè cđa lùc kÝch thich θ < ω (tÇn số dao động riêng hệ) sai số nhá Nh− vËy ta chÊp nhËn mét sai sè cho phép để đa toán tính dao động hệ khung cã bËc tù n b»ng v« cïng vỊ toán tính gần dao động hệ có số bậc tự hữu hạn Việc phân tích dao ®éng cđa hƯ cã bËc tù b»ng n ®−ỵc đa khảo sát dao động n hệ tơng đơng hệ có bậc tự Để tập trung vào việc trình bày phơng pháp tính, em giải toán tính dao động riêng không cản a Phơng pháp lực tính dao động hệ khung Ta có phơng trình tần số (2.9): Nguyễn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình (m1 δ 11 − u i ) − − − − − − − m n δ 1n (m δ 22 − u i ) m n δ 2n − m1 δ 21 − − m δ 12 − − m1 δ n1 − m δ n2 − =0 − (m n δ nn − u i ) Trong đó: ã mk : khối lợng tập trung hệ, k=1, 2, , n ã ki : Chuyển vị khối lợng mk lực Z i = tác dụng tĩnh vị trí khối lợng mi gây ã mk = mk ; ki = ki mo o hệ số không thứ nguyên; mo , o giá trị chọn ã ui = mo o i2 Dùng phơng pháp lực để xác định ki : - Tại vị trí mi đặt lùc Z i = − - VÏ biÓu ®å m«men uèn M i Z i = gây hệ phơng pháp lực (Chọn hệ cách thay liên kết siêu tĩnh lực X1, X2, Xj với j bậc siêu tĩnh hệ.) - Tại vị trí mk đặt lùc Pk = − - VÏ biĨu ®å mômen uốn M k K k = gây hệ phơng pháp lực (Chọn hệ cách thay liên kết siêu tĩnh lực X1, X2, Xj với j bậc siêu tÜnh cđa hƯ.) − − - KÕt qu¶ δ ki =( M k ).( M i ) Khai triển định thức (2.9) để giải phơng trình tìm ui để xác định i Nguyễn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình Đối với hệ có bậc tự n ta tìm đợc n giá trị tần số dao động riêng ứng với tần số dao động riêng i có dạng dao động xác địhn chuyển vị y1i , y 2i , y ni khối lợng Để xác định chuyển vị y1i , y 2i , y ni khối lợng ta thay kết giá trị ui đT tìm đợc vào phơng trình (2.8) − − − (m1 δ 11 − u i ) y1i − − − − − − − m n δ 1n y ni = (m δ 22 − u i ) y 2i m n δ n y ni = − m1 δ 21 y1i − m δ 12 y 2i − − − m1 δ n1 y1i − m δ n y 2i − − (m n δ nn − u i ) y ni = Ta có hệ n ẩn số chuyển vị, có (n-1) phơng trình ( phơng trình phụ thuộc) Cho nên phải chọn giá trị ban đầu để xác định chuyển vị lại b Phơng pháp chuyển vị tính dao động hệ khung Ta có phơng trình tần số (2.9): (m1 δ 11 − u i ) − − − − − − m n δ 1n (m δ 22 − u i ) m n δ 2n − − m1 δ n1 − − m1 δ 21 − − m δ 12 − m δ n2 − =0 − (m n δ nn − u i ) Dïng ph−¬ng pháp chuyển vị để xác định ki : - Tại vị trí mi đặt lực Z i = - Vẽ biểu đồ mômen uốn M i Z i = g©y hƯ phơng pháp chuyển vị (Chọn hệ cách thêm vào hệ liên kết phụ để ngăn cản chuyển vị xoay, chuyển vị thẳng nút ) - Tại vị trí mk đặt lực Pk = - Vẽ biểu đồ mômen uốn M k K k = g©y hƯ phơng pháp Nguyễn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình - Kết ki =( M k ).( M i ) Khai triển định thức (2.9) để giải phơng trình tìm ui để xác định i Sau tiếp tục thực yêu cầu lại toán nh đT trình bày phần a Nhận xét: Việc khai triển định thức (2.9) giải hệ phơng trình tìm tần số dao động riêng, tìm chuyển vị phức tạp hệ có số bậc tự lớn Bên cạnh sử dụng phơng pháp lực phơng pháp vhuyển vị để vẽ biểu đồ mô men, nhân biểu đồ cịng sÏ cång kỊnh nÕu hƯ cã bËc siªu tÜnh lớn c Phơng pháp lợng Ray-Leigh Dựa vào nguyên ly bảo toàn lợng với đờng đàn hồi giả định trớc Khi dao động: - Tại vị trí xa điểm cân khối lợng đạt lớn Umax động K=0 - Tại vị trí cân khối lợng đạt động lớn Kmax U=0 Theo định luật bảo toàn l−ỵng: K+U=const ⇒ U max + = + K max ⇒ U max = K max Chän d¹ng dao ®éng yi ( z, t ) = y i ( z ) sin t Thế Umax: U max = Động : K max = EI ( y '' ( z)) dz i • m( z ).v z2 dz ; v = y z i ( z , t ) = y i ( z ).ω i cos ω i t 2∫ KÕt qu¶: ω i2 Ngun §×nh Trung –CHXD08 ∑ ∫ EI ( yi'' ( z)) dz = ∑ ∫ m( z) y ( z ).dz i động lực học công trình Biết đợc qui luật phân bố khối lợng m(z) phần tử thực tính tích phân với dạng dao động đT chọn ta tìm đợc tần số dao động riêng hệ Nhận xét: Phơng pháp lợng Rayleigh tính toán không phụ thuộc số bậc tự hệ mà phụ thuộc vào việc chọn dạng dao động riêng Việc chọn dạng dao động riêng phụ thuộc vào dạng đờng đàn hồi tải trọng tập trung, tải trọng phân bố hay tải trọng phân bố hình thang,tác dụng lên hệ khung d Phơng pháp Sigalov Phơng pháp Sigalov giả thiết sàn cứng, chuyển vị ngang với hệ khung Dao động khung không gian cho mặt khung đợc thay khung phẳng tơng đơng, độ cứng khung phẳng tơng đơng: ã §é cøng cét EI c = ∑ EI ci / tầng ã Độ cứng dầm EI d = EI i / tầng Khi chuyển vị xem góc xoay nút phạm vi tầng nh Trình tự bớc xác định gần tần số dao động hệ khung: - Buớc 1: Xác địhn độ cứng đơn vị dầm, cột tầng: ã EI kdi i = ; li: nhịp dầm li • EI kci i = ; hi: chiỊu cao tầng hi di k ci k - Bớc 2: Xác địhn tổng độ cứng đơn vị dầm, cột phạm vi tầng: ã Tổng độ cứng đơn vị dÇm tÇng thø k rk = ∑ ikdi (i ) ã Tổng độ cứng đơn vị cột tÇng thø k S k = ∑ ikci (i ) - Buớc 3: Xác định chuyển vị ngang tơng đối tầng thứ k P=1 đặt tầng thứ k gây Ck: Nguyễn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình (h1 + h2 )   h12 C1 =  +  12  S1 4.r1 + 0,33.S1   hk2 (hk + hk +1 )  Ck =  +  12  S k 4.rk  - Buíc 3: Xác định chuyển vị ngang tầng n y n = ∑ C k Qk − k =1 Gk (hk + hk +1 )hk +1 ∑ 48 rk n Qk: tổng lực cắt cột thuộc tầng thø k Qk = ∑ Pi - Buíc 4: Xác định tần số dao động riêng Đối với hệ khung nhiều tầng nhiều nhịp dạng biến dạng xem hệ lực gây Khi khung dao động khối lợng câu kiện cột, dầm, sàn đợc tập trung nút khung ®ã hƯ t¶i träng tËp trung P1, P2,…, Pn xem lực quán tính tơng ứng Lực quán tính tác dụng cao độ sàn Z(t) đợc phân tích thành lực quán tính phân bố cao độ tầng Theo giả thiết phơng pháp Sigalov đa công thức xác định tần số dao riêng ứng với dạng dao động riêng chính: ã = k1 yn ; ω ,3 = k 2,3 n mk C k Trong hệ số k lấy theo bảng sau: Tầng >7 k1 34,5 35,1 35,8 36,4 49,2 (n + 1).2n k2 4,35 4,55 4,65 4,72 k3 6,15 7,1 7,6 7,8 7,85 Nguyễn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình Nhận xét: Phơng pháp Sigalov cho phép xác định gần tần số dao động riêng khung cách thuận lợi phân tích tính toán kết cấu công trình thực tế e Phơng pháp sai phân hữu hạn Nội dung phơng pháp sai phân giải gần phơng trình vi phân dao động giải hệ phơng trình sai phân Để thực ta chia hệ thành nhiều đoạn , điểm chia thay đạo hàm sai phân để lập phơng trình sai phân tơng ứng Phơng trình vi phân biểu thị dao động tự mang khối lợng phân bố m, chiều dài l tiếi diện không đổi EI có dạng: d y( z ) m.l ω 4 − k y ( z ) = víi k = EI dz Chia thành n đoạn nhau, đoạn chia có chiều dài z , ta cã: l = n.∆z; ∆z = l.∆ξ ∆ξ = / n Phơng trình vi phân biểu thị gần dới dạng sai phân: y k4y = Phơng trình sai phân cho điểm chia thứ i: yi − − y i −1 + (6 − k4 ) y + y i +1 + yi + = víi i=1,2…,(n-1) n4 Nh− với điểm chia ta đợc phơng trình đại số tuyến tính Khi chia hệ thành n đoạn ta có (n-1) phơng trình sai phân với (n+1) ẩn số, cần bổ sung thêm hai điều kiện biên để có đợc hệ kín Để tồn dao động định thức hệ số hệ phơng trình không, khai triển định thức giải phơng trình với ẩn số k Sau tìm đợc k ta xác định tần số dao động riêng theo: Nguyễn Đình Trung CHXD08 ... Trung CHXD08 động lực học công trình *Xét dao dạng dao động phản xứng : +Vẽ biểu đồ momen : Mj Hệ tính định : kq = δ11 = ( M ).( M ) NguyÔn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình 1 1 l3 δ... hệ số hệ phơng trình không, khai triển định thức giải phơng trình với ẩn số k Sau tìm đợc k ta xác định tần số dao động riêng theo: Nguyễn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình k2 = l EI... Pk = − - VÏ biĨu ®å m«men uèn M k K k = gây hệ phơng pháp Nguyễn Đình Trung CHXD08 động lực học công trình - KÕt qu¶ δ ki =( M k ).( M i ) Khai triển định thức (2.9) để giải phơng trình tìm