Chương 44
DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ VÔ HẠN BẬC TỰ DO
§I XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG TONG QUAT HE VO HAN BAC TU DO Xét thanh thẳng có khối lượng phân bố bất kì m(x), độ cứng thay đổi EJ(x) chịu tải trọng động phân bố q(x.t) trên hình 3.1: a(x, t) LI ane 0 M(x), Eu(x) Gq(x.t) \ | | vy 1 9c (x,t) 4e a ab mr gat) li HN iiilẪt {ý Hình 3.1
Ta giả thiết rằng: khi dao động mọi điểm trên hệ đều dịch chuyển theo phương vuông góc với trục thanh Dao động ngang của hệ tại một thời điểm bất kì được xác định bằng đường đàn hồi của hệ đường đàn hồi này là hàm phụ thuộc vào hai biến số: tọa độ x và thời gian t
y = y(x,0)
Để xây dựng phương trình vi phân dao động của hệ ta sử dụng phương pháp tĩnh động trong đó có bổ sung vào hệ lực quán tính viết theo nguyên lí Đalambe Các lực tác dụng vào hệ bao gồm: êˆy(x,1) 3 on - Lực quán tính phân bố: q 0% 0 =-m,,) OGD
- Luc can chuyén dong (can nhot): q,(x,t)=C
- Lực đàn hồi phân bố tương ứng với chuyển vị động y(x,L) có xu hướng đưa hệ về vị
Trang 2qy(X.t) = Zl, a
- Tai trong dong: — q(x, t)
Viết phương trình cân bằng lực theo phương ditng: DY = 0, ta có: ~q„(X,)+ q,(%,1)+ qạ(, E) = q(x 0) (3-1) Đưa các thành phần lực cản, lực quán tính, lực đàn hồi ở trên vào phương trình cân bằng (3.1) sẽ được: ở? ꈰy(x.t t) ô“y(x,Ð) Øy(x,t) 2x2 | El 2C +m(x) 2 tang (x,t) (3-2)
Phương trình (3.2) là phương trình vi phân dao động tổng quát của thanh thắng - hệ vô han bac tự do chịu tải trọng động bất kì
Khi không xét tớt ảnh hưởng của lực cản, ta có:
2 ô? 2
°
S| 10 )——>—~ ax? “a +m(x) “x69 =a (x,t) (3-3) Khi tính dao động có xét đến ảnh hưởng của lực cản theo giả thiết độ cứng phức, ta có phương trình vi phân dao động tổng quát như sau:
2 2 2
(ay HEY 14 | 3 SI 0 “ai (x, t) (3-4)
Oo tt) ax? O X
§2, DAO DONG TU DO CUA THANH THANG 1 Phuong trinh dao động tự do tổng quát của hệ
Phương trình vị phân dao động tự do khi không xét tới ảnh hưởng của lực cản nhận được từ phương trình (3-3) khi không cé vế phải: 2? 2 =F? even 2h m(x 2 VOX0 _ 4 (3-5) Ax? X” ar Nghiệm riêng của phương trình vi phân (3-5) có thể biểu thị dưới dạng sau: y(x, t)= X(x) TH) (3-6) Trong đó:
X(x) - hàm chí phụ thuộc vào tọa độ x, nó biểu thị dạng uốn của dầm;
Trang 3Từ (3-6) ta lấy đạo hàm riêng cua y(x, L) theo thời gian và theo tọa độ: a? y(x,t) d?X(x) ~ 2 TT =2 Tự) 3-7) ox dx &y(x,t) đŸT — “an XG&) (3-8) Đưa các biểu thức (3-7) và (3-8) vào phương trình (3-5) ta được: dx? 2 2 2 d EIô)đ -T +m) 1 x <0 dx dt Chia cả phương trình trên cho tích m(x).X.T, sau khi biến đổi ta sẽ viết được dạng sau: 2 2 2m3] a SAE SS dị (3-9) m(x)X T
Từ (3-9) ta thấy: Vế phải của phương trình chỉ phụ thuộc vào thời gian t, còn vế trái
chỉ phụ thuộc vào tọa độ x Như vậy, muốn thỏa mãn phương trình (3-9), thì cả hai vế của phương trình này cùng phải bằng một đại lượng nào đó Ta kí hiệu đại lượng này là
œ” Từ đó, ta có thể rút ra hai phương trình sau: a ax dx? t6) z | , x dx m(x).X ar 5 dt? 2 Va À T = @ a 2 Suy ra: > EN) —o’m(x)X =0 (3-10) dx* dx d? 2 oT wT =0 (3-11) dt
Ta thấy phuong winh (3-11) giéng nhu phương trình ví phân dao động đối với hệ một bậc tự do, nghiệm của phương trình này có dạng:
T=A sim (@t + ) (3-12)
Trang 4Trong trường hợp tổng quát, phương trình vị phân (23-10) có các hệ số thay đối theo tọa độ Khi dầm có độ cứng không đối, phương trình (3-10) có dạng đơn giản hơn: d'X EJ———~øœ^m(x)X =0 (3-13) dx Nếu dầm có độ cứng không đổi và khối lượng phân bố đều, ta có: d°X xt” El ~@?—X=0 4m “_ 3-14
Phương trình (3-14) được giải quyết cụ thể ở §3
Như vậy, nghiệm cửa phương trình ví phân (3-5) được biểu thị dưới dạng (3-6) chính là nghiệm của hệ phương trình vị phân (3-10) va (3-11) Vì hệ có vô số bậc tự do, nên ta cũng tìm được vô số tần số dao động riêng Tương ứng với tần số dao động riêng œ;, ta có đạng dao động chính thứ ¡ ứng với hàm biểu thị dạng uốn X; và luật đao động T::
Y,(x,Ð=XcH =X;A;¡ sm (0,t†++,) (3-15)
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (3-5) sẽ là:
Yun=d Yo0=Y XT=¥ XAjsin (0, +y,) (3-16)
i=] = i=l
Phương trình (3-16) là phương trình đao động tổng quát của hệ vô số bậc tự do
Trong trường hợp kế đến ảnh hưởng của lực cản, phương trình vị phân dao động tự do
có dạng:
a? a*y(x,t) O° y(x,1) Oy(X,t)
2 E10) +m(Xx) a2 +C at =0 (3-17)
Ở đây xét trường hợp lực cản nhỏ, ứng với e < 1
Ta cũng biểu thị nghiệm dưới dạng (3-6) và tiến hành làm tương tự như trên, ta sẽ nhận được phương trình dao động tổng quát của hệ như sau:
Y(x.t)= S`Yœ,Ð = Se EX, A; sin (@, t+y,) (3-18)
i=] 1Ì
Trong đó: 0,
2 Tính chất trực giao của các dạng dao động riêng
Tương tự như đối với dao động của hệ hữu hạn bậc tự do, các dạng dao động riêng của
hệ vô số bậc tự do cũng có tính chất trực giao Biểu thức của tính chất trực ølao giữa các
dang dao động riêng được tìm trên cơ sở áp dụng nguyên lí công tương hỗ Betti đối với
các dạng đao động riêng
Trang 5Xét hai dạng đao động riêng ứng với hai tần số dao động riêng œ¡ và œ¡ Khi dao động tự do, ta xem hệ chịu tác dụng của các lực quán tính xem như ngoại lực (hình 3.2)
Với dạng chính thứ ¡, ta có chuyển vị của hệ:
YŒ&, Ð = X,T;= X; Á;¡ sm (@¡† + Y¡) Và lực quán tính phân bố:
Gig (Xt) =07 m(x)X;A; sin (@t+y;)
Với dạng chính thứ J, ta có chuyển vị của hệ:
Yiux, y= Xj Ajsin (ot + Tj) Va lực quán tính phân bố: qjg(Xt) =o; Mx) XjAj sin (@jt+yj) hs0 = sim, XAein(ej) Hinh 3.2
Áp dụng nguyên lí Betti vào hai trạng thái biến dạng ứng với hai dạng dao động đó, ta có:
[aig DO 0dx = f° gj (x t.ys (x, Ddx
Hay:
{i om, X; Aj sin(@t+7;) XjA,sin (at +y,)dx =
= Ệ @; m, Xx; Aj sin(w,t+y;) XA; sin (01+ y; dx
Sau khi don gian hai vé cho Aj Aj- sin (@L+ 7; ysin((@ jt + T¡)và chuyển vế, ta được:
(ø?-ø7} [i m(x)X, X,dx =0
Trang 6Vì các tần số dao động riêng có giá trị khác nhau œ, #(›, nên ta có thể viết biểu thức trên:
{m(x) X; X;dx = 0 (3-19)
Đó chính là biểu thức tính chất trực giao giữa các dạng dao động riêng
Dang dao động riêng thoả mãn điều kiện sau đây được gọi là dạng chuẩn:
[ m(x) X? dx =] (3-20)
Biểu thức (3-19) biểu thị tính chất trực giao của các dạng dao động riêng qua khối
lượng của hệ Tính chất trực giao giữa các dạng dao động riêng còn được biểu thị qua độ
cứng của hệ như sau:
j[EI@Xƒ | X;dx=0 (3-21)
3 Xac dinh A, va y¡ của phương trình dao động (3-16) Ta viết lại phương trình (3- L6):
y(x, t= s X, A; sm (@,tL+yj¡) (3-22)
i=l
Trong đó: A; và y¡ được xác định từ điều kiện ban đầu: Tại thời điểm ban đầu t = 0, ta có độ võng và tốc độ ban đầu của hệ là: y,(x) và v.(x) Trước hết ta tính đạo hàm theo
thời gian phương trình (3-22)
ÿ@&x,Ð= 3 X, A,@,cos(0,L+Y,) (3-23) i=l
Chú ý: các kí hiệu đạo hàm theo thời gian, ta để dấu chấm, và kí hiệu đạo hàm theo toạ độ ta để dấu phẩy
Thay các điều kiện ban đầu vào các phương trình (3-22) và (3-23), ta có:
Yu(x)= s Á, X; siny, (a)
i=l
V(X) = 5 A, X, ©, cosy; (b)
i=l
Để xác định A, và y, ta sẽ sử dụng biểu thức tính chất trực giao giữa các dạng dao động riêng Muốn vậy, ta nhân hai vế của phương trình (a) với m(x) X; dx rồi lấy tích phan từ Ö đến /:
=
Khai triển tổng phía trong bên vế phải của phương trình trên ta có:
Trang 7Ữ m(x)y„(x)X; dx = ƒ m(x)X; (A, X, siny, + A,X, siny, + + + A; X; sin y, + + A, X, sin y,) dx
Sử dụng tính chất truc giao (3-19), ta nhận được:
[ m(x)y,,(x) X; dx = {i m(x)A,X? sin y, dx [ m(x)y,„(x) X; dx
Hay: Aj sin yj = pS (3-24)
{ m(x) X? dx
Tương tự ta nhân hai vế của phương trình (b) với m(x)X, dx và cũng lặp lại quá trình như trên, ta sẽ nhận được: i m(x)v, (x) X; dx Aj cos y, = i (3-25) (0; [ my x? dx Từ hai biểu thức (3-24) và (3-25), ta suy ra: 2h m(X)y,(Œœ) X, dx Yj | ———r- (3-26) vn m,V, (x) X; dx _4 = Yi m@œ)v¿0) X m(X)v,(X) X; idx (3-27) — Í[ÍmAX?dx — Hoặc: ¡ [ m@œ)y,() X,dx Ai== 7 5 (3-27) sin y; fm, Xj dx Nếu đưa biểu thức (3-24), (3-25) vào (a) và (b) ta sẽ nhận được: ii m(x)y,(x) X; dx Yio) = Xi TT TT ——— J, m, Xj dx (3-28) ƒ m(x)v„(x) X; dx Wia(X)=X¡ ————— @-29) i ƒ m,X? dx oO ‘
Trang 8§3 DAO DONG TU DO CUA THANH THANG CÓ KHỐI LƯỢNG PHẦN BỐ ĐỀU VA TIET DIEN KHONG DOI
Trong trường hợp nay: m(x) = const, EJ(x) = const, phuong trình vị phân dao động tự đo (3-5) sẽ là: ê'y(x.Ð _m AP y(x.t) 1 5 (3-30) ox” CESS at " Phương trình vị phân biêu thị đạng uốn có đạng (3-14) được viết gọn ở dang sau: dX TK X=0 oy (3-31) dx đrong đó: 5 j = TH” 3-32 EJ Nghiệm của phương trình vị phân (3-3 1) có dạng:
X=Achkx +Bshkx +Csin kx + Dcos kx (3-33)
Đề tiện cho việc tính toán sau này, ta dat: l | A= > (C, +€5); B=— (C,+C,) | | Lúc này ta có thể biểu thị nghiệm như sau: X=CA,, + CB, + C3 G, + Cy Dy, (3-34) Ay = „ích kx + cos kx) | B = 5 (sh kx + sin kx) (rong đó: 1 > (3-35) Cy = ích kx — cos kx) l D = „ísh kx ~sin kx)
Trang 9Và: Ajy=l
Buy = Coy = Dio) = 9
Từ (3-34) ta có các đạo hàm:
X) =C,KD,, + CoKA,, + CK By, + CuK Cy
XY =C,K°C,, +CyK°D,, + CK? Ay, + CK By, (3-36) X”=C,K*B,, +CK°C,, +CK* D,, +C\K*A,,
Các hãng số C¡, C¿ C; C; được xác định từ điều kiện biên, giả sử tại x = 0, ta cd:
, , My ym Qo
Xe cat = Xoe Xig-0y = Bo, X so; = ` Xo) Ry
Thay các điều kiện biên trên vào các phương trình (3-34) (3-36) ta sẽ nhận được: 1 C, =X, C,=—0, TK M C;=- 2 ` C,=- Qo ` KˆEJ KE
Đưa lại các hàng số này vào (3-34) và (3-36) ta có phương trình chuyển vị và nội lực của hệ như sau: 9 M Q XO) =X,A,, +2 By, - 2 C,, - 2D kx K kx K}EJ kx KE] kx , , M , X (x) = X,KD,, +9, A, - Meg, 2- kx KEJ K.E ị (3-37) Q M(x) = ~EIX KOC, “BDO K Dy + MA +2 By | 3 2 , Q(x) = -EJ X,,K"B,, ~EJ0,K° C., +M, KD, + QA
Hai phương trình đầu của (3-37) là hai phương trình biến dạng, còn hai phương trình sau là hai phương trình nội lực Từ các điều kiện biên cụ thể của bài toán, ta sẽ xét điều kién dam bảo hệ dao động để nhận được các thông số K và từ đó sẽ xác định được các tân số đao động riêng của hệ
Thi dụ 3.1:
Xác định các tần số đao động riêng và phương trình dao động tổng quát của hệ cho 6 hình 3.4 hệ có khối lượng phân bố đều và tiết điện không đổi
1 Xúc dịnh các tân số dao động riêng: các điều kiện biên của dâm đơn giản - Tại đầu dim: x =0
[Xen =0
Trang 10- Tai cuoi dam: x = | EJ = const m = const _Š \ NI oo ` of ` a > — _ # yO oN am 2 N Soot Hinh 3.4 Thay điều kiện biên này vào phương trình thứ nhất và thứ ba của (3-37), ta được: 0, QO, , Xi = By K K EJ ye Dy = 9 Qo Mụ,, = =8,HJ K Dị, TT Dậu =U (a)
Điều kiện để cho hệ tồn tại đao động là 9, va Q,, phai khac không Do đó, định thức các hệ số tương ứng của hệ hai phương trình (a) phải bằng không: | l — By K ~ 3 — DỊ, D= KHI =() (b) | =EIED, kỉ —R, K kí
Sau khi khai triển định thức (b) và thay các hàm Bị, Dy, theo (3-35), ta sé nhan duoc
phương trình tân số sau:
Shk/ sin k/ = O (C)
Ta biết rằng: K luôn khác không nên k/ cũng luôn khác không và do đó Shkí # Ö vậy: sin k/ = 0
Trang 11Suy ra: k/ = in, vGii= 1, 2, 3 © (¡ nguyên và dương) Hay: K,= x I EJ ier’ JEH Thay (d) vào (3-32) ta sẽ có các giá trị tần số dao động riêng: œ; = — m Po [EI 9,87 [EJ i=l: Oo =-—5 —— =— — Pr m / Vm 2 * 39, 48 i=2 6y =2?.7— EY go, on [ED 5 “ VWm if m 3 fay > 2 i=3 028-5 JE a 90, —— ` z m i m 2 Xét định dạng dao động riêng
Phương trình dang dao dong cha dém được viết theo phương trình đầu của (3-37) có tính đến điều kiện biên đầu trái _Q; 0 Q 6 KỷEJ = 9B - 2D, = <2 | By, - 2 Dy, 3 Xi K Bux 7 K} aE] kịx K kịx Qo Dị, (e) Kj Từ phương trình đầu của (a) ta có: Qo : By = By KEI K,} Dy Ta thay B,, va D,, theo (3-35) và tính đến điều kiện Sin k/ = 0, thi sẽ nhận được: Q, KÈE 0, — K i
Thế giá trị này vào biểu thức (e), và thay tiếp các hàm Bị v Dị, theo (3-35), ta sẽ
viết lại (e) như sau:
0 8, imx
_ og +
X, = sinK,, = sin — (g)
1 i i
Ủng với các giá trị ¡ khác nhau, ta có các dạng dao động riêng tuong ting Trén hinh 3.4 mô tả một số dạng đao động riêng ứng với các tần số đao động riêng œ¡, @;, @; của hệ
Trang 12oD 6 1 ; y(x,1)= SA, —2-sin——sinw,t +7,) (h) it K, i Trong đó: A; và y, được xác định từ điều kiện ban đầu: Tait = 0, cd: y(x, t=0) = y,(x) V(x, t= 0) = v(x) Từ (3-26) ta có: f _ 1X I, m,y„(x)X;dx \, yy (x)sin 7p dx y, = arctg @, [= = ä[CIE 0), aX (1) j, m,v„(x)X;dx [, v,,(x)sin -— dx A, được xác định theo (3-27): / AMX A \ f, m.y„(x)X;dx I [ ¥o(x)sin ~~ dx siny; i, m, X;dx sin y; Po | sin? LEX dx kK, °° / 2 Ệ Y„(X)sin aT ax = 8 Ũ (k) fsiny, -*
Đưa (k) vào (h) ta nhận được phương trình dao động tự do của dầm đơn giàn khối lượng phân bố đều, tiết diện không đổi: = 2 ị _ HUX v(x,1U) => isiny, J, Yo(x)sin —~dx.sin(@it+y;) (m) i=l i
Thi du 3.2: EJ, = const
Xác định tần số và dạng dao động riêng m, = const
cua dam mot dau ngam mot dau khép, Dam 4 a
có khối lượng phân bố đều và tiết điện ƑF :
không đổi (hình 3.5)
Ta có điều kiện biên ở hai đầu dầm 1 ——— 2
Trang 13Thay các biểu thức (3-34) và (3-36) vào các hệ thức trên ta nhận được: C¡ = 0; C; = 0 vào hệ hai phương trình sau: C¿Cụ +C¿ Đụ =0 , w a CyAy +Cy By =0 Điều kiện để hệ dao động là định thức của hệ phương trình (a) phải bằng không: |Cy, Dụi =0 (b) Ay Bul Đưa biếu thức (3-35) vào (b) ta nhận được phương trình siêu việt sau đây để xác định tần số: tg kí = th k/ (c) Nghiệm của phương trình này là: (kl), = 3,927; — (&k),=7.069 4i 15,4 49,93 (kÙ,= H+! ‘m suy ra: @, = > 2 Ey » 5 = 2 jet wee (dd) 4 - F m ‘ Ư m Các dạng dao động riêng của đầm được xác định theo phương trình sau: X\(x) = A; [(sin Kj/ + sh K, /) (ch K, x - cos K, x) -
- (ch K, / + cos K; /) (sh Kj x - sin K; x)] (e) Trén hinh 3.5 m6 ta một số dạng đao động riêng của dầm Giá trị các tần số và dạng dao động riêng nhận được ở thí dụ (2-9) phù hợp với kết quả ở đây
$4 DAO DONG CUA HE VO HAN BAC TU DO CHIU TAC DUNG XUNG
Như đã biết, dưới tác dụng của xung tức thời hệ sẽ dao động tự do Phương trình dao động tự do tổng quát của hệ vô số bậc tự do được xác định theo (3-15):
YX = yvi(x= YX, Aj sin(ojtt+y,) (3-38)
i=l wel
Trong dé Aj va y, duoc xdc dinh từ điều kiện bạn đầu theo (3-26) và (3-27) vấn đẻ ở day la A, và y, được tính cụ thể như thế nào?
Ta biết rằng, tại thời điểm bạn đầu dưới tác dụng của xung lực phân bố trên hệ S(x) khối lượng phân bố của hệ sẽ nhận được vận tốc ban đầu:
_ S(X)
(x
909 m(x)
Và nếu ta xem rằng: Tại thời điểm bạn đầu chuyển vị của hệ bằng không, thì điều
Trang 14v(x.t=0)=y,(x)=0 ‘itz 3-39 Tại t = 0 (xt =0) =v, (x)= 5 (559) m({X) Dua các điều kiện ban đầu này vào (3-26) và (3-27) ta xác định được: 1 |, S)X,dx À¡ =— —————- (3-40) @; ƒ m(x)X; dx
Đưa phí trị y, và A; này vào phương trình (3-38), ta nhận được phương trình dao động cua hệ vô số bậc tự do chịu tác dụng xung:
xx, Í Sœ)X¡dx
Ms
y(X,t}= SI1@,† (3-41)
1 [ m(x)X; dx
Để thấy được sự tương tự với phương trình dao động chịu tác dụng xung của hệ một bậc tự do hệ hữu hạn bậc tự đo, ta nhân trên tử số và mẫu số của biểu thức (3-41) với m, rồi đặt: ƒ_ S(x)X;dx S,(x) =m, Xi TT ca (3-42) [_ m(x)X dx Ta viết lại phương trình (3-41) như sau: ye’ Si (Xx) i=) = M,Q,; sin Ot (3-43)
Thanh phan S(x) duoc goi la xung khai triển theo dạng chính thứ ¡ Phương trình
(3-43) con viet o dang sau: i S X) y(x.t) =) i=l My K, (0) (3-44) Trong do: Kud)= sino t (3-45) (9, Người ta cũng chứng mình được rắng: S(x)=# 5,0) (3-46) i}
Nếu xung tác dụng không phai thot diém t = 0 mà tai thoi diém t= +, thì phương trình đạo động tông quát của hệ sẽ là:
SSX)
Trang 15Lực đàn hồi của hệ khi chịu tác dụng của xung tức thời được tính qua lực quán tính:
4 2
qa th= > -m, EY OGY _ > S,(x).@, sin@;t (3-48)
i=l Ø ist
Thi du 3.3:
Xác định độ võng và mô men uốn lớn nhất §
trong dầm đơn giản chịu tác dụng của xung tức COT eo
thời phân bố đều theo trục dầm Dầm có khối #
Trang 16Phương trình dao động của hệ được tính theo (3-43): 4S.sin (=) 22 y(x.Ð= S ———————— -sin ( 0t) 2 n” EJ ỨU.I+ —~— —— Pom 4se &#& 1 Là 23
Hay: y(x,t) = == > — sin (= sin (1 @,t) (c)
m`NEJm i213 i° i
Trang 17đM(x) dx : 1 Ta thay: =O tak x= 2 do đó: 4S < f Minas = = >» * sin (i) = T YM jst 2 pial, | 3 5 7 ) _48 Ei nt m 4S {EJ a EJ Mu Tn ~~ —=S m 4 m §5 DAO ĐỘNG CƯỠNG BUC CUA HE VO HAN BAC TU DO CHIU TAI TRONG DONG BAT Ki
Phương trình ví phân dao động của hệ vô số bậc tự đo chịu tải trọng bất kì không xét tới ảnh hưởng của lực cản như đã biết (3-3): oe a y(xt a y(x,t She, ¬ om, = ) =qœ,Ð (3-49) Ta biểu thị nghiệm tổng quát của (3-49) dưới dạng tổng của các nghiệm riêng (3-6) y(xt)= ¥ X,(x) TF) (3-50) isl Duta (3-50) vào (3-49) ta có: ¥ [EI X"),-TN]' +d, m, X, COT) = 40,0 (3-51) sl I=} Nhân hai vế của phương trình (3-51) với X,(x) dx rồi lấy tích phân, ta được: ƒ [EI, X?@œ).T,(0]" X;œ)dx+ xo i=l f, Š [m, X,(x) 7,0] X,00dx = ƒ X;@q(x,04x (3-52) iv}
Trang 18Y,X,U= X;Á; sn(@,t + y;) vào phương trình vi phân dao động (3-5), sau khi tính đạo hàm và chuyển vế, ta nhận được: œïm,X,(X)A, sin{(@jt+y;¡)=[EJ,X?Œ)A; sỉn (0¡L+ }, | Don giản hai vế của phuong trinh trén cho A; sin(@,t +7; ), ta có; wm, X, (x)= [EJ,X/œ)] Nhân hai vế của phương trình này với XI dx rồi lấy tích phân: «we Ũ m.X;(x)dx = Ệ [EI,X?@œ)] X,(x)dx SUY Ta: 2 [[E1, X"(x)] X, (x) dx (3-54) [ my, X;(x)dx Bây giờ ta viết lại phương trình (3-53) ở dạng sau: f;(0ƒ, m.X?(dx)dx+T,(0 [[EJ,X?7@œ)] X;@œ)dx = [ X;(&)qG.0dx Chia hai vế của phương trình trên cho tích phan [ m,, X;(x)dx và sử dụng biểu thức (3-54), ta sẽ nhận được: ƒ.X,œ)q(x,0dx l 0 T,@)+@T(Đ)= 3 (3-55) m, A; (X)dx
Đây là phương trình có dang piống như phương trình vị phân dao động của hệ một bậc tự do Nghiệm của phương trình này
ma
| ¿4¡(X)q(x,1)dx
5 - SI1@,(†—1)dT (3-56)
0, J, m, X;(x)dx
Thế (3-56) vào (3-50) ta nhận được nghiệm tổng quát của dao động cưỡng bức hệ vô
số bac tu do chịu tại trọng bat ki: i ¬ A¡(ÄX X,(X)q(x.1)dx Y(xt=> Xj, OO) Ƒ \, tB—Ị G), - SI1@,(L— TT (3-57) ( | ƒ m, X? (x) dx
Để thấy được sựt ương tự với phương trình đao động của hệ một bậc tự do, hệ hữu hạn bạc tự do, ta nhân trên tử số và đưới mâu số của phương trình (3-57) với m, và đặt:
Trang 19Ệ X,()q(œ&,0dx
(3-58)
, m, X? (x) dx
qj (x,t) = m,X,(x)
qx,Ð gọi là tải trọng khai triển theo dạng chính thứ ¡ của tải trọng động phân bố bên ngoài tác đụng vào hệ; (3-58) có dạng giống với (2-130), ta có thể tìm được tải trọng khai triển q,(x, Ð) theo (3-58) như sau:
Đặt: Q(x.) = qi(X,Ù + qạ(Xx.Ù + + qŒX, + = Sq,@œ,Ð (a)
isl
Xem rang: q, (x,t) = m(x).X;, (x).a, (0) (b)
Đưa (b) vào (a):
q(x, t) = m(x)X, (x).@, (t) + m(x)X, (X).0, (1) + + m(x)X,(X).œ;Œ)+ = m(x)S°X, (x)œ,(Ð (C)
Nhân 2 vế của phương trình (c) với X,(x) sau đó lấy tích phân sẽ được:
(X,00q(%.Ddx = [/X,00mO0EX,(x).4,(Ndx (4)
i=}
Khai triển tổng bên vế phải của phương trình (d) và áp dụng biểu thức tính chất trực glao các dạng dao động riêng (3-19), ta có: [X,Coa(x, t)dx = {X;œ)m@œ) Xx, (x)0, (t)dx Suy ra: X,(x)q(x,t)dx X,(x)q(x,U)dx w(t) LOAN ay, mm (e) , [mœ).X (x)dx [m@X}(x)dx Đưa (e) vào (b) ta nhận được biểu thức (3-58) Ta xem: q(x, }) = q(x) ft) Khi do, phuong trinh (3-57) sé la: Yœp—y #0, 1 [fŒ)sino;(t—t)dr m Ty 0, (3-59) Hay: Yxney GK a (3-60) int My Trong đó: K„@) =-L [, f@)sino,(t-1) dt (3-61) a;
Trang 20qy(X.0 = 3 q,(x).K,() (3.62) ¡—] Trong đó: q,(x) được tính theo (3.58) không kế đến biến thời gian K,(t) được tính theo (2.140) | Biểu thức mômen uốn có thể được tính từ quan hệ vi phân sau: O*y(x,t) - M(x, t) = -EJ(x) OX
Phương trình dao động (3.57) cũng có thể nhân được từ việc sử dụng kết quả khi tính hệ vô số bậc tự do chịu tác dụng của xung tức thời (§4) Trên biểu đồ tải trọng tại thời điểm + ta tách ra một phân tố tải trọng:
dS, = q,(x, tT) dt
Xem rang: tai thoi diém t, hé chiu tac dung cia xung dS Ta tinh duoc chuyén vị do xung phân tổ gây ra dy (x, T) và do đó sẽ tính được y(x, t)
Khi hệ chịu tác dụng của các lực tập trung P/() đặt tại các tạo độ x, ta có thể thay thế các tải trọng này bang tai trọng phân bố tương đương ã(x,t), sao cho tải trọng tương đương sây ra dao động đối với hệ cũng giống với các tải trọng tập trung Ta thấy rằng: tích phân trên tử số của biểu thức (3.58) giống biểu thức xác định giá trị đại lượng nghiên cứu của đường ảnh hướng cho bởi phương trình X, do tài trọng phân bố q(x.t) gây ra Khi các tải trọng tập trung tác dụng, biểu thức xác định giá trị đại lượng nghiên cứu đối với phương trình đường ảnh hưởng X do các lực tập trung đó gây ra là:
m
» P,()X;(x,); m: số lực tập trung
i=l
Vì vậv ta có thể viết biêu thức tải trọng phân bố tương đương đối với dạng dao động riêng thứ nhu sau: 1n 3.Pj(0).X;@j) g(t) =m, X, (3.63) [m,Xỉdx 0 Thi du 3.4:
Xác định độ võng và mômen uốn lớn nhất trong dầm đơn giản chịu tác dụng của tải
trọng đặt đột ngột sau đó giữ nguyên giá trị trên hệ, tải trọng này phân bố dọc theo trục
đầm với quy luật:
Trang 22Tính tích phân trên tử số: ! } TX , IX | q,X;dx = q | sin -— sin —dx = a a“ k Ị i+ 1); i-1); ~_ 4 { cờ OF Da gs ¿Mu = on 7° 2 QO kh 122 aes khi t=] Thay các giá trị tính được vào biểu thức đ¿xy ta CÓ: qi 2 , ăn TÃ q,(x)=mxX, -—*-=aX, =q.sin— 1 Ì mi GA, =q ! 2 q›(X) = ga(X) =q(X)=0; 1>2
Điều đó có nghĩa là: Với dạng tải trọng phân bố theo trục dầm với quy luật sin trùng
Trang 23Thí dụ 3.5:
Xác định phương trình dao động của dầm cho trên hình (3.8) Dam có khối lượng phân bố đều tiết điện không đổi, chịu lực động tuần hoàn Psinrt Xác định độ võng lớn nhất
lor 3
khia=—, 1 =7
@ 4 Hinh 3.8
Khi hệ chịu tác dụng của lực động tuần
hoàn hệ số K,„() theo (3-61) được tính cụ thể như sau: P(t) = Psinrt 1 Sinrt K,,(t)=— [sin r Tsing; (t-t) dt= _ 5 (3-64) o, tý —T Thay hệ số này vào phương trình (3-60), ta có: = q(x) sinrt sim q,(X) (3-65) ist M, œ? —rỶ mist or Ở thí dụ (3-1) ta đã có tần số và đạng dao động riêng: om {ES 0, =i J E m X; =sin mx
Theo (3-63) ta xác định tai trong khai triển theo các dạng dao động riêng trong trường hợp hệ chịu tác dụng của tải trọng động tập trung: H"ì ` ima 3 BAN G) ix Posi qog=mX, 4 7 5 = msin i ƒ m, Xỉ dx i mi lọ 1 2 2P 11X ima = —sin s— ¬ / í / Thay giá trị nhận được vào (3-65) ta có phương trình đao động của hệ như sau: in imX ima sit sin sintt & 2P V(x = mi jy ys = Í 6 —T” —
Trang 25Chương 5
DAO DONG DAN DEO HE MOT BAC TU DO
§1 KHÁI NIỆM
Xét đến tính deo của vật liệu có ý nphĩa thực tiến lớn, đặc biệt đối với các công trình chịu tác đụng của tải trọng ngắn hạn Khi chịu tác dụng của tải trọng ngắn hạn cường độ lớn nhiều trường hợp cho phép biến dạng deo điều đó thích hợp với việc sử dụng công trình trong một thời gian ngăn của tài trọng động ngắn hạn tác dụng mà không bị phá hoại Bởi vì với tác dung của tải trọng ngăn hạn khi kết cấu bị biến dạng qua giai đoạn đàn hồi thì tại trọng động đã mất đi rồi Chính vì vậy tính kết cấu công trình chịu tải trọng ngăn han làm việc trong giải đoạn dẻo có ý nghĩa thực tiễn lớn
Trang 26-Khi tính kết cấu chịu tải trọng ngắn bạn ta thường phải xác định nội lực và chuyển vị lớn nhất trong hệ Như đã biết: Chỉ có các tần số thấp là có ảnh hưởng lớn đến quy luật chuyển động của hệ Vì vậy trong nhiều trường hợp tính dao động của hệ chịu tải trọng ngắn hạn ta chỉ hạn chế lấy số bậc tự do không lớn và thường lấy tần số thấp nhất, tức là ta tính hệ như hệ một bậc tự do Ở hệ một bậc tự do các hệ số động học được sử dụng rất tiện lợi, nó cho phép đưa bài toán động về bài toán tĩnh bằng thay thế tải trọng động bằng tải trọng tĩnh tương đương nào đó Ở chương I, khi xét hệ một bậc tự do ta đã biết: đối với hệ một bậc tự do trong giai đoạn đàn hồi chỉ có một hệ số động, hệ số này chung cho cả chuyển vị và nội lực của hệ Nhưng đối với hệ một bac tu do trong giai đoạn dẻo thì hệ số động chuyển vị khác với hệ số động nội lực, hệ số động nội lực cũng chính là hệ số động tái trọng Ta gọi hệ số động chuyển vị là K,, goi hé số động tải trọng là K,
taco Ky # Ky
Hệ số K, được xác định bảng quan hệ giữa chuyển vị cực đại trong hệ khi chịu tải trọng động: y„„v với chuyển vị do tải trọng tĩnh có giá trị bàng giá trị lớn nhất của tải trọng động gây ra: Vị: V ax — - mix é Ky == (4-1) Hệ số K„ được xác định bằng quan hệ giữa tải trọng tĩnh tương đương: P,¿ với giá trị lớn nhất của tài trọng động P.: | K 1 yy P
§2 DAO ĐỘNG PHI TUYỂN CUA HE CO LUC DAN HOI BAT KI 1 Phuong trinh vi phan dao dong
Xét dao động cua hệ một bậc tự do có mô hình đơn giản cho trên hinh 4.2a Dac trung
đàn hồi có dạng phi tuyến bat ki duoc phan ảnh trên hình 4.2b Vì đặc trưng đàn hỏi phi tuyên nẻn đạo động của hệ được xét là dao động phi tuyến (phí tuyến vat li), Phuong
trình ví phân chuyển động của hệ được xây dựng trên cơ sở nguyên lí Đalãmbe từ điều IP(U > Ly - * , + z z “ “ t 1
Kien cần băng của các lực trong đó có kèđến : |
lực quán tính được viết như sau: J1 Y | | | 3 d Ty ok | M ¬ + Py = Pp (4-3) z | dU os arctgK |
¬ OAR ĐẤT cet dee ở Py) OW £ 1 ¥
Quan he cua luc đàn hội với chuyên vị i Yves
được xem xét ở hai giải đoạn: giải đoạn tăng Hình 42
tHỊ:! +
Trang 27tải và giai đoạn dỡ tải Khi tăng tải quan hệ của lực đàn hồi với chuyển vị có dạng phi tuyến bất kì, còn khi đỡ tải quan hệ có dạng tuyến tính như cho trên hình 4.2b Khi dỡ tải:
Pauly) = K (y - yg)
Đụ ymax }
K
Trong do: Ya = Ynax —
Với: y„„„ là chuyển vị cực đại của hệ khi chất tải, và K là độ cứng đàn hồi của hệ khi đỡ tải Khi đó phương trình vị phân dao động của hệ sẽ có dạng: - Lúc tăng tải: 2 d MŠL+P¿(y,)= Pq) de ° (4-4) - Lúc đỡ tải: dy, M ae +K;—yu)=P@Œ) (4-5)
Trong đó: vị sẽ là chuyển vị của hệ khi tang tai, y; là chuyển vị của hệ khi dỡ tải Khi quan hệ P(y¡) và tai trong P(t) 1a bất kì, nghiệm của phương trình ví phân (4-4) có thể được tìm bằng các phương pháp tích phân số
2 Tác dụng của tải trọng đặt đột ngột và giữ nguyên mài trên hệ Khi hệ chịu tác dụng của tải trọng đặt đột ngột,
sau đó giữ nguyên mãi trên hệ, ta có: Pq) = Pm = const
Ta sẽ tiến hành tìm nghiệm của phương trình vì
phan (4.3) như sau: Nếu xem rằng: Hình 4.3 dy _ld fdy } dị 2 dy (dt thì khi tích: phân hai vế của phương trình (4-4) ta sẽ nhận được: Mfdy,) py
si) + f' Puy) dy =P,.y, #C, (4-6)
Trang 28Tích phân hai vế biểu thức trên, ta sẽ được: _ [ = (4-7) — m Paly, dy Các hằng số C\, C¿ trong các biểu thức (4-6), (4-7) được xác định từ điều kiện ban
đầu Nếu xem điều kiện ban đầu bằng không, tức là: tại t = 0, ta có: y, = 0, Tỉ =0 thay
điều kiện ban đầu vào (4-6) và (4-7), ta nhận được C¡ = 0, C; = 0 Chuyển vị lớn nhất
của hệ đạt được tại thời điểm khi wr =0 Đưa điều kiện này vào biểu thức (4-6) ta có: t Pm -Ÿ (max) = ƒ Ps(y) dy (4-8) Giả sử ta tính với lực đàn hồi có quy luật lũy thừa: Pay) =Ky" (4-9) Trong trường hợp này từ phương trình (4-8), ta sẽ nhận được: (n+1) P, jn a Spo (4-10) Ÿ max | K Thế biểu thức (4-10) vào (4-9) ta có: PaY max) = (1 + Pp, (4-11) Bây giờ ta sẽ xác định hệ số động chuyển vị và hệ số động tải trọng Độ vòng tĩnh do n
tải trọng động có giá trị lớn nhất gây ra là: y+ = (|
Tài trọng động có gia tri 16n nhat: P,,
Trang 29Bảng 4.1 N 0,2 0,5 0,8 1 2 3 5 10 Ky 2,49 2,25 2,09 2 1,73 1,59 1,43 1,27 4 12 1,5 1,8 2 3 4 6 ll
Qua các giá trị ở bảng trê ta thấy ràng: Hệ số động phụ thuộc vào đặc trưng phi đàn
hồi qua giá trị n
Khi n < 1, ứng với trường hợp đường cong quan hệ của lực đàn hồi với chuyển vị là đường cong lõm, ta cé K, > Ky
Khi n> I, tacé: K, < K, (duéng cong lồ)
Khi n = 1, ứng với trường hợp lực đàn hồi tuyến tính, ta có: K, = K, = 2 Diéu nay
hoan toan diing vdi két qua da dugc xét 6 chuong I
Chuyển động của hệ khi dỡ tải được xác định từ phương trình vi phân (4-5) với điều kiện ban đầu sau: tại † = tạ, ta có:
Y2 = Ytttmi” ŸYmax ÿ;=0
Trong đó: t„ là thời gian đạt được chuyển vị lớn nhất xác dinh theo (4-7) Phuong trình vi phân dao động (4-5) là phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm của nó dễ dàng được tìm
3 Tác dụng của xung tức thời S
Trong trường hợp này chuyển vị của hệ khi chất tải được tìm từ phương trình vi phân
(4-4) với các điều kiện ban đầu sau: y,(0) =0
S
+ (0) =
y, (0) M
Lúc này tải trong bang khong P(t) = 0 Thay cdc diéu kién nay vao phuong trinh (4-6),
Trang 30Tính với trường hợp lực đàn hồi có dạng hàm luỹ thừa (4-9) Thế biểu thức (4-9) vào (4-14), sau khi lấy tích phân và biến đổi, tá nhận được: 2] 1 Yar =| SAVE | nn 2KM (4-15) Tải trọng tĩnh tương đương được tính tượng tự như ở phần trên: 2 fen: ¬n JI p= |S D gan (4-16) 2M
$3 DAO DONG CUA HE DAN DEO LI TUGNG 1 Phương trình đao động của hệ
Xét hệ có đặc trưng đàn hồi dẻo lí tưởng Quan hệ của lực đàn hồi P„(y) với chuyển vị y cho trên hình 4.4 gồm hai đoạn thẳng Đoạn thẳng đầu tiên từ gốc toạ độ phù hợp với giai đoạn đàn hồi Đoạn thăng thứ hai song song với trục y phù hợp với giai đoạn dẻo Lực đàn hồi được xác định như sau:
Py) = Ky khi: y <y, = = “4p
P
Pify) =P, =const, khi: y>y,=— K - PoE —
Phương trình vĩ phân dao động của hệ nhận được
bảng cách thế P(y) vào phương trình cân bằng lực arctgK
(4-3) Khi thay Pa(y) = K.y vào (4-3), ta nhận được Yo
phương trình vị phân dao động của hệ trong giai Hình 44 đoạn đàn hồi 3 đd M m +Ky, =P() (4-17) t Thay P,(y) = P., vao (4-3), ta được phương trình vi phân dao động của hệ trong giai đoạn dẻo: ¬ qˆ | M—L+P, =P() (4-18)
Như vậy khi tính hệ đàn hồi dẻo lí tưởng, phương trình vị phân dao động (4-3) được phân ra hai phương trình vị phân tuyến tính (4-1 7) và (4-18)
Nghiệm của phương trình vị phân (4-17) như đã biết ở chương I 1a:
|
y() = Acosat+ Bsinot = —— [ PŒ)sino(L—+) dt (4-19)
Trang 31Trong dé: o = x là tần số dao động riêng của hệ A, B là các hằng số được xác định từ điều kiện ban đầu Nếu xem điều kiện ban đầu bằng không, tức là: tại t = 0, ta cd: y/()=0 ÿ¡() =0, thì A =0, B =0; Lúc này ta có: 1 v,(t)=—— | P(t)sin@(t—t) dt (4-19') y(t) Mo fs (Œt)sin@(t=+) Biểu thức (4-19), chính là dao động của hệ trong giai đoạn đàn hồi, nó chỉ đúng đến khi đó: y, (t,) = y, = Fo thdi diém t = t,; Kr
Nghiệm của phương trình ví phân (4-18) được tìm bằng phương pháp tích phân thông thường Tích phân hai vế phương trình (4-18), ta được:
1
Ÿ;@= ae [ f Poat Pt) | +€,
Và do đó:
1 > Paty
so fi, RuaU -Pe SẺ hiee=ig +€;
Biểu thức trên biểu thị dao động của hệ trong giai đoạn dẻo khi t > t,; các hàng số C¡ và C; được xác định từ điều kiện ban dau sau: tai t =1t,, ta cd: y2(=yo; Ÿ;( =ÿ¡(t2) Với điều kiện ban đầu này, ta xác định được: Cy = V(t.) Ch = yy Đo đó: Piat-t,¥ 2 1
yao fi fi P()dỬ ~ o Fy, (LG -t)+y, (4-20)
2 Tác dụng của tải trọng đặt đột ngột và giữ nguyên mãi trên hệ
Ta sẽ xét một trường hộp cụ thể: khi hệ chịu tác dụng của tải trọng đặt đột ngột, sau đó giữ nguyên mãi trên hệ (hình 4.3): P(U) = P„„ = const
Ở giai đoạn đàn hồi, nếu xem điều kiện ban đầu bằng không, tức là: tại t = O, ta có: Yt(o) = 9 Ÿi;= 0, thì phương trình đao động xác định theo (4-19”) sẽ là:
Trang 32Phương trình này chính là (1-191) của chương 1
Đề xác định phương trình dao động trọng giai đoạn dẻo, ta cần phải xác định thời điểm cuối giai đoạn đàn hồi t = t,; thời điểm này được xác định từ biểu thức (4-21) khi chot =t, va Ky, = P,, ta co: Ky, =P,,(l-coset,) = P, | P Suy ra: Wt, = arc cos | —— | m l P, Hay: t, =—arccos ; l——— (4-22) Q P Từ biểu thức trên, ta thấy rằng biến dạng đẻo trong hệ phát sinh nếu: đọ <3? Lấy đạo hàm phuong trinh (4-20) va tinh tại thời điểm t = 1,, ta cd: P,, @ 0P, ZPm _Ị (4-23) KP Ö
Đưa (4-23) vào (4-20), tính tích phân kép của biểu thức (4-20) với P{)= Pa, sau khi
biến đối ta nhận được phương trình chuyển vị của hệ trong giải đoạn dẻo như sau: P 2P P„ ìøˆ 54) =} 14 | —~*-l.ø(t-t,)—-| I-—* |—(t-t,})⁄ 4-24 yạ() nh p 0 ( "| mm 7 ( ) y,(t,) = sinot, = “ad ũ il
Trang 330,5P,<P, <P, (4-27) - Khi P,, < 0.5 P, thi hé làm việc trong giai doạn đàn hồi Chuyển vị lớn nhất của hệ trong giai đoạn đàn hồi được xác định từ (4-21) P =2m K (4-28 ) Ymax Bây giờ ta sẽ xác định hệ số động chuyển vị và hệ số động tải trọng trong giai đoạn dẻo Hệ số động tải trọng phù hợp với biểu thức (4-2) sẽ là: K; => (4-29)
Từ các biểu thức (4-26) và (4-29) ta sẽ tìm được hệ số động tải trọng biểu thị qua
chuyển vị như sau: 22m) K=— ge aes S2 1 (4-30) 2 [2a Ì" 1-0,5 (28 Yo ¥ max Hệ số động chuyển vị được xác định theo (4-1): Ky = 2m (4-31) YT P 2 ,
Trong đó: y„„„ được xác định theo (4-26), còn yy = aa Ta sẽ biểu thị hệ số động chuyển vị theo hệ số động tải trọng bằng cách đưa (4-26) vào (4-31) và sử dụng (4-29), ta CÓ:
2-K,
Ký =K,|1+0,5 (4-32)
° K, -1
Các công thức (4-29) và (4-32) cho phép kiểm tra kha nang chiu tải của hệ Từ giá tri tải trọng ngoài P„ và giá trị lực đàn hồi giới hạn P,, ta dễ dàng xác định được hệ số động tải trong K,; sau đó sẽ xác dịnh hệ số động chuyển vị theo (4-32) Ta sẽ kiểm tra điều kiện:
Pa
“Kyys Yen (4-33)
Ymax
Trong d6: y,, 1a chuyển vị giới hạn
Trang 34Ymax _—_ K
a p Ÿ max
Yo! 0
và sẽ xác định hệ số động tải trọng theo biểu thức (4-30), sau đó sẽ tính tải trọng tính tương đương theo (4-2); Pụ = K, Pạ Trên cơ sở đó ta sẽ xác định nội lực và thiết kế
tiết diện |
Trên hình (4.5) mô tả quan hệ giữa hệ số động tải trọng K, với tI SỐ Ex khi hệ
: Go
chịu tác dụng của tải trọng đặt đột ngột Đường đồ thị trên cùng phù hợp với tác dụng của tải trọng đặt đột ngột, sau đó giữ nguyên giá trị trên hệ Kq 2 + P(t) 1,6 1,2 0,8 0.4 1 2 4 6 8 10 P Hình 4.5 $4 DAO DONG CUA HE CUNG DEO 1 Pal) d
Trong tính toán các kết cấu phat sinh biến dạng đeo vượt qua giải đoạn đàn hồi, đôi khi ta bo qua
sư làm việc của kết cấu trong giai đoạn đàn hồi,và P,
chỉ xét dao động của hệ trong giải đoạn dẻo
Lúc này quan hệ của lực đàn hồi với chuyển vị là }
đường tháng song song với trục y, khi tính dao động - của hệ cứng dẻo ta giả thiết rằng, kết cấu được giữ Hình 4.6
nguyên trạng thái khi tải trọng động bên ngoài chưa
đạt đến giá trị bằng giá trị giới hạn đàn hồi P,
Trong trường hợp này phương trình vi phân chuyển động của hệ có dạng:
dˆy
dị
M =P()-P, (4-34)
Trang 35Nghiệm của phương trình vi phân (4-34) được tìm bằng cách lấy tích phân phương trình đó và xem điều kiện ban đầu bằng không, tức là, tại t = 0 ta c6: y= 0; Veg) =O, ta nhận được:
M = = |} Pajdt-P, 4 (4-35) P,.t?
My = [` [ P()dt - (4-36)
Từ phương trình (4-34) ta thấy rằng: tải trọng ngoài tác dụng P(Ð) cần phải được bất đầu từ một thời điểm nào đó nhỏ hoặc lớn hơn P„ Vì vậy, nếu hệ cứng dẻo dao động do tải trọng tác dụng không đổi theo thời gian thì chuyển vị của hệ sẽ có giá trị vô hạn
Trang 36§5 TÍNH DAO ĐÔNG PHI TUYẾN THEO PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TRỰC TIẾP Các phương pháp tích phân trực tiếp đã được xét ở chương II (dao động của hệ hữu hạn bậc tự do) ở đây khi xét hệ một bậc tự do có đặc trưng đàn hồi phi tuyến bất kỳ ta cũng có thể áp dụng phương pháp tích phân số đối với phương trình vi phân dao động (4- 4); Việc áp dụng phương pháp tích phân số trực tiếp đối với các hệ phi đàn hồi rất thích hợp và có hiệu quả: Như đã biết phương pháp tích phân trực tiếp được tính với một chuối các Khoảng thời gian AL liên tiếp từ khi hệ bat đầu chịu tác dụng của tải trọng động bên ngoài đến thời điểm mong muốn bất kì Ở mỗi bước thời gian, điều kiện cân bằng lực đều được thoa mãn Phương trình cân bằng lực có thể viết được trong các gia số tương ứng với các bước thời gian, và việc tích phân số cũng sẽ được tiến hành đối với các
phương trình cân bằng lực trong các gia số: '
1 Phương trình cân bằng lực trong các gia sô
Xét dao động của hệ một bậc tự đo có mô hình tổng quát cho trên hình 4.8a Các lực
tác dụng vào khối lượng cho trên hình 4.S5b tải trọng động tác dụng bất kì cho trên hình 4.6c; các đặc trưng phi tuyến của lực đàn hối và luc can cho trên hình 4.8d và 4.8e 9 | Pit) ‡?ú i M P | | P¿An| APU , [LẺ T1 P, awa | K<S L 1€ 3] Pith | Patt mm 5 Ml, : Of Fee A t {+At a) b) c) Paly) Patt) | AP¿/9 P(I+.M ⁄ +A); 4 \ va Pall l= iy — : : 1 F P.t)Ì———2 | Pal) F— ne a : | | 0 | | _ 0 _Ỳ j— EAU , » JIAU , d) e) Hinh 4.8 Tại thời điểm L từ điều kiện cân bằng của các lực tác dụng vào khối lượng, ta có: Pạ (0# ( + ụ ( = Pa) (4-43)
Qua mot khoảng thoi gian ngắn At, tương ứng ta cũng có;
- P, (t+ At)+ P (t+ Ath+P, (+ AD +=P (t+ At) (4-44)
Trang 37Sau khi thế (4-43) vào (4-44), ta nhận được phương trình cân bằng lực trong các gia số:
-AP, (t) + AP, ( + AP¿ @) = AP @) (4-45)
Các gia số của các lực các phương trình (4-45) có thể biểu thị như sau:
P, (t) = P,(t-+ At)=P, (t) = -MAV(t)
AP.(t) = P.(t + At) — P.(t) = C@)Aÿ() AP, (t) = Py(t + At)— Py (t) = K(HAy(t)
AP(1) = P, (t+ At)— P(t)
(4-46)
Các tham số tải trong P(t), tham s6 tat đần C{), tham số độ cứng K() tương ứng trong khoảng thời gian At được cho trên hình 4.8c, d, e Khi biểu thị các gia số của các lực (4-46) ta giả thiết rằng: Khối lượng của hệ không thay đổi với mọi khoảng thời gian Các góc lệch tiếp tuyến được xác định tại đầu mỗi khoảng thời gian như sau:
aP | dP,
4) fi; K(t})=} — 4-47
c(t) (2) (t) [s) ( )
Thế các biểu thức (4-46) vào (4-45), ta nhận được phương trình cân bằng lực trong các
gia số tại thoi diém t:
MAÿ()+C()Aÿý()+ K@)Ay() = AP() (4-48)
2 Áp dụng phương pháp gia tốc tuyến tính
Có nhiều phương pháp để tính tích phân số trực tiếp — phương trình (4-48) ở đây sử dụng phương pháp gia ed 9 tốc tuyến tính Như đã trình bày ở chương hai giả thiết #9; [
của phương pháp này là: trong giới hạn của mỗi tích Am phân thời gian, gia tốc chuyển động thay đổi theo quy
luật tuyến tính, khi đó hệ số tắt dần và độ cứng của hệ được xem là không thay đối Khi gia tốc thay đổi theo quy luật tuyến tính ta có: Hit Hình 4.9a : , AV V()=Ÿ,+——-t At Với: 0<t<A
Khi đó tốc độ và chuyển vị của hệ sẽ thay đổi theo
Trang 382: An, 3
(th=y¥, +yY, T+.Y aye A 6
Từ các biểu thức xác định chuyển vị và tốc độ tại cuối khoảng thời gian r = ÁI, ta SẼ có các gia số tốc độ và chuyển vị như sau: Aÿ(t)= ÿ()At + Aÿ(9 = (4-49) AC At? Ay(1t) = y(tjAt + Y(t AYO (4-50) Từ (4-59) ta suy ra: 6 6, ' Ay(t) = —> Ay(t) -— y(t) - 3y(@) (4-51) At At Thế biểu thức (4-51) vào (4-49) ta được: 3 At Ay(ay@)=3ý(0=—ÿ@) (4-52) Thế các biểu thức (4.51) và (4.52) vào (4.48) ta sẽ nhận được phương trình chuyển động: 6 Al 5 Ay4)—E yl0~384) | 2 At | 3 AL | +Cit) ArAy@)=3ÿ0)~<—ÿ0) |+ K(ĐAy(Đ = AP() [| At 2 ] Chuyển sang vế phải tất cả các thành phần xác định bởi các điều kiện ban đầu, ta sẽ có: K" (t)Ay(t) = AP’ (1) (4-53) Trong do: ' 6 3 kK (t= K()+— -M+— - Cit) (4-54) Al At 6 At AP (t) = AP(t)+M v(t) + 00) +00) 3/404 S0) (4-55)
Ta thấy ràng: phương trình (4-53) tương đương với điều kiện cân bàng tĩnh trong các gia số Sau khi giải phương trình (4-53), ta sẽ xác định được gia số chuyển vị Ay(U) Thế Av( vào (4-52) ta sẽ nhận được gia số tốc độ Aý(1) Chuyển vị và tốc độ ở cuối gia số thời gian At được tính bàng việc bố sung các gia số chuyển vị và gia số tốc độ:
y(t+ At) = Neat (4-56)
v(t+ At) = y(t) + Av(t)
Trang 39Tóm lại, trình tự của phương pháp trên được tiến hành Hhw sau: 1 Xác định các đặc trưng phi đàn hồi của hệ gồm:
Độ cứng K(), hệ số tắt đần C(), và xác định các đại lượng biến đổi của lực cản P,() và lực đàn hồi P(Ð
2 Xác định các điều kiện ban đầu: chuyển vị ban đầu và tốc độ ban đầu được xem là đã biết từ điều kiện ban đầu của bài toán hoặc ở cuối gia số thời gian của bước trước Gia tốc ban đầu được xác định từ điều kiện cân bằng lực:
a 1
V(t) = —-[P(t) — PA) — Pye] M (4-57)
3 Chọn bước thời gian At: Để dam bảo độ chính xác cần thiết của kết quả tính toán cần chọn bước thời gian:
act 10
Trong đó: T là chu kì dao động riêng của hệ
4 Xác định độ cứng KỶ) theo (4.54)
5 Xác định gia số tải trọng AP’ (t) theo (4-55)
6 Xác định gia số chuyển vị tại thời điểm t từ việc giải phương trình (4-53)
7 Xác định chuyển vị và tốc độ tại thời điểm (t + At) theo (4-56) trong đó gia số tốc
Trang 40Chương 6
TÍNH CƠNG TRÌNH CHỊU TÁC DỤNG ĐỘNG ĐẤT
Động đất là một thảm họa vô cùng to lớn và khùng khiếp Vì vậy, tính công trình chịu tác dụng động đất là một nhu cầu hết sức cần thiết trong xây dựng nhất là với các công trình quan trọng, các tháp nước các công trình nhà cao tầng v.v
Ở chương này sẽ trình bày bài toán đao động hệ một bậc tự do, hệ hữu hạn bậc tự do chịu tác dụng động đất chủ yếu do gia tốc ngang của nền đất ÿ, (t)
§1 DAO DONG CUA HE MOT BAC TU DO CHIU TAC DUNG DONG ĐẤT 1 Xây dựng phương trình vi phân dao dong hệ | bac tự do chịu tác dụng động đất ¥ {t) ¡ ) | | M M : 2 1/0 NEN ¬ [Pee Pit) i _— ! i KL, | kK} / Pat) Paty Paty Tucxet? 2| 7 C 2| ¿ 2 2 | ⁄ ⁄ i f / | / f RF RET REE TC b) Ya() \ Fe“ a} Hình 5.1
Xét mo hinh hé | bậc tự do chịu tác dụng động đất được đặc trưng bởi chuyển động ngang của nền đất y,() hình 5.1 Phương trình cân bằng được xây dựng từ hình 5 lb Như đã trình bày ở chương 1, §I: Phương trình vi phân chuyển động do sự kích động của nền được viết ở dạng 1.21 là:
Mỹ(Œ)+Cý@) +Ky(Œ) =—M.ÿ,(@) (5-1)
Thanh phan ở vế phải của (5-1) dong vai trò như tải trọng động thay đổi theo thời gian
tác dụng lên hệ
2 Phương trình dao động của hệ một bậc tự do chịu tác dụng động đất Phương trình vi phân (5-1) được viết ở dạng sau: (chia 2 vé cua (5-1) cho M)
V(t) + 2meV(1) +o y(t) = -¥, (t) (5-2)